三角函数的图像与性质（2）
学习目标1、能画出函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像；了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响．并且能够根据给出的部分图像求三角函数解析式
2、掌握函数y＝A sin(ωx＋φ)的三种图像变换，并能解决图像变换的有关问题
3、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
自主学习知识梳理
1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念
2．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示．
3．函数y＝sin x的图像变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像的步骤
自学检测
1．把y ＝sin 1
2
x 的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图像，
则ω的值为( )．
A ．1
B ．4
C ．1
4 D ．2
2．已知函数f (x )＝2sin ?
?
???ωx －3π4的图像如图所示，则f ? ????
7π12＝__________.
3． (2012·天津)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)
的图像向右平移
π4个单位长度，所得图像经过点?
??
??
3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13 B ．1 C.5
3
D ．
2
合作探究【探究一】三角函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像
1、设函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π.
(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在一个周期上的图像；(3)说明函数f(x)的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变换而得到．
探究提高
1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，
ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T ＝2π
ω
；③求
出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图像时，应列出该区间内的特殊点． 2．图像变换法 (1)平移变换
①沿x 轴平移，按“左加右减”法则；②沿y 轴平移，按“上加下减”法则． (2)伸缩变换
①沿x 轴伸缩时，横坐标x 伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的1
ω
倍(纵坐
标y 不变)；
②沿y 轴伸缩时，纵坐标y 伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)为原来的A 倍(横坐标x 不变)．
【探究二】求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的解析式
1、 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ?
?
???ω>0，|φ|<π2的图像的一部分如图
所示：
(1)求f(x)的表达式；
(2)试写出f(x)的对称轴方程
2、已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π
2
)的图
象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π
2
，且图象上一个最低点为
M(2π
3
，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π
12
个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩
小到原来的1
2
，纵坐标不变，得到y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的解析式，
并求满足g(x)≥2且x∈[0，π]的实数x的取值范围．
探究提高
确定y＝A sin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤：
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m
2
，b＝
M＋m
2
.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝2π
T
.
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即
图像的“峰点”)为ωx＋φ＝π
2
；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为
ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝3π
2
；“第五点”
为ωx＋φ＝2π.
【探究三】三角函数模型的应用
已知某海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时刻记录的浪高数据：
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
探究提高
三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：
（1）已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则
（2）把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
课堂小结本节课收获了什么？
1、知识方面
2、数学思想和方法
自查反馈表自查反馈表（掌握情况可用A、好 B较好 C一般）
1．将函数y＝sin x的图像向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin
?
?
?
?
?
x－
π
6
的图像，则φ等于( )．
A．
π
6
B．
5π
6
C．
7π
6
D．
11π
6
2．如图是函数y＝A sin(ωx＋φ)(x∈R)在区间
?
?
?
?
?
?
－
π
6
，
5π
6
上的图像．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点( )．
A．向左平移
π
3
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变
B．向左平移
π
3
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标
当
堂 检 测
不变 C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变 D ．向左平移
π
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
3、已知函数①sin cos ,y x x =+②22cos y x x =,则下列结论正确的是（ ）
（
A ．两个函数的图象均关于点(,0)4
π
-
,成中心对称
B ．①的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的2倍,再向右平移
4
π
个单位即得② C ．两个函数在区间(-4π,4
π
)上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同
4、函数2cos ()4
y x π
=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图象关于y
轴对 称
,则
a
的
最
小
值
为
（ ）
A ．π
B ．
34
π C ．
2
π
D ．
4
π 课后作业 A 组
1 ．已知函数4
sin(2)y x π=-,则其图象的下列结论中,正确的是
（ ）
A ．关于点()
8,1π-中心对称 B ．关于直线8x π=轴对称 C ．向左平移8π后得到奇函数
D ．向左平移8π后得到偶函数
2．设函数()sin(2)6
f x x π
=+
,则下列结论正确的是
（ ）
A ．()f x 的图像关于直线3
x π
=
对称
B ．()f x 的图像关于点(
,0)6
π
对称
C ．()f x 的最小正周期为π,且在[0,]12
π
上为增函数
D ．把()f x 的图像向右平移
12
π
个单位,得到一个偶函数的图像
3．已知函数()sin()f x A x ω?=+(其中0,2
A π
?><
)的图象如图所示,则函数()f x 的解
析式为A ．()sin(2)3f x x π
=- B ．()sin(2)6
f x x π
=+
C ．()sin(2)3f x x π
=+
D ．()sin(4)6
f x x π
=+
4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2
)的最小正周期为π，将该函数
的图象向左平移π
6
个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f (x )的图象( )
A ．关于点(π12，0)对称
B ．关于直线x ＝5π12对称
C ．关于点(5π
12
，0)对称 D ．关于直
线x ＝π
12对称
5．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象
上所有点向左平移3
π
个单位，所得图象的解析式是 . 6．为了得到函数)6
2sin(π
-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向 平移 个
单位长度
7、已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函
数y ＝f (x )图像的两相邻对称轴间的距离为π2. (1)求f ? ????π8的值； (2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移
π
6
个单位后，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )的单调递减区间函数
B 组
1．)2
sin(sin x x y +=π
的最小正周期是 （ ）
A ．
π
2
B ．π
C ．2π
D ．4π 2.【2008年海南宁夏文11】函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ）
A. －3，1
B. －2，2
C. －3，
32
D. －2，
32
3．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ--
B ．5[,]66ππ--
C ．[,0]3π-
D ．[,0]6
π- 4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)，g (x )＝3cos(ωx ＋φ)，若对任意x ∈R，都有f (π
3
＋
x )＝f (π3－x )，则g (π
3)＝____.
5． 函数sin y x x =在区间[0,2
π
]的最小值为______.
6.要得到??
?
?
?
-=42cos 3πx y 的图象，可以将函数y = 3 sin2 x 的图象向左平移_ _单位
7.已知函数()3sin(2)3
f x x π
=-
的图象为C,关于函数()f x 及其图象的判断如下:
①图象C 关于直线112x π=
对称; ②图象C 关于点2(
,0)3
π
对称; ③由3sin 2y x =得图象向右平移3
π
个单位长度可以得到图象C; ④函数f(x)在区间(5,
1212ππ
-
)内是增函数; ⑤函数|()1|f x +的最小正周期为
2
π. 其中正确的结论序号是_________.(把你认为正确的结论序号都填上) 8．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，则下列说法正确的是________． ①f (x )在? ??
?
?－
π2，π2上是递增的
②f (x )的图象关于原点对称
③f (x )的最大值是2 ④f (x )的最小正周期为2π 9.给出下列命题：
（1）函数y ＝cos ? ????23x ＋π2是奇函数； （2） 存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；
（3）若α、β是第一象限角且α<β，则tan α 一条对称轴； （5）函数y ＝sin ????2x ＋π3的图象关于点??? ?π 12，0成中心对称图形.其中正确的序号为 ___________. 10.已知函数2()2sin ()21,,442f x x x x π ππ?? =+-∈???? ,则)(x f 的最小值为_________. 11.(1)求函数()f x 的最小正周期;(2)求函数()f x 上的最值以及对应的自变量x 的值. 12.已知函数)()4sin cos 03f x x x πωωω?? =+ > ?? ? 的最小正周期为π. ⑴求)(x f 的解析式 (2)求)(x f 在区间?? ? ???-6,4ππ上的最值以及对应的自变量x 的值. 13.已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(co s x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋ 32 . (1)求f (x )的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π 2时，求函数f (x ) 的值域． 14.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜π 2 . (1)若cos π4cos φ－sin 3π 4 sin φ＝0，求φ的值； (2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π 3 ，求函数f (x ) 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数． 15.(1)求函数y ＝2sin x cos 2 x 1＋sin x 的值域；(2)求函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最值； (3)若函数f (x )＝ 1cos 24sin() 2 x x π ++－a sin x 2·cos(π－x 2 )的最大值为2，试确定常数a 的值． 【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法． (1)y ＝a sin x ＋b cos x 型，可引用辅角化为y ＝a 2 ＋b 2 sin(x ＋φ)(其中tan φ＝b a )． (2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2 x 型，可通过降次整理化为y ＝A sin2x ＋B cos2x ＋C . (3)y ＝a sin 2 x ＋b cos x ＋c 型，可换元转化为二次函数． (4)sin x cos x 与sin x ±cos x 同时存在型，可换元转化． 1．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2 x + 32 5 （x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴， 2.已知向量) (),0,0,sin a x b x = =,记函数()()2 2f x a b x =++.求: (I)函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合; (II)函数()f x 的单调递增区间. 3.已知向量2 1cos 213 (sin ,sin ),(cos 22,2sin )222 x m x x n x x x +=+ =-,设函数 (),.f x m n x =?∈R (I)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间; (Ⅱ)若 [0,],()2 x f x π ∈求函数值域. 4.已知函数ππ1()cos()cos()sin cos 334 f x x x x x =+--+ (1)求函数)(x f 的最小正周期和最大值;(2)求函数()f x 单调递增区间 5．已知向量a ＝(sin(3x ＋ π4 )，cos3x )，函数f (x )＝2a 2 .求： (1)函数f (x )的最小值；(2)函数f (x )的单调递增区间． 6.已知函数f (x )＝4cos x sin ? ?? ??x ＋π6－1. ①求f (x )的最小正周期； ②求f (x )在区间???? ??－π6，π4上的最大值和最小值.
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