2017年秋高一数学第一学期函数压轴训练题
1．（本小题满分12分）已知x 满足不等式2112
2
2(log )7log 30x x ++≤，求2
2()log log 42
x x
f x =?的最大值与最小值及相应x 值．
2.（14分）已知定义域为R 的函数2()1
2x x a
f x -+=
+是奇函数
（1）求a 值；
（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；
（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围；
3. （本小题满分10分）已知定义在区间(1,1)-上的函数2
()1ax b f x x +=+为奇函数,且12
()25
f =. (1) 求实数a ,b 的值；
(2) 用定义证明:函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数； (3) 解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<.
4. (14分)定义在R +上的函数f(x)对任意实数a,b +∈R ,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0，
(1)求f(1) (2)求证：f(x)为减函数。 (3)当f(4)= -2时，解不等式1)5()3(-≥+-f x f
5.（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x 2
-2bx+4
b
(b ≥1)， (I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M 。
6.（12分）设函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点.
（1）写出函数()y g x =的解析式；
（2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -…，试确定a 的取值范围；
（3）把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数1()22()()()2h x h x h x F x a a a ---=-+，（0,1a a >≠且）在1[,4]4的最大值为54，求a 的值.
7. （12分）设函数124()lg ()3
x x
a f x a R ++=∈.
（1）当2a =-时，求()f x 的定义域；
（2）如果(,1)x ∈-∞-时，()f x 有意义，试确定a 的取值范围； （3）如果01a <<，求证：当0x ≠时，有2()(2)f x f x <.
8. （本题满分14分）已知幂函数(2)(1)()()k k f x x k z -+=∈满足(2)(3)f f <。 （1）求整数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式；
（2）对于（1）中的函数()f x ，试判断是否存在正数m ，使函数()1()(21)g x mf x m x =-+-，在区间
[]0,1上的最大值为5。若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
9. （本题满分14分）已知函数1
()(0x f x a
a -=>且1)a ≠
（Ⅰ）若函数()y f x =的图象经过()4,3P 点，求a 的值； （Ⅱ）当a 变化时，比较1
(lg
)( 2.1)100
f f -与大小，并写出比较过程； （Ⅲ）若(l
g )100f a =，求a 的值．
10. （本题16分）已知函数9()log (91)x f x kx =++(k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；
(2)若函数()y f x =的图象与直线1
2
y x b =
+没有交点，求b 的取值范围； (3)设()
94()log 33x h x a a =?-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范
围．
11. （本小题满分12分）二次函数()y f x =的图象经过三点(3,7),(5,7),(2,8)A B C --.（1）求函数()y f x =的解析式（2）求函数()y f x =在区间[],1t t +上的最大值和最小值
12.(本小题满分14分) 已知函数x x
a
x f 2
2)(+=,且)(x f 为奇函数． (Ⅰ)求a 的值;
(Ⅱ)定义:若函数0),0(,)(>>+
=x a x
a
x x g ,则函数)(x g 在],0(a 上是减函数,在),[+∞a 是增函数.设2)1()()(+--=x f x f x F ,求函数)(x F 在]1,1[-∈x 上的值域．
13.(本小题满分16分) 设0a >,0b >,已知函数()1
ax b
f x x +=
+. (Ⅰ)当a b ≠时,讨论函数()f x 的单调性(直接写结论); (Ⅱ)当0x >时,(i)证明2)]([)()1(a
b f a b f f =?;
14.(本小题满分16分)
设函数])1(lg[)(22x a ax x f +-=的定义域区间为I ,其中0a >. (Ⅰ)求I 的长度)(a L (注:区间(,)αβ的长度定义为βα-); (Ⅱ)判断函数)(a L 的单调性,并用单调性定义证明;
(Ⅲ)给定常数(0,1)k ∈,当[]k k a +-∈1,1时,求区间I 长度)(a L 的最小值.
1.解：由21
12
2
2(log )7log 30x x ++≤，∴12
1
3log 2
x -≤≤-
， ∴21log 32x ≤≤，
而
2
222()log log (log 2)(log 1)42
x x
f x x x =?=--
=
222(log )3log 2x x -+=2231
(log )24
x --，
当23log 2x =时min 1
()4
f x =- 此时x =3
22
=
当2
log 3x =时max 91
()244
f x =
-=，此时8x =． 2. 解：（1）由题设，需1(0)0,1a
f a -+==∴=，121
2()x x
f x -+∴=
经验证，
()f x 为奇函数，1a ∴=---------（2分）
（2）减函数--------------（3分）
证明：任取
1
2
1
2
2
1
,,,0R x x x x x x x ∈?=- ，
由（1）12212
1
122(22)
12122
1
1212(12)(12)
()()x x x x x x x x y f f x x ---++++?=-=-=
121
2
1
2
12
,022,220,(12)(12)0x x x x x x x x ∴∴-++
0y ∴?
∴该函数在定义域R 上是减函数--------------（7分）
3. 解：(1)由2
()1ax b f x x +=+为奇函数,且 2122()1251()2
a b f +==+ 则21122()()1225
1()2
a b f f -+-==-=-+-，解得：1,0a b ==。∴2()1x f x x =
+
(2)证明：在区间(1,1)-上任取12,x x ，令1211x x -<
<<,
221212211222221212(1)(1)()()11(1)(1)
x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=
++++12122212()(1)
(1)(1)x x x x x x --=++ 1211x x -<<< ∴ 120x x -< ,1210x x -> , 21(1)0x +>, 22(1)0x +> ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <
故函数
()f x 在区间(1,1)-上是增函数.
(3)
(1)()0f t f t -+< ∴ ()(1)(1)f t f t f t <--=-
函数
()f x 在区间(1,1)-上是增函数 ∴ 111111
t t
t t <-??
-<
∴102t <<
故关于t 的不等式的解集为1(0,
)2
. 4（1） 由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0 (2) 法一：设k 为一个大于1的常数，x ∈R+，则 f(kx)=f(x)+f(k)
因为k>1，所以f(k)<0，且kx>x
所以kx>x,f(kx) 1,0,x x x x <+∞∈且令1,12>=k kx x 则 )()()()()()()()(212121k f x f k f x f kx f x f x f x f -=--=-=- 有题知，f(k)<0 )()(0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即 所以f(x)在（0，+∞）上为减函数 法三：设()212 1,0,x x x x <+∞∈且 )()()()()(12121121x x f x x x f x f x f x f -=? -=- 0)(11 212<∴>x x f x x )()(0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即 所以f(x)在（0，+∞）上为减函数 5解：f(x)=(x-b)2 -b 2 + 4 b 的对称轴为直线x ＝b （ b ≥1）， (I) ①当1≤b ≤4时，g(b)＝f(b)＝-b 2 + 4 b ; ②当b ＞4时，g(b)＝f(4)＝16- 314 b ， 综上所述，f(x)的最小值g(b)＝2 (14)4 3116 (4)4 b b b b b ?-+????-??≤≤。＞ (II) ①当1≤b ≤4时，g(b)＝-b 2 + 4 b ＝-(b- 18)2 +1 64， ∴当b ＝1时，M ＝g(1)＝-34 ； ②当b ＞4时，g(b)＝16-31 4b 是减函数，∴g(b)＜16-314×4＝-15＜-34， 综上所述，g(b)的最大值M= -3 4 。 6. 解：（1）设点Q 的坐标为(',')x y ，则'2,'x x a y y =-=-，即'2,'x x a y y =+=-。 ∵点(,)P x y 在函数log (3)a y x a =-图象上 ∴'log ('23)a y x a a -=+-，即1'log 'a y x a =-∴1()log a g x x a =- (2)由题意[2,3]x a a ∈++，则3(2)3220x a a a a -=+-=-+>，110(2)x a a a =>-+-. 又0a >，且1a ≠，∴01a << 221|()()||log (3)log ||log (43)|a a a f x g x x a x ax a x a -=--=-+- ∵()()1f x g x -… ∴2 2 1log (43) 1a x ax a --+剟 ∵01a <<∴22a a +>，则22 ()43r x x ax a =-+在[2,3]a a ++上为增函数， ∴函数22 ()log (43)a u x x ax a =-+在[2,3]a a ++上为减函数， 从而max [()](2)log (44)a u x u a a =+=-。min [()](3)log (96)a u x u a a =+=- {log (96)101,log (44)1 a a a a a --<<-又则 … …0a ∴<… （3）由（1）知1 ()l o g a g x x a =-，而把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，则 1()log log a a h x x x ==-，∴1log 22log log 1()22()()22()222a a a x x x h x h x h x F x a a a a a a ax a x x ++---=-+=-+=-+ 即22()(21)F x a x a x =-++，又0,1a a >≠且，()F x 的对称轴为2 212a x a +=，又在1[,4]4的最大值为54 ， ①令2 2114 2a a +< ?24202)2a a a a -->?<>舍去或()F x 在1[,4]4 上递减，∴()F x 的最大 值为22 55111()(21)81604(2)441644 F a a a a a =?-++=?-+=?=?+ +∞，此时无解； ②令22 2111482104 2 2a a a a a +>?--≠且，∴102 a <<；此时()F x 在1[,4]4 上递增，∴()F x 的最大值为255(4)168444F a a a =?-++=?，又102a <<，∴无解； ③令222 22420 211411821042a a a a a a a a a ???--+????---???或…剟剠…0,1a a >≠且 ∴1212a a +≠剟，此时 ()F x 的最大值为2 2 2242(21)(21)2155()44242a a a F a a a a +++=?-+=2 22 (21)541044a a a a +?=?--=，解得 ：2a = 1212 a a ≠剟 ，∴2a =； 综上，a 的值为27解：（1）当2a =-时，函数()f x 有意义，则12240122403 x x x x +-?>?+-?>，令2x t =不等式化为： 2121012t t t -- x x -< （2）当1x <-时，()f x 有意义，则124121101240()3 442 x x x x x x x x a a a +++>?++>?>-=-+，令11()42 x x y =-+在(,1)x ∈-∞-上单调递增，∴6y <-，则有6a -…； （3）当01,0a x <<≠时，22222(124)1241242()(2)2log lg lg 333(124)x x x x x x x x a a a f x f x a ++++++-=-=++， 设2x t =，∵0x ≠，∴1t ≠且01a <<，则 2224232(124)3(124)(3)2(22)2(1)x x x x a a t a a at t a t ++-++=-++-+- 4223222222(3)2(22)2(1)(1)(1)(1)0t a a at t a t at t at t <-++-+-=------< ∴2()(2)f x f x < 8解: （１）()()23f f < ，()()21012,k k k ∴-+>?-<< ,0k Z k ∈∴= 或1k =；当0k =时，()2f x x =，当1k =时，()2f x x =； 0k ∴=或1k =时，()2f x x =． （２）()()()()2121211g x mf x m x mx m x =-+-=-+-+ ， 0m > ， ()g x 开口方向向下，对称轴211 1122m x m m -= =-< 又()()01,g g x = 在区间［０，１］上的最大值为５， 1110221152m m g m m ?? ->>???? ∴??? ????-== ????? ?? 52m ∴=+9. （Ⅰ）函数()y f x =的图象经过(3,4)P ∴3-14a =，即24a =. 又0a >，所以2a =. （Ⅱ）当1a >时，1(lg )( 2.1)100f f >-; 当01a <<时，1(lg )( 2.1)100f f <- 因为，31 (lg )(2)100 f f a -=-=， 3.1(2.1)f a --= 当1a >时，x y a =在(,)-∞+∞上为增函数， ∵3 3.1->-，∴3 3.1 a a -->. 即1(lg )( 2.1)100 f f >-. 当01a <<时，x y a =在(,)-∞+∞上为减函数， ∵3 3.1->-，∴3 3.1 a a --<. 即1(lg )( 2.1)100 f f <-. （Ⅲ）由(l g )100f a =知，lg 1 100a a -=. 所以，lg 1 lg 2a a -=（或lg 1log 100a a -=）. ∴(lg 1)lg 2a a -?=. ∴2 lg lg 20a a --=， ∴lg 1a =- 或 lg 2a =， 所以，1 10 a = 或 100a =. 10(1)因为()y f x =为偶函数， 所以,()()x f x f x ?∈-=-R ， 即 99log (9 1)log (91)x x kx kx -+-=++对于x ?∈R 恒成立. 于是9999912log (9 1)log (91)log log (91)9 x x x x x kx x -+=+-+=-+=-恒成立, 而x 不恒为零，所以12 k =- . -----------------4 (2)由题意知方程911log (91)22 x x x b +- =+即方程9 log (91)x x b +-=无解. 令9()log (91)x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y b =无交点. 因为99911()log log 199x x x g x ??+==+ ??? 任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则12099x x <<，从而12 1199x x >. 于是129911log 1log 199x x ????+>+ ? ? ? ? ? ? ，即12()()g x g x >， 所以()g x 在(),-∞+∞上是单调减函数. 因为1119 x +>，所以91()log 109x g x ??=+> ??? . 所以b 的取值范围是(],0.-∞ ----------------------- 6 (3)由题意知方程14333 x x x a a +=?-有且只有一个实数根． 令30x t =>，则关于t 的方程24(1)103 a t at ---=(记为(*))有且只有一个正根. 若a =1，则3t =- ，不合, 舍去； 若1a ≠，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟. 由304a ?=?= 或－3；但3142a t =?=-，不合，舍去；而132 a t =-?=； 方程(*)的两根异号()()110 1.a a ?-?- 综上所述，实数a 的取值范围是{3}(1,)-+∞ ． ----------------------- 6 11. (1)解 ,A B 两点纵坐标相同故可令()7(3)(5)f x a x x -=+-即()(3)(5)7f x a x x =+-+将(2,8) C -代入上式可得1a = ∴ 2()(3)(5)728f x x x x x =+-+=--…………4分 (2)由2()28f x x x =--可知对称轴1x = 1） 当11t +≤即0t ≤时()y f x =在区间[],1t t +上为减函数 ∴2max ()()28f x f t t t ==-- 22min ()(1)(1)2(1)89f x f t t t t =+=+-+-=- (6) 2） 当1t ≥时，()y f x =在区间[],1t t +上为增函数∴22max ()(1)(1)2(1)89f x f t t t t =+=+-+-=- 2min ()()28f x f t t t ==-- …………8分 3）当1110t t -≥+->即102 t <≤ 时 2 max ()()28f x f t t t ==-- min ()(1)9f x f ==- …………10分 4）当0111t t <-<+-即 1 12 t <<时 22max ()(1)(1)2(1)89f x f t t t t =+=+-+-=- min ()(1)9f x f ==- …………12分 12.(本小题满分14分) 已知函数 x x a x f 22)(+ =,且 )(x f 为奇函数． (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)定义:若函数 0),0(,)(>>+=x a x a x x g ,则函数)(x g 在],0(a 上是减函数,在),[+∞a 是增函数.设 2)1()()(+--=x f x f x F ,求函数)(x F 在]1,1[-∈x 上的值域． 解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为R ， ∵ )(x f 为奇函数，∴f （0）=0，∴1+a=0，a=-1 ……………3分 (Ⅱ) 2)1()()(+--=x f x f x F =221222212 21211 ++=++----x x x x x x ……………3分 设2 x t =，则当]1,1[-∈x 时，1 [,2]2 t ∈， ……………3分 ∴1122y t t =++ ∵当1[2t ∈时，函数11 22y t t =++单调递减；当t ∈时， 函数11 22y t t =++单调递增； ……………2分 ∴当2=t 时，y 的最小值为22+ 当2 1=t 时，417= y ，当2=t 时，27= y ，y 的最大值为4 17 ……………2分 ∴函数)(x F 在]1,1[-∈x 上的值域是????? ? +417,22。 ……………1分 13.(本小题满分16分) 设0a >,0b >,已知函数()1 ax b f x x += +. (Ⅰ)当a b ≠时,讨论函数()f x 的单调性(直接写结论); (Ⅱ)当0x >时,(i)证明 2)]([)()1(a b f a b f f =?; (ii)若 ab x f b a ab ≤≤+)(2,求x 的取值范围. 解：（Ⅰ）由 1 )(+-+ =x a b a x f ，得 当b a >时，)(x f 分别在()()+∞--∞-,1,1,上是增函数； ……………2分 当b a <时，)(x f 分别在()()+∞--∞-,1,1,上是减函数； ……………2分 （Ⅱ）（i ）∵ 2)1(b a f += ，ab a b b a b a a b f b a ab a b f =++=+=1)(,2)( …………2分 ∴ 2])([)()1(a b f ab a b f f ==，∴2)]([)()1(a b f a b f f = ……………1分 （ii ）∵ ab x f b a ab ≤≤+)(2 ∴由（i ）可知，)()()(a b f x f a b f ≤≤， ……………2分 ①当b a =时，a x f =)(，H=G=a ，x 的取值范围为0>x . ……………2分 ②当b a >时，∵ 1 b a b < 由（Ⅰ）可知， )(x f 在()+∞,0上是增函数，∴x 的取值范围为a b x a b ≤≤ ……2分 ③当b a <时，∵ 1>a b ，∴a b a b > 由（Ⅰ）可知， )(x f 在()+∞,0上是减函数，∴x 的取值范围为 a b x a b ≤≤ ……2分 综上，当b a =时，x 的取值范围为0>x ；当b a >时，x 的取值范围为a b x a b ≤≤；当b a <时，x 的取值范 围为 a b x a b ≤≤。 ……………1分 14.(本小题满分16分) 设函数 ])1(lg[)(22x a ax x f +-=的定义域区间为I ,其中0a >. (Ⅰ)求I 的长度)(a L (注:区间(,)αβ的长度定义为βα -); (Ⅱ)判断函数)(a L 的单调性,并用单调性定义证明; (Ⅲ)给定常数(0,1)k ∈,当[] k k a +-∈1,1时,求区间I 长度)(a L 的最小值. 解：（Ⅰ）由0)1(22 >+-x a ax ，得2 10a a x +< <， ……………2分 )1, 0(2a a I +=∴ 2 1)(a a a L +=。 …………1分 （Ⅱ）)(a L 在 (]1,0上是增函数，在[)+∞,1上是减函数， ……………1分 设1021≤< 1)(1() 1)((11)()(2 221212122221121a a a a a a a a a a a L a L ++--=+-+= -…………2分 ∵1021≤<-<-a a a a ，∴)()(21a L a L < ……………2分 ∴)(a L 在 (]1,0上是增函数 ……………1分 同理可证，)(a L 在 [)+∞,1上是减函数 ……………1分 （Ⅲ）∵(0,1)k ∈，∴11,110>+<- 由（Ⅱ）可知，)(a L 在 []1,1k -上是增函数，在[]k +1,1上是减函数 )(a L 的最小值为)1(),1(k L k L +-中较小者； ……………2分 ∵0] )1(1][)1(1[2])1(1][)1(1[)]1)(1(1)[2()1()1(223 22<++-+-=++-++---=+--k k k k k k k k k L k L ……2分 ∴)(a L 的最小值为2 212 +--k k k ……………1分 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 数学高一函数练习题（高一升高二衔接） 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x ； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数,为的导数．证明： （1）在区间 存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ???时,单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ??? , 可得在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,. 所以在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当时, ,故()f x 在单调递减,又,从而是()f x 在的唯 一零点. ()sin ln(1)f x x x =-+()f x '()f x ()f x '(1,)2 π-()f x ()g'x ()g'x α()0g'x <()g x ()g x (1,)-+∞(1,0)x ∈-()0f 'x <(1,0)-(0)=0f 0x =(1,0]- （ii ）当0,2x π?? ∈ ??? 时,由（1）知,在单调递增,在单调递减,而 ,02f π??'< ???,所以存在,2πβα?? ∈ ???,使得,且当时, ；当,2x πβ??∈ ???时,.故在单调递增,在,2πβ?? ???单调递 减.又,1ln 1022f ππ???? =-+> ? ???? ?,所以当时,. 从而()f x 在0,2π?? ??? 没有零点. （iii ）当,2x ππ??∈ ???时,()0f x '<,所以()f x 在,2ππ?? ???单调递减.而 ()0,02f f ππ??>< ??? ,所以()f x 在,2ππ?? ??? 有唯一零点. （iv ）当时,()l n 11x +>,所以<0,从而()f x 在没有零点. 综上, ()f x 有且仅有2个零点. 【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数3()sin (),2 f x ax x a R =-∈且 在,0,2π?? ????上的最大值为32π-， （1）求函数f (x )的解析式； (2)判断函数f (x )在（0，π）内的零点个数，并加以证明 【解析】(1)由已知得()(sin cos )f x a x x x =+对于任意的x∈(0, 2 π)， 有sin cos 0x x x +>,当a=0时,f(x)=? 3 2 ，不合题意； 当a<0时,x∈(0, 2π),f′(x)<0,从而f(x)在(0, 2 π )单调递减， 又函数3 ()sin 2f x ax x =- (a∈R)在[0, 2 π]上图象是连续不断的， 故函数在[0, 2 π ]上的最大值为f(0)，不合题意； ()f 'x (0,)α,2απ?? ???(0)=0f '()0f 'β=(0,)x β∈()0f 'x >()0f 'x <()f x (0,)β(0)=0f 0,2x ?π?∈ ???()0f x >(,)x ∈π+∞()f x (,)π+∞ （数学1必修）函数及其表示 一、选择题 1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 3．已知集合{}{} 421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且* ,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5 4．已知2 2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-< 高一数学函数试卷及答 案 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-高一数学指数函数知识点及练习题
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