淮北师范大学
2012届学士学位论文
循环群的性质研究
学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向高等代数
学生姓名潘帅
学号20081101142
指导教师姓名张波
指导教师职称讲师
2012年4月3日
循环群的性质研究
潘帅
（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）
摘要
设G是一个群，a G
，如果群G中的每一个元素都能写成元素a的乘方的形式，则称G是一个循环群，循环群是近世代数中的一个重要内容，也是一类基本研究明白的群，本文主要讨论了循环群的相关性质及其应用。
文中首先介绍了群的相关基础知识，由此引出循环群的定义和它的相关性质，讨论了循环群及其元素，子群间的关系，然后利用循环群的基础理论讨论了循环群的同态、同构，并给出了循环群的自同构群是交换群的结论。
关键词：循环群，子群，同构，自同构群
Study on the Properties of Cyclic Groups
Pan Shuai
(School of Mathematical science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000 )
Abstract
Let G be a group, a G
∈. If every element can be written the form n a where ∈, then the group is a cyclic group. Cyclic groups is an important content in the n Z+
algebra, also a kind of group was nearly researched understand, this subject mainly discussed the cyclic group related properties and application.
The basic knowledge of relevant firstly be introduced in this subject, then drawn out the definitions of circulation and some related properties, discussed the cyclic group and its elements, even the relations between the subgroup, and used the circulation of the foundation of the theory to discuss the circulation about the homomorphism and isomorphism, lastly made us know the conclusions what automorphism group of circulation group is an exchange of group.
Keywords：cyclic group, subgroup, isomorphism, automorphism group
目录
一、引言 (1)
二、群的定义 (1)
三、循环群的若干问题 (7)
1、定义与性质 (7)
2、循环群的性质 (8)
3、循环群的判定 (9)
四、循环群的同态，同构 (11)
五、结论 (14)
参考文献 (14)
致谢 (15)
一、引言
当代科学技术发展的一大特点是，在几乎所有的领域，数学与计算机技术被广泛的应用。近代数学的思想方法、观点和结论正在深入地渗透进自然科学和社会科学的众多理论分支，这是因为各门学科越来越走向定量化，越来越需要用数学来表达其定量和定性的规律，并且运用数学的方法和成就来加速自身的发展。“高科技本质上是一种数学技术"的观念已日益为人们所共识。
代数学是探讨元素的运算体系的，这些元素像数一样，可以用加法或乘法或同时用两者把它们结合起来。体系的性质取决于一些基本定律(如闭合律、结合律、交换律、分配律、零和单位元素、负和逆等)中有哪些成立。人们研究满足某些特定定律的抽象体系，而群是现代代数学中最基本、最重要的代数系，是一个非常活跃的领域，也是目前研究成果最丰富、研究最广泛的代数系。群，简而言之是对某种运算满足闭合律、结合律、单位元素和逆这些定律的代数系。这一代数系的提出，对于当代数学及其它领域有着不可估量的作用，是代数发展史上由古典代数进入近世代数的里程碑。
群论自十九世纪E．Galois创立以来，不仅成为近世代数的重要分支，而且其应用范围已深入到科学技术各个领域。尤其是自然科学的物理、化学和生物的研究中，群论已成为必不可少的强有力的数学工具。
二、群的定义
在研究循环群的性质之前，我们来研究一下什么叫群：
群的第一定义：我们说，一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如
I. G对于这个乘法来说是闭的；
II. 结合律成立：
=
a bc a
b c
()()
对于G的任意三个元,,
a b c都对；
III. 对于G的任意两个元,a b来说，方程
=
=和ya b
ax b
都在G里有解。
例1 G只包含一个元g?乘法gg g G
=?对于这个乘法来说作成一个群。因为I．G是闭的；
II．()()
==；
g gg gg g g
III．gx g
=有解，就是g；
=有解，就是g.
yg g
例2 G是群体整数的集合，G对于普通加法来说作成一个群。因为
I．两个整数相加还是一个整数；
II．()()
++=++；
a b c a b c
III．,a b是整数的时候，a x b
+=有整数解。
+=，y a b
例3 G是所有不等于零的整数的集合，G对于普通乘法来说不作成一个群。因为，固然
I．整数乘整数还是整数；
II．()()
=
a bc a
b c
但32
x=没有整数解，III不能被满足。
但G若是全体不等于零的有理数的集合，那么G对于普通乘法来说作成一个群。
现在假定G是一个群。我们证明G有以下性质。
IV．G里至少存在一个元e，叫做G的一个左单位元，能让
=
ea a
对于G的任何元a都成立。
证明：由III，对于一个固定的元b，
=
yb b
在G里有解。我们任意取一个解，叫它作e：
（1）eb b
=
我们说，对于G的一个任意元a,
=
ea a
成立。由III，bx a
=有解c：
（2）bc a
=
由（1），（2），II，
ea e bc eb c bc a
====
()()
这样，我们证明了e的存在。证完。
V．对于G的每一个元a，在G里至少存在一个元1
a-，叫做a的一个左逆元，能让
-=
1
a a e
成立。这里e 是一个固定的左单位元。
证明 由III ，ya e =可解。证完。
IV ，V 两个性质非常重要，因为它们可以代替群的第一定义里的第三条。 群的第二定义：我们说，一个不空集合G 对于一个叫做乘法的代数运算来说做成一个群，假如
I. G 对于乘法来说是闭的；
II. 结合律成立：
()()a bc ab c =
对于G 的任意三个元,,a b c 都对；
IV. G 里至少存在一个左单位元e,能让
ea a =
对于G 的任何元a 都成立；
V. 对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个左逆元1a -，能让
1a a e -=
我们已经看到，由I ，II ，III 可以推出IV ，V 来。现在我们反过来证明，由I ，II ，IV ，V 也可以推出III 来，这就是说以上两个定义有同等价值。这一点我们分三步来证明。
（i ）一个左逆元一定也是一个右逆元。这句话的意思是：
由 1a a e -=
可得 1aa e -=
因为由V ，G 有元a '，使得
1a a e -'=
所以
11111()()()()a a aa e aa ea a aa -----'===
但
111111()()[()]()a a aa a a a a a ea a a e ------''''====
所以
1aa e -=
（ii ）一个左单位元一定也是一个右单位元。这就是说：
ae a =
对G 的任何元a 成立。
因为 1()aa a ea a -==
11()()aa a a a a ae --==
所以 ae a =
（iii ）现在我们证明，
ax b =
可解。
我们取1x a b -=。由V ，1a -存在；由I ，1a b G -∈。G 的这个元显然是以上方程的解，因为由II ，（i ），同V ，
11()()a a b aa b eb b --===
同样，1ba -是
ya b =
的解。证完。
定义1 若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的乘方，我们就把G 叫做循环群；我们也说，G 是由元a 所生成的，并且用符号
()G a =
来表示。a 叫做G 的一个生成元。
例1 G 是所有整数的集合，我们知道G 对于普通加法来说做成一个群，这 个群我们以下把它叫做整数加群。这个群的全体的元就都是1的乘方，这一点，假如把G 的代数运算不用+而用 来表示，就很容易看出。我们知道1的逆元是-1，假定m 是任意正整数，那么
1111111m m m m =+++==
(1)(1)(1)(1)(1)(1)1m m m m --=-+-++-=---=
这样G 的不等于零的元都是1的乘方。但0是G 的单位元，照定义
001=
例2 G 包含模n 的n 个剩余类，我们要规定一个G 的代数运算，这一次我 们把这个代数运算叫做加法，并用普通表示加法的符号来表示。跟从前一样，我们用[]a 来表示a 这个整数所在的剩余类。我们规定：
（1） [][][]a b a b +=+
我们先要看一看，这样规定的+是不是一种代数运算。我们知道，
假如 []a a '∈，[]b b '∈
那么 [][]a a '=，[][]b b '=
照我们的规定，
（2） [][][]a b a b ''''+=+
（1），（2）两式的左端是一样的，如果它们的右端不一样：
[][]a b a b ''+≠+
那么我们规定的+就不是一种代数运算了。我们说，这种情形不会发生，因为
[][]a a '=，[][]b b '=
就是说 ()a a n '≡，()b b n '≡
也就是说 n a a '-，n b b '-
因此， ()()n a a b b ''-+- ()()n a b a b ''+-+
这就是说 [][]a b a b ''+=+
这样，规定的+是一个G 的代数运算。但
[][][][][][][]()()a b c a b c a b c a b c ++=++=++=++
[][][][][][][]()()a b c a b c a b c a b c ++=++=++=++
这就是说 [][][][][][]()()a b c a b c ++=++
并且 [][][][]00a a a +=+=
[][][][]0a a a a -+=-+=
所以对于这个加法来说，G 作成一个群。这个群叫做模n 的剩余类加群。
我们以前说过，普通我们用0,1,2， ，n-1来作模n 的n 个剩余类的全体代表团。所以普通也用[0],[1],,[1]n - 来表示这n 个剩余类。
这样得到的剩余类加群是循环群，因为[1]显然是G 的一个生成元。G 的每一个元可写成
[],1i i n ≤≤
的样子，这样的一个元
[][1][1][1]i i =+++
我们以上给了两种循环群的例子，这两个例子并不是随意选的，实际上，由于这两个例子我们已经认识了所有的循环群。因为我们有
定理1 假定G 是一个由元a 所生成的循环群，那么G 的构造完全可以由a 的阶来决定：
a 的阶若是无限，那么G 与整数加群同构；
a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与模n 的剩余类加群同构。
证明 第一个情形：a 的阶无限，这时，h k a a =，当而且只当h=k 的时候。 由h=k ，可得h k a a =，显然。假如h k a a =而h k ≠，我们可以假定h>k ，而得到h k a e -=，与a 的阶是无限的假定不合。
这样，
k a k →
是G 与整数加群G 间的一一映射。但
h k h k a a a h k +=→+
所以 G G ?
第二种情形：a 的阶是n ，n a e =，这时，h k a a =，当而且只当n h k -的时候。 假如n h k -，那么h k nq -=，h k nq =+
()h k nq k nq k n q k q k a a a a a a a e a +=====
假如h k a a =，叫h k nq r -=+，01r n ≤≤-，那么
h k nq r nq r r r e a a a a ea a -+=====
由阶的定义，r=0, 也就是说，n h k -。
这样，
[]k a k →
是G 与剩余类加群G 间的一一映射。但
[][][]h k h k a a a h k h k +=→+=+
所以 G G ?
让我们看一看，到现在为止我们对于循环群已经知道了些什么。假如有一个循环群，这个群一定有一个生成元，这个元一定有一个固定的阶。这个阶或是无限大，或是一个正整数n 。由于例1和例2，我们知道，生成元的阶是无限大或是一个给定的正整数n 的循环群是有的。由定理，我们知道，抽象地来看，生成元的阶是无限大的循环群只有一个，生成元的阶是给定的正整数n 的循环群也只
有一个。至于这些循环群的构造，我们也知道的很清楚：
假如G=（a ），a 的阶是无限大，那么
G 的元是 21012,,,,,,a a a a a --
G 的乘法是 h k h k a a a +=
假如G=（a ），a 的阶是n ，那么
G 的元可以写成 0121,,,n a a a a -
G 的乘法是 ik r i k a a a =
这里 ik i k nq r +=+，01ik r n ≤≤-
这样，我们对于循环群的存在问题，数量问题，构造问题都已能解答，循环群已完全在我们的掌握之中。这一节的研讨是近世代数的研讨的一个缩影，在近世代数里，不管是在群论里还是在其他部门里，我们研究一种代数系统就是要解决这一种系统的存在问题，数量问题和构造问题。假如我们对于这三个问题能得到如同我们对于循环群所得到的这样完满的解答，我们的目的就算达到了。
三、循环群的若干问题
1、定义与性质
定义2 设群G 只有有限个元素，称G 为有限群。否则为无限群，有限群中元素叫做G 的阶数，记为||G 。
定义3 设G 是一个群，取定a G ∈，则()S a =在G 中生成的子群H 叫做a 生成的循环子群。记为
()H a =，{|,,}n H x x G x a n Z =∈=∈
特别地，若G H =，则G 称为是一个循环群，a 是G 的一个生成元。
定义3′ 设群G 中每个元可写成G 中某元a 的幂，称G 为循环群。记为()a ，称a 为G 的生成元。
循环群G 明显有以下性质：
命题1 设G 是有限的，则存在最小的整数n ，使得n a e =，其中e 是群G 的
单位元，若G 是无限阶的，则对a 的任两个不同的幂决不相等。
推论1 设G ()a =，n a e =，m a e =那么n 是群G 的阶的充分必要条件是|n m 。 定义4 满足命题1的n 称为元素a 的阶或称为a 的周期，记作||a n =，显然当G 为无限阶时，n =∞。
命题2 设群()G a =，则
（1）当||a =∞时，212(){,,,,}a a a e a a --=……
（2）当||a n =时，21(){,,}n a e a a a -=…是n 阶群
推论2 n 阶群G 是循环群G ?有n 个元素
命题3 有限群G 的每个元x 的阶也是有限的，且为G 的因数，即n m ，其中n 为元x 的阶，m 为群G 的阶。
命题4 循环群一定是交换群。
注：其逆命题不一定成立。例如：设{|1}n n U x C x ===，则n U 关于数的乘
法做成一个n 阶循环群。设则1n n U U ∞
-=∏则U 关于数的乘法是交换群，但U 不是
循环群。
2、循环群的性质
性质1 : 任何循环群都是Abel 群。
性质2 : 所有无限循环群彼此同构，具有给定阶数n 的所有有限循环群也彼此同构。
事实上: 如果任何一个元素K a 使整数K 和它相对应, 则一个以元素a 为生成元的无限循环群即可相互单值地映射到整数加群上; 至于这个映射之为同构映射则由这样一个事实看出, 即元素的幂相乘时, 它们的指数相加。用同样方法可得任何阶循环群到n 次单位根群上的同构映射。
性质3 : 循环群的任一子群仍为循环群。
事实上, 假设()G a =是一个以元素a 为生成元的无限或有限阶循环群, 而H 为G 中不等于E 的子群, 再假定包含在H 中的元素a 的最低正幂为k a , 这时有()k a G ?。
假定H 同时还包含一个元素,0l a l ≠且l 不能被k 所整除, 这时, 如果
()(,),0k l d d =>，d 是k 和l 的最大公约数, 就有两个这样的整数u 和v 与存在, 使得ku Lv d += , 因此H 应包含元素
()()k u l v d a a a =
但因d k <; 所以我们得出的结果和元素k a 的选择相矛盾。因此()k H a =。 性质3 说明:
< 1 >如果某一群G 有子群不是循环群, 那么G 一定不是循环群。
< 2 > 群H 如果是某一循环群的子群, 则它必是循环群。
但若, 群G 的所有真子群均为循环群, G 本身可以不是循环群。如几何毕中著名的Klein 四元群。
性质4 : 若12,,,n H H H 是循环群()G a =的子群, 则它们的交群1n
k k H H == 也是循环群。
性质5 : 循环群的阶数n 是它所有元素阶数的最小公倍数。
事实上, 由Lagrange 定理可知, G 中每个元素的阶数都是n 的约数, 所以n 是它们的公倍数。
设m 为G 中所有元素的阶数的任一公倍数, 则G 中每一个元素的阶都能整除m 。由于有阶为n 的元, 所以n m , 这说明n 是G 中所有元素的阶数的最小公倍数。
以上性质给出了判定循环群的必要条件。下面给出循环群的判定定理。
3、循环群的判定
定理2 群G 除本身和单位子群外, 不再有其它子群, 则它必为循环群。 证明: 设群G 没有真子群, 任取a e G ≠∈ , 由a 生成一个循环群()a G ∈, 但G 没有真子群, 故()G a = , 定理得证。
由Lagrange 定理, 有限群G 的每一元素的阶是G 的阶的因子, 显然有下定理成立。
定理3 设G 是阶大于1 的群, 那么G 除本身和单位子群外没有其它子群充要条件是G 是素数阶的循环群。
证明: “ 必要性”
由假设, 如果a e G ≠∈, 则由a 生成的循环群不是单位子群, 必是整个群G 。
如果, a 是无限阶的, 则2a 生成由元素2j a 组成的真子群, 故a 是有限阶的。
设a 的阶是n , 则n a e =。如果n 不是质数, 那么n uv = , 这里1,1u v >> , 于是n a 的方幂组成v 阶的真子群, 因此n 是质数故G 是质数阶的循环群。反之, 根据Laglange 定理质数阶的群, 不会包含不是单位子群和整个群的子群。
定理4 群G 是循环群的充要条件是, G 的任一子群H 在G 中的指数是有限的, 并且对任何正整数,K G 中最多存在一个指数为K 的子群。
证明: 充分性, 当G 为有限时, 根据指数与阶的关系满足定理6 的条件, 命题成立。
当G 为无限时, 对于任意b e G ≠∈(:())G b 为有限数, 由于G 是无限的可得()b 是无限的, 即b 为无穷阶元素。
下面分两步证明:
①证明G 是Abel 群。
对于任意
,a b G ∈ , 1()()a b a b -?，1()()b a b a -?
自同构映射把生成元变成生成元。
如果1b ab a -= 或1a ba b -= , 则定理得证。
如果11b ab a --= (1)或11a ba b --= (2)
由(1)
2211111()()b ab b ab b ab a a ------====
即22b a ab =再由(2)可得
1ba ab -=
从而有
212()b a b ba bab ab --===
即4b e =矛盾。
②再证G 是循环群,
对于任意a e G ≠∈ , 如果()G a =, 则定理得证, 不妨设()G a ≠, 则
(:())2G a n =≥,
考虑商群/()G G a =, G 的任一子群H 均具有形式/()H a , 其中H 是G 的子群, 并且
()a H G ??, (:)G H =(G :H )
这就是说G 满足定理中所有条件, 从而G 是n 阶循环群,设G 是由b 生成的, 其中b = ()a b 则
()n b a ∈且0,()t n bl a <
设n m b a =, 我们断定(,)1n m =, 不然的话,
(,)1,n m d m dm =>=,11,n dn n n =< 由G 是可换的有
11()m n d m n a b a b e --==
前面我们已证过G 中非单位元都是无穷阶元, 故
m n a b e -= 即1()n m b a a =∈矛盾,
这说明(,)1m n =, 设1mx ny +=, 那么
()x y n nx ny nx my a b a b a a +===
从而设C = x y a b , 则()C a =C 是商群G 的生成元, ()G C =。必要性, 显然(略)
定理5 n 阶Abel 群是循环群, 如果n 是G 中所有元素阶数的最小公倍数。
证明: 设G 是n 阶Abel 群, 则G 中有最大阶数的元a , 设a 的阶为m , 则G 中任意元的阶数都是m 的因数, 即m 是G 中所有元素阶的公倍数, 由题设n 是最小公倍数, 必有n m ,但G 是n 阶的, 故n m =这就证明了G 中有n 阶元。
四、循环群的同态，同构
定义5 设?是群G 到G 的一个映射，如果G 中元素,a b ；有
()()()a b a b ???=
则称?是G 到G 的一个同态映射。
定义6 设(,)G ?,(,)G 是两个群，若存在一个两群之间的一一映射f ，并且保持运算
()()()f a b f a f b ?=
对任意的,a b G ∈，则说f 是G 到G 的一个同构映射，此时，称这两个群是同构的，记为
G G ?
我们看几个例子：
例1 (,)G Z =+是一个循环群，也用Z +表示(,)Z +，由于对任意自然数n ，均有0n ≠，故生成元的阶是无限的。
例2 无限循环群G 有且只有两个生成元。
证明：因为(,)G Z ?+，只证(,)Z +有两个生成元即可。显然±1是（Z ，+)两个生成元。因任意k Z +∈，均有
()(1)k k =±±
除此之外，若还有不同于1±的生成元a ，则1na =这与1a ≠±矛盾。
推论1 设()G a =是一个m 阶循环群，则r a 是()G a =生成元?r a m =。 定义7 群G 关于其正规子群H 的陪集做成的群/G H 叫做G 关于H 的商群。
定理6 每个循环群都与无限循环群的一个商群同构。 证明：设()G b =是任意一个循环群，而()G a =是一个无限循环群，则易知
():k k a b k Z ?→∈
是群G 到G 的一个同态满射，由同态基本定理知/ker G G ??，即G 与无限循环群G 的一个商群同构。
定义8 群G 到自身的同构映射，称为G 的自同构映射。
定理7 （1）无限循环群的自同构只有两个；
（2）n 阶循环群的自同构有()n ?个，即小于n 且与n 互素的正整数
的个数。
证明：设σ为循环群()a 的任一自同构，并令
()m a b a σ==，()s a a σ=
则
()sm m a a σ=
由于σ是自同构，故
()s
m s a a b == 从而
()()()()a b a σ==
即在同构映射下生成元的象仍为生成元。反之，设,a b 是()a 的两个生成元，则易知
:s s a b ?→
是()a 的一个自同构。因此，()a 的生成元完全决定了()a 的自同构，()a 有多少个生成元，它就有多少个自同构：
若a =∞，则()a 有2个生成元，从而有两个自同构；
若a n =，则()a 有()n ?个生成元，从而有()n ?个自同构
定理8 循环群的自同构群是交换群。
证明：设()G a =是循环群，,στ是G 的自同构，且
(),()r s a a a a στ==（r ，s 是整数）
则由于,στ是群G 的自同构，故
()()()()()s rs a a a a στστσ===，()()()()()r a a a τστστ==
从而
()()()()a a σττσ=
又由于a 是循环群G 的生成元，故由此可知，对任意的x G ∈，均有
()()()()x x σττσ=
从而σττσ=，即循环群的自同构是交换群。
结论
本文专题研究循环群一些性质，在前人得到的部分成果的基础上，吸收国内外学者成功的研究思路和研究方法，对前人的部分成果有了创新和发展，研究了有限群部分元素乘积的问题。
人们早已成功地把循环群的存在问题、数量问题、子群的构造问题研究清楚，对于其特殊性质已有了许多美好的结论。但是，更进一步地在交换群，甚至是非交换群的领域研究相对稀少，是一个很值得探讨和研究的热点，因此，进一步要做的工作还有很多：
1．进一步加强基础知识，特别是群论、数论、集合论和加法理论等知识的学习和研究，掌握更多的研究方法和手段。
2．在非循环的有限交换群领域深入研究其子集的零和问题以及零和子集的下确界等热点问题。
3．在更多类型的群罩探讨和超差集合的存在性，深入研究超差集合势的长度和下确界等热点问题。
参考文献：
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致谢
通过这一阶段的努力，我的毕业论文《循环群的性质研究》终于完成了，这意味着大学生活即将结束。在大学阶段，我的学习上和思想都受益匪浅，这除了自身的努力之外，与各位老师、同学和朋友的关心、支持是分不开的。
在本论文的写作过程中，我的导师张波老师倾注了大量的心血，从选题到开题报告，从写作到提纲，到一遍一遍的指出每稿中的问题，循循善诱。在此我表示衷心的感谢，同时，数学科学学院机房的硬件设施和图书馆电子资源，为论文的课堂提供了良好的条件，另外，本校学生对本论文调查研究的大力配合，在此一并表示衷心的感谢。
连续自然数立方和的公式 “图形法“ 早在公元100年前后，毕达哥拉斯学派的继承人尼科马霍斯，在他的著作《算术入门》中就曾经用非 常简单的方法推导过这个公式。 奇数列1，3，5，7，9，11，13，…有一个性质，很容易验证： 请你自上而下仔细观察这一系列等式的左端： 第1个等式左端，结束于第1个奇数； 第2个等式左端，结束于第3个奇数； 第3个等式左端，结束于第6个奇数； 第4个等式左端，结束于第10个奇数； 第5个等式左端，结束于第15个奇数； …… 结果发现，这些奇数的序数1，3，6，10，15，…原来是“三角形数”，它的每一项等于从1开始的连 续自然数的和。第1项是1，第2项是1＋2＝3，第3项是1＋2＋3＝6，第4项是1＋2＋3＋4＝10，第5 项是1＋2＋3＋4＋5＝15，……第n项是1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)/2。即，第n个等式左端，结束于第n(n ＋1)/2个奇数。 然后，对上面这一系列等式的左右两端，分别求和： 右端是连续自然数的立方和13＋23＋33＋…＋n3。 左端是连续奇数的和。我们知道，求连续奇数的和，求到第几个奇数，就等于第几个奇数的平方。现在，求到第n(n＋1)/2个奇数，当然等于[n(n＋1)/2]2。 这样就得到求连续自然数立方和的公式： 这种方法思路清晰论证简单。尼科马霍斯之所以能够想到这个方法，显然跟毕达哥拉斯学派对图形数的 宠爱有关。图形数是自然数的形象化，自然数是众数之源，自然数真是一个取之不尽用之不竭的宝藏。
“列表法” 这里再介绍一种列表法，同样可以推出这个公式，并且更简单，更好理解。 第一步：列一个表，在第一行填入一个因数1、2、3、4、5，在第一列填入另一个因数1、2、3、4、5。 第二步：在右下方的空格里分别填入对应的两个因数的积。 显然，所有乘积的和等于 这5块依次是：
整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=? ),(都是正整数）（n m a a mn n m = )()(都是正整数n b a ab n n n = 2 2))((b a b a b a -=-+ 2 222)(b ab a b a ++=+ 2 222)(b ab a b a +-=- 整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数 【注意】（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。 （2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数 相同。 （3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要 注意单项式的符号。 （4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 （5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。 （6） ),0(1 );0(10为正整数p a a a a a p p ≠= ≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得 的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。 一、选择（每题2分，共24分）
1．下列计算正确的是（）． A．2x2·3x3=6x3B．2x2+3x3=5x5 C．（－3x2）·（－3x2）=9x5D．5 4 x n· 2 5 x m= 1 2 x m+n 2．一个多项式加上3y2－2y－5得到多项式5y3－4y－6，则原来的多项式为（）．A．5y3+3y2+2y－1 B．5y3－3y2－2y－6 C．5y3+3y2－2y－1 D．5y3－3y2－2y－1 3．下列运算正确的是（）． A．a2·a3=a5B．（a2）3=a5C．a6÷a2=a3D．a6－a2=a4 4．下列运算中正确的是（）． A．1 2 a+ 1 3 a= 1 5 a B．3a2+2a3=5a5C．3x2y+4yx2=7 D．－mn+mn=0 二、填空（每题2分，共28分） 6．－xy2的系数是______，次数是_______． 8．x_______=x n+1；（m+n）（______）=n2－m2；（a2）3·（a3）2=______． 9．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时，?若坐飞机飞行这么远的距离需_________． 10．a2+b2+________=（a+b）2a2+b2+_______=（a－b）2 （a－b）2+______=（a+b）2 11．若x2－3x+a是完全平方式，则a=_______． 12．多项式5x2－7x－3是____次_______项式． 三、计算（每题3分，共24分）
第二节 整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完 全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |， 并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)； (2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若 反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。更一般，若 n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++ 。或着i b a |，则∑=n i i i b c a 1|其中 n i Z c i ,,2,1, =∈； (3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=； (4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |； (5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是 质数，若n a p |，则a p |； (6)(带余除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1-b 。若0=r ，即为 a 被 b 整除的情形； 易知，带余除法中的商实际上为??????b a （不超过b a 的最大整数），而带余除法的核心是关于余数r 的不等式：b r <≤0。证明a b |的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积，在 较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个
学员姓名 年 级： 学科教师： 辅导科目： 授课日期 XX 年XX 月 XX 日 时 间 A / B / C / D / E / F 段 主 题 整数的运算性质 教学内容 1 d\7 施学习目标 1理解减法和除法运算性质，能运用减法和除法运算性质使一些计算更简便; 2.理解除法商不变性质，能运用商不变性质使一些计算更简便. 教法说明：上次课中的预习思考设置了三种巧算的方法，这里不需要讲解，本次课中的例题 对这三类巧算试题进行重点讲解. 、直接写出答案，看谁又快又准. 630 - 70 = 420 - 21 = 4X 23X 25 = 630 - 30 - 3 = 50 X 12 = 125 X 6X 8= 125X 16 = 24 X 25 = 350 - 25-2 = 35 - 7 X 5 = 640 - 32 = 42 X 7 - 42 = 教学设计：本部分设计的目的是想通过以上简单的题组训练，可以设置为学生相互间的 PK ，并检查学生对乘 除法运算中的巧算掌握如何。教师可以让学生分别分享下各自的计算方法，最后对每一题都整理出一个相对 简单的方法，重点是对乘除法运算中的运算律进行总结归纳，强调巧算的重要性。 参考答案：略 （此环节设计时间在 10—15分钟） 1到例题3分别
黃話精讲提升 (此环节设计时间在50—60分钟) 例题1:递等式计算(1) 687 —259—141 (2) 376 —( 176 + 27) 教法说明：首先让学生回顾上次课的预习思考第一小题，让学生总结下减法运算的性质：一个数连续减去两 个数，可以先把两个减数加起来，再从被减数里减去，用字母表示a-b-c = a- (b?c)。一个数减去两个数的和，可以从这个数里依次减去和中的每一个加数，用字母表示a-(b?c)=a-b-c 参考答案：(1)687—259—141 ( 2)376 —( 176+ 27) =687 —( 259 + 141) = 376 —176 —27 =687 —400 = 200—27 =287 =173 试一试：递等式计算(1) 765—254 + 135 —246 (2) 4509 —( 428 + 509)—572 参考答案：(1) 300; (2) 3000 例题 2 :计算(1) 6500- 25- 4 (2) 3700-( 25X 37) 教法说明：首先让学生回顾上次课的预习思考第二小题，让学生总结下除法运算的性质：一个数连续除以两个数，可以先把两个数乘起来，再去除被除数，用字母表示为：a“b“c = a“(b c)；一个数除以两个数的 积，就等于这个数连续除以积里的两个因数，用字母表示为: 参考答案：(1) 6500-25 - 4 =6500-( 25 X 4) =6500 - 100 =65 试一试：计算(1) 78000 - 8 - 125 参考答案：(1) 78000 - 8- 125 a" (b c) = a~- b-' c (2) 3700 -( 25 X 37) =3700- 25 - 37 =3700- 37 - 25 =100 —25= 4 (2) 12000- 48 (2) 12000- 48
初中数学竞赛：连续正整数的性质 【内容提要】 一.两个连续正整数 1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。 2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。 3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。 4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40， 111＝55＋56。 二.计算连续正整数的个数 例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是 99999－10000＋1＝90000（个） 1. n 位数的个数一般可表示为 9×10n-1(n 为正整数，100 ＝1) 例如一位正整数从1到9共9个（9×100）， 二位数从10到99共90个 （9×101） 三位数从100到999共900个（9×102）…… 2.连续正整数从n 到m 的个 数是 m －n+1 把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的连续数的个数的计算，举例如下： 3. 从13到49的连续奇数的个数是 2 1349－＋1＝19 从13到49的连续偶数的个数是2 1448－＋1＝18 4. 从13到49能被3整除的正整数的个数是3 1548－＋1＝12 从13到49的正整数中除以3余1的个数是31349－＋1＝13 你能从中找到计算规律吗？ 三.计算连续正整数的和 1. 1＋2＋3＋……＋n ＝（1＋n ）2 n （n 是正整数）
连续正整数从a 到b 的和 记作(a+b)2 1+-a b 把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的和，举例如下： 2. 11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×2 23＝759 （∵从11到55有奇数21155－＋1＝23个） 3. 11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）× 215＝480 （∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共 31153－＋1＝15） 四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和 1. 123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5） ＝9×5＝45 2. 1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98）， （2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1 ∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901 五. 连续正整数的积 从1开始的n 个正整数的积1×2×3×…×n 记作n ！，读作n 的阶乘 1. n 个连续正整数的积能被n ！整除， 如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除； a （a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。 2. n ！含某因质数的个数。举例如下： ① 1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个 其中2，4，6，8，10都含质因数2 暂各计1个，共5个 其中4＝22 含两个质因数2 增加了1个 其中8＝23 含三个质因数2 再增加2个 ② 1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法 5，10，15，…125，130 均含质因数5 暂各计1个，共26个 其中25，50，75，100均含52有两个5 各加1个， 共4个 其中125＝53 含三个5 再增加2个
§4.2 闭区间上连续函数的性质 一、 性质的证明 定理1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即?M >0,∈?x [a,b],有|)(x f |≤M . 证法：由已知条件得到函数)(x f 在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数 )(x f 在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从 而得到M >0. 证明：已知函数)(x f 在[a,b]连续，根据连续定义， ∈?a [a,b]，取0ε=1，0δ?>0,∈?x (00,δδ+-a a )?[a,b],有 |)(x f )(a f -|<1.从而∈?x (00,δδ+-a a )?[a,b]有 |)(x f |≤|)(x f )(a f -|+|)(|a f <|)(|a f +1 即∈?a [a,b]，函数)(x f 在开区间(00,δδ+-a a )有界。显然开区间集 { (00,δδ+-a a )|∈a [a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n 个开区间 {（k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b] }，k=1,2,3,…,n 也覆盖闭区间[a,b] ，且 ∈?x （k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b]，有|)(x f |≤|)(|k a f +1，k=1,2,3,…,n 取M =max{|)(||,......,)(||,)(|21n a f a f a f }+1. 于是∈?x [a,b]，∈?i {1，2,…，n},且∈x （i i a i a i a a δδ+-,）?[a,b]， 有|)(x f |≤|)(|i a f +1≤M 定理2（最值性）：若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，则函数()f x 在区间
运算法则 1. 整数加法计算法则： 相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 2. 整数减法计算法则： 相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。 3. 整数乘法计算法则： 先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。 4. 整数除法计算法则： 先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 5. 小数乘法法则： 先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 6. 除数是整数的小数除法计算法则： 先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 7. 除数是小数的除法计算法则： 先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 8. 同分母分数加减法计算方法: 同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。 9. 异分母分数加减法计算方法: 先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 10. 带分数加减法的计算方法: 整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。 11. 分数乘法的计算法则: 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 12. 分数除法的计算法则: 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
教学准备 1. 教学目标 1、通过举例、类比，归纳得出减法、除法的运算性质。 2、会运用减法、除法运算性质，使一些计算简便。 3、初步掌握运用观察、猜想、验证等方法来发现减法、除法的性质。培养学生分析、概括的能力。 2. 教学重点/难点 理解和归纳减法、除法的运算性质，并运用性质进行简算。 灵活运用减法、除法运算性质简便运算。 3. 教学用具 课件 4. 标签 教学过程 一、复习引入 递等式计算： 354＋79－54 4800×7÷4 小结：加减法或乘除法的同级运算中，可以交换运算的顺序来进行简便计算。 354－46－54 4800÷25÷4 师：与前面两题比较，有什么不同？ 尝试计算 交流算法，可以怎样简便运算？ （每题均有2种巧算方法） 师：今天我们就来学习一下减法和除法的运算性质。
（出示课题：减法、除法的运算性质。） 一、探索交流，学习新知 探究一：减法的性质 一、初步感知减法的运算性质 1、出示例题 师：我们来看一个生活中的问题，小丁丁在这个假期中，选择了自己喜欢的书阅读。 出示：小丁丁看一本书，共231页。第一天看了21页，第二天看了19页，还剩多少页没看？ 2、交流 师：要求这个问题可以怎样思考？怎样列式呢？ 出示： A还剩下的页数=这本书的总页数－第一天看的页数－第二天看的页数 算式：231－21－19 B还剩下的页数=这本书的总页数－已经看过的页数 算式：231－（21+19） 3、计算结果： 板书：231－21－19 231－（21+19） ＝210－19 =231－40 ＝191（页）=191（页） 4、观察比较 观察这两个算式，算法上有什么不同？你有什么发现？ 小结：这两个算式含义不同，……………，而他们的计算结果却是相同的。（师演示媒体：231－21－19＝231－（21＋19）） 5、枚举、归纳
初中数学竞赛辅导资料（24） 连续正整数的性质 甲内容提要 一.两个连续正整数 1.两个连续正整数一定是互质的，其商是既约分数。 2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。 3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。 4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40， 111＝55＋56。 二.计算连续正整数的个数 例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是99999－10000＋1＝90000（个） 1. n位数的个数一般可表示为9×10n-1(n为正整数，100＝1) 例如一位正整数从1到9共9个（9×100）， 二位数从10到99共90个（9×101） 三位数从100到999共900个（9×102）…… 2.连续正整数从n 到m的个数是m－n+1 把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下： 3.从13到49的连续奇数的个数是＋1＝19 从13到49的连续偶数的个数是＋1＝18 4.从13到49能被3整除的正整数的个数是＋1＝12 从13到49的正整数中除以3余1的个数是＋1＝13 你能从中找到计算规律吗？ 三.计算连续正整数的和 1.1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）（n是正整数） 连续正整数从a到b的和记作(a+b) 把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：2.11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×＝759（∵从11到55有奇数＋1 ＝23个） 3.11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×＝480（∵从11到53正整数中 除以3余2的数的个数共＋1＝15） 四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和
第17、18课时： 【教学目的】 1、 掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质； 2、 熟练掌握零点定理及其应用。 【教学重点】 1、介值性定理及其应用； 2、零点定理及其应用。 【教学难点】 介值性定理及其应用 §1. 10 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值与最小值 最大值与最小值: 对于在区间I 上有定义的函数f (x ), 如果有x 0∈I , 使得对于任一x ∈I 都有 f (x )≤f (x 0 ) (f (x )≥f (x 0 )), 则称f (x 0 )是函数f (x )在区间I 上的最大值（最小值）. 例如, 函数f (x )=1+sin x 在区间[0, 2π]上有最大值2和最小值0. 又如, 函数f (x )=sgn x 在区间(-∞, +∞)内有最大值 1和最小值-1. 在开区间(0, +∞)内, sgn x 的最大值和最小值都是1. 但函数f (x )=x 在开区间(a , b )内既无最大值又无最小值. 定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值. 定理1说明, 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 那么至少有一点ξ1∈[a , b ], 使f (ξ1)是f (x )在[a , b ]上的最大值, 又至少有一点ξ 2∈[a , b ], 使f (ξ 2)是f (x )在[a , b ]上的最小值. 注意: 如果函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值. 例: 在开区间(a , b ) 考察函数y =x . 又如, 如图所示的函数在闭区间[0, 2]上无最大值和最小值. ?????≤<+-=<≤+-==2 1 31 110 1)(x x x x x x f y . 定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 二、零点定理与介值定理 零点: 如果x 0 使f (x 0 )=0, 则x 0 称为函数f (x )的零点. 定理3（零点定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且f (a )与f (b )异号, 那么在开区间(a , b )内至少有一点ξ 使f (ξ)=0. 定理4（介值定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值 f (a )=A 及f (b )=B ,
浅论闭区间上连续函数的性质 中山大学数学与应用数学04级数统基地班黎俊彬 摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨，从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性，最值定理,介值定理和一致连续性定理，并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比. 关键字：闭区间连续函数实数的连续性和闭区间的紧致性 实数的连续性和闭区间的紧致性，使闭区间上的连续函数有丰富的性质，而且可由实数的各等价命题推出?本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证?在论证过程屮，严格地不出现微分学和积分学的内容，只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手. 从直观上理解，连续函数的图像是一条连续不断的曲线，这对于一?般初等函数來说都是成立的?而闭区间b"］上的连续函数/（X）的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点（67,/?））,（/>,/⑹X-8 v ./（Q），/⑹V +8）上形成一条封闭的曲线，即与直线x = a,x = b.y =0形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确，但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质，某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的，的确存在一些连续函数,其图像并不能作岀来?直观认识，在科学里面只是充当一个开路先锋的角色，到最后，一定要用严格的推理来证明. 先看何谓闭区间上的连续函数?连续的定义首先是点连续的定义. 称/（X）在兀=兀0连续，如果lim /（%） = /（x0）, 2X（） B|j/（x）4x o附近有定义W > 0,? > 0,当X G u（x°0）时有|/（x）-/（x°）| < 称/⑴在兀=兀0左连续，如果w > o,? > 0,当兀w （兀0 - 兀0 ］时有（兀）-f（兀0 ）| < ￡? 称 f（x）在兀=%右连续，如果>0,3^ >0,当x w ［x0,x0 +5）时有|/（兀）-/（%）| < 若函数该点的极限值不等于函数值，经验告诉我们函数在该点必定断开，连续的定义与我们的直观认识相符合?而若函数在［G,b］连续,是指函数在区间的每点都连续，在左端点右连续,右端点左连续.下面讨论闭区间连续函数的相关性质, 并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质.
初中数学竞赛辅导资料（初二8） 连续正整数的性质 甲内容提要 一.两个连续正整数 1.两个连续正整数一定是互质的，其商是既约分数。 2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。 3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。 4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40，111＝55＋56。 二.计算连续正整数的个数 例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是99999－10000＋1＝90000（个） 1. n位数的个数一般可表示为9×10n-1(n为正整数，100＝1 例如一位正整数从1到9共9个（9×100）， 二位数从10到99共90个（9×101） 三位数从100到999共900个（9×102）…… 2.连续正整数从n 到m的个数是m－n+1 把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下： 3.从13到49的连续奇数的个数是＋1＝19 从13到49的连续偶数的个数是＋1＝18
4. 从13到49能被3整除的正整数的个数是＋1＝12 从13到49的正整数中除以3余1的个数是＋1＝13 你能从中找到计算规律吗？ 三.计算连续正整数的和 1. 1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）（n是正整数） 连续正整数从a到b的和记作(a+b 把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下： 2. 11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×＝759（∵从11到55有奇数＋1＝23个） 3. 11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×＝480（∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共＋1＝15） 四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和 1. 123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5） ＝9×5＝45 2. 1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98）， （2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1 ∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901 五. 连续正整数的积 从1开始的n个正整数的积1×2×3×…×n记作n！，读作n的阶乘
1．理解减法和除法运算性质，能运用减法和除法运算性质使一些计算更简便； 2．理解除法商不变性质，能运用商不变性质使一些计算更简便． （此环节设计时间在10—15分钟） 教法说明：上次课中的预习思考设置了三种巧算的方法，这里不需要讲解，本次课中的例题1到例题3分别对这三类巧算试题进行重点讲解． 一、直接写出答案，看谁又快又准． 630÷70＝420÷21＝4×23×25＝ 630÷30÷3＝50×12＝125×6×8＝ 125×16＝24×25＝350÷25÷2＝ 35÷7×5＝640÷32＝42×7÷42＝ 教学设计：本部分设计的目的是想通过以上简单的题组训练，可以设置为学生相互间的PK，并检查学生对乘除法运算中的巧算掌握如何。教师可以让学生分别分享下各自的计算方法，最后对每一题都整理出一个相对简单的方法，重点是对乘除法运算中的运算律进行总结归纳，强调巧算的重要性。 参考答案：略
（此环节设计时间在50—60分钟） 例题1：递等式计算 （1）687—259—141 （2）376—（176＋27） 教法说明：首先让学生回顾上次课的预习思考第一小题，让学生总结下减法运算的性质：一个数连续减去两 个数，可以先把两个减数加起来，再从被减数里减去，用字母表示()a b c a b c --=-+。一个数减去两个数 的和，可以从这个数里依次减去和中的每一个加数，用字母表示()a b c a b c -+=-- 参考答案：（1）687—259—141 （2）376—（176＋27） ＝687—（259＋141） ＝376—176—27 ＝687—400 ＝200—27 ＝287 ＝173 试一试：递等式计算 （1）765—254＋135—246 （2）4509—（428＋509）—572 参考答案：（1）300； （2）3000 例题2：计算 （1）6500÷25÷4 （2）3700÷（25×37） 教法说明：首先让学生回顾上次课的预习思考第二小题，让学生总结下除法运算的性质：一个数连续除以两个数，可以先把两个数乘起来，再去除被除数，用字母表示为：()a b c a b c ÷÷=÷?；一个数除以两个数的积，就等于这个数连续除以积里的两个因数，用字母表示为：()a b c a b c ÷?=÷÷ 参考答案：（1）6500÷25÷4 （2）3700÷（25×37） ＝6500÷（25×4） ＝3700÷25÷37 ＝6500÷100 ＝3700÷37÷25 ＝65 ＝100÷25＝4
第20讲 连续正整数的性质 一.两个连续正整数 1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。 2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。 3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。 4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。 例如3＝1＋2，79＝39＋40， 111＝55＋56。 二.计算连续正整数的个数 例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是 99999 －10000＋1＝90000（个） 1. n 位数的个数一般可表示为 9×10n-1(n 为正整数，100＝1) 例如一位正整数从1到9共9个（9×100）， 二位数从10到99共90个 （9×101） 三位数从100到999共900个（9×102）…… 2.连续正整数从n 到m 的个 数是 m －n+1 把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的连续数的个数的计算，举例如下： 3. 从13到49的连续奇数的个数是 2 1349－＋1＝19 从13到49的连续偶数的个数是2 1448－＋1＝18 4. 从13到49能被3整除的正整数的个数是3 1548－＋1＝12 从13到49的正整数中除以3余1的个数是31349－＋1＝13 你能从中找到计算规律吗？ 三.计算连续正整数的和 1. 1＋2＋3＋……＋n ＝（1＋n ） 2 n （n 是正整数） 连续正整数从a 到b 的和 记作(a+b)21+-a b 把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的和，举例如下：
2. 11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）× 2 23＝759 （从11到55有奇数21155－＋1＝23个） 3. 11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×2 15＝480 （∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共31153－＋1＝15） 四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和 1. 123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）＝9×5＝45 2. 1234...99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97） (48) 51），（49，50）共有50个18，加上100中的1 ∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901 五. 连续正整数的积 从1开始的n 个正整数的积1×2×3×…×n 记作n ！，读作n 的阶乘 1. n 个连续正整数的积能被n ！整除， 如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除； a （a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。 2. n ！含某因质数的个数。举例如下： ① 1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个 其中2，4，6，8，10都含质因数2 暂各计1个，共5个 其中4＝22 含两个质因数2 增加了1个 其中8＝23 含三个质因数2 再增加2个 ② 1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法 5，10，15，…125，130 均含质因数5 暂各计1个，共26个 其中25，50，75，100均含52有两个5 各加1个， 共4个 其中125＝53 含三个5 再增加2个 ∴积中含质因数5的个数是32 例1. 写出和等于100的连续正整数 解：∵100＝2×50＝4×25＝5×20＝10×10 其中2个50和10个10都不能写成连续正整数 而4个25：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16 得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。 5个20可由20，19＋21，18＋22
整数的运算性质——减法运算性质 教学设计： 四年级第二学期“整数的运算性质——减法运算性质”的学习是建立在 学生已初步掌握和理解整数的四则混合运算的基础上的教学。重点在于让学 生理解一个数连续减去两个数，可以先把两个减数加起来，再从被减数里减 去的计算方法，以使学生较为灵活地对某些计算采用变式，使计算达到简便 的效果，为学生合理计算提供理论依据，为进一步学习小数的四则混合运算 打下基础。 教材力求改变学生的学习方式，引导学生利用身边的数学工具（计算器） 进行主动探究，通过不同方法的比较，让学生认识到减法的运算性质。在学 生独立思考、合作交流的基础上，通过探究帮助学生把多种分散、局部性的 认识，进行聚类、清晰化的处理，形成相对完整的、丰富的概括、提炼和抽 象出“减法运算性质”的结论表述和字母表达式，增强学生对减法运算性质 的特点把握，增强学生对运用减法运算性质进行巧算所需前提条件的敏感度，并帮助学生初步形成系统而科学的研究的意识和能力。 教学目标： 知识与技能：1、能理解减法的运算性质。 2、能运用减法的运算性质，使计算简便。 过程与方法：1、让学生经历自主探索的过程，培养学生理性的思考 2、经历使用计算器参与探索计算过程，感受计算工具的功能。 3、培养学生用数学语言进行交流。 4、发展学生思维的灵活性，培养学生观察、推理、概括的能力。情感、态度与价值观：1、引导学生积极参与探索的过程。 2、培养学生实事求是、独立思考的习惯。 教学重点：减法运算性质的探索过程。 教学难点：减法运算性质抽象的概括。 教学准备：教学平台、多媒体课件，PPT。
教学设计： 一、引入 1、出示多媒体：小丁丁看一本书，共231页，第一天看了19页，第二天看了21页，剩下多少页没有看？ 2、你获得了哪些信息？ 二、探究新知 1、引导学生自主思考，解决问题。 2、通常两种情况： 231-19-21 231-（19+21） =231-21-19 =231-20 =210-19 =191 =191 3、分别说一说这两种方法的解题思路。 生：反馈解题思路。 4、观察这两种算法，有何相同之处和不同之处？ 生：数字和计算结果相同；运算符号和运算顺序不同。 这两个算式之间可以用什么来连接？等号 板书：231-19-21=231-（19+21） 5、像这样的情况是数字上的一次巧合，还是藏着怎样的规律呢？请小组间尝试再举一些这样的例子，用计算器算出结果并记录在书P6的表格中。 6、小组间举例。 7、你们发现什么规律，尝试用数学的语言进行概括： 师加以提炼：一个数连续减去两个数，可以先把两个减数加起来，再从被减数里减去。 板书：减法的运算性质。 8、尝试用字母或符号来表示减法的运算性质。 a-b-c=a-(b+c) （板书）★-?-■=★-（?+■） 三、巩固练习 （一）基础题
第21讲 正整数简单性质的复习 一. 连续正整数 1. n 位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n 位数的个数共__________.(n 是正整数) 练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个. 2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数； 100110021003……19881989是_______位数. 3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n 位数有_______个. 4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个； 从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个. 2. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×2 n . 把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和. 练习：5.计算2+4+6+……+100=__________. 6. 1+3+5+……+99=____________. 7. 5+10+15+……+100=_________. 8. 1+4+7+……+100=____________. 9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______ 10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________. 11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________. 3. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和 整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45； 1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901. 练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________. 13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止： 位 198011121234567891这个数用9除的余数是__________. 14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中： ① 它是一个________位数；
2015年小学数学沪教版四年级下册整数的运算性质 1．44×25-440（简便运算） 2．运用乘法公式进行简便运算：899×901+1 3．简便运算。 32×25 63+418+137+582 4．简便运算。 201×24 39+144+61 5．脱式计算，能简便运算的要简便运算。 774÷（27+16） 27×4×5 6．简便运算。 857-318-182 630÷7÷9 7．简便运算。 670×50×2 264+198 8．简便运算。 25×36 420÷35 9．简便运算。 452-299 47+56+53+34 10．简便运算。 865-245-155 566-87-112 11．简便运算。 97×47+3×47 24×125 12．简便运算。 5600÷25÷4 25×678×4 13．简便运算。 25×125×32 756+98 14．简便运算。 367+189-167 550-160-140 15．简便运算。 258+83+17 421-202
754-（154+40） 376+199 17．简便运算。 575-298 25×36 18．简便运算。 21×8×5 25×32×125 19．简便运算。 101×93 1230-347-453 20．简便运算。 25×39+25 38×65-55×38 21．简便运算。 87×8-8×12+25×8 25×32×125 22．计算下面各题，能简算的要简便运算。425+636+575+214 125×3×80 23．计算下面各题，能简算的要简便运算。 5×44×25 123×67-123+123×34 24．简便运算。 1874-298= 762+99= 25．简便运算。 789-101 28×25 26．简便运算。 125×32 810÷45 27．简便运算。 480÷6÷8 72×8×5 28．计算35×98的最简便的运算方法是（）A．35×98+2 B．35×（100-2） C．（40-5）×（100-2） 29．276-198的简便运算方法是（）。A．276-200+2 B．276-200-2 C．276+200-2 30．125×56的简便运算是（）。 A．125×50+6 B．125×8×7 C．125×8+7
小学数学知识点：完全数的七个特有性质 小学数学知识点：完全数的七个特有性质 完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和(即因子函数)，恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为"完全数"。 特有性质1.所有的完全数都是三角形数 例如: 6=1+2+3 28=1+2+3+...+6+7 496=1+2+3+...+30+31 8128=1+2+3…+126+127 特有性质2.所有的完全数的倒数都是调和数 例如: 1/1+1/2+1/3+1/6=2 1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2 1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496= 2 特有性质3.可以表示成连续奇立方数之和 除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。例如: 28=1³+3^3
496=1^3+3^3+5^3+7^3 8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3 33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3 特有性质4.都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和不但如此，而且它们的数量为连续质数。例如: 6=2^1+2^2 28=2^2+2^3+2^4 496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8 8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12 33550336=2^12+2^13+……+2^24 特有性质5.完全数都是以6或8结尾 如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。(科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。) 特有性质6.各位数字辗转式相加个位数是1 除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。 例如: 28:2+8=10，1+0=1 496:4+9+6=19，1+9=10，1+0=1 8128:8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=1 33550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1 特有性质7.它们被3除余1、被9除余1、1/2被27除余