上海市行知中学高二下第一次月考
一、填空题（1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分，共 54 分）
1、已知点 A ( 2, 3) ， B (0, 5) ，且AD = DB ,则点 D 的坐标是 ；
2、将参数方程12cos 2sin x y θ
θ=+??=?
（θ 为参数）化为普通方程，所得方程是 ；
3、已知圆锥的母线与底面所成角为 45°，则圆锥的侧面积与底面积的比值为 ；
4、已知双曲线22
145
x y -=，则以双曲线的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点的椭圆方程
为 ；
5的平面截球所得的圆的面积为 π ，该截面圆周上有两点 A 、B ，且| AB |= 2 ，则 A 、B 两点的球面距离为 ；
6 、已知正四棱锥的底面积为 4cm2 ，体积为 4cm3 ，设它侧面上的斜高与底面所成角大小为 θ ，则 sin θ 的值是 ；
7、已知 2 + ai ，b + i （其中 a, b ∈ R ）是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，则a bi
p qi
++的值为 ；
8、圆柱的轴截面是边长为 5cm 的正方形 ABCD ，一只蚂蚁沿着圆柱的侧面从点 A 爬到点 C ，爬过的最短路程长度是 cm ；
9、已知△ABC 的面积为 1，在△ABC 所在平面内有两点 P 、Q ，满足0,
PA PC +=,QA QB QC BC ++=则四边形BCPQ 的面积为 ；
10、如图， △ABC 中， ∠ACB = 90? , ∠ABC = 30? , BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆 心 O 在边 BC 上，半圆与 AC 、AB 分别相切于点 C 、M ，与 BC 交于点 N ），将其绕直线 BC 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体体积为 ；
11、对n N *∈ ，设抛物线()2
221y n x =+ ，过()2,0P n 任作直线 l 与抛物线交与 A n ， B n 两点，则
数列2(1)n n OA OB n ??????+????
的前 n 项和为 ；
12、在 xOy 平面上，将两个半圆弧 ( x - 1)2 + y2 = 1( x ≥ 1) 和 ( x - 3)2 + y2 = 1( x ≥ 3) ，两条 直线 y = 1 和 y = -1 围成的封闭图形记为 D ，如图中阴影部分。记 D 绕 y 轴旋转一周而成
的几何体为 Ω ，过 (0, y ) (| y |≤ 1) 作 Ω 的水平截面，所得截面面积为 4π21y -+ 8π ，试 用祖暅原理，一个平放的圆柱和一个长方体，得出 Ω 的体积值为 ；
二、选择题（每题 5 分，共 20 分）
13、已知直线 a 、 b 都在平面α 外，以下假命题的是（ ）
A 、 a ∥b ， b ∥α ，则 a ∥α
B 、 a ⊥b ， b ⊥α ，则 a ∥α
C 、 a ∥α ， b ∥α ，则 a ∥b
D 、 a ⊥α ， b ⊥α ，则 a ∥b
14、在△ABC ，有命题①若AB ? AC > 0 ,则△ABC 为锐角三角形；②AB + BC + CA = 0 ； ③ ( AB + AC ) ? ( AB - AC ) = 0 ,则△ABC 为等腰三角形；④AB - AC = BC ， 以上命题正确的是（ ） A 、①②
B 、①④
C 、②③
D 、②③④
15、如图，在正三棱柱 ABC - A1 B1C1 中，AB = 1 ，若二面角 C - AB - C1 的大小为 60°，则点 C 到 平面 ABC1 的距离为（ ）
A 、
3
4
B 、
43 C 、35 D 、53
16、正方体1111
ABCD A B C D - 的棱长为 a ，平面 ABCD 上一动点 M 到直线 AD 的距离与到直线 11D C 的距离相等，则点 M 的轨迹为（
） A 、直线 B 、椭圆
C 、抛物线
D 、双曲线
三、解答题（17-19 题?题 14 分，20 题 16 分，21 题 18 分，共 76 分） 17、（本题 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分，满分 14 分）
如图已知四棱锥 P - ABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 PA 的长为 8，且垂直于底面，点 M 、 N 分别是 DC 、AB 的中点。
求：（1）异面直线 PM 与 CN 所成角的正切值； （2）四棱锥 P - ABCD 的表面积.
18、（本题 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分，满分 14 分）
已知复数 z = a + bi ，其中 a 、b 为实数，i 为虚数单位， z 为 z 的共轭复数，且存在非零实数 t ，使
2+4=
3i
z ai t
-成立. （1）求2a b + 的值；
（2）若| z - 2 |≤ 5 ，求实数a 的取值范围.
19、（本题 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分，满分 14 分）
用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器高为 h 米，盖子边长 为 a 米. （1）求 a 关于 h 的函数解析式；
（2）设容器的容积为V 立方米，则当 h 为何值时，V 最大，求出V 的最大值.（求解本题时，不计容器的厚度） 答案：
20、（本题 3 小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 4 分，第 3 小题 8 分，满分 16 分）
如图，在正三棱柱 ABC - 111A B C 中， AB = 3 ，14AA =， M 为1AA 的中点， P 是 BC 上一 点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 点的最短路线长为29 ，设这条最短路线与1CC 的 交点为 N 。求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长； （2） PC 和 NC 的长；
（3）平面 NMP 和平面 ABC 所成锐二面角大小的正切值.
21、（本题 3 小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分，满分 18 分）
给定椭圆 C : 22
221x y a b
+=(0)a b >>，称圆心在原点，半径为22a b +的圆是椭圆 C 的“伴随圆”.若椭
圆 C 的一个焦点为(
)
1
2,0F ，其短轴上的一个端点到 1F 的距离为3.
（1）求椭圆 C 的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角 45°的直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，且与椭圆 C 的伴随圆相交于 M 、N 两点，求弦 MN 的的长；
（3）点 P 是椭圆 C 的伴随圆上一个动点，过点 P 作直线1l 、2l ，使得 1l 、2l 与椭圆 C 都只有一个公共点，判断1l 、2l 的位置关系，并说明理由.
参考答案
1、 (1, 4)
2、 ( x - 1)2 + y2 = 4 3 4、22
221x y a b
+=
5、
23π
6 7、14341i
-
8 9、
23
1011、2n n -- 12、2216ππ+ 13-16、CCAD
17、（1（2）144 18、（1）6；（2）3[,5]5
19、（1） a
h > 0) ；
（2） h = 1 米时，V 有最大值，V 的最大值为16
平方米。
20、（1 ；（2） PC = 2 ， NC =
45 ；（3）45
21、（1）椭圆方程：2
213
x y +=；伴随圆方程：221x y += ；（2）
（3）垂直，（斜率乘积为 -1 ，分斜率存在与否）