指数函数和对数函数的知识点及典型例题
一、指数的性质 （一）整数指数幂
1．整数指数幂概念： 43
421Λa
n n a a a a 个???=)(*∈N n ()010a a =≠ ()10,n n
a a n N a
-*
=
≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n
m mn a a m n Z =∈
（3）()()n
n n ab a b n Z =?∈
其中m
n
m
n
m n
a a a a
a
--÷=?=， ()1n
n n n n
n a a a b a b b b --??=?=?= ???
．
3．a 的n 次方根的概念
一般地，如果一个数的n 次方等于a ()*∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根，()*∈>N n n ,1
例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-．
说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0
④()*∈>=N n n n ,100Θ∴0=；
⑤式子n
a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴n
a =．
4．a 的n 次方根的性质
一般地，若n 是奇数，则a a n n =；
若n 是偶数，则??
?<-≥==0
0a a a a
a a n n ．
5．例题分析：
例．计算：407407-++
解：407407-++52)25()25(22=-++= （二）分数指数幂
1()
102
5
0a a
a ==>()124
3
0a a
a ==>
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 幂的运算性质()n
m mn a a =对分数指数幂也适用，
例如：若0a >，则3
223233a a a ???== ???
，4
554544a a a ???== ???， 23
a =4
5
a =．
规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n
a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m
n
m n
a
a m n N n a
-*
=
=
>∈>．
2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即：
()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈
()()
()20,,s
r rs a a a r s Q =>∈
()()
()30,0,r
r r ab a b a b r Q =>>∈
说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用； （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
3．例题分析：
【例1】用分数指数幂的形式表示下列各式()a o >：
2a
3a
.
解：2
a 11522
2
2
2
a a a
a +
?==；
3a 2113
33
a a a ?=；
=111
33
2
2
2
2
4
a a a a ?????== ? ?????
．
【例2】计算下列各式的值（式中字母都是正数）．
（1）21
1511336622263a b a b a b ??????
-÷- ??? ???????
；（2）8
3184m n -?? ???；
解（1）21
151133
6622263a b a b a b ??????-÷- ??? ???????
（2） 8
3184m n -?? ???=8
8
3184m n -???? ? ?????=2233m m n n -=．
=()()211
115326
236
263a b
+-+-?-÷-????
=044ab a =； 例3．计算下列各式： （1
）
（2
)20a >．
解：（1
）
=231324555??-÷ ???=213134245555÷-÷ （2
2
=526213
2a a a a ==．
=5
5124
55-
=
【例3】已知1
3x x -+=，求下列各式的值：（1）112
2x x -
+；（2）332
2
x x -
+.
解：（1）1
122
2()x x -
+Q 111122
22
2
2()2()x x x
x -
-
=++
112x x -=++325=+=，
∴112
2
x x
-
+=
又由1
3x x -+=得0x >，∴112
2
0x x
-+>，
所以112
2
5x x -
+=.
（2）（法一）332
2x x -
+113
322)()x x -
+＝（11111122
2
222
2
2()[()()]x x x x x
x -
-
-
=+-+
1
112
2
()[()1]x x x x --=++-5(31)=-25=，
（法二）332
2
2[()()]x x -
+33332
2
222
2
()()2x x x x
-
-
-
=++332x x -=++
而33x x -+122()(1)x x x x --=++-
112()[()3]x x x x --=++-23(33)=?-18=
∴332
2
2()20x x -
+=，
又由1
30x x -+=>得0x >，∴332
2
0x x
-
+>，
所以332
2
2025x x
-+==.
二、指数函数 1．指数函数定义：
一般地，函数x y a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，a 叫底数，函数定义域是R ．
2．指数函数x y a =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图象和性质：
1a > 01a <<
图象
性
（1）定义域：R
【例1】求下列函数的定义域、值域：
（1）121
8
x y -= （2）y = （3）3x
y -= （4）1(0,1)1
x x
a y a a a -=>≠+． 解：（1）210x -≠Q ∴12x ≠ 原函数的定义域是1{,}2
x x R x ∈≠， 令1
21
t x =
- 则0,t t R ≠∈ ∴8(,0)t y t R t =∈≠得0,1y y >≠， 所以，原函数的值域是{0,1}y y y >≠．
（2）1
1()02
x -≥Q ∴0x ≥ 原函数的定义域是[)0,+∞，
令1
1()2x t =-(0)x ≥ 则01t ≤<，
y =Q [)0,1是增函数 ∴01y ≤<，
所以，原函数的值域是[)0,1． （3）原函数的定义域是R ，
令t x =- 则0t ≤，
3t y =Q 在(],0-∞是增函数， ∴01y <≤，
所以，原函数的值域是(]0,1． （4）原函数的定义域是R ，
由1(0,1)1x x a y a a a -=>≠+得1
1
x y a y +=--， 0x a >Q ∴1
01
y y +-
>-， ∴11y -<<，
所以，原函数的值域是()1,1-．
说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。
【例2】当1a >时，证明函数1
1
x x a y a +=- 是奇函数。
证明：由10x a -≠得，0x ≠，
故函数定义域{0}x x ≠关于原点对称。
1()1x x a f x a --+-=-(1)(1)x x x x a a a a --+=-11x
x
a a +=-()f x =- ∴()()f x f x -=-
所以，函数1
1
x x a y a +=- 是奇函数。
三、对数的性质
1．对数定义：一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 就是N a b =，那么数 b 叫做a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。即b a N =，log a N b =。
说明：1．Θ在指数式中幂N > 0，∴在对数式中，真数N > 0．（负数与零没有对数）
2．Θ对任意 0>a 且1a ≠, 都有 01a =∴log 10a =，同样：log 1a a =．
3．如果把b a N =中的b 写成log a N ， 则有 log a N a N =（对数恒等式）． 2．对数式与指数式的互换
例如： 2416=，4log 162=；210100=，10log 1002=；
12
42=，41log 22
=；2100.01-=，10log 0.012=-。
【例1】将下列指数式写成对数式： （1）4
525=； （2）6
12
64
-=； （3）327a
=； （4）1 5.373m
??= ???
． 解：（1）5log 6254=； （2）21log 664
=-； （3）3log 27a =； （4）13
log 5.37m =．
3．介绍两种常见的对数：
①常用对数：以10作底10log N 简写成lg N ；
②自然对数：以e 作底为无理数，e = 2.71828……，log e N 简写成ln N ． 【例2】（1）计算： 9log 27
，625．
解：设x =9log 27 则 927x =， 2333x =,∴3
2
x =； 令x
=625，
∴
625x
=,443
5
5x =,∴5x =．
（2）求 x 的值：①33
log 4x =-； ②()2221log 3211x x x ?? ???
-+-=．
解：
①3
4
3
x -
==
； ②22232121200,2x x x x x x x +-=-?+=?==-
但必须：2222102113210x x x x ?->?
-≠??+->?
， ∴0x =舍去，从而2x =-．
（3）求底数：①3log 35x =-， ②7log 28
x =． 解：①3535
35
3(3)x
--
-==∴5
33
x -
=；
②7788
8
722x ?
? ? ???
==,∴2x =．
4．对数的运算性质：
如果 a > 0 ，a ≠ 1，M > 0，N > 0，那么
（1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log -log a
a a M
M N N
=； （3）log log ()n a a M n M n R =∈． 【例3】计算： （1）lg14-21g
18lg 7lg 37-+； （2）
9lg 243lg ； （3）2
.1lg 10
lg 38lg 27lg -+． 解：（1）解法一：18lg 7lg 3
7
lg
214lg -+- 2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)=?--+-?
lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=；
解法二：18lg 7lg 3
7lg 214lg -+-
27
lg14lg()lg 7lg183=-+-
=18)3
7(7
14lg
2
??lg10==；
（2）2
53lg 23lg 53lg 3lg 9lg 243lg 25===；
（3）2
.1lg 10lg 38lg 27lg -+=1133
2
2
2
3
(lg32lg 21)
lg(3)lg 23lg103232lg32lg 212lg
10
+-+-==?+-． 5．换底公式：log log log m a m N
N a
=
( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠) 证明：设log a N x =，则x a N =，
两边取以m 为底的对数得：log log x m m a N =，∴log log m m x a N =，
从而得：a N x m m log log =
，∴a
N
N m m a log log log =． 说明：两个较为常用的推论：
（1）log log 1a b b a ?=； （2）log log m n a a n
b b m
= （a 、0b >且均不为1）
． 证明：（1）1lg lg lg lg log log =?=
?b
a
a b a b b a ； （2）lg lg log log lg lg m n n
a m a
b n b n
b b a m a m
=
==． 【例4】计算：（1）0.21log 3
5-； （2
）492log 3log 2log ?+．
解：（1）原式 =
0.25
1log 3log 3
55
5
151553
=
=
=； （2） 原式 = 2
3
45412log 452log 213log 21232=+=+?．
【例5】已知18log 9a =，185b =，求36log 45（用 a , b 表示）． 解：∵18log 9a =，∴a =-=2log 12
18
log 1818
， ∴18log 21a =-， 又∵185b =， ∴18log 5b =， ∴a
b
a -+=++==
22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836．
【例6】设1643>===t z y x ，求证：y
x z 21
11=-．
证明：∵1643>===t z y x ，
∴6
lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===
，，， ∴y
t t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-．
四、对数函数
1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。 2．对数函数的性质：
（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞．
（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数
图象作关于x y =的对称图形，即可获得。