动态问题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想数形结合思想转化思想
1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从
A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，
如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。
当t= 时，四边形是平行四边形；6
当t= 时，四边形是等腰梯形
. 8
2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任
意一点，则DN+MN的最小值为 5
3、如图，在Rt ABC
△中，9060
ACB B
∠=∠=
°，°，2
BC=．点O是AC的中点，过
点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作
CE AB
∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．
（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；
②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；
（2）当90
α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
解：（1）①30，1；②60，1.5；
（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形
在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.
∴AB=4,AC
∴AO=
1
2
AC
.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.
∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形
4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
（备用图）C
B
E
D
图1
N
M
A B
C
D
E
M
A
C
B
E
D
N
M
图3
(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；
(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB
② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE
(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD.
5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
解：（1）正确． 证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°． CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠． 90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）
． AE EF ∴=． （2）正确．
证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．
BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．
ANE ECF ∴△≌△（ASA ）
． AE EF ∴=．
6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；
（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值
A
D F
C G E B 图1 A
D F
G B 图3
A D F
C G
E B 图2
A D F C G
B M A D F
C G B N
7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD BC
∥，E是AB的中点，过点E作EF BC
∥交CD于点F．46
AB BC
==
，，60
B=?
∠.求：（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF
⊥交BC于点M，过M作MN AB
∥交折线ADC 于点N，连结PN，设EP x
=.
①当点N在线段AD上时（如图2），P M N
△的形状是否发生改变？若不变，求出PMN
△的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN
△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由
解（1）如图1，过点E作EG BC
⊥于点G．∵E为AB的中点，∴
1
2
2
BE AB
==．
在Rt EBG
△中，60
B=?
∠，∴30
BEG=?
∠．
∴
1
1
2
BG BE EG
====
，
A D
E
B
F
C
图4（备用）
A D
E
B
F
C
图5（备用）
A D
E
B
F
C
图1 图2
A D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A D
E
B
F
C
P
N
M
（第25题）
即点E 到BC
（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，， ∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥， ∴EP GM =
，PM EG == 同理4MN AB ==． 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥，
∴6030NMC B PMH ==?=?∠∠，∠．
∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =?=． 则35
422
NH MN MH =-=-=．
在Rt PNH △
中，PN === ∴PMN △的周长
=4PM PN MN ++=．
②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．
类似①，3
2MR =．
∴23MN MR ==． ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．
此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．
当MP MN =时，如图4
，这时MC MN MP ===
此时，615x EP GM ===-= 当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==?∠∠． 则120PMN =?∠，又60MNC =?∠， ∴180PNM MNC +=?∠∠． 因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =?=． 此时，6114x EP GM ===--=． 综上所述，当2x =或4
或(5-时，PMN △为等腰三角形．
8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．
(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动
图3
A D E B
F
C
P
N M 图4
A D E
B
F C
P M
N 图5
A D
E
B
F （P ） C
M N
G
G
R
G
图1
A D E
B
F C
G 图2
A D E
B
F
C
P
N
M
G H
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．
又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ②∵
P Q
v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，
∴点P ，点Q 运动的时间
4
33BP t =
=秒， ∴
515
443Q CQ v t
=
==厘米/秒。
（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得153210
4x x =+?，解得80
3x =秒． ∴点P 共运动了80
380
3?=厘米． ∵8022824=?+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴经过80
3秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．
9、如图所示，在菱形ABCD 中，AB =4，∠BAD =120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．
（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE =CF ；
（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【答案】解：（1）证明：如图，连接AC
∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =120°， ∠BAE +∠EAC =60°，∠F AC +∠EAC =60°， ∴∠BAE =∠F AC 。
∵∠BAD =120°，∴∠ABF =60°。 ∴△ABC 和△ACD 为等边三角形。 ∴∠ACF =60°，AC =AB 。∴∠ABE =∠AFC 。
∴在△ABE 和△ACF 中，∵∠BAE =∠F AC ，AB =AC ，∠ABE =∠AFC ， ∴△ABE ≌△ACF （ASA ）。∴BE =CF 。
（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的面积发生变化。理由如下：
由（1）得△ABE ≌△ACF ，则S △ABE =S △ACF 。
∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC ，是定值。 作AH ⊥BC 于H 点，则BH =2，
AECF ABC 11
S S BC AH BC 22
?==??==四形边
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，
边AE 最短．
故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最
小，
又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则此时△CEF 的面积就会最大．
∴S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF 1
2
=?。
∴△CEF
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。
【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。
（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AEC F=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△AB E=S△ABC 即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的面积就会最大。
10、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C为OB上一点，射线CD⊥OB交AB于点D，OC=2．点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，得到矩形PEOF．以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MN∥OB，且MN=QC．设运动时间为t（单位：秒）．
（1）求t=1时FC的长度．
（2）求MN=PF时t的值．
（3）当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式．（4）直接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．
≤时；当＜
AP=
时，
．
初二数学坐标系动点问 题汇总 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
坐标系动点问题 1、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6， 0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到度都是每秒1个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC (2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值 若有是多少 (3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直 若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由． 2、（山东济宁）如图，A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。OA 、OB 的长分别是方 程x 2－14x ＋48＝0的两根(OA ＞OB)，直线BC 平分∠ABO 交x 轴于C 点，P 为BC 上一动点，P 点以每秒1个单位的速度从B 点开始沿BC 方向移动。 (1)设△APB 和△OPB 的面积分别为S 1、S 2，求S 1∶S 2 的值； (2)求直线BC 的解析式； (3)设PA －PO ＝m ，P 点的移动时间为t 。 ①当0＜t ≤54时，试求出m 的取值范围； ②当t ＞54时，你认为m 的取值范围如何(只要求写出结论 )
3、（金华）如图1 ，在平面直角坐标系中，已知点(0 A，点B在x正半轴上，且 30 ABO ∠．动点P在线段AB上从点A向点B 时间为t秒．在x轴上取两点M N ，作等边PMN △． （1）求直线AB的解析式； （2）求等边PMN △的边长（用t的代数式表示），并求出当等边PMN △的顶点M运动到与原点O重合时t的值； （3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt AOB △内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边PMN △和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当 02 t ≤≤秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值． 4 A（18，0），B （18，6）， Q沿OC，CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动． （1）求直线OC的解析式． （2）设从出发起，运动了t秒．如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围． （3）设从出发起，运动了t秒．当P，Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由． 5、如图2所示，在直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC， BC=14cm，A点坐标为（16，0），C点坐标为（0，2）．点P、Q分别从C、A同时出（图（图
全等三角形中的动点问题 教学重点难点利用熟悉的知识点解决陌生的问题 思路：1.利用图形想到三角形全等 2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度 3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据 4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏 5.动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路 6.动点类问题一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题 难了，可以反过去看看前面问题的结论. 【典型例题】 例1. 如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF． 解答下列问题： （1）如果AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上运动时（与点B不重合），如图，线段CF，BD之间的位置关系为_____________，数量关系为______________．请利用图2或图3予以证明（选择一个即可）．
例2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE、DF、EF. （1）求证：△ADF≌△CEF.（2）试证明△DFE是等腰直角三角形.（3）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由．（4）求△CDE面积的最大值． 变式如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点， 点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在 此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的 最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其 中正确的结论是（） A．①②③B．①③C．①③④D．②③④ 例3. 正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G．E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF． （1）求证：DF=BF（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG、BE（如图（2）所示），在旋转过程中，请猜想线段DG、BE始终有什么数量关系和位置关系并证明你的猜想．
动点问题 1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts． （1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ （2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？ （3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？ 2、如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论； （3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论． 3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？ （2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？
4、如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D 出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm． （1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形； （3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值； 如果不能，请说明理由． 5、直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O?B?A运动． （1）直接写出A、B两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1、如图1，梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始 沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P， Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。 当 t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形. 8 2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点， 则DN+MN的最小值为 5 3、如图，在Rt ABC △中，9060 ACB B ∠=∠= °，°，2 BC=．点O是AC的中点，过 点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB ∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α． （1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为； ②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为； （2）当90 α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，； （2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC∵CE∴AB=4,AC=23. ∴AO= 1 2 AC = 3 .在Rt△AOD 中，∠A=300，∴AD=2. O E C D A α l O C A （备用图）
∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形 4、在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E. (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ； (3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB ② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE (3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD. 5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=o ，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证 AME ECF △≌△，所以AE EF =． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗如果正确，写出证明过 C B A E D 图1 N M A B C D E M N 图2 A C B E D N M 图3
动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ，它们在线段、射线或弧线上运动的一类 6 c N t4 o o AD 的长为 度时 AD 的长为 ②当 .度时 o C B C B A （备用图） E N E A B B B A A E 时 时 M C ” 图1 l E EDBC 是否为菱形，并说明理由 C ,且 （1）① 当 四边形EDBC 是直角梯形，此时 开放性题目 关键： 数学思想 1、如图1 C 开始沿向点 秒 当 当 CE // AB 交直线I 于点E ，设直线I 的旋转角为 2、如图2,正方形的边长为 4,点M 为 5 90 ° ,直线经过点 3、如图，在只也ABC 中，ACB 四边形是平行四边形； 四边形是等腰梯形?8 90° B 60°, BC 2 .点O 是AC 的中点，过 四边形EDBC 是等腰梯形，此时 （2 ）当 90「时，判断四边形 解：（1 ［① 30, 1 :② 60, 1.5 ； （2）当/% =900时，四边形是菱形? ???/a =Z 90°,.?..???，???四边形是平行四边形 在△中，/ 900,/ 6002, ???/ 30°. 在边上，且1 , N 为对角线上任意一点，则的最小值 .解决这类问题的关键是动中求静 ，灵活运用有关数学知识解决问题 . 动中求静? 分类思想 数形结合思想转化思想 梯形中，// ，/ 90°, 141821,点P 从A 开始沿边以1秒的速度移动，点 Q 从 B 以2秒的速度移动，如果 P , Q 分别从A , C 同时出发，设移动时间为 t D ，丄于 E M C 点o 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D ?过点C 作 ? 2. ???. 又??四边形是平行四边形 ?四边形是菱形 4、在△中 M D C A D 1 42 . 3. ? 2AC 3 .在△中，/ 3。0, (2) 图2 N
动点问题 题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 3x??6y?P、QO BA、点出发，两点，动点年齐齐哈尔市）直线同时从与坐标轴分别交于20091、 （4y Q OAA 1沿线段个单同时到达点，运动停止．点运动，速度为每秒B O ABP→运动．位长度，点→沿路线B、A两点的坐标；1）直接写出（P tt OPQ△Q SS之间的面积为的运动时间为与秒，（2）设点，求出x Q O A 的函数关系式；48?SQ、O、P MP的求出点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标，并直接写出以点（3）当时，5坐标．，6）（0）B0解：1、A（8，2 S=t＜3时，2、当0＜t S=3／8(8-t)t＜t＜8时，当3 B所有时间分段分类；）问按点提示：第（2P到拐点探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不，O、P、Q第（3）问是分类讨论：已知三定点为边。然后为对角线、OQ为边、OQ为对角线，③OP同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP 画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。年衡阳市）2、（2009，是⊙O 的直径，弦BC=2cm如图，AB o．∠ABC=60 的直径；1）求⊙O（与⊙O相切；延长线上一点，连结ABCD，当BD长为多少时，CD（2）若D是点出发沿的速度从BAB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从（3）若动点E以2cm/sA点出发沿着t)?t?2)(t(s0为直角三角形．为何值时，△BEF方向运动，设运动时间为BCEF，连结，当C
初二数学“动点问题”分析 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等． 一、建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢? 1.应用勾股定理建立函数解析式。 2.应用比例式建立函数解析式。 3.应用求图形面积的方法建立函数关系式。 二、动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 （一）以动态几何为主线的压轴题。 1.点动问题。 2.线动问题。 3.面动问题。 （二）解决动态几何问题的常见方法有: 1.特殊探路，一般推证。 2.动手实践，操作确认。 3.建立联系，计算说明。 （三）本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数． 2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。 三、双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点， 1.以双动点为载体，探求函数图象问题。 2.以双动点为载体，探求结论开放性问题。 3.以双动点为载体，探求存在性问题。 4.以双动点为载体，探求函数最值问题。 双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。 四：函数中因动点产生的相似三角形问题五：以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。
最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总 近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题． 最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。 数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。 （1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。 （2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。 （3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。 （4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最
初二动点问题解析 1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿 AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts． （1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ （2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？ （3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？ 分析： （1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ． （2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE． （3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC． 所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可． 解答： 解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形 ∴PD=CQ ∴24-t=3t 解得：t=6 即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形． （2）过D作DE⊥BC于E 则四边形ABED为矩形 ∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE 即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形． （3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2 解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形， 直角梯形的判定，难易程度适中． （3）如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
八年级数学动点问题专题 班级姓名 1.如图：已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值是。 2.等边三角形ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是 AC上一点,若AE=2,则EM+CM最小值为。 3.如图，锐角三角形ABC中，∠C=45°，N为BC上一点，NC=5，BN=2，M为边AC上的一个动点，则BM+MN的最小值是。 4.如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，DC//AB，BC=3，DC=4，AD= 5.动点P 从B点出发，由B→C→D→A沿边运动，则△ABP的最大面积为（） A.10 B.12 C.14 D.16 5.如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平 分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN 的最小值是( ) A． B．6 C． D． 3 6.如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°， （1）当∠A= 时，△AOP为直角三角形； （2）当∠A满足时，△AOP为钝角三角形． 7.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90 °，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA以
1cm/s的速度向A运动，同时动点Q从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动。则运动过程中所构成的△CPQ 的面积y与运动时间x之间的关系是。 8.如图，在梯形中， 动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒． （1）求的长． （2）为何值时，为等腰三角形． 9.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形? （2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式. 10. 如图1，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB 边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为t s． (1)当t=2时，求△PBQ的面积． (2)当t =时，试说明△DPQ是直角三角形． (3)当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速继续向C运动，当 QD=QP时，求点Q运动的总时间。 11.如图，△ABC中,∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按 的路径运动，且速度为每秒1㎝，设出发的时间为t秒.
八年级数学动点问题专题 班级 姓名 1.如图：已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，求DN+MN 的最小值是 。 2.等边三角形ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 上一点,若AE=2,则EM+CM 最小值为 。 第1题 第2题 第3题 A B C M N D
3.如图，锐角三角形ABC 中，∠C=45°，N 为BC 上一点，NC=5，BN=2，M 为边AC 上的一个动点，则BM+MN 的最小值是 。 4.如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=90°，DC//AB ，BC=3，DC=4，AD= 5.动点P 从B 点出发，由B→C→D→A 沿边运动，则△ABP 的最大面积为（ ） A.10 B.12 C.14 D.16 5.如图，在锐角△ABC 中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 ( ) A ．62 B ． 6 C ． 32 D ． 3 第4题 第5题 6如图，已知点P 是射线ON 上一动点（即P 可在射线ON 上运动），∠AON=30°， （1）当∠A= 时，△AOP 为直角三角形； （2）当∠A 满足 时，△AOP 为钝角三角形． 7.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90 °，AC=4cm ，BC=6cm ，动点P 从点C 沿CA 以1cm/s 的速度向A 运动，同时动点Q 从点C 沿CB ， 以2cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动。则运动过程中所构成的△CPQ 的面积y 与运动时间x 之间的关系是 。 第6题 第7题 8.如图，在梯形ABCD 中，364360AD BC AD DC AB === =?∥，，，，∠C ．动点 A B D C P C A B Q P
初中数学动点问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲： （1）运动观点； （2）方程思想； （3）数形结合思想； （4）分类思想； （5）转化思想； 研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 建立动点问题的函数解析式
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 建立动态几何压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。 （二）线动问题。 （三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。 三、专题二总结，本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数． 2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。 双动点问题
初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案） 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。 一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题 例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC ＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC 上的一动点，且∠PDQ＝90°． （1）求ED、EC的长； （2）若BP＝2，求CQ的长； （3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长． 图1 备用图 思路点拨 1．第（2）题BP＝2分两种情况． 2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系． 3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．解答：（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10． 在Rt△CDE中，CD＝5，所以 315 tan5 44 ED CD C =?∠=?=， 25 4 EC=． （2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3． 由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN． 所以 4 3 PM DM QN DN ==．所以 3 4 QN PM =， 4 3 PM QN =． 图2 图3 图4 ①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1． 此时 33 44 QN PM ==．所以 319 4 44 CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．
初二动点问题 1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm， 动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB 边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts． （1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ （2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？ （3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？ 分析： （1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ． （2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE． （3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC． 所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可． 解答： 解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形 ∴PD=CQ ∴24-t=3t 解得：t=6 即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形． （2）过D作DE⊥BC于E 则四边形ABED为矩形 ∴BE=AD=24cm
∴EC=BC-BE=2cm ∵四边形PQCD为等腰梯形 ∴QC-PD=2CE 即3t-（24-t）=4 解得：t=7（s） 即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形． （3）由题意知：QC-PD=EC时， 四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2 解得：t=6.5（s） 即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形． 点评： 此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．2. 如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E． （1）试说明EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论； （3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论． 分析： （1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO． （2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形． （3）利用已知条件及正方形的性质解答． 解答： 解：（1）∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠BCE， ∵MN∥BC， ∴∠OEC=∠ECB，
初二动点问题解题技巧 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握
方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点 --- 问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一.选择题 1.（2015湖南邵阳第9题3分）如图，在等腰△ABC中， 直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平 移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线 段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y 与t的函数关系的图象是（） 2.（2015湖北荆州第9题3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A 点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ 的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（） A B C．D．3．（2015?甘肃武威,第10题3分）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与 点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点 C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点 E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函 数关系的图象大致是（） 4．（2015?四川资阳,第8题3分）如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是
5. （2015?四川省内江市，第11题，3分）如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在 对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（） A．B．2C． 2D． 6. （2015?山东威海，第 11题3分）如图，已知△ABC为等边三 角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点； 过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为 y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（） 7. （2015山东省德州市，11，3分）如图，AD是△ ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高， 得到下面四个结论： ①OA=OD; ②AD⊥EF; ③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形； ④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是（） A. ②③ B. ②④ C. ①③④ D.② ③④ 二.解答题 1. （2015?四川甘孜、阿坝，第28题12分）如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线BC的解析式； （3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H， 以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请 求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．
动点问题专项练习 1、如图，在直角坐标系中，O是原点，A，B，C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P，Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC，CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动． （1）求直线OC的解析式． （2）设从出发起，运动了t秒．如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围．（3）设从出发起，运动了t秒．当P，Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由． 2、如图1所示，在△ABC中，点O在AC边上运动，过O作直线MN∥BC交∠BCA内角平分线于E点，外角平分线于F点．试探究：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
3、如图2所示，在直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，BC=14cm，A点坐标为（16，0），C 点坐标为（0，2）．点P、Q分别从C、A同时出发，点P以2cm/s的速度由C向B运动，点Q以4cm/s的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为ts（0≤t≤4）． （1）求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形． （2）求当t为多少时，PQ所在直线将梯形OABC分成左右两部分的面积比为1:2，求出此时直线PQ的函数关系式．
巩固提高： 1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向 D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts． （1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ （2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？ （3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？ 2. 如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点 F，交∠ACB内角平分线CE于E． （1）试说明EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论； （3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论． 3. 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点 C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形； （3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； （4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．