《概率统计》练习题
一、单项选择题
1. A 、B 为两事件，则B A ?=（ ）
（1）B A ? （2）A ∪B （3）A B （4）A ∩B 2.A 、B 为两事件，则AB =（ ） （1）AB （2）B A （3）B A
（4）A B
3.任意抛一个均匀的骰子两次，则这两次出现的点数之和为8的概率为（ ） （1）
363 （2）364 （3） 365 （4） 36
2 4.事件A 、B 互为对立事件等价于（ ）
（1）A 、B 互不相容 （2）A 、B 相互独立 （3）Ω=?B A （4）A 、B 构成对样本空间的一个剖分
5.以下正确的是（ ）
（1）若321,,A A A 相互独立，则321,,A A A 两两独立；（2）若321,,A A A 两两独立，则321,,A A A 相互独立；（3）若)()()()(321321A P A P A P A A A P =，则321,,A A A 相互独立；（4）若1A 与2A 独立，2A 与3A 独立，则1A 与3A 独立
6.对任意的事件A 、B ，有（ ）
（1）0)(=AB P ，则AB 不可能事件（2）1)(=?B A P ，则B A ?为必然事件 （3）)()()(B P A P B A P -=- （4）)()()(AB P A P B A P -=? 7.事件A 、B 互不相容，则（ ）
（1）1)(=?B A P （2）1)(=?B A P （3）)()()(B P A P AB P = （4）)(1)(AB P A P -= 8.1A 、2A 、3A 为三个事件，则（ ）
9.已知A 、B 、C 两两独立，21)()()(===C P B P A P ，5
1
)(=ABC P ，则)(C AB P 等于（ ） （1）401 （2）201 （3）101 （4）4
1
10.A 、B 为两个事件，则)(B A P -=（ ）
（1）)()(B P A P - （2）)()(AB P A P - （3）)()(B P A P - （4）)(A B P -
11.随机变量X 的密度函数??
?∈=其它
]
1,0[)(4
x cx x f 则常数c =（ ）
（1）
51 （2）4
1
（3）4 （4）5 12.离散型随机变量X 的分布列为
其分布函数为)(x F ，则=)1(F ( ) (1) 4.0 (2) 2.0 (3)6.0 (4)1 13.
其分布函数为)(x F ,则=)3(F ( ) (1) 0 (2) 3.0 (3)8.0 (4)1 14.X 的密度为??
?∈=其它
,0],0[,2)(A x x x f ，则A=（ ）（1）41 （2）21
（3）1 （4）2
15.设随机变量~(2,8)X U ，则2
EX =（ ） （1）2 （2）8 （3）10 （4）28 16.随机变量X 服从二项分布)2.0,10(B ，则（ ） （1）==DX EX 2 （2）==DX EX 6.1
（3）=EX 2，=DX 6.1 （4）=EX 6.1，=DX 2
17.X 可取无穷多个值 ,2,1,0，其概率分布为普阿松分布)3(P ，则（ ） （1）DX EX ==3 （2）DX EX ==31 （3）EX =3，DX =31 （4）EX =31，DX =9
1 18.设随机变量X 的分布律为
则2(32)E X +=（ ）
（1）5.6 （2）6.6 （3）7.4 （4）8.4
X 则2
(21)E X +=（ ）
（1）5.4 （2）5.7 （3）6.4 （4）6.7
20.设随机变量~()X P λ，且{1}{2}P X P X ===，则()D X =（ ）
（1）0 （2）1 （3）2 （4）λ
21.总体)4,(~μN X ，21,X X 是容量为2的样本, μ为未知参数，下列样本函数不是统计量的是（ ）
（1）122X X + （2）2
224X X + （3）1X μ- （4）21X
22.设随机变量)1,0(~,)1,0(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则~22Y X +（ ） （1）)2,0(N
（2）)2(2χ （3）)2(t
（4）)1,1(F
23.设总体X 服从),(2σμN ，n X X X ,,21为其样本，则S
X n Y )
(μ-=
服从（ ）
)()4()1()3()
1,0()2()
1()1(2n t n t N n x --
24.设总体X 服从),(2
σμN ，,,21X X …n X ,为其样本，则∑=-=n
i i
X
Y 1
22
)(1
μσ服从（ ）
)()4()1()3()
()2()
1()1(22n t n t n x n x --
25.总体X 服从)(λP ，其中0>λ为未知参数,n X X X ,,21为样本,则下面说法错误的是( ) （1）X 是EX 的无偏估计量 （2）X 是DX 的无偏估计量 （3）X 是EX 的矩估计量 （4）X 是2
λ的无偏估计量
26.设总体(0,)X U θ ，今测得X 的样本观测值为1.0、2.0、3.0、4.0，则参数θ的矩估计值?θ
为（ ）
（1）0.1 （2）25.0 （3）0.4 （4）0.5
27.设总体X 的均值μ与方差2
σ都存在，且均为未知参数，21,X X ,…,n X 是总体X 的一个样本，
记∑==n i i X n X 1
1，则总体方差2
σ的矩估计为（ ）
（1）X （2）∑=-n i i X X n 12)(1 （3）∑=-n i i X n 12
)(1μ （4）∑=n i i X n 1
21
28.设总体X 为参数为λ的泊松分布，今测得X 的样本观测值为1.0、2.0、3.0、4.0，则参数λ的
极大似然估计值λ
?为（ ） （1）2.0 （2）25.0 （3）1 （4）4
29.矩估计必然是（ ）
(1)无偏估计 (2)总体矩的函数 (3)样本矩的函数 (4)极大似然估计
30.设θ?是未知参数θ的一个估计量，若θθ
=)?(E ，则θ?是θ的（ ） （1）极大似然估计 （2）矩估计 （3）无偏估计 （4）有偏估计
31.下列说法正确的是（ ）
（1）如果备择假设是正确的，但做出的决策是拒绝备择假设，则犯了弃真错误 （2）如果备择假设是错误的，但做出的决策是接收备择假设，则犯了采伪错误 （3）如果零假设是正确的，但做出的决策是接受备择假设，则犯了弃真错误 （4）如果零假设是错误的，但做出的决策是接收备择假设，则犯了采伪错误
32.在假设检验中，显著性水平α表示（ ）
（1）{}α=假接受00H H P （2）{
}
α=真拒绝00H H P
（3）{}α=真接受0
H H
P （4）{}α=假拒绝0
H H
P
33.设总体),(~2σμN X ，其中2
σ未知. 现随机抽样，计算样本方差为400，若要对其均值进行检验，采用（ ）
（1）~t 检验法 （2）~2
X 检验法 （3）~F 检验法 （4）~Z 检验法
二、填空题
1.一小组共10人，得到一张电影票，他们以摸彩方式决定谁得到此票，这10人依次摸彩，则第五个人摸到的概率为 。
2.盒中有5个黑球3个白球，连续不放回地从中取两次球，每次取一个.若已知第一次取出的是白球，则第二次取出的是黑球的概率为
3. A 、B 为两事件，8.0)(=?B A P ，2.0)(=A P ，
4.0)(=B P ，则=-)(A B P 。 4.设事件A 与B 相互独立，且()0.6P A B = ，()0.2P A =，则()P B =________
5.已知()0.6P A =,()0.4P B =,(|)0.5P A B =，则()P A B = ________
6.设随机变量X 的密度函数为??
???≤≤=,,0;
10,A )(2其他x x x f ，则常数A=
7.设X 的概率密度函数为,11
()0,c x f x -<
?其它
，则常数c =
8.设随机变量X 的密度函数为???∈=其它
,0],0[,
2)(A x x x f ，则常数A =
9.设X 服从二项分布)3.0,10(B ，则)12(-X E = 10.设X 服从二项分布),(p n B ，则=-)12(X D ____
11.设X 服从二项分布)3.0,10(B ，则)12(-X E = 。 12.设X 服从二项分布),(p n B ，则=-)12(X D 。 13.设X 服从指数分布，参数10λ=，则=DX
EX
14.总体X 服从)2,2(2
N ，则=2
EX
。
15.设总体),(~2σμN X ，∑==n i i X n X 11，21
2
)(1X X n S n i i n -=∑=，则σμ)(-X n 服从
16.在数理统计中，参数估计可分为点估计和 ____
其中p 为未知参数，且12,,,n x x x 为其样本，则p 的矩估计?p
=__________
18.对单个正态总体，已知总体方差，检验假设00:μμ=H 用 检验法。 19.对单个正态总体，总体方差未知，检验假设00:μμ=H 用 检验法。
20.在假设检验中，如果备择假设是正确的，但做出的决策是接受原假设，则犯了_____________错误.（填“第一类”或“第二类”）
21.在假设检验中，如果原假设是正确的，但做出的决策是拒绝原假设，则犯了_____________错误.（填“第一类”或“第二类”）
三、判断题
1.任意两事件A 、B ，则A B B A =-+)(（ ）
2.若0)(=A P ，则事件A 为不可能事件.（ ）
3.若事件A 为不可能事件，则0)(=A P .（ ）
4.若事件A 与B 相互独立，则A 与B 不一定相互独立. （ ）
5.如果事件A 、B 独立，则A 、B 也独立（ ）
6.若事件,,A B C 两两独立，则,,A B C 相互独立. （ ）
7.如果事件A 、B 互不相容，则A 、B 也互不相容（ ）
8.如果Ω=+B A ，则事件A 、B 为对立事件（ ）
9.如果A 、B 为对立事件，则事件A 、B 为对立事件（ ） 10.若1A 、2A 、3A 相互独立，则它们中任何两个事件独立（ ） 11.设~(2,10)X N ，则{}00P X ==.（ ） 12.Y X ,为两个随机变量，则EY EX Y X E +=+)(（ ） 13.Y X ,为两个独立随机变量，则DY DX Y X D -=-)(（ ）
14.两个随机变量乘积的期望等于期望的乘积.（ ） 15.不含有未知参数的样本函数就是统计量.（ ）
16.设21,X X ,…,n X 是来自总体X 的一个简单随机样本，则21,X X ,…,n X 相互独立，但不一定同分布.（ ）
17.有效估计一定是无偏估计.（ ）
18.θθθ都是未知参数21?,?的估计量，1?θD <2?θD ，则12??θθ比有效估计（ ） 19.设θ?是未知参数θ的一个估计量，若θθ
=)?(E ，则θ?是θ的矩估计.（ ） 20.设θ?是未知参数θ的一个估计量，若θθ
=)?(E ，则θ?是θ的无偏估计.（ ） 21.有效估计一定是无偏估计（ ）
22.在假设检验中，要同时降低两类错误的概率，需要增大样本容量.（ ） 23.在假设检验中，要同时降低两类错误的概率，需要减少样本容量.（ ）
24.假设检验中，样本容量不固定时，一类错误的概率的减少也将导致另一类错误的概率的增加.（ ）
四、计算题、证明题
1. 设事件A 、B 互斥，且6.0)(=A P ，8.0)(=?B A P 。求)(B P 。
2. 设C A B A ??,，8.0)(=A P ，6.0)(=?C B P 。求)(BC A P 。
3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，计算任取3个球恰好为一红、一白、一黑的概率。
4. 三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别是
5.0、3.0、4.0。问能将此密码译出的概率是多少？
5. 甲、乙两人各自独立地破译某密码，破译出的概率分别为0.8和0.7。求：（1）密码被破译的概率；（2）只有一个人破译出密码的概率.
6. 一批产品共20件，其中5件次品，现从这20件产品中不放回地任意抽取三次，每次只取一件，求下列事件的概率：（1）在第一、二次取到正品的条件下，第三次取到次品；（2）第三次才取到次品；（3）第三次取到次品。
7.在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品，它们的产量各占30%，35%，35%，并且在各自的产品中废品率分别为5%，4%，3%.
（1）求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率； （2）若任取一件是废品，求它是由甲生产的概率.
8. 一台机床有3
1
时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零件A 时停机概率0.3，加工零件B 时
停机概率0.4，问这台机床的开机率是多少?
9.设连续型随机变量X 的分布函数为
2
0,0(),011,1x F x x x x ≤??=<
求（1）X 的概率密度()f x ；（2）X 落在区间(0.3,0.7)的概率.
10. 设随机变量X 的密度函数为?
??∈=其它,0]
,0[,sin )(πx x A x f ，求（1）常数A ；（2）分布函数)(x F ；
（3）?????
?<<ππ
432
X P 。
11. 设)16,1(~-N X 求（1）)44.2(
12. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为
（2）X 和Y 是否相互独立，为什么？（3）
{2}P X Y +=.
13.设Y X ,的联合密度为?
??<<<=其它,01
0,12),(2x y y y x f 。求边际密度函数)(),(x P x P Y X ；
（2）EY EX ,；
（3）Y X ,是否独立？
记Y X =，求(),()D X D Y .
15. 设随机变量]2,1[~-U X ，随机变量??
?
??<-=>=0
100
1X X X Y ，求DY 。 16. 若随机变量X 在所取的一切可能值中具有最小值a 和最大值b ，证明2
2??
?
??-≤a b DX 。
17. 已知~(30,0.2)X B ，2~(2,3)Y N ，且Y X ,相互独立。求（1）(2)E X Y -；（2）(2)D X Y -. 18. 已知)2.0,10(~B X ，)2,1(~2N Y ，且Y X ,相互独立。求（1）)432(2X XY X E +-；（2）
)(Y X D -。
19.已知~(20,0.4)X B ，~(3,9)Y U ，且Y X ,相互独立。求（1）(32)E X Y -；（2）(32)D X Y - 20.设X 服从普阿松分布，已知{}{}21===X P X P ，求DX EX ,。 21. 某射手有3发子弹，射击一次命中的概率为
3
2
，如果命中了就停止射击，否则一直独立地射到子弹用尽。求（1）耗用子弹数X 的分布列；（2）DX EX ,。
22. 设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0，2,022====EY EX EY EX ，求2)(Y X E + 23.已知二维随机向量),(Y X 的概率分布如下表所示，求)(Y X E -。
24. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为
（2）()D X Y -.
25. 设随机变量X 的密度函数为??
?
??≤≤+<<=其它
0422
0)(x c
bx x ax
x f ，2=EX ，4
3
)31(=< c b a ,, 26. 总体],0[~θU X ，求θ的矩估计和极大似然估计。 27. 总体]2,[~θθU X ，求θ的矩估计和极大似然估计。 28. 设总体X 的概率密度为???≤>=-0 ,00 ,);(x x e x f x λλλ，21,X X ,…,n X 为样本，求参数λ的矩估计和 极大似然估计。 29. 某药品每片中有效成分含量X （单位：mg ）服从正态分布)3.0,(μN 。现从该药品中任意抽取8片进行检验，测得其有效成分含量为 6.25,8.26,1.25,0.27, 7.25,3.26,1.24,2.26 分别计算该药品有效成分含量均值μ的置信度为9.0及95.0的置信区间。（85.25=x ） 30.用天平称量某物体的质量9次，得平均值为15.4x =(g)，已知天平称量结果为正态分布，其标准差为0.1g.试求该物体质量的置信度为0.95的置信区间.（附：0.025 1.96u =，0.05 1.64u =） 31.某工厂生产一种零件，其口径X （单位：毫米）服从正态分布2 (,)N μσ，现从某日生产的零件中随机抽取9个，分别测得其口径如下： 14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.7 已知零件口径X 的标准差0.15σ=，求μ的置信度为0.95的置信区间. 0.0250.05( 1.96, 1.645)u u == 32. 已知某市新生婴儿体重X （单位：kg ）服从正态分布),(2σμN 。其中2 ,σμ未知，试用该市新生婴儿体重的如下样本 2.3,8.2,2.4,1.3,9.2,5.3 求出该市新生婴儿平均体重μ的置信度为95.0的置信区间。（51.0,28.3==s x ） 33.车辆厂生产的螺杆直径服从正态分布2 (,)N μσ，现从中抽取5枝，测得直径（单位：毫米）为：22.3，21.5，22.0，21.8，21.4.如果2 σ未知，试问直径均值21μ=是否成立？(0.05)α=（附：0.025(4) 2.776 t =，0.05(4) 2.132t =） 34. 某电子元件的耐用时数服从均值为1000小时的正态分布，现随机抽取10件新工艺条件下生产的产品作耐用性能测试，测得其平均耐用时数为：1077小时，修正样本标准差=S 51.97小时，能否认为新工艺条件下生产的电子元件之耐用性能(平均耐用时数)明显不同于老产品? 35. 已知丰收牌柴油机，使用柴油每升的运转时间X 服从正态分布，现测得试装配好的6台的运转时间各为28、27、31、29、30、27（分钟），按设计要求，平均每升运转应在30分钟以上，根据测试结果，在显著性水平05.0=α下，能否说明这种柴油机符合要求？ 36. 抽取某班28名学生的英语考试成绩，得平均分数为x =80分，样本方差2 n s =2 8。若全年级的英语 成绩服从正态分布，且平均成绩为85分。在α=0.05下，检验85:85:10≠=μμH H 对。 37. 随机抽访某联谊社会员，得到四对夫妻的年龄),(i i y x ，4,3,2,1=i ，i x 为妻子年龄,i y 为丈夫年龄，（41，47）、（41，48）、（42，46）、（44，43）。求x 对y 的线性回归方程。 38. 某大企业雇佣的员工人数很多，为探讨员工的工龄x （年）对员工月薪y （百元）的影响，随机抽取了25名员工，得 9650,510,2000,10025 1 251 2 251 25 1 ====∑∑∑∑====i i i i i i i i i y x x y x 求y 对x 的线性回归方程。 39 下表数据是退火温度x(C °)对黄铜延性y 效应的试验结果。y 是以延长长度计算的，且设对于给定的x 、y 是正态变量，其方差与x 无关，求y 对x 的线性回归方程。 40. 设化肥用量x （kg ）与水稻产量y （kg ）存在线性相关关系，今测得7对数据,2,1)(,(=i y x i i … )7,，计算得21071 =∑=i i x ，283571 =∑=i i y ,700071 2 =∑=i i x ,887757 1 =∑=i i i y x ,试求水稻产量y 对化肥用量x 的回归直线。 41. 为探讨企业产量x 对耗电量y 的影响，对12个月的数据计算得 ∑=12 1 i i x =8382， ∑=12 1 i i y =5061， ∑ =12 1 i 2 i x =6001206, ∑=12 1 i i i y x =3622982, ∑=12 1 2i i y =2187343，求y 对x 的线性回归方程；当生产量为840时，估 计耗电量。 42. 某市市区的社会商品零售总额y 和当地居民的可支配收入总额x 之间的年统计数据（单位：亿元）为),(i i y x ，,2,1(=i …,10)，经计算得 10 1 417.2i i x ==∑， 10 1 932.3i i y ==∑, 10 2 1 19842.2i i x ==∑， 10 1 45716.22i i i x y ==∑，求y 对x 的线性回归方程. 《概率论与数理统计》练习题7答案7 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设随机事件A 、B 互斥，(), (),P A P P B q ==则()P A B =( )。 A 、q B 、1q - C 、 p D 、1p - 答案：D 2、某类灯泡使用时数在500小时以上的概率为0.5，从中任取3个灯泡使用，则在使用500小时之后无一损坏的概率为：( )。 A 、 18 B 、2 8 C 、38 D 、 4 8 答案：A 3、设ξ的分布函数为1()F x ，η的分布函数为2()F x ，而12()()()F x aF x bF x =-是某随机 变量ζ的分布函数，则, a b 可取( )。 A 、32, 55a b = =- B 、2 3a b == C 、13 , 22a b =-= D 、13 , 22 a b ==- 答案：A 4、设随机变量ξ,η相互独立,其分布律为: 则下列各式正确的是( )。 A 、{}1P ξη== B 、{}14 P ξη== C 、{}12 P ξη== D 、{}0P ξη== 答案：C ^^ 5、两个随机变量的协方差为cov(,)ξη=( )。 A 、() () 2 2 E E E ηηξξ-- B 、()()E E E E ξξηη-- C 、()()2 2 E E E ξηξη-? D 、()E E E ξηξη-? 答案：D 6、设随机变量ξ在11,22?? -???? 上服从均匀分布sin ηπξ=的数学期望是( )。 A 、0 B 、1 C 、 1π D 、2π 答案：A 7、设12100,,,ξξξ???服从同一分布，它们的数学期望和方差均是2，那么 104n i i P n ξ=?? <<≥???? ∑( )。 A 、 12 B 、212n n - C 、12n D 、1 n 答案：B 8、设12, , , n X X X 是来自正态总体2(, )N μσ的样本( )。 A 、2 11~(,)n i i X X N n μσ==∑ B 、2 11()~(0, )n i X N n n σμ=-∑ C 、22 2111()~(1)n i i X n n μχσ=?--∑ D 、22 21 11()~()n i i X X n n χσ=?-∑ 答案：B 9、样本12(,, , )n X X X ，2n >,取自总体ξ，E μξ=，2D σξ=，则有( )。 ESS&i-k)A RSS[(k -1) ESS /(SI)I). TSS/(n-k) 多元线性回归模型练习 一、单项选择题 1. 在由〃 =30的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算 得可决系数为0.8500,则调整后的可决系数为（D ） A. 0. 8603 B. 0. 8389 C. 0. 8655 D. 0. 8327 2. 用一组有30个观测值的样本估计模型乂 =如玷气+E +0后,在0. 05的 显著性水平上对九的显著性作「检验，则气显著地不等于零的条件是其统计量， 大于等于 （C ） A. ，O .O 5（3°） B . ‘。025（28） c.，。。25（27） p ^*0.025 （^28） 3?线性回归模型乂 =4+"1也+勾％ +……+ b k x h +u i 中,检验 =0（，= 0,1,2,..人）时，所用的统计量 服从（C ） A. t （n _k+l ） B. t （n -k -2） C. t （n -k _l ） D. t （n -k+2） 4. 调整的可决系数与多元样本判定系数R ，之间有如下关系（ D ） 局=公—/?2 职=]_qj R2 A. n-k -1 B ? n-k-\ R 2=[—- （1 + R2） 斤 2 =]— （I-/?2） C. n-k-\ D. n-k-\ 5. 对模型Y L B 。+ B 伏"B 2X 2i + u 「进行总体显著性F 检验,检验的零假设是 （A ） A. P 1= 3 2=0 B. 3 i=0 C. B 2-O D. B 0二0 或 B i=0 6. 设k 为[q 归模型中的参数个数，n 为样本容量。则对多元线性同归方程进行 显著性检验时，所用的F 统计量可表示为（B ） R2/ k B (1-R2)/(D b/d) c. (1-R2)/(S1) 7. 多元线性问归分析中（回归模型中的参数个数为k ）,调整后的可决系数与 可决系数R2之间的关系（A ） §1回归分析 一、基础过关 1．下列变量之间的关系是函数关系的是( ) A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac B．光照时间和果树亩产量 C．降雪量和交通事故发生率 D．每亩施用肥料量和粮食产量 2．在以下四个散点图中， 其中适用于作线性回归的散点图为( ) A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 3．下列变量中，属于负相关的是( ) A．收入增加，储蓄额增加 B．产量增加，生产费用增加 C．收入增加，支出增加 D．价格下降，消费增加 4．已知对一组观察值(x i，y i)作出散点图后确定具有线性相关关系，若对于y＝bx＋a，求得b＝，x＝，y＝，则线性回归方程为 A．y＝＋ B．y＝＋ C．y＝＋ D．y＝＋ 5．对于回归分析，下列说法错误的是( ) A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自 变量唯一确定 B．线性相关系数可以是正的，也可以是负的 C．回归分析中，如果r2＝1，说明x与y之间完全相关 D．样本相关系数r∈(－1,1) 6．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归方程必过( ) Array A.点(2,3) B．点,4) C．点,4) D．点,5) 7．若线性回归方程中的回归系数b＝0，则相关系数r＝________. 二、能力提升 8．若施化肥量x(kg)与小麦产量y(kg)之间的线性回归方程为y＝250＋4x，当施化肥量为50 kg时，预计小麦产量为________ kg. 9．某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4 次试验，得到的数据如下： (1)求加工时间与零件个数的线性回归方程； (2)试预报加工10个零件需要的时间． 野外实习资料的数理统计分析 一元线性回归分析 一元回归处理的是两个变量之间的关系，即两个变量X和Y之间如果存在一定的关系，则通过观测所得数据，找出两者之间的关系式。如果两个变量的关系大致是线性的，那就是一元线性回归问题。 对两个现象X和Y进行观察或实验，得到两组数值：X1，X2,…，Xn和Y1，Y2，…，Yn,假如要找出一个函数Y=f(X),使它在 X=X1,X2, …,Xn时的数值f(X1),f(X2), …,f(Xn)与观察值Y1，Y2，…，Yn趋于接近。 在一个平面直角坐标XOY中找出（X1，Y1），（X2，Y2），…，（Xn，Yn）各点，将其各点分布状况进行察看，即可以清楚地看出其各点分布状况接近一条直线。对于这种线性关系，可以用数学公式表示： Y = a + bX 这条直线所表示的关系，叫做变量Y对X的回归直线，也叫Y对X 的回归方程。其中a为常数，b为Y对于X的回归系数。 对于任何具有线性关系的两组变量Y与X，只要求解出a与b的值，即可以写出回归方程。计算a与b值的公式为： 式中：为变量X的均值，Xi为第i个自变量的样本值，为因变量的均值，Yi为第i个因变量Y的样本值。n为样本数。 当前一般计算机的Microsoft Excel中都有现成的回归程序，只要将所获得的数据录入就可自动得到回归方程。 得到的回归方程是否有意义，其相关的程度有多大，可以根据相关系数的大小来决定。通常用r来表示两个变量X和Y之间的直线相关程度，r为X和Y的相关系数。r值的绝对值越大，两个变量之间的相关程度就越高。当r为正值时，叫做正相关，r为负值时叫做负相关。r 的计算公式如下： 式中各符号的意义同上。 在求得了回归方程与两个变量之间的相关系数后，可以利用F检验法、t检验法或r检验法来检验两个变量是否显著相关。具体的检验方法在后面介绍。 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8 一、邹式检验（突变点检验、稳定性检验） 1.突变点检验 1985—2002年中国家用汽车拥有量（t y ，万辆）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ，元），数据见表。 表 中国家用汽车拥有量（t y ）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ）数据 年份 t y （万辆） t x （元） 年份 t y （万辆） t x （元） 1985 1994 1986 1995 4283 1987 1996 1988 1997 1989 1998 1990 1999 5854 1991 2000 6280 1992 2001 1993 2002 下图是关于t y 和t x 的散点图： 从上图可以看出，1996年是一个突变点，当城镇居民家庭人均可支配收入突破元之后，城镇居民家庭购买家用汽车的能力大大提高。现在用邹突变点检验法检验1996年是不是一个突变点。 ：两个字样本（1985—1995年，1996—2002年）相对应的模型回归参数相等H H ：备择假设是两个子样本对应的回归参数不等。 1 在1985—2002年样本范围内做回归。 在回归结果中作如下步骤(邹氏检验)： 1、 Chow 模型稳定性检验（lrtest） 用似然比作chow检验，chow检验的零假设：无结构变化，小概率发生结果变化* 估计前阶段模型 * 估计后阶段模型 * 整个区间上的估计结果保存为All * 用似然比检验检验结构没有发生变化的约束 得到结果如下; (如何解释) 2.稳定性检验（邹氏稳定性检验） 以表为例，在用1985—1999年数据建立的模型基础上，检验当把2000—2002年数据加入样本后，模型的回归参数时候出现显著性变化。 * 用F-test作chow间断点检验检验模型稳定性 * chow检验的零假设：无结构变化，小概率发生结果变化 * 估计前阶段模型 * 估计后阶段模型 * 整个区间上的估计结果保存为All 《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票，则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案：D 2、如果,A B 为任意事件，下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容，则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立，则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容，则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案：B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?，则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案：A 4、设,ξη相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0，2]上的均匀分布， B 、ζξη=-服从[- 1，1]上的均匀分布， C 、{,}Max ζξη=服从[0，1]上的均匀分布， D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案：D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案：B 6、设1ξ，2ξ都服从区间[0，2]上的均匀分布，则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案：B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=，则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案：D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本，其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ，则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案：A 9、在参数的区间估计中，给定了置信度，则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定； B 、将由有关随机变量的分布唯一确定； C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取； D 、可以任意规定。 答案：C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β，则必有( )。 线性回归模型的研究毕业论文 1 引言 回归分析最早是由19世纪末期高尔顿（Sir Francis Galton）发展的。1855年，他发表了一篇文章名为“遗传的身高向平均数方向的回归”，分析父母与其孩子之间身高的关系，发现父母的身高越高或的其孩子也越高，反之则越矮。他把儿子跟父母身高这种现象拟合成一种线性关系。但是他还发现了个有趣的现象，高个子的人生出来的儿子往往比他父亲矮一点更趋向于平均身高，矮个子的人生出来的儿子通常比他父亲高一点也趋向于平均身高。高尔顿选用“回归”一词，把这一现象叫做“向平均数方向的回归”。于是“线形回归”的术语被沿用下来了。 回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。按照参数估计方法可以分为主成分回归、偏最小二乘回归、和岭回归。 一般采用线性回归分析，由自变量和规定因变量来确定变量之间的因果关系，从而建立线性回归模型。模型的各个参数可以根据实测数据解。接着评价回归模型能否够很好的拟合实际数据；如果不能够很好的拟合，则重新拟合；如果能很好的拟合，就可以根据自变量进行下一步推测。 回归分析是重要的统计推断方法。在实际应用中，医学、农业、生物、林业、金融、管理、经济、社会等诸多方面随着科学的发展都需要运用到这个方法。从而推动了回归分析的快速发展。 2 回归分析的概述 2.1 回归分析的定义 回归分析是应用极其广泛的数据分析方法之一。回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。 2.2 回归分析的主要容 多元线性回归模型 一、单项选择题 1.在由30n =的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算得多重决定系数为0.8500，则调整后的多重决定系数为（ D ） A. 0.8603 B. 0.8389 C. 0.8655 D.0.8327 2.下列样本模型中，哪一个模型通常是无效的（B ） A. i C （消费）=500+0.8 i I （收入） B. d i Q （商品需求）=10+0.8i I （收入）+0.9i P （价格） C. s i Q （商品供给）=20+0.75i P （价格） D. i Y （产出量）=0.650.6i L （劳动）0.4 i K （资本） 3.用一组有30个观测值的样本估计模型01122t t t t y b b x b x u =+++后，在0.05的显著性水 平上对1 b 的显著性作t 检验，则1 b 显著地不等于零的条件是其统计量t 大于等于（ C ） A. )30(05.0t B. ) 28(025.0t C. ) 27(025.0t D. ) 28,1(025.0F 4.模型 t t t u x b b y ++=ln ln ln 10中，1b 的实际含义是（ B ） A.x 关于y 的弹性 B. y 关于x 的弹性 C. x 关于y 的边际倾向 D. y 关于x 的边际倾向 5、在多元线性回归模型中，若某个解释变量对其余解释变量的判定系数接近于１，则表明模型中存在（ C ） A.异方差性 B.序列相关 C.多重共线性 D.高拟合优度 6.线性回归模型01122......t t t k kt t y b b x b x b x u =+++++ 中，检验0:0(0,1,2,...) t H b i k ==时，所用的统计量 服从( C ) A.t(n-k+1) B.t(n-k-2) C.t(n-k-1) D.t(n-k+2) 练习 1.写出下列随机试验的样本空间 (1)把一枚硬币连续抛掷两次.观察正、反面出现的情况； (2)盒子中有5个白球，2个红球，从中随机取出2个，观察取出两球的颜色； (3)设10件同一种产品中有3件次品，每次从中任意抽取1件，取后不放回，一直到3件次品都被取出为止，记录可能抽取的次数；(4)在一批同型号的灯泡中，任意抽取1只，测试它的使用寿命. 解：(1)U={正正正反反正反反} (2)U={白白白红红白红红} (3)U={1，4，5，6，7，8，9，10} (4)U={t>0} 2.判断下列事件是不是随机事件 (1)一批产品有正品，有次品，从中任意抽出1件是正品； (2)明天降雨； (3)十字路口汽车的流量； (4)在北京地区，将水加热列100℃，变成蒸汽； (5y掷一枚均匀的骰子，出现1点. 解：(1)(2)(3)(5)都是随机事件，(4)不是随机事件。 3.设A,B为2个事件,试用文字表示下列各个事件的含义 (1)A+B； (2)AB； (3)A－B； (4)A－AB；(5)AB； (6)AB AB . 解：(1)A ，B 至少有一个发生；(2) A ，B 都发生；(3) A 发生而B 不发生；(4) A 发生而B 不发生；(5)A ，B 都不发生；(6)A ，B 中恰有一个发生（或只有一个发生）。 4.设A,B,C 为3个事件,试用A,B,C 分别表示下列各事件 (1)A ，B ，C 中至少有1个发生； (2)A ，B ，C 中只有1个发生； (3)A ，B ，C 中至多有1个发生； (4)A ，B ，C 中至少有2个发生； (5)A ，B ，C 中不多于2个发生； (6)A ，B ，C 中只有C 发生. 解： (1)A B C, (2)AB C A B C A B C, (3)AB C ABC A B C A B C, (4)ABC ABC ABC ABC AB BC AC, (5)ABC A B C, (6)A B C ++?+??+???++??+??+++++++??或或 练习 1.下表是某地区10年来新生婴儿性别统计情况： 出生年份 1990 1991 1992 1993 1094 1995 1996 1997 1998 1999 总计 男 3 011 2 531 3 031 2 989 2 848 2 939 3 066 2 955 2 967 2 974 29 311 女 2 989 2 352 2 944 2 837 2 784 2 854 2 909 2 832 2 878 2 888 28 spss多元线性回归分析 作者: 日期: SPSS多元线性回归分析试验 在科学研究中，我们会发现某些指标通常受到多个因素的影响，如血压值除了受年龄影响之外，还受到性别、体重、饮食习惯、吸烟情况等因素的影响，用方程定量描述一个因变量y与多个自变量x1、x2、x3 之间的线性依存关系，称为多元线性回归。 有学者认为血清中低密度脂蛋白增高是引起动脉硬化的一个重要原因。现测量30名怀疑患有动脉硬化的就诊患者的载脂蛋白A、载脂蛋白B、载脂蛋白E、载脂蛋白C、低密度脂蛋白中的胆固醇含量。资料如下表所示。求低密度脂蛋白中的胆固醇含量对载脂蛋白A、载脂蛋白E、载脂蛋白E、载脂蛋白C的线性回归方程。 表1 30名就诊患者资料表 spss数据处理步骤： (1)打开spss输入数据后，点击“分析”—“回归”—“线性”。然后将“低密度脂蛋白”选入因变量框，将“载脂蛋白A” “载脂蛋白E” “载脂蛋白E” “载脂蛋白C”依次选入自变量框。方法选为“逐步”。 (2)单击“统计量”选项，原有选项基础上选择“R方变化”。在残差中选“Durbin-Watson”，单击“继续”。 i [粘贴(E)] i ss (印11取消i L 帮助 (3)单击“绘制”，将“DEPENDNT ”选入“X2”中，将“*SRESID ”选入“Y 中，在标准残差图选项中选择“直方图”和“正态概率图”。单击“继续”。 S3 闵蠢墨fD): 制IK DEPEHDNT T ZPRED *ZF?ESID PRESID ?ADdPRED 怡尺匚SID 怡口穆 ESILJ 呵直方便(比 “正态槪率副曰 继续 将(3)，， 取卷 帮肋 銭性回归 册回归:圏 踰点1的1 厂产空所有制分團(巳 (4)单击“选项”，在原有选项的基础上单击“继续”，最后单击“确定”，就完 成了。 多元线性回归模型练习 一、单项选择题 1. 在由n =30的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算 得 可决系数为0.8500，贝U 调整后的可决系数为（D ） A. 0.8603 B. 0.8389 C. 0.8655 D.0.8327 2. 用一组有30个观测值的样本估计模型 y t =b o ? b i x it b 2 X 2t U t 后，在0.05的 显著 性水平上对b l 的显著性作t 检验，则b l 显著地不等于零的条件是其统计量 t 大于等于（C ） A t o 』5（3O ） B t o.025 （28） C t o.o25（27） D F 0.025 （1,28） 3. 线性回归模型y t =b ° "旳+6x 21 + ............ +b k X kt +4中，检验 A H o ：b =0（i 二。，1,2 ，.*）时，所用的统计量 / ■■ ■X 服从（C ） A.t (n-k+1) B.t (n-k-2) C.t (n-k-1) D.t( n k+2) 4. 调整的可决系数 :与多元样本判定系数: ‘之间有如下关系（ D) R 2= n " R 2 R 2 =1 - n " R 2 A . n- k-1 B. n -k -1 R 2=1 - n " (1 R 2) R 2 =1 - n " (1-R 2 ) C n —k -1 D. n- k-1 5.对模型Y = B 0+ B 1X i + B 2X 2i + 卩 i 进行总体显著性F 检验，检验的零假设是 A ) A . B 1= B 2=0 B. B 1=0 C .B 2=0 D. B 0=0 或 B 1=0 6?设 k 为回归模型中的参数个数，n 为样本容量。则对多元线性回归方程进 行显著性检验时，所用的F 统计量可表示为（ B ） ESS （n-k ） 一k A. RSS （k-1） B . （1-R 2 ）/（n —k — 1 ） R 2 (n - k) C. (1 - R 2) '(k-1) 7.多元线性回归分析中（回归模型中的参数个数为 k ），调整后的可决系数 R 2与可决系数R 2之间的关系（ A ） n -1 R 2 =1 _（1 _R 2 ） ESS/(k-1) D. TSS (n-k) 习题一 （A ） 1.写出下列随机试验的样本空间： （1）一枚硬币连抛三次；（2）两枚骰子的点数和；（3）100粒种子的出苗数；（4）一只灯泡的寿命。 2. 记三事件为C B A ,,。试表示下列事件： （1）C B A ,,都发生或都不发生；（2）C B A ,,中不多于一个发生；（3）C B A ,,中只有一个发生；（4）C B A ,,中至少有一个发生； （5）C B A ,,中不多于两个发生；（6）C B A ,,中恰有两个发生；（7）C B A ,,中至少有两个发生。 3.指出下列事件A 与B 之间的关系： （1）检查两件产品，事件A =“至少有一件合格品”，B =“两件都是合格品”； （2）设T 表示某电子管的寿命，事件A ={T >2000h }，B ={T >2500h }。 4.请叙述下列事件的互逆事件： （1）A =“抛掷一枚骰子两次，点数之和大于7”； （2）B =“数学考试中全班至少有3名同学没通过”； （3）C =“射击三次，至少中一次”； （4）D =“加工四个零件，至少有两个合格品”。 5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。 6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是9,,1,0 中的任一个,求：（1）电话号码由完全不相同的数字组成的概率；（2）电话号码中不含数字0和2的概率；（3）电话号码中4至少出现两次的概率。 7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。 8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求：（1）所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率；（2）所抽取的10个苹果中没有次品的概率。 9.设A ,B 为任意二事件,且知4.0)()(==B p A p ,28.0)(=B A p ,求)(B A p ?；)(A B p 。 10.已知41)(=A p ，31)(=A B p ，2 1)(=B A p ，求)(B A p ?。 11.一批产品共有10个正品和4个次品,每次抽取一个,抽取后不放回,任意抽取两次,求第二次抽出的是次品的概率。 12.已知一批玉米种子的出苗率为0.9,现每穴种两粒,问一粒出苗一粒不出苗的概率是多少？ 13.一批零件共100个,次品率为10%,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回,求第三次才取得正品的概率。 SPSS--回归-多元线性回归模型案例解析！(一） 多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为： 毫无疑问，多元线性回归方程应该为： 上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示： 那么，多元线性回归方程矩阵形式为： 其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样） 1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。 2：无偏性假设，即指：期望值为0 3：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等 4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。 今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示： 点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面： 将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个自变量拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量，都会强行进入） 如果你选择“逐步”这个方法，将会得到如下图所示的结果：（将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的，如下图可以看出，车的价格和车轴跟因变量关系最为密切，符合判断条件的概率值必须小于0.05，当概率值大于等于0.1时将会被剔除） 概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连 续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,, ,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ - 线性回归分析的SPSS操作 本节内容主要介绍如何确定并建立线性回归方程。包括只有一个自变量的一元线性回归和和含有多个自变量的多元线性回归。为了确保所建立的回归方程符合线性标准，在进行回归分析之前，我们往往需要对因变量与自变量进行线性检验。也就是类似于相关分析一章中讲过的借助于散点图对变量间的关系进行粗略的线性检验，这里不再重复。另外，通过散点图还可以发现数据中的奇异值，对散点图中表示的可能的奇异值需要认真检查这一数据的合理性。 一、一元线性回归分析 1．数据 以本章第三节例3的数据为例，简单介绍利用SPSS如何进行一元线性回归分析。数据编辑窗口显示数据输入格式如下图7-8（文件7-6-1.sav）： 图7-8：回归分析数据输入 2．用SPSS进行回归分析，实例操作如下： 2.1.回归方程的建立与检验 （1）操作 ①单击主菜单Analyze / Regression / Linear…，进入设置对话框如图7-9所示。从左边变量表列中把因变量y选入到因变量（Dependent）框中，把自变量x选入到自变量（Independent）框中。在方法即Method一项上请注意保持系统默认的选项Enter，选择该项表示要求系统在建立回归方程时把所选中的全部自变量都保留在方程中。所以该方法可命名为强制进入法（在多元回归分析中再具体介绍这一选项的应用）。具体如下图所示： 图7-9 线性回归分析主对话框 ②请单击Statistics…按钮，可以选择需要输出的一些统计量。如Regression Coefficients(回归系数)中的Estimates，可以输出回归系数及相关统计量，包括回归系数B、标准误、标准化回归系数BETA、T值及显著性水平等。Model fit项可输出相关系数R，测定系数R2，调整系数、估计标准误及方差分析表。上述两项为默认选项，请注意保持选中。设置如图7-10所示。设置完成后点击Continue返回主对话框。 图7-10：线性回归分析的Statistics选项图7-11：线性回归分析的Options选项 回归方程建立后，除了需要对方程的显著性进行检验外，还需要检验所建立的方程是否违反回归分析的假定，为此需进行多项残差分析。由于此部分内容较复杂而且理论性较强，所以不在此详细介绍，读者如有兴趣，可参阅有关资料。 ③用户在进行回归分析时，还可以选择是否输出方程常数。单击Options…按钮，打开它的对话框，可以看到中间有一项Include constant in equation可选项。选中该项可输出对常数的检验。在Options对话框中，还可以定义处理缺失值的方法和设置多元逐步回归中变量进入和排除方程的准则，这里我们采用系统的默认设置，如图7-11所示。设置完成后点击Continue返回主对话框。 ④在主对话框点击OK得到程序运行结果。 SPSS--回归-多元线性回归模型案例解析！(一) 多元线性回归,主要就是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系,跟一元回归原理差不多,区别在于影响因素(自变量)更多些而已,例如:一元线性回归方程 为: 毫无疑问,多元线性回归方程应该 为: 上图中的 x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止,代表有P个自变量,如果有“N组样本,那么这个多元线性回归,将会组成一个矩阵,如下图所示: 那么,多元线性回归方程矩阵形式为: 其中:代表随机误差, 其中随机误差分为:可解释的误差与不可解释的误差,随机误差必须满足以下四个条件,多元线性方程才有意义(一元线性方程也一样) 1:服成正太分布,即指:随机误差必须就是服成正太分别的随机变量。 2:无偏性假设,即指:期望值为0 3:同共方差性假设,即指,所有的随机误差变量方差都相等 4:独立性假设,即指:所有的随机误差变量都相互独立,可以用协方差解释。 今天跟大家一起讨论一下,SPSS---多元线性回归的具体操作过程,下面以教程教程数据为例,分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系,建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示: 点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面: 将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内, 将“车长,车宽,耗油率,车净重等10个自变量拖入自变量框内,如上图所示,在“方法”旁边,选择“逐步”,当然,您也可以选择其它的方式,如果您选择“进入”默认的方式,在分析结果中,将会得到如下图所示的结果:(所有的自变量,都会强行进入) 如果您选择“逐步”这个方法,将会得到如下图所示的结果:(将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选,最先进入回归方程的“自变量”应该就是跟“因变量”关系最为密切, 作业： 在农作物害虫发生趋势的预报研究中,所涉及的5个自变量及因 变量的10组观测数据如下,试建立y对x1-x5的回归模型，指出那些变量对y有显著的线性贡献，贡献大小顺序。 x1 x2 x3 x4 x5 y 9.200 2.732 1.471 0.332 1.138 1.155 9.100 3.732 1.820 0.112 0.828 1.146 8.600 4.882 1.872 0.383 2.131 1.841 10.233 3.968 1.587 0.181 1.349 1.356 5.600 3.732 1.841 0.297 1.815 0.863 5.367 4.236 1.873 0.063 1.352 0.903 6.133 3.146 1.987 0.280 1.647 0.114 8.200 4.646 1.615 0.379 4.565 0.898 8.800 4.378 1.543 0.744 2.073 1.930 7.600 3.864 1.599 0.342 2.423 1.104 （！）回归性方程显著性检验： 由Analysis of variance 表可知，其 r F P 的值0.0170小于0.05，则1 y x 与、2 x3x4x、5x之间具有显著性相关性；由R-square的值为0.9356可知该方程的拟合度高，（2）参数显著性检验： a.由Parameter Estimates 表可知，对自变量x1。t 检验值为t=1.06,Pr t >的值等于 0.3479，大于0.05，故x1的系数为0，即x1未通过检验，去掉x1，再次运行程序。 b.结果表明所有变量的系数均通过检验，得到线性模型。 （3）拟合区间。 2350.75463 1.999640.33313 2.24781y x x x =--+ 故对y 有显著的线性贡献大小顺序为 325 x x x >>。 附件： data ex; input x1-x5 y@@; cards ; 9.200 2.732 1.471 0.332 1.138 1.155 9.100 3.732 1.820 0.112 0.828 1.146 8.600 4.882 1.872 0.383 2.131 1.841 10.233 3.968 1.587 0.181 1.349 1.356 5.600 3.732 1.841 0.297 1.815 0.863 5.367 4.236 1.873 0.063 1.352 0.903 6.133 3.146 1.987 0.280 1.647 0.114 8.200 4.646 1.615 0.379 4.565 0.898 8.800 4.378 1.543 0.744 2.073 1.930 概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2概率统计练习题答案
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