太阳影子定位
摘要
太阳影子定位对视频拍摄分析至关重要，本文通过建立几何模型、太阳高度角模型和遍历模型，绘制出了影长变化曲线，确定了视频拍摄的地点和日期，解决了太阳影子定位问题。
针对问题一，基于地球是球形的假设，建立几何模型和坐标系，用与影长相关的五个参数表示出了杆顶点坐标和光线向量。由点、线、面间的关系求得直线（光线向量所在直线）和平面（过原点且与杆垂直的平面）的方程，联立方程组求得了影子顶点坐标，并用向量的模表示出了影子的长度，由Matlab软件绘制出了影长变化曲线。最后，基于地球的真实形状，用太阳高度角模型对模型进行检验，验证了它的合理性。
针对问题二，由于它恰好有两个条件的确定性与问题一相反，所以我们采用问题一精度更高的太阳高度角模型倒推求解。由勾股定理求出21组影长，以影长为纵坐标，时间为横坐标作图，得到的最低点同时对应时间和当地时间12:00，根据问题一中的时差关系式，反推出当地的经度，再用遍历法，求出了合适的纬度，由经纬度确定了地点为蒙古自治区鄂尔多斯市。
针对问题三，由于它与问题二的区别仅是日期未知，所以只需求日期，地点用问题二模型来求。我们采用逆向思维，反推出求日期需要知道五个角，然后正向求解。先通过方位角与影轴角、时角和太阳高度角的关系建立两个等式求出方位角，再利用赤纬角与方位角的关系求出赤纬角，最后利用赤纬角与日期的关系，建立遍历模型求出了日期。最后采用问题二的模型求解地点。
针对问题四，我们通过处理图像求得了影长。在日期已知时，我们通过绘制影长-时间图求解出经度为102.165
E?，通过求解高度角与其三个参数的值，建立太阳高度角模型，通过总关系式求出了纬度为58.1
N?。在日期未知时，我们给出了遍历模型求解纬度，由于经度与日期无关，所以依旧采用日期已知时的方法来求解。
本模型考虑了地球不是规则球体的因素，引入了修正值，使结果更加可靠，且后续问题参照前面的模型来求解，使问题大大简化。
关键字：太阳影子定位；几何模型；太阳高度角模型；遍历模型
1.问题重述
视频数据分析需要确定视频的拍摄地点和拍摄日期两大方面，太阳影子定位技术就是其中一种确定方法，它通过分析视频中物体太阳影子的变化情况来反推拍摄视频的地点和日期。
为了解决太阳影子的定位问题，我们要解决以下四个问题。
1.通过设定中间参数，建立影子长度变化的数学模型，并分析出影子长度关于各个参数的变化规律。应用建立的模型画出2015年10月22日时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.由直杆在水平面上的影子顶点坐标数据，建立数学模型，确定出直杆所处的地点。将模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个符合条件的地点。
3.由直杆在水平面上的影子顶点坐标数据，建立数学模型，确定直杆所处的地点和日期。将模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个符合条件的地点与日期。
4.建立确定视频拍摄地点的数学模型，并将其应用于附件4，求出若干个符合条件的拍摄地点。附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频截图，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
在拍摄日期未知的情况下，判断是否可以根据视频确定出拍摄地点与日期，若可以则给出模型和方法。
2．模型假设
1.假设地球是一个规则的球形；
2.假设附件所给数据真实可信；
3.假设本文引用的定理公式准确度足够高。
3．通用符号说明
4．问题一模型的建立与求解
4.1问题分析
问题一要我们建立影子长度变化的数学模型，并分析影长关于各个参数的变化规律。由于在基本假设中已经假设了地球是一个规则的球形，我们打算建立几何模型，采用建立坐标系的方法来求解直杆影子的向量，拟将此坐标系的原点设在坐标原点，赤道设为xoz 平面，地球自转轴设为y 轴。
由于影子的长度与直杆长度、经度、纬度和太线直射角度有关，而太阳直射角度又与日期有关，我们打算设定五个参数分别表示它们。
我们拟用这五个参数表示出直杆顶点坐标和太线向量，可能由点、线、面间的关系表示出太线向量所在直线的方程、过原点且与直杆垂直的平面的方程，联立两个方程可能得到影子顶点的坐标。此坐标到原点的距离就是直杆影子的长度，我们打算用向量的模来表示影长[1]。
根据影长的公式可能分析出各参数对影长的影响。我们拟以影长为纵坐标，时间为横坐标作图来绘制曲线。
4.2模型的建立
我们以地心为坐标原点O ，设直杆所在经线与赤道的交点为B 点，以OA 所在直线在X 轴，地球自转轴为y 轴，z 轴过圆心且与xoy 平面垂直。
直杆的影子变化与直杆长度、经度、纬度和太线直射角度有关，而太阳直射角度又与日期有关，所以我们设定了杆长l 、直杆所在经度γ、直杆所在纬度α、太阳赤纬、时角五个参数。
为了便于求解，我们将直杆向量平移到圆心，此时直杆底端位于圆心，设直
杆的顶端A 坐标为000,,x y z （）。
在坐标图中由简单的几何关系可以得到A 的坐标与四个参数间的关系：
000cos cos 12sin cos sin 12x l t y l z l t παα
πα???= ??????=?????= ?????
（1） 其中 01212
t T γγπ
-=-+ （2） T 是观测日期，它从2015年1月1日开始计时，每天+1。
()sin 0.39795cos 0.98563173T θ=-????
（3） 由四个参数的定义可以得到太线向量为
()cos ,sin ,0θθ （4）
由式（4）得向量所在直线的斜率为tan θ，过点A 且斜率为tan θ的直线即为从太阳发射经A 照射到平面S 的光线所在的直线1l ，它的点斜式方程为
()000sin tan cos cos tan 12cos sin 12y l x l t y y x x z z z l t παθαθπα?????-=-? ????-=-?????→??=????= ?????
（5） 设过原点且与OA 垂直的平面为平面S ，平面S 的点法式方程表示为：
()()()0000x x a y y b z z c -+-+-=
（6） 其中(),,a b c 为平面S 已知点的坐标，即原点坐标()0,0,0O ；000,,x y z （）为平
面的法向量即()000cos cos ,sin ,cos sin 1212,,l t x l y l z t ππααα???? ? ???????== ??
?OA 。 带入上述坐标值，可以将式（6）写为
cos cos sin cos sin 1212xl t yl zl t ππααα????++ ? ?????
（7） 直线1l 与平面S 的交点即为直杆影子的顶点A ',联立方程（5）和（7）即可得到顶点A '的坐标。求投影点A '坐标的Matlab 程序和运行结果见附录。
由运行结果我们得出投影点A '的坐标为：
22222sin cos sin tan cos cos sin cos cos tan sin tan cos cos cos sin tan cos sin cos cos cos tan sin cos sin l t l t x t t t t l l l y z l t l t ααθαααθαθααθαααθαα?+-=-?+?-+?=-?+?=???
直杆影子的长度即为向量'OA 的模，
'=OA （8）
4.3模型的求解
（1）影长与参数间关系分析（k i 为常数）
我们以其它参数为常数，杆长为变量，对影长与杆长间的关系进行分析，得到
1l k l '=
可以得出：在其他条件一样的情况下，影长与杆长呈线性关系，影长随杆长的增加而增加。
我们以其它参数为常数，纬度为变量，对影长和纬度间关系进行分析，近似得到
()22420l k k k α'=+<
可以看出影长与纬度近似呈二次函数关系，且存在一个最低点，随纬度的增加影长先减小后增加，最低点对应纬度为0.
我们以其它参数为常数，日期为变量，对影长和日期间关系进行分析，近似得到
2567l k T k T k '=++
可以看出影长与日期呈二次函数关系，有一个最低点，对应冬（夏）至日，随日期的增大，影长先减小后增大。
同理分析，影长随时刻的增加呈先减小后增加的趋势。
（2）坐标图的绘制
本题要我们求2015年10月22日时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线，我们由题目可以读出直杆长度、经度、纬度和日期，由模型一可以求出太
阳赤纬。
符号数值
l直杆的长度2米
γ直杆所在经度东经116度23分29秒
α直杆所在纬度北纬39度54分26秒
T日期2015年10月22日，即295天
和参数的具体数值带入向量的模的公式（8），然后绘图，程序见附录1。我们得到下图：
图1 问题一影长-时间图
由图得，在时间9:00-15:00间，影子长度呈先减小后增加的趋势，二者符
合二次函数关系，图像存在一个最低点，此点对应时间12:00，由于直杆位于东
八区，所以12:00也是最低点对应的当地时间。
4.4模型的检验
由于模型一是基于地球是一个规则的球形的假设来计算的，存在误差，为了
消除误差，我们考虑到地球的实际形状，建立了太阳高度角模型[2]，来检验模型
一。
直杆、直杆影子和太线可以构成一个直角三角形，令太阳高度角为1
∠，直杆长为l，直杆影长为l'，则它们之间的关系为：
tan1l l
∠=
'
太阳高度角与四个因素有关，分别是太阳赤纬θ、纬度α、和时角t有关，它们之间的关系为：
sin 1sin sin cos cos cos t αθαθ∠=+
太阳赤纬的计算公式为：
()sin 0.39795cos 0.98563173T θ=-????
其中，T 为观测日期，从每年1月1日开始计算，每天数值累计+1。本题要我们求2015年10月22日对应T=295，将T 带入上式得：
()sin 10.39795cos 0.985632951730.20046∠=-=-????
纬度的计算公式为
5426sin sin 390.64155603600α??=++= ??
? 时角的计算公式为
()()()1215120159.5sin 27.7sin 782800.9856m m B E E m
t t t t t t p p p T η
αη?=-???=++??-=???=-+?=+? （9） 其中m t 为真太阳时；B t 为时间；E t 为时间与当地时间的时差；m T 为天数，从1月2日开始计时；η为修正参数，由于地球不是一个规则的球形，所以需要修正。α是当地纬度，由于时间指东京120?的地方时间，有纬度差，而每经度变化15?，时间相差1小时。
用上述模型求出9:00时的影长为5.67米，而模型一求出此时的影长为5.13米，偏差为-9.53%，偏差不大，所以模型一合理可信。
5．问题二模型的建立与求解
5.1问题分析
考虑到问题二恰好有两个条件的确定性与问题一相反，我们打算采用问题一的模型倒推经纬度，来确定地点。
我们拟通过勾股定理对附件1中的影子的坐标进行处理，求21组直杆影子在对应时间的长度。以影长为纵坐标，时间为横坐标作图，可能得到一个最低点，这个点对应一个时间和当地时间（12:00）。我们准备根据问题一模型中的时间与当地时间的关系式，反推出当地的经度。对于纬度的确定，我们打算采用遍历的方法，将连续变化的纬度离散化，可能找出直杆的方差符合要求的纬度。经度和纬度求出后，排除出不合适的地点，正确地点就可以确定了。