南京师范大学2016-2017学年第2 学期
高等数学A 期末考试试卷
2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟
学号 姓名 年级专业
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11
(1)n
p
n n ∞
=-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是
（ ）
A ．2x y Ce =
B ．22x y Ce =
C ．22y y e Cx =
D ．2y e Cxy = 2．求极限
(,)(0,0)lim
x y →=
（ ）
A ．
14 B ．12- C ．1
4
- D ．12
3．直线:
327
x y z
L ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ）
A ．直线L 平行于平面π
B ．直线L 在平面π上
C ．直线L 垂直于平面π
D ．直线L 与平面π斜交
4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，
则D
σ= （ ）
A ．33()2b a π-
B ．332()3b a π-
C ．334()3b a π-
D ．333()2
b a π
-
5．下列级数收敛的是 （ ）
A ．11(1)(4)n n n ∞
=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D
．1
n ∞
=
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。
2. 计算二重积分22
D
x y dxdy x y
++??
，其中22
{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y
??+??。
4.求曲线积分()()L
x y dx x y dy ++-?，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针方
向。
5.
计算D
y ??，其中D
是由y =1x =-及1y =所围成的区域。
6
．判断级数1
(1)1n n n n ∞
=-+∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
7．将函数1
(1)(2)
x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
2. 求幂级数1
(1)(1)!n n
n nx n ∞
=-+∑的和函数。
3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数，且(0)1f =，(0)0g =，L 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为D ，已知
[()()]()L
D
xydx yf x g x dy yg x d σ++=?
??，
求()f x 和()g x 。
参考答案
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．2{(,)|210}x y y x -+> 2．3
3．920y z --= 4．1ln ln yz yz yz yzx dx zx xdy yx xdz -++ 5．01p <≤ 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．C 2．C 3．C 4．B 5．A
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 解：先求'0y y +=的通解，得1x y C e -=………………2分
采用常数变易法，设()x y h x e -=，得''()()x x y h x e h x e --=-………3分 代入原方程得'()()()x x x x h x e h x e h x e e ----+=………………4分
得21
()2
x h x e C =+………………5分
故通解为1
2
x x y e Ce -=+………………6分
将初始条件0x =，2y =带入得3
2
C =，故特解为1322x x y e e -=+…………7分
2. 计算二重积分22
D
x y dxdy x y
++??
，其中22
{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 解：设cos ,sin x r y r θθ==………………1分
则1
0,
12
sin cos r π
θθθ
≤≤
≤≤+………………3分
所以12
12220sin cos cos sin D
x y r r dxdy d rdr x y r π
θθθθθ+++=+????………………5分 20
(sin cos 1)d π
θθθ=+-?………………6分
42
π
-=………………7分
3. 设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z
x y
??+??。
解：设(,,)432sin(23)F x y z x y z x y z =-+-+-………………1分
12cos(23),44cos(23),36cos(23)
x y z F x y z F x y z F x y z =-+-=--+-=++-………………4分
2cos(23)14cos(23)4
,3[12cos(23)]3[12cos(23)]y x z z F F z x y z z x y z x F x y z y F x y z ?+--?+-+=-==-=
?++-?++-……6分 所以
1z z x y
??+=??………………7分
4. 求曲线积分()()L
x y dx x y dy ++-?，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针
方向。
解：圆的参数方程为：cos ,
sin (0)2
x a t y a t t π
==≤≤
……………1分
220
()()(cos sin (cos sin )cos )sin L
x y dx x y dy a t a t da a t a t da t t π
π
++-=+-+??
?……3分
2
20
(cos 2sin 2)a
t t dt π
=-?
………………4分
2
2
0[sin 2cos 2]2
a t t π
=+………………6分 2a =-………………7分
（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）
5.
计算D
y ??，其中D
是由y =1x =-及1y =所围成的区域。
解：{(,)|1,11}D x y y x =≤≤-≤≤………………1分
11
1
D
y
dx y -=???………………2分
3
12621
12[(1)63x y -=-?+-?………………4分
13
11(||1)9
x dx -=-
-?………………5分 13
02(1)9x dx =--?………………6分
1
6=………………7分 6.
判断级数1
(1)1n n n n ∞
=-+∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
解：(1)11n n n n n -=++1分 ()n n
→∞………………3分 所以级数发散。………………4分
又
(1)1(1)(111n n n n n -=--++
5分
1
n n +=………………6分
显然，交错级数1n n ∞
=
1n
n ∞
=都收敛，所以原级数收敛。因此是条件
收敛。………………7分
7. 将函数
1
(1)(2)
x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。
解：
111
(1)(2)12x x x x
=-----………………2分
而
1
,||11n n x x x ∞
==<-∑………………3分 211[1()](||2)2222
x x
x x =+++<-………………4分
所以
221
11[1()](1)(2)222
x x x x x x =+++
-+++--………………5分
10
1
(1)2
n n n x ∞
+==-
∑………………6分 成立范围||1x <………………7分
四、 解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1. 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上任一点P 的坐标为(,,)P x y z ，P 点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为222x y z ++，………………1分 构造拉格朗日函数
22222()(1)F x y z x y z x y z λμ=++++-+++-………………2分
2222022020
010
x y
z
F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ=++=??=+
+=??=-+=??=+-=?=++-=?
?………………4分
解得
1
(12
x =
-………………5分
得两个驻点为12
1111(2(222
22P P =---=--
-- …………………6分
………………7分
2. 求幂级数1(1)(1)!
n n
n nx n ∞
=-+∑的和函数。
解：因为0!n x
n x e n ∞
==∑，所以0
(1)!n n x
n x e n ∞
-=-=∑，………………1分
00
(1)(1)(11)()(1)!(1)!n n n n
n n nx n x S x n n ∞
∞
==--+-==++∑∑………………2分
00
(1)(1)!(1)!n n n n
n n x x n n ∞
∞==--=-+∑∑………………3分
(1)!n n
x n x e n ∞
-=-=∑………………4分 110010010(1)(1)!
11(1)1(11(1)1)(1)!(1)!1(1)1(1)1!1!!n n n n n n n n n n n n n n n n n x n x x x n x n x x x x n x e x x n x x
n x n ∞
+++∞∞==∞∞=∞-===--=-++??
--=-=--????=-=+--=-∑∑∑∑∑∑ (0)
x ≠…………5分 所以
1
()(1)(0)x x S x e e x x --=--≠
故1
()(1)(0)x x S x e e x x
--=--≠……6分
当0x =时，()0S x =。………7分
另解：
当0x ≠时，11110(1)1(1)1(1)(1)!(1)!(1)!n n n n x n n n n n n x x n x n x n x n d x +∞
∞∞===??
---==??++-??
?∑∑∑ 1111001(1)1(1)(1)!(1)!n n n x n n n x x n x n x x dx x dx -∞∞==-??????--??==-??????--????????
??∑∑ 0
01(1)!n x n n x n x x dx ∞=-=-∑?
11x
x
x x
x dx
e x d e x x --=-=??
()1
1x x e e x x
--=
+- 11x x e e x x --=+-
当0x =时，()0S x =。
3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数，且(0)1f =，(0)0g =，L 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为D ，已知
[()()]()L
D
xydx yf x g x dy yg x d σ++=?
??，
求()f x 和()g x 。 解：由格林公式得
['()'()]()D
D
yf x g x x dxdy yg x dxdy +-=????………………2分
即['()'()()]0D
yf x g x x yg x dxdy +--=??………………3分
由于区域的任意性，'()'()()0yf x g x x yg x +--=………………4分 又由于y 的任意性，有'()()f x g x =，'()g x x =……………5分
又由(0)1f =，(0)0g =得， 2
()2x g x =………………6分
所以3
()16
x f x =+………………7分
遵章守纪考试诚信承诺书 在我填写考生信息后及签字之后，表示我已阅读和理解《XX 学院学生考试违规处理办法》有关规定，承诺在考试中自觉遵守该考场纪律，如有违规行为愿意接受处分；我保证在本次考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。 承诺人签字： 数理部《高等数学》(专科)课程期末考试卷 2016——2017学年第二学期 闭卷 考试时间： 100分钟 任课教师: （统一命题的课程可不填写） 年级、专业、班级 学号 姓名 一、填空题（每小题3分，共15分） 1.设 2 1 ,1()1 ,1x x f x x a x ?-≠? =-??=?，)(x f 在1=x 处连续，则=a 。 2.已知()3 f x '=，则0 ( 2)() lim x f x x f x x ?→-?-= ? 。 3. 2 11x +是 () f x 的一个原函数，则()f x d x = ? 。 4.已知曲线ln y x =，求曲线点(,1)e 的切线方程 。 5.函数 ()ln f x x x =+在[1,]e 上满足拉格朗日中值定理的点ξ = 。 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.函数2 11y x = -的定义域是（ ）。 A.(2,2)- B.[2,2]- C.[2,1)(1,2]--- D.[2,1) (1,1) (1,2] --- 2.设函数(,) z f x y =有一阶、二阶偏导数，则当（ ）时， 2 2 z z x y y x ??= ????。 A.函数(,) z f x y =连续 B.函数(,) z f x y =可微 C. ,z z x y ????连续 D.,x y y x z z ''''连续 3.若函数 () f x 在点0x 处满足 00()0,()0 f x f x '''=≠，则点0x 是曲线() y f x =的（ ）。 A.拐点 B.极大值点 C.极小值点 D.单调性不能确定 4.由曲线2 y x =，直线2,2,0 x x y =-==围成的屏幕图形的面积为（ ）。 A.22 x d x ? B.22 2 x d x -? C.40 y ? D.4 2y ? 5.以下方程中（ ）是一阶线性微分方程。 A.x y y e +'= B.x y y '= C.0 y x y y '''+ += D.ln y y x '- = 三、计算题（每小题6分，共54分） 1.1 1lim ( ) ln 1 x x x x →- - 2.22lim ( ) x x x x -→∞ -
华师16秋《高等数学(文)》在线作业
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
一、单选题（共 20 道试题，共 40 分。） V 1. y=xsin3x,则y=( )。 . (-os3x+3sin3x)x . (sin3x+3xos3x)x . (os3x+sin3x)x . (sin3x+xos3x)x 标准答案： 2. f(x)在某点连续是f(x)在该点可微的（） . 充分条件 . 必要条件 . 充分必要条件 . 既非充分又非必要条件 标准答案： 3. x→5时，函数|x-5|/(x-5)的极限是（） . 0 . ∞ . 1 . 不存在 标准答案： 4. 当x→0时，ln(1+x)与x比较是（）。 . 高阶无穷小量 . 等价无穷小量 . 非等价的同阶无穷小量 . 低阶无穷小量 标准答案： 5. 当x→0时，下列变量为无穷大量的是（）。 . xsinx . sinx/x . ^x . (1+sinx)/x 标准答案： 6. 极值反映的是函数的（）性质。 . 局部 . 全体 . 单调增加 . 单调减少 标准答案： 7. （）是函数f(x)=1/2x的原函数。 . F(x)=ln2x . F(x)=-1/x^2 . F(x)=ln(2+x) . F(x)=lnx/2 标准答案： 8. 若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f[g(x)]有意义，则f[g(x)]是（）
. 奇函数 . 非奇非偶函数 . 偶函数或奇函数 标准答案： 9. 曲线y=(4+x)/(4-x)在点（2,3）的切线的斜率是（）。 . 2 . -2 . 1 . -1 标准答案： 10. 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))的切线存在是函数y=f(x)在x0处可导的 . 充分条件 . 必要条件 . 充分必要条件 . 既非充分又非必要条件 标准答案： 11. 如果函数f(x)的定义域为（-1,0），则下列函数中，（）的定义域为（0,1）. f(1-x) . f(x-1) . f(x+1) . f(x2-1) 标准答案： 12. 偶函数的定义域一定是( )。 . 包含原点的区间 . 关于原点对称 . (-∞,+∞) . 以上说法都不对 标准答案： 13. 函数y=x^2+1在区间[-2,1]上的最大值是（）。 . 1 . 2 . 5 . 不存在 标准答案： 14. 设函数f(x)=|x|，则函数在点x=0处() . 连续且可导 . 连续且可微 . 连续不可导 . 不连续不可微 标准答案： 15. 曲线y=xlnx-x在x=处的切线方程是（）。 . y=-x- . y=x-
大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x
大一高等数学期末考试卷（精编试题）及答案详解 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
《高等数学B（二）》教学大纲 本课程依据全校理工类专业2015版人才培养方案，理工类本科数学基础课程教学基本要求制定，也依据了2015年教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会关于大学数学课程教学的基本要求。 课程名称：高等数学B（二） 课程代码：BB-2 课程管理：数理学院（或部）高等数学教研室 教学对象：全校理工类专业 教学时数：总时数64 学时，其中理论教学64 学时，实验实训0 学时。 课程学分：4.0 课程开设学期：2 课程性质：专业基础课 课程衔接：（1）先修课程初等数学（2）后续课程概率论与数理统计 一、课程教学目标及要求 通过本课程的学习，要使学生获得空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程及无穷级数等基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 要求学生理解数学的基本概念和基本定理，培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。熟悉高等数学的基本公式和基本方法，掌握常用公式和方法，提高计算能力。 二、教学内容及要求 第六章空间解析几何与向量代数 （一）教学目标 使学生掌握向量概念及有关运算；掌握平面方程、空间直线方程的各种形式；熟悉平面与平面、直线与直线、平面与直线之间的交角公式及平行、垂直条件；掌握常用的二次曲面的标准方程及其图形。 （二）知识点及要求 第一节向量及其线性运算 1、理解空间直角坐标系，向量的概念及其表示。 2、掌握向量的线性运算，向量的模与方向余弦的计算。 第二节数量积与向量积 1、理解两向量的数量积与向量积的概念。 2、掌握向量的数量积和向量积的运算。 第三节平面及其方程 1、理解平面的点法式方程，平面的一般方程，两平面的夹角。 2、掌握平面方程及其求法，平面与平面间几何位置的判定。 第四节空间直线及其方程 1、理解空间直线的一般方程、对称式方程与参数方程，两直线的夹角，直线与平 面的夹角。 2、掌握空间直线方程及其求法，会利用直线、平面相互关系（平行、垂直、相交
《高等数学b-1》（A 卷） 1、=+→x x x 20 )31(lim ． 2、当=k 时，???>+≤=0 )(2x k x x e x f x 在0=x 处连续． 3、设x x y ln +=，则 =dy dx ． 4、曲线x e y x -=在点)1,0(处的切线方程是 ． 5．设两辆汽车从静止开始沿直线路径前进，下图中给出的两条曲线)(1t a a =和)(2t a a =分别是两车的速度曲线．那么位于这两条曲线和直线)0(>=T T t 之间的图形的面积A 所表示的物理意义是 ． 1、若函数x x x f = )(，则=→)(lim 0 x f x （ ）． A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）． A 、x 1ln (当+ →0x ) B 、x ln (当1→x ) C 、x cos (当0→x ) D 、 4 2 2 --x x (当2→x ) 3、满足关系式0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）． A 、极大值点 B 、极小值点 C 、驻点 D 、间断点 4、下列函数)(x f 在[]1,1-上适合罗尔中值定理条件的是（ ）． A 、32)(x x f = B 、x x x f 2 )(= C 、32)(+=x x f D 、x x f sin )(= 5、下列无穷积分收敛的是（ ）． A 、 ? +∞0 sin xdx B 、 ? +∞0 1dx x C 、 ? +∞-0 2dx e x D 、? ∞+0 1dx x 一、填空题（每小题4分，本题共20分） 二、单项选择题（每小题4分, 本题共20分）
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
高等数学A2 课程教学大纲 课程编号：10009B6 学时：90 学分：5 适用对象：理学类、工科类本科专业 先修课程：高等数学A1 考核要求：闭卷考试，总成绩=平时成绩20%+期末成绩80% 使用教材及主要参考书： 同济大学数学系主编，《高等数学》（下册），高等教育出版社，2002 年, 第五版 黄立宏主编，《高等数学》（上下册），复旦大学出版社，2006 年陈兰祥主编，《高等数学典型题精解》，学苑出版社，2001 年陈文灯主编，《考研数学复习指南（理工类）》，世界图书版公司2006年李远东、刘庆珍编，《高等数学的基本理论与方法》，重庆大学出版社，1995年 钱吉林主编，《高等数学辞典》，华中师范大学出版社，1999 年一、课程的性质和任务 高等数学课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，为学习后继课程（如大学物理等）奠定必要的基础，是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。二、教学目的与要求 通过本课程的学习，使学生获得向量代数和空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数（包括傅立叶级数）等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问 题的能力。 三、学时分配
第八章多元函数微分法及其应用18 第九章重积分16 第十章曲线积分与曲面积分16 第十一章无穷级数18 总复习 6 四、教学中应注意的问题 1. 考虑学生的差异性，注意因材施教； 2. 考虑数学学科的抽象性，注意数形结合； 3. 考虑数学与现实生活的关系，注意在教学中多讲身边的数学, 使学生树立“学数学是为了用数学”的观点，培养学生“用数学”的好习惯。 五、教学内容 第七章：空间解析几何与向量代数 1 ?基本内容： 向量及其线性运算，数量积，向量积，曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程。 2 ?教学基本要求： (1)理解空间直角坐标系、理解向量的概念及其表示； (2)掌握向量的运算(线性运算、点乘法、叉乘法、)了解两个向量垂直、平行的条件； (3)掌握单位向量，方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法； (4)平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题 (5)理解曲面的方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； (6)了解空间曲线的参数方程和一般方程； (7)了解曲面的交线在坐标平面上的投影。 3 ?教学重点与难点: 教学重点：向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），两个向量垂直、平行的条件，向量方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算，平面的方程和直线的方程及其求法，曲面方程的
2008-2009学年第一学期期末试题 一、填空题（每题5分，共30分） 1．曲线1ln()y x e x =+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x y e xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________ 3．设()f x 连续，且21 40 ()x f t dt x -=? ，则(8)______f = 4．积分 20 sin n xdx π =? ___________________ 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6 ．曲边三角形y = 0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________ 二．选择题（每题3分，共15分） 1．当0x +→ ） () A 1- () B () C 1 () D 1-2. 若1()(21)f x x x ??=-???? ，则()f x 在（ ）处不连续 ()A 3x = ()B 2x = ()C 12x = ()D 13 x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（ ） ()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π 是极大值 ()C (0)f 是极大值，()2f π 也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2 f π 也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ） ()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--， 5．极限2 1 33lim ( )n n i i n n n →∞=-∑可表示为（ ） ()A 2 2 13x dx -? ()B 1 2 03(31)x dx -? ()C 2 2 1 (31)x dx --? () D 1 20 x dx ?
大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小； (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值； (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值； (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点； (D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。).
5 一、 单项选择题 1. D （解释：， 2. A （解释： 在 处连续 ，所以 必须存在， 也就是 在 处有定义。） 3. B （解释： ，可以这样理解： 。） 4. C ，见书P90。） 5. D 就是 ，定积分 是一个常数， 所以它的导数为0。 ， 。 二、 填空题 1. 解：由的定义， 在 处连续，是指： ，也就是： 2. 解：先回顾导数的定义 看作 ，那么原极限可以变为： 计算两部分的极限，其中 所以答案为：。 3. 解：要求法线方程，可以先计算曲线在 处的导数（也就是切线斜率），法 线的导数是切线斜率的负倒数。 在点 出导数 ，代入 ， 得到，所以法线的斜率为 。 4. 解：函数 的正负变化情况 所以极大值： 。5. 解：此题可先计算不定积分
计算定积分： 5
三、求解下列各题 1.解： 2.解： 3.解： 4.解： 5.解：先对原等式两侧求微分，得到： 整理后得到 再计算 即：，代入，并代入点 得到： 6.解： 5
5 7.解：可以令 ， 代换原式得到： 8.解：第一步用凑微分的方法，就是 可知：当为最小 值。 边际成本函数为，代入。 2.解：此题需要列表讨论函数的一二阶导数，并计算渐进线。 首先计算： ， 用使上面两式等于0： 1.是垂直渐进线； 2.由可知，是其水平渐进线； 3.无斜渐进线。 3.解：先计算，并作图
曲线的切线斜率为 方程则为，此线过原点，也就是说：代入 ，所以切线位于曲线的切点坐标为：。红色区域为所围成的区域，求此区域绕轴旋转一周形成的旋转体体积。 回顾：绕轴旋转一周的旋转体体积公式为： 但此题中不能直接使用该公式，原因是红色区域的上边界（不含轴）不构成一个函数。而应考虑为是一个圆锥体（在区间上绕轴形成）体积减去其中由抛物线在区间上绕轴形成的旋转体体积，即：五、证明题 证：构造函数，由条件可知：，且上连续，内可导，满足罗尔中值定理的使用条件，因此：必存在使得，而通过计算我们知道： 所以：，其中，所以. 5
历史学专业本科人才培养方案★专业编号：832 历史学专业本科人才培养方案 一、专业培养目标及基本要求 培养目标： 本专业依据“研教双优”人才培养模式培养具有良好的政治思想素质、有较强的学习和研究能力、扎实的专业技能的一流师资和应用型人才。 基本要求： 扎实掌握本专业的基本理论和基本知识，了解本专业的发展趋势和新进展；具有科学的思维方法和探索精神，具备一定的科学研究能力和专业技能。 具体要求毕业生应获得以下几方面的知识和能力： 1．在大学平台课的基础上，掌握历史学的基本理论和中国历史、世界历史比较系统的基本知识； 2．通过专业学习和训练，形成一定的历史学研究能力； 3．较熟悉地掌握古汉语和一门外国语，能阅读中外历史文献和资料； 4．了解相关学科基本理论，具有较强的综合应用能力； 5．掌握科学的教育理论和教学方法，具备教师基本技能。 二、主要课程 中国古代史、中国近代史、中国现代史、中华人民共和国史、历史科学概论、世界古代史、世界中世纪史、世界近代史、世界现代史、世界当代史、中国史学史、西方史学史、中国历史地理、中国历史文选、教育学、心理学等。 三、学制 4年 四、授予学位 历史学学士 五、教学时间分配表 （续表）
六、课程教学学时、学分分布表 注：专业类必修课指学科基础必修课与专业必修课；专业类选修课指学科基础选修课与专业选修课 七、课程计划表 （续表）
（续表）
（续表） （续表）
八、说明 1．本专业必须修满教学计划规定的167学分方可毕业。其中通识教育必修课35学分，通识教育选修课12学分，专业必修课67学分，专业选修课34学分，实践环节19学分，必修课学分不能以选修课学分代替； 2．教师教育课程分必修、选修共20学分，必修课为教育学基础3学分、心理学基础3学分、教师口语1学分、教师书法1学分、多媒体技术与应用2学分、现代教育技术2学分、历史教学技能训练1学分、历史学科教学论2学分，共15学分；选修课5学分（教育、心理类3学分，学科教育类2学分）； 3．本专业学生必须选修12个学分的综合素质课。其中必须理科类不得少于4学分，艺体类不少于2学分，其他6学分建议从文学院、政法学院、经济学院、管理学院、美术学院、音乐学院等院选修； 4．专业实践包括第二学年暑期专业考察（2学分）和第三学年暑期专业研究实践“历史记忆中的家乡”（2学分）； 5．本专业共开设双学位课程49学分。修满双学位课程28学分，可申请本专业辅修结业证书；修满42学分并完成辅修论文及答辩，可申请本专业双学位学士证书； 6．学生需同时修满规定的专业课程学分和素质拓展学分方可毕业。素质拓展学分要求：学生需获取20个必修学分，10个选修学分，具体修取办法见教学管理规章制度中的相关规定。
（2010至2011学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -1 11； (C) dx x x ?+∞∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定
可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _____. 2. 曲线???=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
华中师范大学教育学专业参考书目 华中师范大学教育学考研参考书目，鉴于出现很多想报考教育学硕士研究生 的同学们，苦于找不到参考的书籍这一情况，凯程教育第一时间整理了如下 书籍，希望对考研的同学们提供点帮助。 随着越来越多的人加入考研大军，研究生就业问题近年来也成为热点话题。官方发布的研究生总体就业率高达95%以上，但有的专业首次就业率甚至低至5.56%。究竟什么才是真实的情况，也许永远也无法知道，但多几个渠道了解信息，或许能在作决定时提供帮助。 七成高校研究生就业率超95％ 凯程考研以"专业、负责、创新、分享"的办学理念，突出"高命中率、强时效性、全面一条龙服务"的特色，成为考研学子选择专业课辅导的首选。10年来已有千余位考生在凯程的帮助下顺利考取全国著名高校，引发业界强烈关注。 主要参考书目 教育经济与管理专业（教育学院） 《教育学》王道俊、王汉澜主编，人民教育出版社1999年版 《当代教育学》袁振国，教育科学出版社 《教育投入与产出》王善迈，河北教育出版社 《教育经济学新编》范先佐，人民教育出版社2010年版 《学校管理学新编》萧宗六、余白，华中师范大学出版社 《新编教育管理学》修订版，吴志宏、魏志春等主编，华东师范大学出版社 注：311教育学专业基础综合考试大纲由国家统一制订 课程与教学论（历史学院） 《历史教育学》王铎全上海教育出版社 《中学历史教学法》于友西高等教育出版社
课程与教学论复试科目参考书目（数据与统计学院） 《数学教育学》，吴宪芳、华中师范大学出版社 或《中学数学教材教法》总论，十三院校协编、高等教育出版社 课程与教学论、教育硕士（物理科学与技术学院） 《力学》漆安慎等高等教育出版社（《力学》潘武明科学出版社）《电磁学》赵凯华高等教育出版社（《电磁学》陈义成科学出版社）《光学教程》姚启均高等教育出版社 《中学物理新课程教学概论》主编：阎金铎，郭玉英，北京师范大学出版集团2008年2月 《现代基础物理教育学》主编：李来政何熊智，华中师范大学出版社2004年8月 《大学物理实验》主编：熊永红等科学出版社2007年8月 有机化学、物理化学、分析化学、无机化学、高分子化学与物理、农药学（化学学院） 《物理化学》万洪文詹正坤主编高等教育出版社（面向21世纪教材）《物理化学解题指南》陈平初、詹正坤、万洪文编，高等教育出版社 《物理化学》南京大学傅献彩等编著（第四版），高等教育出版社 《有机化学》（上下册）尹冬冬主编高等教育出版社 《有机化学》五所师大合编，曾昭琼主编第三版上下册，高教出版社，北京《有机化学实验》五所师大合编，曾昭琼主编第三版，高教出版社，北京生物化学：（生命科学学院） 《生物化学教程》王镜岩等，高等教育出版社，2008年
华北科技学院12级《电子商务专业》高等数学二期末考试试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、 .设函数25x y e =+，则'y = A.2x e B.22x e C. 225x e + D.25x e + 2、设y x =+-33，则y '等于（ ） A --34x B --32x C 34x - D -+-334x 3、设f x x ()cos =2，则f '()0等于（ ） A －2 B －1 C 0 D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是（ ） A （－1，－1） B （0，0） C （1，1） D （2，8） 5、sin xdx ?等于（ ） A cos x B -cos x C cos x C + D -+cos x C 6、已知()3x f x x e =+，则'(0)f = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7、下列函数在(,)-∞+∞内单调增加的是 A.y x = B.y x =- C. 2y x = D.sin y x = 8、1 20x dx =? A.1- B. 0 C. 13 D. 1 9、已知2x 是()f x 的一个原函数，则()f x = A.2 3 x C + B.2x C.2x D. 2 10. 已知事件A 的概率P （A ）＝0.6，则A 的对立事件A 的概率P A ()等于（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。把答案填写在题中横线上。 11、lim()x x x →-+=13 2____________________。 12、lim()x x x →∞-=13____________________。 13、函数y x =+ln()12的驻点为x ＝____________________。 14、设函数y e x =2，则y "()0=____________________。 15、曲线y x e x =+在点（0，1）处的切线斜率k ＝____________________。 16、()12 +=?x dx ____________________。 17、2031lim 1 x x x x →+-=+ 。 18、设函数20,()02,x x a f x x ≤?+=?>? 点0x =处连续，则a = 。 19、函数2 x y e =的极值点为x = 。 20、曲线3y x x =-在点（1,0）处的切线方程为y = 。 三、解答题：21～24小题，共20分。解答应写出推理、演算步骤。 21、（本题满分5分） 计算lim x x x x →-+-122321