选修三?旅游地理知识点归纳
第一章现代旅游及其作用
【导言部分】
1、什么是旅游业？（记忆）
旅游业是联系旅游者和旅游资源的纽带，是以旅游者为对象，为他们提供所需商品和服务的综合性长夜，它不经能满足现代人的旅游需求，而且对经济、社会、文化的
发函起着促进和带动作用。
旅游业是以旅游者为服务对象，为其旅游活动创造条件并提供服务的综合性产
业。
简言之，旅游业是旅游（地理）发展而形成的一种产业模式（经济）。
2、“现代旅游业”的主要特点
①综合性；②服务性；③涉外性；④带动性；⑤脆弱性。
3、旅游活动的三大要素：（记忆）二、旅游的定义与判定（记忆|应用）
旅游是一种社会经济条件下的一种人类社会经济活动，表现为人们以娱乐、享受为主要目的，暂时离开常住地的一种综合性的物质文化生活。
判定方法与技巧：
1、旅游活动以“活动空间”的“异地性”区别于“其他休闲活动”；
2、旅游活动以“活动目的”的“娱乐性”区别于“其他经济活动”；
3、旅游活动以“活动时间”的“临时性”区别于“人口迁移”；
4、旅游活动以“消费活动的高层次性”区别于“一般的消费活动” 。
5、旅游活动一定要和消费结合起来。
三、旅游的基本类型（明白，黑体的重要）
、旅游的发展（记忆）
第一节现代旅游极其发展
划分年代
历史阶段旅游需求产业特征旅游目的旅游空间
1841年以
古代旅游
个体需求，女咕代君王巡游、前产业化阶段，为出事务性出游占绝出游距离较刖文人漫游等等。现旅游公司大多数短
1841 年
近代旅游
群体需求，消费者数量和普及初级产业化阶段,旅娱乐性、享受性旅出行距离延~1950 年程度大大提高游公司出现游明显增多长
1950年以后现代旅游
大众需求，
旅游已成为普通大众的消费行
为
高度产业化阶段，
形成完成产业结构
休闲性旅游占绝
大多数
旅游空间扩
大化
发展提供了契机。
四“现代旅游”的特点
1、旅游主体的大众化；
2、旅游形式的多样化；
3、旅游空间的扩大化；
4、旅游目的
的娱乐化；5、旅游产业增长持续化。
五、现代旅游的六要素
现代旅游由食、宿、行、游、购、娱六个基本要素构成的。
①食：这是首要的，只有吃得好，才能游得好，所以，一定要吃得饱、吃得好、吃得
干净。②宿：不用住太贵的饭店，因为出来主要是为了旅游，而不是睡觉，所以干净、舒
适即可。③行：选择游览目的地，一定要注意该处进得去，也出得来。④游:
定要同导游配合好，才可领略更多乐趣和学到更多知识。⑤购：在异地购买些物品, 既有
纪念意义，又是乐趣之一。⑥娱乐乃人之常情
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旅行社“旅
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大
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分类依据分类内容
按游览区域划分
国内旅游
又可分为：地方性旅游、区域性旅游、全
国性旅游
国际旅游
又可分为：
跨国旅游、洲际旅游、环球旅游
按旅游目的划分
观光、度假保健、公务、宗教
和购物五种。
备注：在我国，多数旅游者的旅游属于观
光旅游。一些经济发达地区的游客，开始
步入独家保健型和购物性旅游的行列按照旅游活动的发展历史
划分
古代旅游、近代旅游、现代旅游
特别提示：科技革命促进经济发展，文化生活水平提高，交通条件改善，为旅游产业
特别提示：a旅游交通是旅游活动的基本条件。绝大多数旅游者必须借助交通工具，才能实现旅游的愿望；b、“游”是旅游六要素的核心，游览活动主要依托旅游景区开展；
c、“购”和“娱”是增加旅游收入的主要途径；
d、“宿”和“食”是人们的基本要求，也是旅游业必须满足的条件。
六、旅游者必须具备的三方面条件
①金钱；②闲暇时间；③旅游动机。
P6思考题：
1、香港的“购物游”对旅游者最具吸引力，它全面促进了香港旅游产业的发展。
2、①自由港的优势，对进出海关的商品不收或者少收关税，使世界顶级商品汇
聚于此，物美价廉；②便捷的交通一游客也容易抵达这里；③服务人员素质高，服务质量高，态度好，以客为先，在这里购物是一种“享受”。
特别提示：香港既有东方传统儒家文化，包括儒家文化的在大陆、日本、台
湾和东南亚的变种，而且有英国中世纪和现代国际的礼仪文化，可谓，兼收并蓄。
这些得到完美的融合。
第二节现代旅游对区域发展的意义
1、旅游业是一种“朝阳产业”。
2、旅游业已经成为世界重要的产业之一，并成为许多国家和地区重要的经济支柱。
3、旅游业对经济发展的作用
(1)拉动经济发展
①发展国际旅游，能在增加国家外汇收入；②发展国内旅游业是回笼自己，稳定市场的一个重要途径；③带动相关产业的发展；④促进区域经济的发展。
特别提示：旅游业是“一业依百业，一业带百业”的行业。
(2)促进社会文化繁荣
①促进国民素质和生活质量的提高；②提供大量就业机会，③促进文化交流。
特别提示：a、旅游业基本上是劳动密集型产业，还是综合性和关联性很强的产
P11思考题《云南的文化特色旅游》
1、气候宜人、风景秀美，生活着26个民族，民族文化特色鲜明，多姿多彩。
2、北京人的侃侃而谈；天津人的吃文化；山东人的忠义和好爽；江南水乡
美女的温柔温婉；江浙沪地区人们的精明强干，其他等等。
4、旅游对区域环境的影响
①旅游促进了对旅游资源的保护，进而保护自然和人文环境。
②处理不好旅游与环境的关系，会使环境恶化。比如旅游旺季，游客爆满，风景区压力过大，环境脏乱差，降低了旅游质量。
特别提示：保护重要的旅游资源也就是对潜在的旅游业进行投资。
【讨论】1、列举旅游业发展有利于保护的措施。
答：①建立各种自然保护区；②申报历史文物保护单位等措施有利于保护旅游环境。
2距离说明旅游对环境的消极作用。
答：①由于对旅游资源开发建设不当或失误，使生态环境恶化；②由于大量游客的涌入，排放的各类废弃物超过了环境自净能力而造成环境污染；③由于大量游客的接触或不文明行为引起的对风景、文物的破坏等。
业。旅游业的发展可以提供许多直接和间接的就业机会；本章小结
b、通过旅游活动交流，既能延续和发扬民族文化，又可以促进地方民族文化与
外来文化的融合。
高中地理《选修三?旅游地理》
讲义
第3页共15页
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旅游资源既可以是风景，也可以是风俗民情。 2旅游资源的内涵 ① 能够吸引旅游者，并直接用于欣赏、消遣，一般包括为旅游提供服务的设施; ② 能够被旅游业开发利用； ③ 能够产生社会效益、经济效益和环境效益。旅游资源的类型
根据旅游资源的本质属性，一般讲旅游资源划分为自然旅游资源和人文旅游资 源两种类型。
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第二章旅游资源
第一章旅游资源的分类与特性
、旅游资源的概念和内涵（记忆、明白、掌握） 1、旅游资源的概念
旅游资源是只对旅游者具有吸引力的自然存在和历史文化遗产， 以及直接用于旅 游目的的人工创造物。
旅游资源的核心是对旅游者的吸引力。
种类 举例 旅游价值 核心 表现形势 形成过程
地文景观 路南石林
地
貌 景
观 具体 形式 自然 过程
自然 旅游 资源
水域风光 杭州西湖 对于探险者 猎奇、游乐、 疗养等性质 的旅游具有 重要意义
生物景观 黄山迎客 松 天象与气 候景观
黄山云海
遗址遗迹 北京故宫
建筑与设
苏州园林
人文 旅游 资源
施 表现在教育 性（知识的、 文化的）旅游 方面的意义
具体形式 和精神文 化形式 历史过程
及当代人
类活动 旅游商品
景德镇陶 瓷
人文活动
傣族泼水 节
注意：自然旅游资源还包括宇宙类（太空、星体、天体观测、陨石等）。人文旅 游资源还包括消闲、求知、健身类（科学教育文化设施、疗养和社会福利设施、动物 园、植物园、公园、体育中心、运动场馆、游乐场所、节日庆典活动、文艺团体以及 其他消闲、求知、健身活动）。
说明：地文景观包括地貌景观（如丹霞地貌、岩溶地貌）、地质过程遗迹（如火 山口、海蚀景观）等；水域风光如泉、瀑、景观河段、湿地等；生物景观如林地、草 地、生物多样性景观；天象景观如日月食观测地等；气候景观如海市蜃楼、佛光发源 地、避暑避寒地等。
序号 特性 解释说明
①
多样性
内容 多样性 旅游资源既有景观性的，又有文化性的；既有古
代遗存，又有现代兴建的；既有食物性，又有体
察性。
空间分布广泛
性在地域上山川、海域、太空、城市等。
在季节上春发、夏花、秋实、冬衰等等
在组成上
各种景色构成完美画境，才有吸引
力，亭台楼阁、流水飞瀑等
在价值上
艺术欣赏价值、历史文化价值、科
学价值、经济价值、美学价值等
②非凡性
只有那些在同类中具有非凡特点的事物或者现象，才能成为旅游
资源。
③可创造性
比如深圳的“锦绣中华” “世界之窗”，苏州园林等等。（针对
人文景观而言）
④非可消耗性
与矿产、森林等其他资源相比，大多数旅游资源具有可以反复
使用的特点，本身不会随着旅游者的旅游活动消耗掉。
⑤观赏性自然和人文要素是否富有观赏价值和吸引功能，是旅游资源区别于其他资源的本质特点。游资源同其他资源最主要的区别，就是具有美学上的观赏性。
⑥不可移动性区域性或者不可移动性，是旅游资源的根本属性之一。
⑦物质景象组合
型
旅游资源是由许多景象组合而成、综合性显著的环境资源。利用
和保护旅游资源，应当注意旅游资源的整体性、合理性和协
调性。
⑧重复利用性游客参观游览，带走的只能是印象而非旅游资源本身。
⑨历史文化属性
人类的文化能够“凝聚”在一定区域的山川景物上，具有非常强
的区域和民族特色。因此，旅游资源多具有民族特色。
【思维拓展】
（一）地质旅游资源
1花岗岩景观
花岗岩是一种酸性的深层火成岩我过众多的名山中，有不少是由花岗岩构成的山岳景
观。如泰山、华山、黄山、衡山、崂山、普陀山、莫干山、三清山等。
2、玄武岩景观
玄武岩是一种基性火成岩，是演讲喷出地表冷却而成的。在我国东南沿海及四川、贵
州、云南、内蒙古等地，分布有许多玄武岩。
3、砂岩景观
我国很多地区发育了红色的沙砾岩层。岩层易受风化寝室，形成地势丁平、身陡、麓缓
的方山、石墙、石峰、石柱等期限的丹崖赤壁地貌。这种地貌以广东仁化县的丹霞山最
为典型，故称“丹霞地貌”。丹霞地貌主要分布在我国的广东、江西、福建、浙江、四
川、贵州、甘肃等地。湖南张家界有世界上罕见的石英砂岩大峰林、大峡谷。注：
“丹”和“赤”，都是红色的意思，“霞”也是红。
（二）地貌旅游资源
1、山岳峡谷景观
山岳景观在地质构造上往往有共同的成因，多数是断层所切割而隆起的断块山。如山
东的泰山、江西的庐山、，都是典型的断块山。
峡谷，是指狭而深的谷底，横断面常呈“ V”字形。两坡陡峭，构成峡谷景观。例如
我国长江三峡由瞿塘峡、巫峡、西陵峡三段峡谷组成。这是长江风景旅游线上最为奇秀、
俊美，最为集中的山水画廊。
2;岩溶地貌（喀斯特地貌）
我国路南石林，以岩柱雄伟高大、排列密集整齐、分布地域广阔而居世界各国石林之
首。溶洞，是一种地下的岩溶形态。如地下河、地下湖石钟乳等。
第二节旅游资源开发条件的评价
一、旅游资源的价值
1 、美学价值
美学价值主要针对自然景观而言。自然风景名胜区对旅游者产生吸引力，最根本的原因是
它们具有美学价值。人们到自然风景名胜区观光、度假、疗养，主要目的就
是感受自然景观的美。
各类自然景观组合而形成的自然风景区，其美学价值要高出各类自然景观单独具有的美学价值的机械累加。例如河、湖、溪、瀑、泉等水温景观，以山石为主的地貌景观的组合，可产生动与静、刚与柔、旷和幽等不同美感。在山水风景的基础上，动植物不仅丰富了自然美的内容，而且使自然界焕发生机；变化万千的气象，以及气候上的季节变化，使自然美因时因季节而不同。
2.科学价值
科学价值主要针对自然景观而言。众多的风景名胜区，在地学上往往具有某种典型性。例如，夏威夷的火山，东非的大裂谷、北欧的冰川地貌等，都是世界著名的风景名胜。我国的泰山、庐山是形象高大的断块山；桂林山水、路南石林是典型的喀斯特地貌；黄山是典型的花岗岩地貌；长江三峡是典型的河流峡谷地貌。许多名山、国家公园、自然保护区，则是生物资源丰富的地区。风景名山对研究高山气候、山地垂直自然带、云雾的成因等，具有重要的价值。
3、历史文化价值
旅游资源的历史文化价值主要是针对人文景观而言。
如古代建筑、摩崖石刻、书画题记，以及名人活动的遗迹和旧址等。
4、经济价值
所有旅游资源的开发，都会产生巨大的经济效益。
目前，旅游业已发展成为世界上重要的产业之一。
5、康体娱乐价值|
利用旅游资源开发登山、野营、滑雪、攀岩、狩猎、森林浴、水上运动等旅游项
目，能满足旅游者康体娱乐的需要。
6、社会文化价值和环境价值
一般来说，艺术和美学价值高的旅游资源，其功能主要表现在观光方面，文化和科学价值高的旅游资源，其功能主要表现在文化。
根据某一旅游资源功能，就可确定其所在地的开发方向。
二、地理位置和交通
1、旅游资源所在地的地理位置及交通条件，直接影响其开发价值。
2、位置和交通是旅游资源开发的重要条件之一。
3、交通条件决定旅游资源所在地的“可进入性”和旅游资源开发的难易程度。
4、很多地方，由于特殊的地理位置而增强了吸引力。
如位于经度和时间起点的英国皇家天文台、位于赤道上的厄瓜多尔的加拉加旅游地的旅游经济价值大小，有时并不一定与其他旅游价值呈正比，而是在很大程度上取决与客源市场。对客源市场的分析与评价，是进行旅游资源开发的前提。
客源市场评价的主要指标主要有客源地、游客数量、游客量的季节变化、停留时间、客源地与旅游地的距离，以及游客的年龄、性别、职业、文化水平等。
其中，客源地、客源地与旅游地的距离是两个最基本的指标。
1、客源地
客源地是指游客的来源地。
客源地的形成是经济发展到一定阶段的产物。当前国际上客源地多是经济发达国家和地区，如西欧、北美、日本。
一般情况下，旅游资源所在地的社会经济越发达，开发能力越强，对旅游者的吸引力越大。
2、旅游地与客源地的距离
旅游地的吸引半径是有限的。
一般来讲，靠近经济发达地区或国家（即主要客源地）的旅游资源，其开发利用价值要优于远离经济发达区的资源。旅游资源所在地与客源所在地距离越远，旅游资源吸引力越小，客源数量相应减少。
四、基础设施
旅游资源所在地的服务设施（如交通、水电、电信、食宿）条件也会影响旅游资源的开发的顺序和规模
五、其他条件（要求较低）
其他开发条件包括资金条件、施工条件、现有的开发条件和旅游服务设施条件等。首先，旅游资源的开发需要大量的资金的持续支持。
其次，旅游资源的开发项目必须考虑工程量的大小和难易程度。
【补充】旅游资源环境的评价（了解）
旅游资源环境的评价是对旅游资源所在地的环境容量状况、环境污染状况、社会经济环境等三方面进行评价。
1.环境容量指单位时间内，在不破坏生态环境的前提下，旅游资源所在地容
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纳旅游者数量的能力。
利镇、位于北半球极昼极夜起点的瑞典斯德哥尔摩等地均为世界旅游热点地。
2、旅游资源所在地的空气、水质等受到污染，噪声过大，就会影响到环境
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质量。
3、社会经济环境是评价旅游资源特别好似人文旅游资源的一项重要指标。
P25思考题：对武夷山景区开发条件的评价（明白、应用）
1.资源价值
（1）美学价值
武夷山具有优美的自然景观，其中九曲溪自然风光独树一帜，以秀水、奇峰、幽谷等诸多风景享有声誉。
（2）科学价值
武夷山是我国典型的丹霞地貌分布区，又好似世界级自然保护区，生物多样性显著。
（3）历史文化价值
武夷山文化遗产丰富，包括公元前1世纪的汉代遗址和宋代思想家朱熹学术活动的书院遗址等。此外，山上还有许多寺院、道观、亭台等古代建筑和历代名人的摩崖石刻。
（4）经济价值
旅游资源的游览价值高，游客数量多，旅游业发达，有巨大的经济效益。
2、地理位置和交通
武夷山游览区位于我国福建省西北部，临近江西省；对外交通便捷，有公路、铁路、航空线通往全国各地，已成为福建省内对外旅游交通的中心。
3、客源市场
武夷山的国内客源市场主要集中在长江三角洲和珠江三角洲地区，这些地区经济发达，而且与武夷山的距离较近。我国的北方、华北地区距离武夷山较远，客源市场还处于初步开发阶段。、
国外客源市场主要分布在以新加坡、日本为主的亚洲，而欧美和大洋洲因距离较远，客源市场还处于初步开发阶段，前景广阔。
4、基础设施
武夷山景区基础设施完善，拥有多家宾馆、酒店，有较强的接待能力。
第三节我国的旅游资源
一.丰富多彩的旅游资源
1、旅游资源丰富多彩的原因
1）、复杂多样的自然环境的
我国地域辽阔，五种地形类型邱案，地貌、气候复杂多样，生物种类繁多，多名山大川，形成了丰富的自然旅游资源。
（2）、悠久灿烂的历史文化
我国是四大文明古国之一，历史悠久，文化源远流长，有许多珍贵的历史文物、
古迹和著名的古代建筑工程，形成了丰富的人文旅游资源。
2、我国的自然旅游资源
我国的自然旅游资源以山水风光最为重要。（我国是个多山的国家，三分之二的
大陆国土都是山地或者地山丘陵）。
（1）名山一一地貌景观
我国的名山通常可分为五岳、佛教名山、道教名山、和其他名山等几类。
①五岳：东岳泰山、西岳华山、北岳恒山、南岳衡山、中岳高山。|
②四大佛教名山：山西五台山、安徽九华山、浙江普陀山、四川峨眉山。
③其他名山：安徽黄山、江西庐山、福建武夷山、湖北武当山。
（2）水景——水域景观
桂林漓江、长江三峡、杭州西湖、苏州无锡太湖、台湾日月潭、新疆的天山天池、青海的青海湖等。
3、我国的人文旅游资源
（1）文物古迹与古代建筑
万里长城、京杭运河、北京故宫、西安秦始皇陵及兵马俑坑、苏州园林建筑、敦煌壁画。
（2）风土民情
汉代的春节、傣族的泼水节、蒙古族的那达慕大会、彝族的火把节等。
（3）其他
著名的现代工程建筑，各具特色的小镇风光，丰富多彩的地方土特产、工艺品，神奇的中医和养生之道，名扬世界的菜肴等。
二、我国的世界遗产
1、概况
我国于1985年加入联合国《世界遗产公约》，到2005年底已经有31个项目被列入《世界遗产名录》。
2、中国的31处世界遗产
（1）世界文化遗产
①长城；②明清皇宫；③莫高窟；④秦始皇陵矶兵马俑坑；⑤周口店北京人遗址；⑥承德避暑山庄及其周围寺庙；⑦拉萨布达拉宫历史区；⑧曲阜孔庙孔林孔府；⑨武当山古建筑群；⑩庐山国家公园；?平遥古城；?苏州古典园林；?丽江古城；?北京皇家祭坛（天坛）；?北京皇家园林（颐和园）；?大足石刻；?皖南古村落；迪明清皇家陵寝（明显
陵、清东陵、清西陵、明孝陵、明十三陵、盛京三陵；?龙
门石窟；?青城山一一都江堰；?云冈石窟；?中国高句丽王城王陵及贵族墓葬；
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1. 行列式的计算： ① (定义法)12 1212 11 12121222() 121 2 ()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==**=-1 例 计算 2-100-1 300001100-25 解 2-100 -1 30000110 -2 5 =2-1115735-13-25?=?= ⑤ 关于副对角线： (1) 2 1121 21 1211 1()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* = =-1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 2 2 22 12 11 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111 例 计算行列式
⑦ a b - 型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-
线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解；
行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.
线性代数必考知识点 1、行列式 1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、和的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为； 3. 代数余子式和余子式的关系： 4. 设行列式： 将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则； 将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则； 将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则； 将主副角线翻转后，所得行列式为，则； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积； ③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积； ④、和：副对角元素的乘积； ⑤、拉普拉斯展开式：、 ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式； 7. 证明的方法：
①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. 是阶可逆矩阵： （是非奇异矩阵）； （是满秩矩阵） 的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组有非零解； ，总有唯一解； 与等价； 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0； 是正定矩阵； 的行（列）向量组是的一组基； 是中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于阶矩阵：无条件恒成立； 3. 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：
若，则： Ⅰ、； Ⅱ、； ②、；（主对角分块） ③、；（副对角分块） ④、；（拉普拉斯） ⑤、；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：； 等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵、，若； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、若，则可逆，且； ②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：； ③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； ③、对调两行或两列，符号，且，例如：；
《线性代数》的主要知识点 第一部分 行列式 概念： 1． n 阶行列式展开式的特点：①共有n!项，正负各半； ②每项有n 个元素相乘，且覆盖所有的行与列； ③每一项的符号为（列） 行）ττ+-() 1( 2． 元素的余子式以及代数余子式 ij j i ij M )1(A +-= 3． 行列式的性质 计算方法： 1． 对角线法则 2． 行列式的按行（列）展开 (另有异乘变零定理) 第二部分 矩阵 1． 矩阵的乘积 注意：①不满足交换率（一般情况下B A A B ≠） ②不满足消去率 （由AB=AC 不能得出B=C ） ③由AB=0不能得出A=0或B=0 ④若AB=BA ，则称A 与B 是可换矩阵 2．矩阵的转置 满足的法则：T T T B A )B A (+=+，T T T T T A B AB kA kA ==)(,)( 3．矩阵的多项式 设n n x a x a a x +++=Λ10)(?，A 为n 阶方阵，则 n n A a A a E a A +++=Λ10)(?称为A 的n 次多项式。 对与对角矩阵有关的多项式有结论如下： （1）如果 1 -Λ=P P A ，则n n A a A a E a A +++=Λ10)(? 11110---Λ++Λ+=P Pa P Pa EP Pa n n Λ= 1)(-ΛP P ?
（2）若),,(21n a a a diag Λ=Λ，则))(),(),(()(21n a a a diag ????Λ=Λ 4．逆矩阵：n 阶矩阵A,B ，若E BA AB ==，则A,B 互为逆矩阵。 n 阶矩阵A 可逆0A ≠?； n A r =?)( （或表示为n A R =)(）即A 为满秩矩阵； ?A 与E 等价； ?A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的列（行）向量组线性无关； ?A 的所有的特征值均不等于零 求法：①伴随矩阵法：*1 1 A A A ?= - ②初等变换法：()() 1,,-???→?A E E A 初等行变换或??? ? ?????→????? ??-1A E E A 初等列变换 ， E 是单位矩阵 性质：（1）矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的 （2）设A 是n 阶矩阵，则有下列结论 ①若A 可逆，则1 -A 也可逆，且A A =--1 1)( ②若A 可逆，则T A 也可逆，且T T A A )() (11 --= ③若A 可逆，数0≠k ，则kA 可逆，且111)(--= A k kA ④若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111 )(---=A B AB 5．方阵A 的行列式： 满足下述运算规律（设B A ,为n 阶方阵，λ为数） ①A A T = ②A A n λλ= ③B A AB = 6．伴随矩阵：行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下的矩阵 ???? ?? ? ??=nn n n n n A A A A A A A A A A Λ M M M ΛΛ212221212111* ，称为矩阵A 的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同） 伴随矩阵具有性质：E A A A AA ==* *
线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -
线性代数知识点总结 第二章 矩阵及其运算 第一节 矩阵 定义 由m n ?个数() 1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表 11 12 1212221 2n n m m mn a a a a a a a a a L L M M M L 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L L L L L L ，简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。 说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 扩展 几种特殊的矩阵： 方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。 单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可 表示为E )（课本P29—P31） 注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 第二节 矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个m n ?矩阵() () ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +， 规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? L L L L L L L 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+； ()()()2A B C A B C ++=++
线性代数（经管类）考点逐个击破 第一章 行列式 （一）行列式的定义 行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数. 1．二阶行列式 由4个数)2,1,(=j i a ij 得到下列式子： 11122122 a a a a 称为一个二阶行列式，其运算规 则为 2112221122 211211a a a a a a a a -= 2．三阶行列式 由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到下列式子：33 323123222113 1211a a a a a a a a a 称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念. 3．余子式及代数余子式 设有三阶行列式 33 323123222113 12113a a a a a a a a a D = 对任何一个元素ij a ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ij a 的余子式，记成ij M 例如 33 32232211a a a a M = ，33 32131221a a a a M = ，23 22131231a a a a M = 再记 ij j i ij M A +-=)1( ，称ij A 为元素ij a 的代数余子式. 例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 那么 ，三阶行列式3D 定义为
我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常简写成 ∑∑=+=-==3 1 11131 113)1(i i i i i i i M a A a D 4．n 阶行列式 一阶行列式 11111a a D == n 阶行列式 1121211111212222111211n n nn n n n n n A a A a A a a a a a a a a a a D +++== ΛΛΛ ΛΛΛΛ 其中(,1,2,,)ij A i j n =L 为元素ij a 的代数余子式. 5．特殊行列式 上三角行列式 11 1212221122000n n nn nn a a a a a a a a a =L L L L L L L L 下三角行列式 11 221122120 nn n n nn a a a a a a a a a =L L L L L L L L 21 对角行列式 11 2211220 0nn nn a a a a a a =L L L L L L L L （二）行列式的性质 性质1 行列式和它的转置行列式相等，即T D D = 性质2 用数k 乘行列式D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD ，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数. 性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号. 推论1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零. 推论2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零. 31 312121111133 323123222113 12113A a A a A a a a a a a a a a a D ++==