北京市西城区2014年高三一模试卷
数 学(理科) 2014.4
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出
符合题目要求的一项.
1.设全集U =R ,集合2{|0}A x x =<≤,{|1}B x x =<,则集合()U A B = e( ) (A )(,2]-∞
(B )(,1]-∞
(C )(2,)+∞
(D )[2,)+∞
2. 已知平面向量(2,1)=-a ,(1,1)=b ,(5,1)=-c . 若()//k +a b c ,则实数k 的值为( ) (A )2
(B )
1
2
(C )
114
(D )114
-
3.在极坐标系中,过点π(2,)2
且与极轴平行的直线方程是( ) (A )2ρ=
(B )2
θπ=
(C )cos 2ρθ= (D )sin =2ρθ
4.执行如图所示的程序框图,如果输入2,2a b ==,那么输出的a 值为( ) (A )4 (B )16 (C )256 (D )3log 16
5.下列函数中,对于任意x ∈R ,同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是( ) (A )()sin =f x x (C )()cos =f x x (B )()sin cos =f x x x (D )2
2
()cos sin =-f x x x
6. “8m <”是“方程22
1108
x y m m -=--表示双曲线”的( )
(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件
7.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *
∈N 年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n 等于( ) (A )3 (B )4
(C )5
(D )6
8. 如图,设P 为正四面体A BCD -表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ,如果集合M 中有且只有2个元素,那么符合条件的点P 有( )
(A ) 4个 (B )6个
(C )10个
(D )14个
B
A
D
C
. P
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.设复数
1i
i 2i
x y -=++,其中,x y ∈R ,则x y +=______. 10. 若抛物线2
:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上,则p =_____;C 的准线方程为_____.
11.已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2,它的俯视图是一个边长为2的正三角形,那么它的侧(左)视图面积的最小值是________.
12.若不等式组1,0,26,a
x y x y x y ???
?+??+?≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形,则实数a 的取值范围是
_______.
13. 科技活动后,3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念(每名教师只指导一名学生),要求6人排成一排,且学生要与其指导教师相邻,那么不同的站法种数是______. (用数字作答)
14.如图,在直角梯形ABCD 中,//AB CD ,AB BC ⊥,2AB =,1CD =,
(0)BC a a =>,P 为线段AD (含端点)上一个动点,设AP xAD = ,PB PC y ?=
,对于函数()y f x =,
给出以下三个结论:
○
1 当2a =时,函数()f x 的值域为[1,4]; ○
2 (0,)a ?∈+∞,都有(1)1f =成立;
○
3 (0,)a ?∈+∞,函数()f x 的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是_________.
A D C
P
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 已知2
2
2
b c a bc +=+.
(Ⅰ)求A 的大小;
(Ⅱ)如果cos =B ,2b =,求△ABC 的面积.
16.(本小题满分13分)
在某批次的某种灯泡中,随机地抽取200个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品,寿命小于300天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品.
(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出a ,b 的值;
(Ⅱ)某人从灯泡样品中随机地购买了()*
∈n n N 个,如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按.三个..等级分层抽样......
所得的结果相同,求n 的最小值; (Ⅲ)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用,若以上述频率作为概率,用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数,求X 的分布列和数学期望.
17.(本小题满分14分)
如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形,E 是CD 的中点,1D E CD ⊥,22AB BC ==.
(Ⅰ)求证:1⊥BC D E ; (Ⅱ)求证:1B C // 平面1BED ;
(Ⅲ)若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π
3
,求线段1D E 的长度.
18.(本小题满分13分)
已知函数2ln ,
,()23,,x x x a f x x x x a >??=?-+-??
≤ 其中0a ≥.
(Ⅰ)当0a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程;
(Ⅱ)如果对于任意12,x x ∈R ,且12x x <,都有12()()f x f x <,求a 的取值范围.
19.(本小题满分14分)
已知椭圆22
12
x W y +=:,直线l 与W 相交于,M N 两点,l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、
D 两点,O 为坐标原点.
(Ⅰ)若直线l 的方程为210x y +-=,求OCD ?外接圆的方程;
(Ⅱ)判断是否存在直线l ,使得,C D 是线段MN 的两个三等分点,若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.
1
20.(本小题满分13分)
在数列{}n a 中,1
()n a n n
*=∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ,并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111
,,,2358
为{}n a 的一个4项子
列.
(Ⅰ)试写出数列{}n a 的一个3项子列,并使其为等差数列;
(Ⅱ)如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列,且{}n b 为等差数列,证明:{}n b 的公差d 满足1
08
d -
<<; (Ⅲ)如果{}n c 为数列{}n a 的一个(3)m m ≥项子列,且{}n c 为等比数列,证明:
1231
122
m m c c c c -++++-
≤.
北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准
高三数学(理科) 2014.4
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.C 2.B 3.D 4.C 5.D 6.A 7.A 8.C 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.2
5
-
10.8 4x =-
11. 12.(3,5) 13.48
14.○2,○3
注:第10题第一问2分,第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分.
三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:因为 2
2
2
b c a bc +=+,
所以 2221
cos 22
b c a A bc +-=
=, ……………… 3分
又因为 (0,π)∈A ,
所以 π
3
A =. ……………… 5分
(Ⅱ)解:因为 cos 3
=
B ,(0,π)∈B ,
所以 sin B ==. ………………7分
由正弦定理 sin sin =
a b
A B
, ………………9分
得 sin 3sin ==b A
a B
. ………………10分
因为 222
b c a bc +=+,
所以 2
250--=c c ,
解得 1=±c 因为 0>c ,
所以 1=c . ………………11分
故△ABC 的面积1sin 22
S bc A ==. ………………13分
16.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:0.15a =,30b =. ……………… 2分
(Ⅱ)解:由表可知:灯泡样品中优等品有50个,正品有100个,次品有50个,
所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=. ……………… 4分
所以按分层抽样法,购买灯泡数24()*
=++=∈n k k k k k N ,
所以n 的最小值为4. ……………… 6分
(Ⅲ)解:X 的所有取值为0,1,2,3. ……………… 7分
由题意,购买一个灯泡,且这个灯泡是次品的概率为0.10.150.25+=, ……… 8分
从本批次灯泡中购买3个,可看成3次独立重复试验, 所以0
3
31
27(0)C (1)4
64
P X ==?-=
,
123
1127
(1)C (1)4464P X ==??-=, 2
213119(2)C ()(1)4464P X ==?-=
, 333
11
(3)C ()464
P X ==?=. ……………… 11分
所以随机变量X 的分布列为:
(12)
分
所以X 的数学期望2727913()0123646464644
E X =?
+?+?+?=. (13)
分
(注:写出1
(3,)4
X B ,3311()C ()(1)4
4
k
k
k
P X k -==-,0,1,2,3k =. 请酌情给分)
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:因为底面ABCD 和侧面11BCC B 是矩形,
所以 BC CD ⊥,1BC CC ⊥, 又因为 1= CD CC C ,
所以 BC ⊥平面11DCC D , ………………2分
因为 1D E ?平面11DCC D , 所以 1BC D E ⊥. (4)
分
(Ⅱ)证明:因为 1111//, BB DD BB DD =,
所以四边形11D DBB 是平行四边形. 连接1DB 交1D B 于点F ,连接EF ,则F 为1DB 的中点. 在1?B CD 中,因为DE CE =,1DF B F =,
所以 1//EF B C . ………………6分
又因为 1?B C 平面1BED ,?EF
平面1BED ,
所以 1//B C 平面1BED . (8)
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)可知1BC D E ⊥, 又因为 1D E CD ⊥,BC CD C = ,
所以 1D E ⊥平面ABCD . ………………9分
设G 为AB 的中点,以E 为原点,EG ,EC ,1ED 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴 如图建立空间直角坐标系,
设1D E a =,则11(0,0,0), (1,1,0), (0,0,), (0,1,0), (1,2,), (1,0,0)E B D a C B a G . 设平面1BED 法向量为(,,)x y z =n ,
因为 1(1,1,0), (0,0,)EB ED a ==
,
由10,0,
EB ED ??=???=??
n n
得0,0.x y z +=??=? 令1x =,得(1,1,0)=-n . ………………11分
设平面11BCC B 法向量为111(,,)x y z =m ,
因为 1(1,0,0), (1,1,)CB CB a ==
,
由10,0,
CB CB ??=???=?? m m
得1111
0,
0.x x y az =??++=?
1
令11z =,得(0,,1)a =-m . (12)
分
由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3
, 得
||π
|cos ,|cos 3?<>===m n m n m n , ………………13分
解得1a =. ………………14分
18.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:由题意,得()(ln )ln 1f x x x x ''==+,其中0x >, ……………… 2分
所以 (1)1f '=, 又因为(1)0f =, 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. (4)
分
(Ⅱ)解:先考察函数2
()23g x x x =-+-,x ∈R 的图象,
配方得2
()(1)2g x x =---, (5)
分
所以函数()g x 在(,1)-∞上单调递增,在(1,)+∞单调递减,且max ()(1)2g x g ==-.
(6)
分
因为对于任意12,x x ∈R ,且12x x <,都有12()()f x f x <成立,
所以 1a ≤
. ……………… 8分
以下考察函数()ln h x x x =,(0,)x ∈+∞的图象,
则 ()ln 1h x x '=+,
令()ln 10h x x '=+=,解得1
e
=x . ……………… 9分
随着x 变化时,()h x 和()h x '的变化情况如下:
即函数()h x 在1(0,)e
上单调递减,在1(,)e
+∞上单调递增,且
min 11
()()e e
==-h x h . ……………… 11分
因为对于任意12,x x ∈R ,且12x x <,都有12()()f x f x <成立,
所以 1
e
≥a . (12)
分
因为 1
2e
->-(即min max ()()h x g x >)
, 所以a 的取值范围为1
,e
[1]. (13)
分
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:因为直线l 的方程为210x y +-=,
所以与x 轴的交点(1,0)C ,与y 轴的交点1
(0,)2
D . ……………… 1分
则线段CD 的中点11(,)24,||2
CD ==, ……………… 3分
即OCD ?外接圆的圆心为11(,)24,半径为
1||24
CD =,
所以OCD ?外接圆的方程为22115
()()2416
x y -+-=. ……………… 5分
(Ⅱ)解:结论:存在直线l ,使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.
理由如下:
由题意,设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠,11(,)M x y ,22(,)N x y , 则 (,0)m
C k
-,(0,)D m , ……………… 6分
由方程组22
12
y kx m x y =+???+=?? 得222
(12)4220k x kmx m +++-=, ……………… 7分
所以 2
2
16880k m ?=-+>, (*) ……………… 8分
由韦达定理,得122
412km
x x k
-+=+, 21222212m x x k -=+. ……………… 9分
由,C D 是线段MN 的两个三等分点,得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k m
k
-+==+-
, ………………10分
解得
2
k =±. ……………… 11分
由,C D 是线段MN 的两个三等分点,得||3||MN CD =.
12|x x -= ……………… 12分
即
12||3||m
x x k
-==, 解得
5
m =±
. (13)
分
验证知(*)成立.
所以存在直线l ,使得,C D 是线段MN 的两个三等分点,此时直线l 的方程为
2y x =
2y x =-± ……………… 14分
20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:答案不唯一. 如3项子列
12,13,1
6
; ……………… 2分 (Ⅱ)证明:由题意,知123451
0b b b b b >>>>>≥, 所以 210d b b =-<. ……………… 3分
若 11b = ,
由{}n b 为{}n a 的一个5项子列,得21
2
b ≤, 所以 2111122
d b b =--=-
≤. 因为 514b b d =+,50b >,
所以 515411d b b b =-=->-,即14
d >-. 这与1
2
d -
≤矛盾. 所以 11b ≠.
所以 112
b ≤, ……………… 6分
因为 514b b d =+,50b >, 所以 51511422d b b b =-->-≥,即18
d >-, 综上,得1
08
d -<<. ……………… 7分
(Ⅲ)证明:由题意,设{}n c 的公比为q ,
则 2
1
1231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++ .
因为{}n c 为{}n a 的一个m 项子列, 所以 q 为正有理数,且1q <,111
()c a a
*=∈N ≤. 设 (,K
q K L L
*=
∈N ,且,K L 互质,2L ≥). 当1K =时,
因为 11
2
q L =≤,
所以 2
1
1231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++
21111
1()()222≤-+
+++ m , 11
2()2-=-m ,
所以 1
12312()2
m m c c c c -++++- ≤. (10)
分
当1K ≠时,
因为 1
1
111m m m m K c c q a L
---==?是{}n a 中的项,且,K L 互质,
所以 1
*()-=?∈m a K
M M N ,
所以 2
1
1231(1)m m c c c c c q q q
-++++=++++
1232111111()----=
++++ m m m m M K K L K L L
. 因为 2L ≥,*
K M ∈N ,, 所以 21112311111()()2()2222m m m c c c c --+++++
+++=- ≤. 综上, 1231
1
22m m c c c c -++++-
≤. (13)
分