高中数学第1章《三角函数》弧度制教学案
苏教版必修4
教学目标：理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数。了解角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系。掌握弧长公式，会利用弧度制解决
某些简单的实际问题。
教学重点：弧度的意义、弧度与角度的换算
教学难点：弧度的概念
教学过程：
一、问题情境：
角的度量单位可以用度，还可以用其它单位吗？
二、学生活动：
1弧度角有多大？它与一度角大小有什么关系？
三、知识建构：
1、角度制：
1度角：
2、弧度制：
1弧度角：
注意：
3、角度与弧度互化：
360°=_____，1°=____rad ≈____rad ，1rad=_____度≈_____°
4、弧长公式：
四、知识运用：
例1、把下列各角从弧度化为度
（1）3
5
（2）3.5
小结：
例2、把下列各角从度化为弧度
（1）252°（2）11°15′
小结：
例3、已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求扇形的面积。
小结：
练习：书P9 练习 1-8
拓展：若扇形的周长为定值l，则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？
1、下列六个命题：其中正确的命题有 . ①时间经过3小时，时针转过的角是90°②小于90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若α 是锐角，则α 的终边在第一象限 ⑤若α 的终边在第二象限，则α 是钝角⑥若α 的终边在第四象限，则α 是负角 2、练习：角度与弧度互化： 0°= .；30° ；45° ；3π ；2π ；120° ；135° ；150° ； 54π ，－43π 、310 π 、－210° 、75° ，0330 ，0900 23π- ，405° ， -280° ， 1680° ， π411- ，5π ，67π 780° ，-1560° ，67.5° ，π310- ， 12π ，4 7π 3、在0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成0360()k k Z α?+∈的形式） －150° 、1040° 、－940° .0 300 01125 0660- －1050° 01485- 4、下列各对角中终边相同的角是( ) A.πππk 222+-和（k ∈z ） B.－3π和322π C.－97π和911π D. 9 122320ππ和 5、用弧度制表示下列角的集合。 (1)x 轴上的角； (2)第四象限角； (3)与 6 π的终边关于x 轴对称的角； (4)终边在直线y=x 上。 (5) 终边落在一、三象限角平分线上 6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)． 7、若α 是第二象限的角，则2 α所在的象限是( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第二、三象限 8、若角α是第三象限角，则2 α角的终边在 . 9、若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10、已知：α是第三象限角，求(1)2α (2) 2α (3) 3 α终边所在的位置
最新高中数学必修4《任意角和弧度制》教案 高中数学必修4《任意角和弧度制》教案【一】教学准备 教学目标 一、知识与技能 (1)理解并掌握弧度制的定义;(2)领会弧度制定义的合理性;(3)掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;(4)熟练地进行角度制与弧度制的换算;(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系. 二、过程与方法 创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 三、情态与价值 通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一
的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，为下一节学习三角函数做好准备https://www.doczj.com/doc/f89844138.html, 教学重难点 重点: 理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 教学工具 投影仪等 教学过程 一、创设情境，引入新课 师：有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的?(已知1英里=1.6公里) 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制 ---弧度制.
2019-2020年高二数学必修3 苏教版 教学目标： 1、理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平。初步了解如何动用数学知识和方法进行统计研究，提高统计的准确性利税学。感受统计不仅是列表、画图的低层次的工作，而且是一门具有高度科学性的理论与实际相结合的学科。 2、掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法。 3、通过对数据的分析与估计，培养学生的理性思维能力。 教学重点：利用平均数和组中值对样本数据进行分析和估计。 教学难点：最小二乘法的思维过程的理解。 教学过程： 课堂引入： 在2.2节中，我们通过列频率分布表、画频率分布直方图、条形图、折线图、密度曲线和茎叶图来对数据从分布规律角度进行分析和估计，发现数据的规律。从本节起，我们利用上节的相同背景问题，从不同的角度提取数量规律进行分析和估计。 我们从天气预报中常见的“月平均气温”、“年平均气温”等概念，对某季篮球联赛中队员得分情况统计，也常利用“平均得分”，成绩统计中，也利用 “平均分”等，都涉及到“平均数”的概念。 初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征，这些数字都能为我们提供关于样本数据的特征信息。 学生思考：在频率直方图中，众数是指最高矩形的中点的横坐标，中位数是指样本数据中累积频率为0.5时所对应的样本数据值，平均数是指样本数据的算术平均数。 定义：能反映总体某种特征的量称为总体特征数 思考：怎样通过抽样的方法，用样本的特征数估计总体的特征数呢？ 新课讲授 §2.3.1平均数及其估计 课本P50页引例： 我们可以计算7月25日至8月10日平均气温为34.02度，8月8日至8月24日的平均气 温为30.02度。 学生自学、讨论课本引例，教师引导，适当提示分析最小二乘法的思维过程。注意以下两点： （1）n 个实数a 1，a 2，a 3，……，a n 的和简记为 ∑=n i i a 1 ； （2）n a a a a n +++= ......21称为这n 个实数a 1，a 2，a 3，……，a n 的平均数或均值。（算术 平均数） 例1：教师在电脑上用EXCEL 展示数据，并直接用EXCEL 中的函数“AVERAGE ”计算给定数据的平均数。 学生练习：课本P66页第3题
课题：1.1.2 弧度制教学设计 一、教学目标 知识与技能 1.理解1弧度的角，弧度制的定义，熟记特殊角的弧度数； 2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的换算； 3.了解角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系； 4.掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式. 过程与方法 1.经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想. 2.通过设置问题启发，发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力. 情感态度与价值观 1.使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美. 2.使学生体会弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣. 二、教学重点、难点 1.教学重点：理解弧度制意义,能进行角度制与弧度制的互化. 2.教学难点：弧度制的概念及弧度与角度的换算. 三、教学方法与教学手段 1.教学方法：问题教学法、合作学习法. 2.教学手段：多媒图片、几何画板、PPT课件. 四、教学过程 （一）创设情境 1.师提出问题：2019年10月1日中华人民共和国成立70周年，同学们有没有看阅兵式?
【设计意图】以时政热点为话题导入新课，极大地调动了学生的学习热情，而且能提高学生的参与度，对培养学生的综合能力和提升课堂效率都很有帮助. 2.问题情境1：中国国土面积960万平方千米，故宫面积约1080亩；中国领 海宽度12海里；中国高铁运营里程达到3万公里，位居世界第一；中国黄金储备6245盎司；中国钢铁产量超过10亿吨，连续16年位居世界第一. 【设计意图】以祖国的成就设为问题情境，调动学生的学习积极性，同学们都能够感受到祖国的强大，激起同学们浓烈的爱国思想；类比研究面积、长度、质量可以选择不同的单位，不同的单位制能为我们解决问题带来方便，引出度量角的另一种单位制. 3.问题情境2：回忆初中学习的锐角三角函数定义，教师引出其他版本教材 有不一样的定义. 提出问题：为什么有的教材将锐角的正弦、余弦、正切定义成三角比呢？请你结合高中函数的定义进行分析. 【设计意图】通过引出其他版本教材有不一样的定义，利用新旧知识所蕴含 的矛盾引发认知冲突一方面引出本节课的主题，另一方面学生发现问题、提出问 题的能力在潜移默化中得到培养，这个问题是本节知识的切入点是引发学生思考，培养学生素养的关键. （二）探究新知，得到概念 1.教师提出问题：在半径为r 的圆O 中，当B 点在圆周 上运动时，你发现了什么？（教师几何画板演示） 学生活动1：学生讨论后总结，弧长变大，圆心角变大，因为我们要用实数度量圆心角，所以由180r n l π=，变形得r l n ?π=180. 师继续追问：当半径发生变化时，你发现了什么？能不能仅用弧长或者半径 来度量圆心角？（教师几何画板演示） 学生活动2：学生讨论后总结，不能仅用弧长或者半径来度量圆心角的大小. 教师再总结：仅用半径和弧长中的一个量不能度量圆心角的大小，但它又与 半径r 和弧长l 相关. A
高一数学必修1综合复习试题 一、填空题 1．集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(?R B )＝ ． 2．已知函数20()10x x f x x x ?=?->?，≤，，，若1()2f a =，则实数a = ． 3．方程)2(log )12(log 255-=+x x 的解集为 ． 4．函数23 )(-=x x f 的定义域为 ． 5．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则0x <时，函数()f x 的表达式为()f x = ． 6．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为 ． 7．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足),()2(x f x f -=+则)6(f =_________. 8．若2()2(1)2f x ax a x =+-+在(3,3)-为单调函数，则a 的取值范围是 ． 9 ．函数y 的单调递减区间为 ． 10．函数)86lg()(2++-=a ax ax x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ． 11．若关于x 的方程a a x -+= 523)43(有负实数解，则实数a 的取值范围为 ． 12．如果函数()223f x x x =-+在[]0,m 上有最大值3，最小值2，则m 的范围是 ．
13．已知定义域为()(),00,-∞+∞U 的偶函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则 不等式()0x f x ?>的解集为 ． 14．不等式012 ≥+-ax x 对所有]2,1[∈x 都成立，则实数a 的取值范围 ． 二、解答题 15．设集合{}2|lg(2)A x y x x ==--，集合{}|3||B y y x ==-． ⑴ 求B A ?和A B U ； ⑵ 若{}|40C x x p =+<，C A ?，求实数p 的取值范围． 16．计算下列各式的值： （1）3212833)21() 32(??? ??--+-- ； (2) 2lg 2lg3111lg 0.36lg823 +++．
1.1.2 弧度制 重点：用弧度制表示各种角以及弧度制与角度制之间的换算. 难点：对弧度制的引入. 一、角度制与弧度制的转化 同一个角，除零角之外，用“度”表示与用“弧度”表示是不同的数量.“度”不可省略，“弧度”即“rad”可省略.其换算关系以π=180°为转化点. 例1 (1)把112°30′化为弧度；(2)把－5π12化为度． 【分析】 先把“分”、“秒”化为“度”，再利用1°＝π180 rad ，1 rad ＝(180π )°进行相应地转化． 【解】 (1)112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝2252×π180＝5π8 ； (2)－5π12＝－(5π12×180π )°＝－75°. 【点评】以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式.如无特殊要求，不必把π写成小数. 二、用弧度表示角的集合 角度制中的度、分、秒是六十进制，弧度制是十进制，因此弧度制使用起来比角度制方便. 例2（1）用弧度表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界，如下图）. （2）把-1480°写成α+2kπ（k ∈Z ）的形式，其中0≤α<2π. 【思路点拨】先用弧度制表示这个角（临界角），然后结合图形或者范围写出该角.
【解】 (1)135°＝135×π180＝3π4，225°可以看成是与－135°终边相同的角，而－135°＝－3π4 ， ∴阴影部分角的集合为： {θ|2k π－3π4<θ<2k π＋3π4 ，k ∈Z}． (2)∵－1480°＝－1480π180＝－74π9＝－10π＋16π9 ， 又0≤16π9 <2π， ∴－1480°＝16π9－2×5π＝16π9 －10π. 【思维总结】在表示角的集合时，一定使用统一制度，只能用角度或弧度制中的一种，不能混用. 三、 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 在弧度制下，当圆心角为弧度时，弧长公式、扇形面积公式有更简单的形式，更利于计算. 例3 已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm ，求扇形的面积和弧长. 【思维流程】 化为弧度→代入公式 【解】 ∵72°＝72×π180＝2π5 (rad)， ∴l ＝αr ＝2π5 ×20＝8π(cm)． ∴S ＝12lr ＝12 ×8π×20＝80π(cm 2)． 【思维总结】弧度制下与角度制下的弧长公式、扇形面积公式是等价的.
人大附中分校高一数学导学学案 一．学生自学课本第7、8页.通过自学回答老师提出的以下问题： ① 角的弧度制是如何引入的？ ② 为什么要引入弧度制？好处是什么？ ③ 1弧度是如何定义的？ ④ 角度制与弧度制的区别与联系。 1．弧度角的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 2．平角、周角的弧度数：平角= rad 、周角=2 rad 3．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 4．角的弧度数的绝对值 r l =α（l 为弧长，r 为半径） 二．角度制与弧度制的换算： 1．∵ 360 =2 rad ∴180= rad ； ∴ 1= rad rad 01745.0180 ≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 2．用弧度制表示弧长及扇形面积，公式： ① 弧长公式：α?=r l ，由公式：?= r l α α?=r l 比公式180 r n l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积。 ②扇形面积公式 lR S 2 1 =，其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。 o R S l
1.1.2 弧度制与角度值的换算参考答案 例题 例1：（1）把11230'化成弧度（精确到0.001）；（2）把11230'化成弧度（用π表示） 解：（1）α=1.969 rad （2）58 π； 例2： 把3 rad 5 π化成度 解：33 rad 18010855 π= ?= 例4：直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴3 ⑵ 165 解： cm r 10= ⑴ )(3 401034cm r l ππα=?=?=; ⑵ rad rad 12 11)(165180 165π π = ?= 例5： 已知扇形周长为10cm ，面积为6cm 2 ，求扇形中心角的弧度数． 解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l ，半径为r ， 由题意：?????=?=+62 1102r l r l ?0652 =+-r r ∴ ???==62l r 或?? ?==4 3l r ∴ r l =α=3 或34 随堂练习 1．下列命题中，真命题是( ) A ．1弧度是一度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是一度的弧与一度的角之和 D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小 解析：选D.根据1弧度的定义，对照各选项，可知D 为真命题． 2．把－8π 3 化成角度是( ) A ．－960° B ．－480° C ．－120° D ．－60° 解析：选B.－8π3＝－8 3 ×180°＝－480°. 3．把－300°化为弧度是( ) A ．－4π3 B ．－5π3 C ．－7π4 D ．－7π6 解析：选B.－300°＝－300×π180＝－5 3π. 4．圆的半径是6 cm ，则圆心角为π 12 的扇形面积是________ cm 2. 解析：S ＝12|α|r 2＝12×π12×62＝32π. 答案：3 2π
开始输入x f(x)>g(x) h(x)=f(x)h(x)=g(x) 输出h(x)结束 是否 第4题图 2014—2015学年第一学期期末文科数学测试 参考公式：回归直线的方程是：a bx y +=?， 其中1 2 2 1 ?,;n i i i i i n i i x y nx y b a y bx y x x nx ==-= =--∑∑g g 其中是与对应的回归估计值. 一、选择题 1.集合{}{}4,5,3,9,3M m N =-=-，若M N ?≠?，则实数m 的值为（） A ．3或1-B ．3C ．3或3-D ．1- 2．若直线1ax by +=与圆2 2 1x y +=相交，则点(,)P a b 与圆的位置关系是() A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定 3．若函数()y f x =的反函数是2x y =，则(2)f =() A.4B.2C.1D.0 4.如图所示的算法流程图中,若2 ()2,()x f x g x x ==则(3) h 的值 等于（） A.8 B.9 C.1- D.1 5．若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的左焦点重合，则p 的值为（） A.－2 B.2 C.－4 D.4
6.在ABC V 中，已知2cos c a B =，()()a b c b c a +++-3bc =，则ABC V 是() A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.无法判断 商店名称 A B C D E 销售额x (千万元) 3 5 6 7 9 利润额y (百万元) 2 3 3 4 5 根据此表可得回归直线方程为 A.0.50.4y x =+ B.0.41y x =+ C.28.6y x =- D.8.655y x =-+ 8．若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（） A ．),31 (+∞B ．]31,(-∞C ．),31[+∞D ．)3 1,(-∞ 9.函数2 ()2f x x x =--在[]55x ∈-，内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是(). A ． 110 B ． 23 C ． 310 D ． 45 10．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x 万件时的生 产成本为2 1()2202 C x x x =++(万元),一万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业 一个月应生产该商品数量为() A ．36万件 B ．18万件 C ．22万件 D ．9万件 二、填空题 11.设单位向量12,e e u r u u r 的夹角为120°，向量1222,a e e b e =+=-r u r u u r r u u r ，则a b =r r g _______ 12.下列命题不是真命题的是_________________ ①平行六面体一定是直棱柱； ②一个边长为2的等边三角形的直观图的面积为64 ； ③空间三点确定一个平面； ④若//,,l l m αβαβ?=I ，则//l m ； ⑤若,,,l m l n m n α⊥⊥?，则l α⊥. 13.已知0,0x y >>，若 22832y x m m x y +>+-恒成立，则实数m 的取值范围是 ；
1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 整体设计 教学分析 教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务. 学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义. 三维目标 1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念. 2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义. 3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础. 重点难点 教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合. 教学难点:用集合来表示终边相同的角. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 图1 思路 1.(情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉
【推荐】2020年苏教版高中数学必修二（全 册）同步练习汇总 第1章立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.1 棱柱、棱锥和棱台 A级基础巩固 1．下列图中属于棱柱的有()
A．2个B．3个 C．4个D．5个 解析：根据棱柱的定义, 第一行中前两个和第二行中后两个为棱柱． 答案：C 2．五棱柱中, 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个五棱柱共有对角线() A．20条B．15条 C．12条D．10条 解析：由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线, 因为不同在任何侧面内, 故从一个顶点出发的对角线有2条, 五棱柱的对角线共有2×5＝10(条)． 答案：D 3．下面图形所表示的几何体中, 不是棱锥的为()
解析：判断一个几何体是否是棱锥, 关键看它是否满足以下条件：有一个面是多边形, 其余各面都是三角形, 且是有一个公共顶点的三角形．故A不是棱锥；B是四棱锥；C, D是五棱锥．答案：A 4．关于棱柱的下列说法中正确的是________(填序号)． ①所有的棱都相等； ②至少有两个面的形状完全相同； ③相邻两个面的交线叫作侧棱． 解析：①错误, 因为侧棱与底面上的棱不一定相等；②正确, 根据棱柱的结构特征知, 棱柱的两个底面一定是全等的, 故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；③错误, 因为底面和侧面的公共边不是侧棱． 答案：② 5．观察如图所示的正六棱柱, 共有________对平行平面, 能作为棱柱底面的有________对．
解析：观察图中的正六棱柱, 可知共有4对平行平面, 其中能作为棱柱底面的只有1对． 答案：4 1 6．下列说法正确的是________(填序号)． ①底面是正方形的棱锥是正四棱锥； ②各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥； ③底面是正三角形, 其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥； ④正四面体是正三棱锥． 解析：根据定义判定． 答案：④ 7．在四棱锥的四个侧面中, 直角三角形最多有______个． 解析：从长方体中寻找四棱锥模型． 答案：4 8．有一个面是多边形, 其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？ 解：不一定, 因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各
弧度制【知识梳理】 1．角度制与弧度制 (1)角度制．①定义：用度作为单位来度量 角的单位制． ② 1 度的角：周角的3601 作为一个单位． (2)弧度制．①定义：以弧度作为单位来度量 角的单位制． ② 1 弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算 如果半径为 r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l . r 4．弧度与角度的互化 角度化弧度弧度化角度 360 °＝ 2πrad2πrad＝ 360 ° 180 °＝πradπrad＝ 180 ° π180 1°＝180rad≈ 0.017 45 rad 1 rad＝π°≈ 57.30 ° 5.一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度0°30°45°60°90°120°135°150°180° 弧度 ππππ2π3π5π π0 432346 6 6．扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为 R，弧长为 l ，α为其圆心角，则 α为度数α为弧度数 扇形的弧长l ＝παR l ＝αR 180 2 11扇形的面积S＝παR2 360S＝2lR＝2αR 【常考题型】 题型一、角度与弧度的换算
【例 1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： 2π (1)72 ；°(2) － 300 °； (3)2； (4) － 9 . [ 解] (1)72 ＝°72× π 2π ＝ ； 180 5 π 5π (2) － 300 °＝－ 300× 180＝－ 3 ； (3)2＝ 2× 180 360 π °＝ π °； 2π 2π 180 (4)－9＝－ 9× π °＝－ 40°. 【类题通法】 角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时， 抓住关系式 πrad ＝ 180°是关键， 由它可以得到： 度数 × π ＝ 180 弧度数，弧度数 × 180 π＝度数． 【对点训练】 已知 α＝－ 570°， α＝750°， β＝ 3π π ， β＝－ 3 . 1 2 1 5 2 (1) 将 α，α 用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角； 1 2 (2) 将 β， β 用角度表示出来，并在－ 720°～ 0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角． 1 2 解： (1)α＝－1 570°＝－ 570 π 19π ＝－ ， 180 6 750 π 25π α2＝ 750°＝ 180 ＝ 6 . 19π 5π ∵ α＝－1 6 ＝－ 2× 2π＋ 6 ， α2＝ 25π π ＝ 2×2π＋ ， 6 6 ∴ α 是第二象限角， α 是第一象限角． 1 2 (2) β1＝ 3π 3 × 180°＝ 108°， 5 ＝ 5 设 θ＝ k ·360°＋ 108°(k ∈ Z )， 则由－ 720°≤ θ<0°， 得－ 720°≤ k ·360°＋ 108°<0°(k ∈ Z )， 解得 k ＝－ 2 或 k ＝－ 1，
第2课时 弧度制 课时目标 1.了解度量角的单位制，即角度制与弧度制． 2．理解弧度制的定义，能够对弧度和角度进行正确的换算． 识记强化 1．我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad. 2．弧长计算公式：l ＝|α|·r (α是圆心角的弧度数)；扇形面积公式S ＝12l ·r 或S ＝1 2 |α|·r 2(α 是弧度数且0<α<2π)． 3．角度与弧度互化 度数 360° 180° 1° (180π )° 弧度数 2π π π180 1 课时作业 一、选择题 1．－315°化为弧度是( ) A ．－43π B ．－5π3 C ．－7π4 D ．－76π 答案：C 解析：－315°×π180＝－7π 4 2．在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为π 3 cm ，它所对的圆心角为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案：A 解析：设圆心角为θ，则θ＝π32＝π 6 . 3．与角－π 6 终边相同的角是( ) A.5π6 B.π3
C.11π6 D.2π3 答案：C 解析：与角－π6终边相同的角的集合为αα＝－π6＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，α＝－π 6 ＋2π ＝11π 6 ，故选C. 4．下列叙述中正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 答案：D 解析：由弧度的定义，知D 正确． 5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 为( ) A ．? B ．{α|－4≤α≤π} C ．{α|0≤α≤π} D ．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π} 答案：D 解析：求出集合A 在[－4,4]附近区域内的x 的数值，k ＝0时，0≤x ≤π；k ＝1时，4<2π≤x ≤3π；在k ＝－1时，－2π≤x ≤－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A ∩B . 6．下列终边相同的一组角是( ) A ．k π＋π 2 与k ·90°，(k ∈Z ) B ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，(k ∈Z ) C ．k π＋π6与2k π±π 6，(k ∈Z ) D.k π3与k π＋π 3，(k ∈Z ) 答案：B 解析：(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z ，都表示π的奇数倍． 二、填空题 7．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad. 答案：2 解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为4 2 ＝2 rad. 8．设集合M ＝?????? αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________. 答案：???? ??－5 6π，－π3，π6，23π 解析：由－π 兴化市板桥高级中学2009-2010学年度第二学期期中学情检测 高一数学参考答案 1、90 2、2,1-==b a 3、0 4、-2 5、),1(),(+∞?-∞a a 6、ο307、18、25 9、3 39210、311、112、直角 13、32 312214、③ 15、解：（1）()[]()21cos cos cos - =+-=+-=B A B A C π∴C ＝120° （2）由题设：???=+=322b a ab ? -+=?-+=∴120cos 2cos 222222ab b a C BC AC BC AC AB ()()102322 222=-=-+=++=ab b a ab b a 10=∴AB 16、(1)因为x>0,y>0,且2x+y=1 所以 12121x y x y ??+=+? ???()122x y x y ??=++ ??? 44y x x y =++ 448≥+=+= 4112,,42y x y x x y ==上式中，等号当且仅当 即也即x=y=时成立 min 128x y ??∴+= ??? （2） ( )()()( )( )2 2min ,,23 302 3 ,3a+b 22260 1 121 a b R a b ab a b ab a b a b R a b a b ab a b a b a b a b a b ++∈++=-++∴=>∴+<∈+≥-++??≥= ???∴+++-≥∴+≥== ∴+=因为且而当时，有 即上式中等号当且仅当时成立 17、 45451530453015sin sin 1000sin 30sin15sin15cos 7541000100010005001 sin 30sin 302 o o o o o o o o o o o o o ABS SBC BSA AS BS ABS BAS BS BS ?∠=-∠=-=∠=-=∴=∠∠∴=∴=?=?=?=在ABS 中， 《弧度制》教学设计 一、教学目标： （一）核心素养 通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解弧度制的定义，熟练角度制与弧度制的换算，掌握并运用弧度制的弧长公式和扇形的面积公式；在类比和数学运算过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应的关系. （二）教学目标 1.“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性； 2.“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义； 3.“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化； 4.“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式求解有关问题 （三）学习重点 1．理解弧度“是什么”； 2．熟练弧度和角度之间“如何化”； 3．掌握弧度制来计算弧长和扇形面积“怎么用”； （四）学习难点 1．理解弧度“是什么”； 2．理解角的集合与实数之间一一对应的关系 二、教学过程 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第6页至第11页． （2）想一想：弧度制是如何定义的？弧度制和角度制之间是如何让转化的？如何将弧度制应用于弧长公式和扇形的面积公式中？ 2．预习自测 =____________ （1）已知圆O的半径为2，弧AB的长为2，则AOB 【答案】1rad． （2）2π rad =（）A．180° B．200° C．270° D．360° 【答案】D． （3）把50°化为弧度制（）A．50 B．5 18π C．18 5π D．9000π 【答案】B． （4）扇形的圆心角为72°，半径为5，则它的弧长为______，面积为________ 【答案】2π；5π (二)课堂设计 1．知识回顾 （1）角的概念的推广； （2）终边相同的角的表示 2．问题探究 探究一结合实例，引入弧度制，理解引入弧度制的必要性； ●活动结合实例，引入弧度制 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约270.4公里，但也有人回答约169英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里） 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制. 第三章 三角恒等变换 § 3.1.1-2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 一．选择题 1、sin750= （ ） Ａ、14 2、tan170+tan280+tan170tan280 = （ ） Ａ、-１ Ｂ、１ Ｄ、 3、若12sin x x =cos(x +φ)，则φ的一个可能值为 （ ） Ａ、6π- Ｂ、3π- Ｃ、6π Ｄ、3 π 4、设α、β为钝角，且sin α，cos β＝α+β的值为 （ ） Ａ、 34π Ｂ、54π Ｃ、74π Ｄ、54π或74 π 5、1tan 751tan 75+- ＝ （ ） Ｃ、 Ｄ、* 6、在△ABC 中，若0 11、已知tan(4π+x )= 1 2 ，求tan x 12、化简2cos10sin 20cos20- 13、已知4π<α<34π，0<β<4π，且cos(4π-α)=35，sin(34π+β)=513 ，求sin (α+β)的值。 * 14、已知α、β为锐角，sin α= 8,17cos(α-β)=21 29 ，求cos β. 3.1.3二倍角的正弦、余弦与正切公式 1.1.2弧度制 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系. 2、过程与方法 创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 3、情态与价值 通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备. 二、教学重、难点 重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 三、学法与教学用具 在我们所掌握的知识中，知道角的度量是显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化. 教学用具:计算器、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里） 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制. 【探究新知】 1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ，自行解决上述问题. 任意角和弧度制 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式 3.熟记特殊角的弧度数 (一)角的概念： 1 任意角 正角：按顺时针方向形成的角 负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角 定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。 与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数） （1）在直角坐标系内讨论角： 注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 （3）区间角的表示： ①象限角： 象限角 象限角的集合表示 第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α??+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α?+?+∈Z } 第三象限角的集合 o o o o {|360180<<360270,x k k k α?+?+∈Z } 第四象限角的集合 o o o o {|360270<<360360,x k k k α?+?+∈Z } ②写出图中所表示的区间角： 由α的终边所在的象限， 来判断 2α所在的象限，来判断3 α 所在的象限 (二)弧度制 1 弧度角的规定. (时间：120分钟；满分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．cos ??? ?－17π 3＝__________. 解析：cos ????－17π3＝cos ????－6π＋π3＝cos π3＝12. 答案：12 2．已知????12sin 2θ ＜1，则θ所在的象限为__________． 解析：∵????12sin 2θ ＜1＝????120， ∴sin 2θ＞0， ∴2k π＜2θ＜2k π＋π(k ∈Z )， ∴θ表示第一或第三象限的角． 答案：第一或第三象限 3．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么a ·b 的值为__________． 解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×4×cos120°＝16×(－1 2 )＝－8. 答案：－8 4．已知sin α＋cos α＝－52，则tan α＋1 tan α的值为__________． 解析：∵sin α＋cos α＝－52，∴1＋2sin αcos α＝54，∴sin αcos α＝18.∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos α sin α ＝ 1 sin αcos α ＝8. 答案：8 5．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝__________. 解析：|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×????－1 2＝49，∴|5a －b |＝7. 答案：7 6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2 )的图象如图所示，则y 的表达式为 __________． 解析：由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π 6 . 答案：y ＝2sin(2x ＋π 6 )苏教版高中数学必修三高一参考答案
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