北京市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编 第4部分:数列 一、选择题：
6. （北京市西城区2011年1月高三理科试题）设等比数列
{}n a 的前n 项和为n
S ，若
852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是( ) A ）
3
5
a a （B ）
3
5
S S （C ）
n
n a a 1
+（D ）
n
n S S 1
+
6.D 【解析】由0
852=+a a 得 2.q =-选项A 等于4，选项B 等于11
3，选项C 等于2，选项
D 的值不确定.
2．(北京市海淀区2011年4月高三年级第二学期期中练习理科)已知数列
{}n a 为等差数列，
n
S 是它的前n 项和.若21=a ，12
3=S ，则=4S ( C )
A ．10
B ．16
C ．20
D ．24
7．(北京市西城区2011年高三一模试题理科)已知曲线
1:(0)
C y x x =
>及两点
11(,0)
A x 和
22(,0)A x ，其中
210x x >>.过
1
A ，
2
A 分别作x 轴的垂线，交曲线C 于
1
B ，
2
B 两点，直线
12
B B 与x 轴交于点
33(,0)
A x ，那么
（A ）312
,,2x x x 成等差数列 （B ）312
,,2x x x 成等比数列 （C ）
132
,,x x x 成等差数列
（D ）
132
,,x x x 成等比数列
4．(北京市朝阳区2011年4月高三年级第一次综合练习理科)已知{}
n a 是由正数组成的等比
数列，n
S 表示
{}
n a 的前n 项的和．若
13
a =，
24144
a a =，则
10
S 的值是 ( D )
（A ）511 （B ） 1023 （C ）1533 （D ）3069
8．(北京市朝阳区2011年4月高三年级第一次综合练习理科)定义区间(, )a b ，[, )a b ，
(, ]
a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,
(1, 2)[3, 5) 的长度(21)(53)3d =-+-=. 用[]
x 表示不超过x 的最大整数，记
{}[]
x x x =-，其中x ∈R . 设()[]{}f x x x =?，()1g x x =-，若用123,,d d d
分别表示不
等式()()f x g x >，方程()()f x g x =，不等式()()f x g x <解集区间的长度，则当
02011x ≤≤时，有 ( B )
（A ）
1231, 2, 2008
d d d === （B ）
1231, 1, 2009
d d d === （C ）
1233, 5, 2003
d d d === （D ）
1232, 3, 2006
d d d ===
4. (北京市朝阳区2011年4月高三年级第一次综合练习文科)已知{}
n a 是由正数组成的等比
数列，
n
S 表示
{}
n a 的前n 项的和，若
13
a =，
24144
a a =，则
5
S 的值是( C )
（A ）69
2
（B ） 69 （C ）93 （D ）189
3．（北京市石景山区2011年高三统一测试理科）已知等差数列
{}
n a 的前n 项和为
n
S ，若
45818,a a S =-=
则 （ A ）
A ．72
B ．68
C ．54
D ．90
3．(北京市怀柔区2011年3月高三第二学期适应性练习理科)已知等比数列}
{n a 的公比为2，
且5
31=+a a ，则42a a +的值为 ( A )
A ．10
B ．15
C ．20
D ．25
4．（北京市丰台区2011年3月高三年级第二学期统一练习一理科)设等差数列{}
n a 的公差d
≠0，
14a d
=．若
k
a 是
1
a 与
2k
a 的等比中项，则k =（ C ）
(A) 3或-1 (B) 3或1 (C) 3
(D) 1
二、填空题：
14. (北京市西城区2011年高三一模试题文科) 已知数列{}
n a 的各项均为正整数，n
S 为其前
n 项和，对于1,2,3,n = ，有
1
135,2n n n n
n n k k a a a a
a a +++??=???为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，
,
，
当
5
3=a 时，
1
a 的最小值为______；当
1
1=a 时，
1220S S S +++=
______.5，910
14. (北京市西城区2011年高三一模试题理科)已知数列
{}
n a 的各项均为正整数，对于
???=,3,2,1n ，有
1
135,2n n n n
n n k k a a a a
a a +++??=???为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,当111a =时，100a =__62____；
若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a
恒为常数p ，则p 的值为__1或5____.
14．(北京市朝阳区2011年4月高三年级第一次综合练习理科)对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}p q n ∈ ，当q p <时有
q
p i i >，则称
p
i ，
q
i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数
组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组123(,,,,)
n i i i i 中的逆序数为n ，则数组
11(,,,)
n n i i i - 中的逆序数为 .
4,
2
32
n n
-
14．(北京市朝阳区2011年4月高三年级第一次综合练习文科)对于各数互不相等的整数数组
)
,,,,(321n i i i i (n 是不小于2的正整数)，对于任意,{1,2,3,,}p q n ∈ ，当q p <时有
q
p i i >，则称
p
i ，q
i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组
的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 4 .
14．（北京市石景山区2011年高三统一测试理科）函数2
(0)
y x x =>的图象在点
2
(,)
n n a a 处
的切线与x 轴交点的横坐标为
1
n a +，
*
135,16,n N a a a ∈=+=
若则 5 ，数列
{}
n a 的通项公式为 ．52
n
-
（10）(北京市东城区2011年第二学期综合练习一文科)在等差数列
{}
n a 中，若
1232,13
a a a =+=，则
456a a a ++=
42 ．
14．（北京市丰台区2011年3月高三年级第二学期统一练习一理科)将全体正奇数排成一个
三角形数阵： 1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．n2-n+5
三、解答题：
20. (北京市海淀区2011年4月高三年级第二学期期中练习理科)（本小题共13分） 已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n
a a a a ，其中等于i 的项有
i
k 个(1,2,3)i =???，
设
j
j k
k k b +++= 21 (1,2,3)j = ，12()m g m b b b nm =+++- (1,2,3)
m =???.
（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ； （Ⅱ）若数列A 满足
12100
n a a a n +++-= ，求函数)(m g 的最小值.
1231(1)(1)
M g M b b b b n M --=++++-- 1231()()()()
M b n b n b n b n -=-+-+-++-
233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-
23[2(1)]
M k k M k =-+++-
12312(23)()M M k k k M k k k k =-++++++++
123()n M a a a a b =-+++++
123()n a a a a n
=-+++++ …………………12分 ∵1
23100
n a a a a n ++++-= ， ∴
(1)100,g M -=- ∴
()g m 最小值为100-. …………………13分 说明：其它正确解法按相应步骤给分.
16. (北京市海淀区2011年4月高三年级第二学期期中练习文科)（本小题共13分） 数列
{}n a 的前n 项和为
n
S ，若
12
a =且
12n n S S n
-=+（2n ≥，*
n ∈N ）.
( I )求
n
S ；
( II ) 是否存在等比数列{}
n b 满足
112339
, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列
{}
n b 的通
项公式；若不存在，则说明理由.
16. （共13分） 解：（I ）因为12n n S S n
-=+，所以有
12n n S S n
--=对2n ≥，*
N n ∈成立 ………2分
即
2n a n
=对2n ≥成立，又1121a S ==?, 所以2n a n
=对*N n ∈成立…………3分
所以
12
n n a a +-=对*
N n ∈成立 ，所以
{}
n a 是等差数列， …………………4分
所以有
2
12
n
n a a S n n n
+=
?=+ ，*
N n ∈ …………………6分
（II ）存在. …………………7分 由（I ），2n a n
=，*
N n ∈对成立
所以有
396,18
a a ==，又
12
a =， ………………9分
所以由
112339
, b a b a b a ===，，则
2
31
2
3
b b b b == …………………11分
所以存在以
12
b =为首项，公比为3的等比数列
{}
n b ，
其通项公式为
1
23
n n b -=? . ………………13分
20. (北京市海淀区2011年4月高三年级第二学期期中练习文科) （本小题共13分） 已知每项均是正整数的数列
123100
,,,,a a a a ，其中等于i 的项有
i
k 个(1,2,3)i = ，
设
j j k k k b +++= 21(1,2,3)j = ，12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).
m =
（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10, 0
k k k k =====，求(1
),(2),(3),(4)g g g g
；
(II) 若
123100
,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小；
20. （共13分） 解: (I) 因为数列1240,30,k k ==320,k =410
k =，
所以
123440,70,90,100
b b b b ====，
所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- . ………………3分 (II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，
根据
j
b 的含义知1100
m b +≤，
故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， ① ………………5分 当且仅当1100
m b +=时取等号.
因为
123
1
,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100
m b =，
所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===
即当149m <<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+ . …………………7分 （III ）设M 为
{}12100,,,a a a 中的最大值.
由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M . 下面计算()g M 的值.
123()100M g M b b b b M
=++++-
1231(100)(100)(100)(100)
M b b b b -=-+-+-++-
233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-
23[2(1)]
M k k M k =-+++-
12312(23)()
M M k k k M k k k k =-++++++++
123100()M
a a a a
b =-+++++ 123100()100
a a a a =-+++++ ，
∵1
23100200
a a a a ++++= ， ∴
()100g M =-， ∴()g m 最小值为100-. ………………13分
说明：其它正确解法按相应步骤给分.
17. (北京市西城区2011年高三一模试题文科)（本小题满分13分） 已知
{}
n a 是公比为q 的等比数列，且
123
23a a a +=.
（Ⅰ）求q 的值； （Ⅱ）设{}
n b 是首项为2，公差为q 的等差数列，其前n 项和为
n
T . 当2n ≥时，试比较n
b
与
n
T 的大小.
17.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知可得2
11123a a q a q
+=， ……………………2分
因为
{}
n a 是等比数列，所以
2
3210
q q --=. ……………………3分
解得1q =或
1
3q =-
. ……………………5分
（Ⅱ）①当1q =时，1n b n =+，
2
32
n n n T +=
， ……………………7分
所以，当2n ≥时，
2
2
2
n n n n T b +--=
>.
即当1q =时，(2)n n T b n >≥. ……………………8分
②当13q =-
时，
72(1)()33
n n b n 1-=+--
=
， ……………………9分
2
132(1)()23
6
n n
n n
T n n 1-=+
--=
， ……………………10分[来
(1)(14)
6
n n n n T b ---=-
， ……………………12分
所以，当14n >时，n n T b <；当14n =时，n n T b =；当214n ≤<时，n n
T b >.…13分
综上，当1q =时，(2)n n T b n >≥.当1
3q =-
时，若14n >，n n T b <；若14n =，n n
T b =；
若214n ≤<，n n T b >.
20. (北京市西城区2011年高三一模试题文科)（本小题满分13分） 将n ,,3,2,1 这n 个数随机排成一列，得到的一列数n
a a a ,,,21 称为n ,,3,2,1 的一个排
列. 定义
=),,,(21n a a a τ|
|||||13221n n a a a a a a -+-+-- 为排列
n
a a a ,,,21 的波动
强度.
（Ⅰ）当3=n 时，写出排列321,,a
a a 的所有可能情况及所对应的波动强度；
（Ⅱ）当10=n 时，求1210(,,,)
a a a τ 的最大值，并指出所对应的一个排列；
（Ⅲ）当10=n 时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列1210
,,,a a a ，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度
降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明.
20. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）3=n 时，排列321,,a a a 的所有可能为1,2,3；
1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1. ………………2分
2)3,2,1(=τ；3)2,3,1(=τ；3)3,1,2(=τ；
3)1,3,2(=τ；3)2,1,3(=τ；2)1,2,3(=τ. ………………4分 （Ⅱ）
1210(,,,)a a a τ= 1223910||||||
a a a a a a -+-++-
上式转化为1223910
a a a a a a ±±±±±±± ，
在上述18个±中，有9个选正号，9个选负号，其中
110
,a a 出现一次，
239
,,,a a a 各出现
两次. ………………6分 所以1210(,,,)a a a τ 可以表示为9个数的和减去9个数的和的形式， 若使1210(,,,)a a a τ 最大，应使第一个和最大，第二个和最小. 所以
1210(,,,)
a a a τ 最大为：
(10109988776)(112233445)49++++++++-++++++++=. ………8分
所对应的一个排列为：5,7,1,8,2,9,3,10,4,6.（其他正确的排列同等给分）……9分 （Ⅲ）不可以.
例如排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6，除调整1,2外，其它调整都将使波动强度增加，调整1,2波动强度不变. ……………11分 所以只能将排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6调整为排列10,9,8,7,2,1,3,4,5,6. 对于排列10,9,8,7,2,1,3,4,5,6，仍然是除调整2,1外，其它调整都将使波动强度增加，所以仍只能调整1,2两个数字.
如此不断循环下去，不可能经过有限次调整使其波动强度降为9. ……………13分 20．(北京市朝阳区2011年4月高三年级第一次综合练习理科)（本小题满分14分） 有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为m k a (,1,2,3,,, 3)
m k n n = ≥，
公差为
m
d ，并且
123,,,,n n n nn
a a a a 成等差数列．
（Ⅰ）证明1122
m d p d p d =+ （3m
n
≤≤，
12
,p p 是m 的多项式），并求12
p p +的值；
（Ⅱ）当
121, 3
d d ==时，将数列
{}
m d 分组如下：
123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d
(每组数的个数构成等差数列)． 设前m 组中所有数之和为
4
()(0)
m m c c >，求数列
{2
}
m
c m
d 的前n 项和
n
S ．
（Ⅲ）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（Ⅱ）中的n S
，求使得不等式 1(6)50
n n
S d ->成立的所有N 的值．
20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意知
1(1)m n m
a n d =+-．
212121[1(1)][1(1)](1)()
n n a a n d n d n d d -=+--+-=--，
同理，3232(1)()n n a a n d d -=--，
4343(1)()
n n a a n d d -=--，…，
(
1)1
(1)()
n n n n
n
n a a n d d
--
-=--．
又因为123,,,,n n n nn
a a a a 成等差数列，所以
2132(1)n n n n nn n n
a a a a a a --=-==- .
故
21321n n d d d d d d --=-==- ，即
{}
n d 是公差为
21
d d -的等差数列．
所以，12112
(1)()(2)(1)m d d m d d m d m d =+--=-+-．
令
122,1
p m p m =-=-，则
1122
m d p d p d =+，此时
121
p p +=． …………4分
（Ⅱ）当121, 3
d d ==时，
*
2 1 ()
m d m m =-∈N ．
数列
{}
m d 分组如下：
123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d
．
按分组规律，第m 组中有21m -个奇数，
所以第1组到第m 组共有2
135(21)m m ++++-= 个奇数． 注意到前k 个奇数的和为2
135(21)k k ++++-= ，
所以前2
m 个奇数的和为224
()m m =.
即前m 组中所有数之和为4m ，所以4
4
()m c m
=．
因为
m c >，所以
m c m
=，从而
*
2
(21)2()
m
c m
m d m m =-?∈N ．
所以
2
3
4
1
12325272(23)2
(21)2
n n
n S n n -=?+?+?+?++-?+-? .
2
3
4
1
2123252(23)2(21)2
n
n n S n n +=?+?+?++-?+-? .
故
2341
222222222(21)2
n
n n S n +-=+?+?+?++?--?
2
3
1
2(2222)2(21)2
n
n n +=++++---?
1
2(21)22(21)2
21
n
n n +-=?
---?-1
(32)26
n n +=--.
所以
1
(23)2
6
n n S n +=-+． …………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得
*
2 1 ()
n d n n =-∈N ，
1
(23)2
6n n S n +=-+* ()
n ∈N .
故不等式1
(6)50n n
S b -> 就是
1
(23)2
50(21)
n n n +->-．
考虑函数
1
()(23)250(21)n f n n n +=---1
(23)(2
50)100
n n +=---．
当1,2,3,4,5n =时，都有()0f n <，即1
(23)250(21)n n n +-<-．
而(6)9(12850)1006020f =--=>，
注意到当6n ≥时，()f n 单调递增，故有()0f n >.
因此当6n ≥时，1
(23)2
50(21)n n n +->-成立，即1
(6)50
n n
S d ->成立．
所以,满足条件的所有正整数5,6,7,,20N = ． …………………………14分 20．(北京市朝阳区2011年4月高三年级第一次综合练习文科)（本小题满分14分） 有n (3, )n n *
∈N ≥个首项为1，项数为n 的等差数列，设其第m (, )m n m *
∈N ≤个等差数列的第k 项为
m k a (1,2,3,,)k n = ，且公差为m d
. 若11d =，23d =，
123,,,,n n n nn
a a a a 也成等差数列．
（Ⅰ）求
m
d （3m
n
≤≤）关于m 的表达式；
（Ⅱ）将数列{}
m d 分组如下：1()
d ，
234(,,)
d d d ，
5
(d ，
6
d ，
7
d ，
8
d ，
9
d ）…，
（每组数的个数组成等差数列），设前m 组中所有数之和为4
()(0)m m c c >，求数列
{2
}
m
c m
d 的前n 项和
n
S ；
（Ⅲ）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（Ⅱ）中的n S
，求使得不等式 1(6)50
n n
S d ->成立的所有N 的值．
20. （满分14分） 解（Ⅰ）由题意知，
1(1)m n m
a n d =+-．
212121[1(1)][1(1)](1)()n n a a n d n d n d d -=+--+-=--，同理，
3232(1)()
n n a a n d d -=--，
4343(1)()
n n a a n d d -=--，…，
(1)1(1)()
nn n n n n a a n d d ---=--．
123,,,,n n n nn
a a a a 成等差数列，
所以
2132(1)n n n n nn n n
a a a a a a --=-==- ，
故21321
n n d d d d d d --=-==- .
即
{}
n d 是公差是
21312
d d -=-=的等差数列．
所以，
21
m d m =-（3m n ≤≤，*
,m n ∈N ）． ………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知*
2 1 ()
m d m m =-∈N ．
数列
{}
m d 分组如下：(1)，(3,5,7)，(9,11,13,15,17)，…．
按分组规律，第m 组中有21m -个奇数，
所以第1组到第m 组共有2
135(21)m m ++++-= 个奇数． 注意到前k 个奇数的和为2135(21)k k ++++-= ， 所以前2
m 个奇数的和为224
()m m
=，即前m 组中所有数之和为4
m ，所以
44
()m c m
=．
因为0
m c >，所以
m c m
=，从而
*
2
(21)2()
m
c m m
d m m =-?∈N ． 所以
2
3
4
1
12325272(23)2
(21)2
n n
n S n n -=?+?+?+?++-?+-?
2
3
4
1
2123252(23)2(21)2n
n n S n n +=?+?+?++-?+-? ，
故
2
3
4
1
222222222(21)2
n
n n S n +-=+?+?+?++?--?
2
3
1
2(2222)2(21)2
n
n n +=++++---?
1
2(21)22(21)2
21
n
n n +-=?
---?-1
(32)26
n n +=--，
所以
1
(23)2
6
n n S n +=-+． ……………………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得
*
2 1 ()
n d n n =-∈N ，
1
(23)2
6n n S n +=-+* ()
n ∈N .
故不等式1
(6)50n n
S d -> 就是
1
(23)2
50(21)
n n n +->-．
考虑函数1
()(23)250(21)n f n n n +=---1
(23)(2
50)100
n n +=---．
当
1,2,3,4,5
n =时，都有
()0
f n <，即
1
(23)2
50(21)
n n n +-<-．
而(6)9(12850)1006020f =--=>，
注意到当6n ≥时，()f n 单调递增，故有()0f n >.
因此当6n ≥时，1
(23)2
50(21)n n n +->-成立，即1
(6)50
n n
S d ->成立．
所以满足条件的所有正整数5,6,7,,20N = ．…………………………………14分 （20）(北京市东城区2011年第二学期综合练习一文科) (本小题共13分) 对于)2(≥∈n n *
N ，定义一个如下数阵：
???????
??=nn n n n n nn
a a a a a a a a a A
2
1
2222111211
其中对任意的n i ≤≤1，n j ≤≤1，当i 能整除j 时，1=ij a ；当i 不能整除j 时，0
=ij a ．
（Ⅰ）当4n =时，试写出数阵44A
；
（Ⅱ）设
nj
j j n
i ij
a a a a
j t +++==
∑= 211)(．若][x 表示不超过x 的最大整数，
求证：
∑=n
j j t 1
)(∑==n
i i
n 1
]
[
．
（20）(共13分)
解：（Ⅰ）依题意可得，
44
1111010100
1
00
00
1A ?? ? ?= ? ???
……………………4分
（Ⅱ）由题意可知，)(j t 是数阵
nn
A 的第j 列的和，
因此
∑=n
j j t 1
)
(是数阵
nn
A 所有数的和．
而数阵
nn
A 所有数的和也可以考虑按行相加．
对任意的n i ≤≤1，不超过n 的倍数有i 1，i 2，…，i
i n ][．
因此数阵
nn
A 的第i 行中有][i n 个１，其余是0，即第i 行的和为]
[i n ．
所以
∑=n
j j t 1
)(∑==n
i i
n 1
]
[
．
……………………13分 20．(北京市怀柔区2011年3月高三第二学期适应性练习理科) (本小题满分13分) 已知集合
}
,,,,{321n a a a a A =，其中
)
2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和
)
1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．
（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ；
（Ⅱ）若集合
}
2,,8,4,2{n
A =，求证：2
)
1()(-=
n n A l ；
（Ⅲ）)(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 解：（Ⅰ）由,1486,1284,1064,1082,862,642=+=+=+=+=+=+ 得5)(=P l .
由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+
得6)(=Q l .----------------------------------------------------------------------------------------------5分
（Ⅱ）证明：因为)
1(n j i a a j i ≤<≤+最多有
2
)
1(2
-=
n n C n 个值，所以
.
2
)
1()(-≤
n n A l
又集合}2,,8,4,2{n
A =， 任取
),
1,1(,n l k n j i a a a a l k j i ≤<≤≤<≤++
当l j ≠时,不妨设l j <，则l
k l j j j i
a a a a a a +<≤=<++1
2
2，
即
l
k j i a a a a +≠+.
当k i l j ≠=,时，l
k j i a a a a +≠+.
因此，当且仅当l j k i ==,时， l k j i a a a a +=+.
即所有
)
1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同，
所以.
2
)
1()(-=
n n A l -----------------------------------------------------------------------------------------9
分
（Ⅲ） )(A l 存在最小值，且最小值为32-n ． 不妨设
,
321n a a a a <<<< 可得
,
1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+-
所以
)
1(n j i a a j i ≤<≤+中至少有32-n 个不同的数，即.32)(-≥n A l 事实上，设n
a a a a ,,,,321 成等差数列，
考虑
)
1(n j i a a j i ≤<≤+，根据等差数列的性质，
当n j i ≤+时，11-++=+j i j i a a a a ； 当n j i >+时，n n j i j i a a a a +=+-+；
因此每个和
)
1(n j i a a j i ≤<≤+等于
)
2(1n k a a k ≤≤+中的一个，或者等于
)
12(-≤≤+n l a a n l 中的一个.
所以对这样的32)(,-=n A l A ,所以)(A l 的最小值为32-n . --------------------------------------13分
20．(北京市怀柔区2011年3月高三第二学期适应性练习文科) (本小题满分13分) 已知集合
}
,,,,{321n a a a a A =，其中
)
2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和
)
1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．
（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ； （Ⅱ）对于集合}
,,,,{321n a a a a A =，猜测
)
1(n j i a a j i ≤<≤+的值最多有多少个；
（Ⅲ）若集合
}
2,,8,4,2{n
A =，试求)(A l ．
解：（Ⅰ）由,1486,1284,1064,1082,862,642=+=+=+=+=+=+ 得5)(=P l .
由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+ 得
6)(=Q l .------------------------------------------------------------------------------------------------5分
（Ⅱ）对于集合
}
,,,,{321n a a a a A =，
)
1(n j i a a j i ≤<≤+的值最多有
2
)
1(-n n 个．
因为在集合A 的n 个元素中任取一个元素，共有n 种，再从余下的1-n 个元素中任取一个元素，
共有1-n 种．把取出的元素两两作和共有)1(-n n 个，考虑到n j i ≤<≤1，及
j
i i j a a a a +=+
等情况，所以对于集合
}
,,,,{321n a a a a A =，
)
1(n j i a a j i ≤<≤+的值最多有
2
)
1(-n n 个．
------------------------------------------------------------------------------------------------------9分
（注：本问只要回答正确，就得本问的满分。当然最好能有理由简述，如上。）
（Ⅲ） 因为集合
}
,,,,{321n a a a a A =最多有
2
)
1(-n n 个
)
1(n j i a a j i ≤<≤+的值，
所以.
2
)
1()(-≤
n n A l
又集合}2,,8,4,2{n
A =，任取),
1,1(,n l k n j i a a a a l k j i ≤<≤≤<≤++
当l j ≠时,不妨设l j <，则l
k l j j j i
a a a a a a +<≤=<++1
22，即
l
k j i a a a a +≠+.
当k i l j ≠=,时，l
k j i a a a a +≠+.
因此，当且仅当l j k i ==,时， l k j i a a a a +=+.
即所有
)
1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同，
所以
.
2
)
1()(-=
n n A l ----------------------------------------------------------------------------------------13分
20. （北京市西城区2011年1月高三理科试题）（本小题满分14分） 已知数列}
{n a ，
{}
n b 满足
n
n n a a b -=+1，其中1,2,3,n = .
（Ⅰ）若11,n a b n
==，求数列}
{n a 的通项公式；
（Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且
121,2
b b ==.
（ⅰ）记
)
1(16≥=-n a c n n ，求证：数列}
{n c 为等差数列；
（ⅱ）若数列}
{
n
a n
中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项1a 应满足的条
件.
20.（本小题满分14分）
【解析】本小题主要考查数列的基本运算、求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识. （Ⅰ）当2≥n 时，有
121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 1121
n a b b b -=++++ ……2分
2
(1)11
2
2
2
n n
n
n -?=+
=
-
+. …3分
又因为
1
1=a 也满足上式，所以数列
}
{n a 的通项为
2
1
2
2
n n
n a =
-
+.……4分
（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n ∈*
N 有5164
3
2
1n n n n
n n n b b b b b b b ++++++=
=
=
=， ……5分 所以
1656161661626364
n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++
1112217
2
2
=+++++=(1)n ≥，
所以数列}
{n c 为等差数列. ……7分
（ⅱ）设
)
0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以
1666661626364657(0)
n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b n +++++++++++++++-=-=+++++=≥
所以数列
}
{6i n a +均为以7为公差的等差数列. ……9分
设
67
77(6)776
66
66666i i k i i k i
i
i k a a a a k f k i
i k
i k
i k +++-
-
+=
=
==+++++，
（其中i k n +=6)0(≥k ，i 为}6,5,4,3,2,1{中的一个常数），
当
76i i
a =
时，对任意的i k n +=6有n a n
7
6=
； ……10分
当
76i i a ≠
时，
17771166()()6(1)666(1)6i i k k i
i
i
a a i f f a k i k i k i k i +-
-
-=
-=--++++++
76
()(
)
6
[6(1)](6)i i a k i k i -=-
+++
…11分
①若
76i i
a >
，则对任意的k ∈N 有k k f f <+1，所以数列}
6{
6i k a i
k ++为单调减数列；
②若
76i i
a <
，则对任意的k ∈N 有
k
k f f >+1，所以数列}
6{6i k a i
k ++为单调增数列；
…12分
综上：设集合
741111{}{}{}{}{}{}632362B =-- 74111{,,,,}
63236=--， 当B a ∈1时，数列
}
{
n
a n 中必有某数重复出现无数次.
当B a ?1时，}
6{6i k a
i k ++ )6,5,4,3,2,1(=i 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出
现一次，所以数列}
{n a n 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数
次. ………14分
专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则
但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
专题六 数列 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=，选B . 【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式及等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题. 2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零 点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ?=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ?==，．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，，解得1a =，4b =；当 4 a 是等差中项时，，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ． 【考点定位】等差中项和等比中项． 【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项及项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题． 3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C
全国各地高考数学试题数 列分类大全 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 1．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则 =5a （ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 答案：B 解答： 1111113243 3(3)249967320 22 a d a d a d a d a d a d ??+?=+++??+=+?+=6203d d ?+=?=-，∴51424(3)10a a d =+=+?-=-. 2.（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =- 【解析】13a =，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-． 3．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=， 61165 6615482S a d a d ?=+=+=，联立11 2724,61548a d a d +=?? +=?解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346() 3()482 a a S a a +==+=，即3416a a +=，则 4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{} n a
专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 2018试题分类汇编---------数列 一、填空题 1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理 论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f 2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =- 3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10- 4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________． 4.1324,a a a a >< 5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依 次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________． 5．27 二、解答题 6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=， 又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==， ∴{e }n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ． （1）求123b b b ， ，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式． 7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1) n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4． （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1． 8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16. 年高考数学试题知识分类 大全数列 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 2007年高考数学试题汇编 数列 重庆文1 在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ A ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 重庆理1 若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ A ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 安徽文3 等差数列{}n a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a ==（ B ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 辽宁文5 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ B ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 福建文2 等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ?等于（ C ） Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．32 福建理2 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 (1) n a n n = +，则5S 等于（ B ） A ．1 B ．56 C ．16 D ．1 30 广东理5 已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ B ） A ．9 B ．8 C. 7 D ．6 湖北理5 已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111 lim 111p q n n n ∞ ??+- ??? =??+- ??? →（ C ） A ．0 B ．1 C ． p q D ．11p q -- 湖南文4 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ B ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．11122 - 湖北理8 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且 7453 n n A n B n +=+，则使得 n n a b 为整数的正整数n 的个数是（ D ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 湖南理10 设集合{123456}M =， ，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、， ，，，），都有 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ， 所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ， 所以 ，其中k =1，2，3，…，m . 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e(e，+∞) +0– f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。 2008年高考数学试题分类汇编 数列 一． 选择题： 1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ C ） A ．138 B ．135 C ．95 D ．23 2.（上海卷14） 若数列{a n }是首项为1，公比为a －3 2的无穷等比数列，且{a n }各项的 和为a ，则a 的值是（B ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．5 4 3.（北京卷6）已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么 10a 等于（ C ） A ．165- B ．33- C ．30- D ．21- 4.（四川卷7）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞ 5.（天津卷4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =B （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6.（江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11 ln(1)n n a a n +=++，则n a = A A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 7.（陕西卷4）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ B ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 8.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为C A.63 B.64 C.127 D.128 2014年1卷 17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数. (Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=； （Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由. 2014年2卷 17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{} 12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112 n a a a ++<…+. 2015年1卷 (17)(本小题满分12分) S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0， (Ⅰ)求{a n }的通项公式： (Ⅱ)设 ，求数列}的前n 项和 2015年2卷 （4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 = （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 （16）设S n 是数列{a n }的前项和，且111 1,n n n a a s s ++=-=，则S n =___________________． 2016年1卷 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ ） （A ）100（B ）99（C ）98（D ）97 （15）设等比数列 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 。 2016-2 17.（本小题满分12分） n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，. （I ）求111101b b b ，，； （II ）求数列{}n b 的前1 000项和. 2016-3 （12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,, ,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ） （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个 （17）（本小题满分12分） 已知数列 的前n 项和1n n S a λ=+，其中λ0. （I ）证明 是等比数列，并求其通项公式 （II ）若53132 S = ，求λ 2017-1 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22 ，依此类推.求满足如下条件的学最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 2017-2 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11n k k S ==∑ ． 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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