第8章梁的弯曲应力
梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。所以，弯矩只与横截面上的正应力σ相关，而剪力只与剪应力τ相关。本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。并简要介绍一点的应力状态和强度理论。
8.1梁的弯曲正应力
平面弯曲情况下，一般梁横截面上既有弯
矩又有剪力，如图8.1所示梁的AC、DB段。
而在CD段内，梁横截面上剪力等于零，而只
有弯矩，这种情况称为纯弯曲。下面推导梁纯
弯曲时横截面上的正应力公式。应综合考虑变
形几何关系、物理关系和静力学关系等三个方
面。
8.1.1 弯曲正应力一般公式
1、变形几何关系
为研究梁弯曲时的变形规律，可通过试
验，观察弯曲变形的现象。取一具有对称截面
的矩形截面梁，在其中段的侧面上，画两条垂
直于梁轴线的横线mm和nn，再在两横线间
靠近上、下边缘处画两条纵线ab和cd，如图
8.2(a)所示。然后按图8.1(a)所示施加荷载，使梁
的中段处于纯弯曲状态。从试验中可以观察到图
8 .2(b)情况：
（1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，
只是横线间作相对转动。
（2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线
缩短，靠近梁底面的纵线伸长。
（3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵
线缩短区，梁的宽度则增加，情况与轴向拉、压
时的变形相似。
根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假
设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正
交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或
压应力。前者称为弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。
根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上不存在剪应力。
根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图8.2(c)所示。中性层与横截面的交线称为中性轴。对于具有对称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。
综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面保持平面，仍与变弯后的梁轴正交，并绕中性轴作相对转动，而所有纵向纤维则均处于单向受力状态。
从梁中截取一微段dx ，取梁横截面的对称轴为
y 轴，且向下为正，如图8.3 (b)所示，以中性轴为y 轴，但中性轴的确切位置尚待确定。根据平面假设，变形前相距为dx 的两个横截面，变形后各自绕中性轴相对旋转了一个角度d θ，并仍保持为平面。中性层的曲率半径为ρ，因中性层在梁弯曲后的长度不变，所以
d o o =
=?ρ21
又坐标为y 的纵向纤维ab 变形前的长度为
?ρd dx ab ==
变形后为
?ρd y ab )(+=
故其纵向线应变为
ρ
?
ρ?
ρ?ρεy
d d d y =
-+=
)( （a ）
可见，纵向纤维的线应变与纤维的坐标y 成正比。 2、物理关系
因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都处于单向受力状态，当应力小于比例极限时，由胡克定律知
εσE =
将(a)式代入上式，得
ρ
σy
E
= (b)
这就是横截面上正应力变化规律的表达式。由此可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，而在距中性轴为y 的同一横线上各点处的正应力均相等，这一变化规律可由图8.4来表示。
3、静力学关系
以上已得到正应力的分布规律，但由于中性轴的位置与中性层曲率半径的大小均尚未确定，所以仍不能确定正应力的大小。这些问题需再从静力学关系来解决。
如图8.5所示，横截面上各点处的法向微内力σdA 组成一空间平行力系，而且由于横
截面上没有轴力，仅存在位于x-y 平面的弯矩M ，因此，
0N A
F dA σ=
=?
(c)
?==A
y
dA z M 0σ (d)
0==
?
dA y M
A
z
σ (e)
以式(b)代入式(c)，得
0==
?
?
A
A
ydA E
dA ρσ (f)
上式中的积分代表截面对z 轴的静矩S z 。静距等于零意味着z 轴必须通过截面的形心。以式(b)代入式(d)，得
0==
?
?
A
A
yzdA E
dA ρσ (g)
式中，积分是横截面对y 和z 轴的惯性积。由于y 轴是截面的对称轴，必然有I yz =0,所示上式是自然满足的。
以式(b)代入式(e)，得 dA y E
dA y M A
A
?
?
=
=
2
ρ
σ （h ）
式中积分
2
Z A
y
dA I =? （i ）
是横截面对z 轴（中性轴）的惯性矩。于是，(h)式可以写成
z
EI
M =ρ
1 （8.1）
此式表明，在指定的横截面处，中性层的曲率与该截面上的弯矩M 成正比，与EI z 成反比。在同样的弯矩作用下，EI Z 愈大，则曲率愈小，即梁愈不易变形，故EI z 称为梁的抗弯刚度。
再将式(8.1)代入式(b),于是得横截面上y 处的正应力为
y I M z
=
σ （8.2）
此式即为纯弯曲正应力的计算公式。 式中M 为横截面上的弯矩；I z 为截面对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点至中性轴的距离。 当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力，上部纤维缩短而产生压应力；弯矩为负时，则与上相反。在利用（8.2）式计算正应力时，可以不考虑式中弯矩M 和y 的正负号，均以绝对值代入，正应力是拉应力还是压应力可以由梁的变形来判断。
应该指出，以上公式虽然是纯弯曲的情况下，以矩形梁为例建立的，但对于具有纵向对
称面的其他截面形式的梁，如工字形、T 字形和圆形截面梁等仍然可以使用。同时，在实际工程中大多数受横向力作用的梁，横截面上都存在剪力和弯矩，但对一般细长梁来说，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小。因此，（8.2）式也适用于非纯弯曲情况。 8.1.2 最大弯曲正应力
由式(8.2)可知，在y=y max 即横截在由离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为 max
max max y I M y I M z z
=
=
σ
式中，比值I z /y max 仅与截面的形状与尺寸有关，称为抗弯截面系数，也叫抗弯截面模量。用W z 表示。即为
max
y I W z z =
（8.3）
于是，最大弯曲正应力即为
z
W M =
max σ （8.4）
可见，最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。抗弯截面系数综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。
图8.6中矩形截面与圆形截面的抗弯截面系数分别为
6
2
bh W z =
(8.5)
32
3
d W z π=
(8.6)
而空心圆截面的抗弯截面系数则为
()4
3
132
απ-=
D W z (8.7)
式中ɑ=d/D ，代表内、外径的比值。
至于各种型钢截面的抗弯截面系数，可从型钢规格表中查得（见附录）。
例8.1 图8.7所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F 作用，已知：h=18cm ，b=12cm ，y=6cm ，a=2m ，F=1.5KN 。计算A 截面上K 点的弯曲正应力。
解 先计算截面上的弯矩 kNm Fa M
A
325.1-=?-=-=
截面对中性轴的惯性矩 4
73
3
10832.512
180
12012
mm bh I Z ?=?=
=
则MPa y I M Z
A
k 09.36010
832.510
37
6
=???=
=
σ
A 截面上的弯矩为负，K 点是在中性轴的上边，所以为拉应力。
8.2 平面图形的几何性质
构件在外力作用下产生的应力和变形，都与构件的截面的形状和尺寸有关。反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量，如拉伸时遇到的截面面积、扭转时遇到的极惯性矩和这一章前面遇到的惯性矩、抗弯截面系数等，统称为截面的几何性质。为了计算弯曲应力和变形，需要知道截面的一些几何性质。现在来讨论截面的一些主要的几何性质。
8.2.1形心和静矩
若截面形心得坐标为y C 和z C （C 为截面形心），将面积得每一部分看成平行力系，即看成等厚、均质薄板的重力，根据合力矩定理可得形心坐标公式
A
dA y y A
zdA
z A
C A
C ?
?=
=
, （a ）
静矩又称面积矩。其定义如下，在图8.8中任意截面内取一点M （z,y ）,围绕M 点取一微面积dA ，微面积对z 轴的静矩为ydA ，对y 轴的静矩为zdA ，则整个截面对z 和y 轴的静矩分别为：
?
?
=
=A
y A
z zdA
S ydA
S (b)
有形心坐标公式
C
A
C
A
Az zdA
Ay ydA ==??
知：
C
A
y C
A
z Az zdA
S Ay ydA S ==
==??
(c)
上式中y C 和z C 是截面形心C 的坐标，A 是截面面积。当截面形心的位置已知时可以用上式来计算截面的静矩。
从上面可知，同一截面对不同轴的静矩不同，静矩可以是正负或是零；静矩的单位是长度的立方，用m 3 或cm 3 、mm 3等表示；当坐标轴过形心时，截面对该轴的静矩为零。 当截面由几个规则图形组合而成时，截面对某轴的静矩，应等于各个图形对该轴静矩的代数和。其表达式为
i n
i i
z y A
S ∑==
1 (d)
i
n
i i y z A S ∑==
1
(e)
而截面形心坐标公式也可以写成 ∑∑=
i
i
i C A
y A z (f)
∑∑=
i
i
i C A
z A y (g)
8.2.2惯性矩、惯性积和平行移轴定理
在图8.8中任意截面上选取一微面积dA ，则微面积dA 对z 轴和y 轴的惯性矩为z 2
dA 和Y 2dA 。则整个面积对z 轴和y 轴的惯性矩分别记为I z 和I y ，而惯性积记为I zy ，则定义：
2
2
,z A
y A
I y dA I z dA
==
??
(h)
?=
A
zy zydA I (i)
极惯性矩定义为： 2
22
()z y A
A
I dA z y dA I I ρρ=
=
+=+?
?
(j)
从上面可以看出，惯性矩总是大于零，因为坐标的平方总是正数，惯性积可以是正、负和零；惯性矩、惯性积和极惯性矩的单位都是长度的四次方，用m 4 或cm 4 、mm 4等表示。 同一截面对不同的平行的轴，它们的惯性矩和惯性积是不同的。同一截面对二根平行轴的惯性矩和惯性积虽然不同，但它们之间存在一定的关系。下面讨论二根平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。
图8.9所示任意截面对任意轴对z ′轴和y ′轴的惯性矩、惯性积分别为I z ′、I y ′ 和I z ˊy ˊ 。过形心C 有平行于z ′、y ′的两个坐标轴z 和y ，截面对z 、y 轴的惯性矩和惯性积为I z 、I y 和I zy 。对o z ′y ′坐标系形心坐标为C （a,b ）。截面上选取微面积dA ，dA 的形心坐标为
b
y y a z z +='+='
则按照惯性矩的定义有 ????
?++=
+='='A
A
A A
A y dA
a zdA a dA z
dA
a z dA z I 2
2
2
2
2)(
上式中第一项为截面对过形心坐标轴y 轴的惯性矩；第三项为面积的a 2倍；而第二项为截面过形心坐标轴y 轴静矩乘以2a 。根据静矩的性质，对过形心轴的静矩为零，所以第二项为零。这样上式可以写为
A a I I yc y 2
+=' (k)
同理可得：
A b I I zc z 2
+=' (l) abA I I zcyc y z +='' (m)
也就是说，截面对于平行于形心轴的惯性矩，等于该截面对形心轴的惯性矩再加上其面积乘以两轴间距离的平方；而截面对于平行于过形心轴的任意两垂直轴的惯性积，等于该面积对过形心二轴的惯性积再加上面积乘以相互平行的二轴距之积。这就是惯性矩和惯性积的平行移轴定理。
例8.2 计算图8.10 所示T 形截面的形心和过它的形心z 轴的惯性矩。
解 （1）确定截面形心位置
选参考坐标系oz ′y ′，如图8.10所示。将截面分解为上面和下面两个矩形部分，截面形心C 的纵坐标为
5731026004001016008501010002
2
2
2
211==???+??=+=
=
∑∑C C C i
i
i c z mm A
y A y A A
y A y （2）计算截面惯性矩
上面矩形与下面矩形对形心轴z 的惯性矩分别为 4
9
214
9
2
3
24
92
3
1101.211032.13173
200800800
20012
11075.727710010001001000121mm
I I I mm I mm
I z z z z z ?=+=?=??+??=
?=??+??=
8.3 梁的弯曲剪应力
当进行平面弯曲梁的强度计算时，一般来说，弯曲正应力是支配梁强度计算的主要因素，但在某些情况上，例如，当梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用，这时梁的最大弯矩比较小，而剪力却很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截面，这时剪应力可达到相当大的数值，剪应力就不能忽略了。下面介绍几种常见截面上弯曲剪应力的分布规律和计算公式。
8.3.1矩形截面梁的弯曲剪应力
图8.11(a)所示矩形截面梁，在纵向对称面内承受荷载作用。设横截面的高度为h ，宽度为b ，为研究弯曲剪应力的分布规律，现作如下假设：横截面上各点处的剪应力的方向都平行于剪力，并沿截面宽度均匀分布。有相距dx 的横截面从梁中切取一微段，如图8.12(a)。然
后，在横截面上纵坐标为y 处，再用一个纵向截面m-n ，将该微段的下部切出，如图8.12(b)。设横截面上y 处的剪应力为τ，则由剪应力互等定理可知，纵横面m-n 上的剪应力τ’在数值上也等于τ。因此，当剪应力τ’
确定后，τ也随之确定。
如图8.12(a)所示，由于存在剪力F Q ，截面1-1与2-2的弯矩将不相同，分别为M 和M+dM ,因此，上述两截面的弯曲正应力也不相同。设微段下部横截面m 1与n 2的面积为ω,在该两截面上由弯曲正应力所构成的轴向合力分别为N 1与N 2，则由微段下部的轴向平衡方程 Σx=0可知，
21N N bdx bdx -=='ττ
由此得
bdx
N N 2
1-=
τ (a)
由图8-12(c)可知
dA y I M dA N z
??*
=
=
ω
ω
σ1
式中，积分代表截面ω对z 轴的静矩，并用S z *表示，因此有
z
z
I MS N *=
1 (b)
z
z
Q z
z
I S dx F M I S dM M N *
*
+=
+=
)()(2 (c)
将式(b)和式(c)代入式(a)，于是得
b
I S F z z Q *
=
τ （8.8）
式中：I z 代表整个横截面对中性轴矩z 的惯性距；而S z *则代表y 处横线一侧的部分截面对z
轴的静距。对于矩形截面，如图8.13所示，其值为 )4
(2)2(21)2(2
2
y h b y h y h
b S
z
-=+?-=*
将上式及I z =bh 3/12代入式(8.8)得
)41(232
2
h
y bh
F Q -
=
τ （8.9）
由此可见：矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面高度呈抛物线分布(图8.13)；在截面的上、下边缘(2
h y ±
=)，剪应力τ=0；在中性轴(y=0),剪应力最大，其值为
bh
F Q 23max =
τ （8.10）
8.3.2 工字形截面梁的弯曲剪应力
工字形截面梁由腹板和翼缘组成。其横截面如图8.14所示。中间狭长部分为腹板，上、下扁平部分为翼缘。梁横截面上的剪应力主要分布于腹板上，翼缘部分的剪应力情况比较复杂，数值很小，可以不予考虑。由于腹板比较狭长，因此可以假设：腹板上各点处的弯曲剪应力平行于腹板侧边，并沿腹板厚度均匀分布。腹板的剪应力平行于腹板的竖边，且沿宽度方向均匀分布。根据上述假设，并采用前述矩形截面梁的分析方法，得腹板上y 处的弯曲剪应力为：
b
I S F z z Q *
=
τ
式中，I z 为整个工字形截面对中性轴z 的惯性矩，S z *
为y 处横线一侧的部分截面对该轴的静矩，b 为腹板的厚度。
由图8.14(a)可以看出，y 处横线以下的截面是由下翼缘部分与部分腹板的组成，该截面对中性轴z 的静矩为
)
4
(2)(8)2(21)2()22(212)22
(2
2
2
2
y h b h H
B y h y y h
b h H h h H B S z -+-=
???
???-+-+??
????-+-
=*
因此，腹板上y 处的弯曲剪应力为 ??
?
???-+-=)4(2)(8
22
2
2
y h b h H
B b I F z Q τ （8.11）
由此可见：腹板上的弯曲剪应力沿腹板高度方向也是呈二次抛物线分布，如图8.14(b)
所示。在中性轴处(y=0)，剪应力最大，在腹板与翼缘的交接处(y=±h/2)，剪应力最小，其值分别为
???
???--=8)(8
2
2
max
h b B BH b I F z Q τ或b S
I
F Z
Q *=max τ （8.12） )8
8
(
2
2
min Bh BH b
I F z Q -
=
τ （8.13）
从以上两式可见，当腹板的宽度b 远小于翼缘的宽度B ，τmax 与τ
min 实际上相差不大，
所以可以认为在腹板直剪应力大致是均匀分布的。可用腹板的截面面积除剪力F Q ，近似地
得表示腹板的剪应力，即
bh
F Q =τ （8.14）
在工字形截面梁的腹板与翼缘的交接处，剪应力分布比较复杂，而且存在应力集中现象，为了减小应力集中，宜将结合处作成圆角。
8.3.3 圆形截面梁的弯曲剪应力
对于圆截面梁，在矩形截面中对剪应力方向所作的假设不再适用。由剪应力互等定理可知，在截面边缘上各点剪应力τ的方向必与圆周相切，因此，在水平弦AB 的两个端点上的剪应力的作用线相交于y 轴上的某点p ，如图8.15(a)。由于对称，AB 中点C 的剪应力必定是垂直的，因而也通过p 点。由此可以假设，AB 弦上各点剪应力的作用线都通过p 点。如再假设AB 弦上各点剪应力的垂直分量τy 是相等的，于是对τy 来说，就与对矩形截面所作的假设完全相同，所以，可用公式来计算，即
b
I S F Z Z Q y *
=
τ （8.15）
式中，b 为AB 弦的长度，S z *是图8.15(b)中阴影部分的面积对z 轴的静矩。
在中性轴上，剪应力为最大值τmax 。其值为
A
F r
F Q Q 34342
max =
=
πτ （8.16）
式中，F Q /A 是梁横截面上平均剪应力。
例8.3 梁截面如图8.16(a)所示，横截面上剪力F Q =15KN 。试计算该截面的最大弯曲剪应力，以及腹板与翼缘交接处的弯曲剪应力。截面的惯性矩I z =8.84×10-6m 4。
解（1）最大弯曲剪应力。
最大弯曲剪应力发生在中性轴上。中性轴一侧的部分截面对中性轴的静矩为 3
42
max
,10025.92
20)4512020(mm mm
mm mm mm S
z ?=?-+=
*
所以，最大弯曲剪应力为
MPa mm mm mm N b
I S
F z Z Q 66.7)
20)(1084.8()10025.9)(1015(4
6
3
43max
,max =???=
=
*
τ
（2）腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力。
由图8.16(b)可知，腹板、翼缘交接线一侧的部发截面对中性轴z 的静矩为
3
4
1040.8)3512020(mm mm mm mm S Z ?=??=*
所以，该交接处的弯曲剪应力为
MPa mm
mm mm N b
I S
F z z
Q 13.7201084.8)1040.8)(1015(4
6
3
43=????=
=
*
τ
8.4 梁的强度条件
在一般情况下，梁内同时存在弯曲正应力和剪应力，为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能超出一定的限度，也即，梁必须要同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件。以下将据此建立梁的正应力强度条件和剪应力强度条件。
8.4.1 弯曲正应力强度条件
最大弯曲正应力发生在横截面上离中性轴最远的各点处，而该处的剪应力一般为零或很小，因而最大弯曲正应力作用点可看成是处于单向受力状态，所以，弯曲正应力强度条件为
[]σσ≤?
??
?
??=max
max z W M （8.16） 即要求梁内的最大弯曲正应力σmax 不超过材料在单向受力时的许用应力[σ
]。
对于等截面直梁，上式变为
[]σσ≤=
z
W M
max
max （8.17）
利用上述强度条件，可以对梁进行正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。 8.4.2 弯曲剪应力强度条件
最大弯曲剪应力通常发生在中性轴上各点处，而该处的弯曲正应力为零，因此，最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态，相应的强度条件为
[]ττ≤????
?
?=*max
max max
b I S F z z Q （8.18） 即要求梁内的最大弯曲剪应力τmax 不超过材料在纯剪切时的许用剪应力[τ
]。对于等截面直
梁，上式变为 []ττ≤=
*
b
I S F z z Q m a x
,m a x (8.19)
在一般细长的非薄壁截面梁中，最大弯曲正应力远大于最大弯曲剪应力。因此，对于一般细长的非薄壁截面梁，通常强度的计算由正应力强度条件控制。因此，在选择梁的截面时，
一般都是按正应力强度条件选择，选好截面后再按剪应力强度条件进行校核。但是，对于薄壁截面梁与弯矩较小而剪力却较大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷载作用在支座附近的梁等，则不仅应考虑弯曲正应力强度条件，而且弯曲剪应力强度条件也可能起控制作用。
例8.4 图8.17(a)所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为T 字形，并承受均布荷载q 作用。试校该梁的强度。已知荷载集度q=25N/mm ，截面形心离底边与顶边的距离分别为y 1=95mm 和y 2=95mm ，惯性矩I z =8.84×10-6m 4，许用拉应力[σt ]=35MPa ，许用压应力[σc ]=140Mpa 。
解（1）危险截面与危险点判断。 梁的弯矩如图8.17(b)所示，在横截面D 与B 上，分别作用有最大正弯矩与最大负弯矩，因此，该二截面均为危险截面。
截面D 与B 的弯曲正应力分布分别如图8.17(c)与(d)所示。截面D 的a 点与截面B 的d 点处均受压；而截面D 的b 点与截面B 的c 点处均受拉。
由于|M D |>|M B |，|y a |>|y d |,|因此
|σa |>|σd |
即梁内的最在弯曲压应力σc,max 发生在截面D 的a 点处。至于最大弯曲拉应力σt,max , 究竟发生在b 点处，还是c 点处，则须经计算后才能确定。概言之，a,b,c 三点处为可能最先发生破坏的部位。简称为危险点。
（2）强度校核。
由式(8.2 )得a,b,c 三点处的弯曲正应力分别为
MPa mm
mm Nmm I y M
z
a
D
a 8.591084.8)
950)(1056.5(4
6
6
=??=
=
σ
MPa
I y M
MPa
I y M z
c
B
c z
b D
b 6.333.28==
==σσ
由此得
[][]
t c t c a c MPa MPa σσσσσσ<==<==6.338.59max ,max ,
可见，梁的弯曲强度符合要求。
例8.5 悬臂工字钢梁AB 图8.18(a)，长l =1.2m ，在自由端有一集中荷载F ，工字钢的
型号为18号，已知钢的许用应力[σ]=170Mpa ，略去梁的自重，(1)试计算集中荷载F 的最大许可值。(2)若集中荷载为45 kN ，拭确定工字钢的型号。
解（1）梁的弯矩图如图8—18(c)所示，最大弯矩在靠近固定端处，其绝对值为 M max =Fl=1.2F N ·m
由附录中查得，18号工字钢的抗弯截面模量为
W z =185×103mm 3 由公式(8.16)得
1.2F ≤(185×10-6)(170×106) 因此，可知F 的最大许可值为
?=?2.262
.1170
185][max
F 103
N=26.2kN
(2)最大弯矩值M max =Fl=1.2×45×103
N ·m=54×103
N ·m 按强度条件计算所需抗弯截面系数为 []
3
3
56
max
3181018.31701054cm mm
MPa
Nmm M W Z =?=?=
≥
σ
查附录可知，22b 号工字钢的抗弯截面模量为325cm 3 ，所以可选用22b 号工字钢。 例8.6 例8.5中的18号工字钢悬臂梁，按正应力的强度计算，在自由端可承受的集中荷载F=26.2KN 。已知钢材的抗剪许用应力[τ]=100Mpa 。试按剪应力校核梁的强度，绘出沿着工字钢腹板高度的剪应力分布图，并计算腹板所担负的剪力F Q1。
解（1）按剪应力的强度校核。
截面上的剪力F Q =26.2kN 。由附录查得18号工字钢截面的几个主要尺寸如图8.19(a)所示，又由表查得
I z =1660×104
mm 4
,
mm S I z
z 154=
由公式(5—17),得腹板上的最大剪应力
MPa
MPa m N d
S I F z
z Q 1002.26)
/(102.26)
105.6)(10
154(10
2.26)(
2
63
3
3
max <=?=???=
=
--τ
可见工字钢的剪应力强度是足够的。
（2）沿腹板高度剪应力的计算。 将工字钢截面简化如图8.19(b)所示，图中
h 1=180－2×10.7=158.6(mm) b 1=d=6.5mm
由公式(8.14)得腹板上最大剪应力的近似值为
MPa
m N b h F Q 4.25/104.25)10
5.6)(10
6.158(10
2.262
6
3
3
3
1
1max =?=???=
=
--τ
这个近似值与上面所得26.2Mpa 比较，略偏小，误差为3.9%。腹板上的最小剪应力在腹板与翼缘的连接处，翼缘面积对中性轴的静矩为
)
(10
3.8710)25.62180()10
7.10)(1094(3
4
33
3
m S Z ----*
?=?
??
????-??=
由公式(8.8)得腹板上的最小剪应力为
MPa m N b I S F Z Z Q 2.21/102.212
61
min =?==
*
τ
得出了τmax 和τmin 值可作出沿着腹板高度的剪应力分布图如图8.19(c)所示。
（3）腹板所担负剪力的计算。
腹板所担负的剪力F Q1等于图8.19(c)所示剪力分布图的面积A 1乘以腹板厚度b 1。剪力分布图面积可以用图8.19(c)中虚线将面积分为矩形和抛物线弓形两部分，得
[
])
/(103890
10
)2.212.26()
10
6.158(3
2)106.158)(102.21(3
6
3
3
6
1m N A ?=?-??+
??=--
由此得
kN N b A F Q 3.25)(103.253
111=?==
可见，腹板所担岁的剪力占整个截面剪力F Q 的96.6%。
8.5 提高梁强度的措施
前面已指出，在横力弯曲中，控制梁强度的主要因素是梁的最大正应力，梁的正应力强度条件
[]σσ≤=
W
M
max
max
为设计梁的主要依据，由这个条件可看出，对于一定长度的梁，在承受一定荷载的情况下，应设法适当地安排梁所受的力，使梁最大的弯矩绝对值降低，同时选用合理的截面形状和尺寸，使抗弯截面模量W 值增大，以达到设计出的梁满足节约材料和安全适用的要求。关于提高梁的抗弯强度问题，分别作以下几方面讨论。
8.5.1 合理安排梁的受力情况
在工程实际容许的情况下，提高梁强度的一重要措施是合理安排梁的支座和加荷方式。例如，图8.20(a)所示简以梁，承受均布载荷q 作用，如果将梁两端的铰支座各向内移动少许，例如移动0.2l ，如图8.20(b)，则后者的最大弯矩仅为前者的1/5。
又如，图8.21(a)所示简支梁AB ，在跨度中点承受集中荷载P 作用，如果在梁的中部设置一长为1/2的辅助梁CD 如图8.21(b)，这时，梁AB 内的最大弯矩将减小一半。
上述实例说明，合理安排支座和加载方式，将显著减小梁内的最大弯矩。
8.5.2选用合理的截面形状
从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积，却能获得较大抗弯截面系数的截面。截面形状和放置位置不同W z/A比值不同，因此，可用比值W z/A来衡量截面的合理性和经济性，比值愈大，所采用的截面就愈经济合理。
现将跨中受集中力作用的简支梁为例，其截面形状分别为圆形、矩形和工字形三种情况作一粗略比较。设三种梁的面积Ａ、跨度和材料都相同，容许正应力为170MPa。其抗弯截面系数W z和最大承载力比较见表8.1。
表8.1 几种常见截面形状的W和最大承载力比较
从表中可以看出，矩形截面比圆形截面好，工字形截面比矩形截面好得多。
从正应力分布规律分析，正应力沿截面高度线性分布，当离中性轴最远各点处的正应力，达到许用应力值时，中性轴附近各点处的正应力仍很小。因此，在离中性轴较远的位置，配置较多的材料，将提高材料的应用率。
根据上述原则，对于抗拉与抗压强度相同的塑性材料梁，宜采用对中性轴对称的截面，如工字形截面等。而对于抗拉强度低于抗压强度的脆性材料梁，则最好采用中性轴偏于受拉一侧的截面，便如T字形和槽形截面等。
8.5.3采用变截面梁
一般情况下，梁内不同横截面的弯矩不同。因此，在按最大弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在截面外，其余截面的材料强度均未得到充分利用。因此，在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴线的变化情况，将梁也相应设计成变截面的。横截面沿梁轴线变化的梁，称
为变截面梁。如图８.22（ａ）(b)所示上下加焊盖板的板梁和悬挑梁，就是根据各截面上弯矩的不同而采用的变截面
梁。如果将变截面梁设计为
使每个横截面上最大正应
力都等于材料的许用应力
值，这种梁称为等强度梁。
显然，这种梁的材料消耗最
少、重量最轻，是最合理的。
但实际上，由于自加工制造
等因素，一般只能近似地做
到等强度的要求。图８.22
（ｃ）（d）所示的车辆上常
用的叠板弹簧、鱼腹梁就是
很接近等强度要求的形式。
8.6 应力状态与强度理论
8.6.1应力状态的概念
以前有关各章中求的应力，是选过所求应力点的横截面上的应力，这样求得的应力实际上是横截面上的应力。但过一点可以选取无数个斜截面。显然斜截面上也有应力，包括正应力和剪应力，其大小和方向一般与横截面上的应力不同，有时可能首先达到危险值，使材料发生破坏。实践也给于了证明。如混凝土梁的弯曲破坏，除了在跨中底部发生竖向裂缝外，在其它底部部位还会发生斜向裂缝。又如铸铁受压破坏，裂缝是沿着与杆轴成45o角的地方向。为了对构件进行强度计算，必须了解构件受力后在通过它的哪一个截面和哪一点的上的应力最大。因此必须研究通过受力构件内任一点的各个不同截面上的应力情况，即必须研究一点的应力状态。
为了研究某点应力状态，可围绕该点取出一微小的正六面体—单元体来研究。因单元体的边长是无穷小的量，可以认为：作用在单元体的各个方面上的应力都是均匀分布的；在任意一对平行平面上的应力是相等的、且代表着通过所研究的点并与上述平面平行的面上的应力。因此单元体三对平面上的应力就代表通过所研究的点的三个互相垂直截面上的应力，只要知道了这三个面上的应力，则其他任意截面上的应力都可通过截面法求出，这样，该点的应力状态就可以完全确定。因此，可用单元体的三个互相垂直平面上的应力来表示一点的应力状态。
图8.23表示一轴向拉伸杆，若在任意A两点处各取出一单元体，如选的单元体的一个相对面为横截面，则在它们的三对平行平面上作用的应力都可由前面的公式算出，故可以说A点的应力状态是完全确定的。其它点也是一样。又如图8.24表示一受横力弯曲的梁，若在A、B、C、D等点各取出一单元体，如单元体的一个相对面为横截面，则在它们的三对平行平面上的应力也可有前面的公式算出，故这些点的应力状态也是完全确定的。
A B C D L a a 1L b 2 F 2 F 2 F 2 F h 实验四 矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验 一、实验名称 矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验 二、实验目的 1．学习使用电阻应变仪，初步掌握电测方法； 2．测定矩形截面梁纯弯曲时的正应力分布规律，并与理论公式计算结果进行比较，验证弯曲正应力计算公式的正确性。 三、实验设备 1．WSG －80型纯弯曲正应力试验台 2．静态电阻应变仪 四、主要技术指标 1．矩形截面梁试样 图1 试样受力情况 材料：20号钢，E=208×109Pa ； 跨度：L=600mm ，a=200mm ，L 1=200mm ； 横截面尺寸：高度h=28mm ，宽度b=10mm 。 2．载荷增量 载荷增量ΔF=200N （砝码四级加载，每个砝码重10N 采用1：20杠杆比放大），砝码托作为初载荷，F 0=26 N 。 3．精度 满足教学实验要求，误差一般在5%左右。 五、实验原理
如图1所示，CD 段为纯弯曲段，其弯矩为Fa 2 1 M = ，则m 6N .2M 0?=，m 20N M ?=?。根据弯曲理论，梁横截面上各点的正应力增量为： z I My ?= ?理 σ （1） 式中：y 为点到中性轴的距离；Iz 为横截面对中性轴z 的惯性矩，对于矩形截面 12 bh I 3 z = （2） 由于CD 段是纯弯曲的，纵向各纤维间不挤压，只产生伸长或缩短，所以各点均为单向应力状态。只要测出各点沿纵向的应变增量ε?，即可按胡克定律计算出实际的正应力增量实σ?。 ε σ?=?E 实 （3） 在CD 段任取一截面，沿不同高度贴五片应变片。1片、5片距中性轴z 的距离为h/2，2片、4片距中性轴z 的距离为h/4，3片就贴在中性轴的位置上。 测出各点的应变后，即可按（3）式计算出实际的正应力增量实σ?，并画出正应力实σ?沿截面高度的分布规律图，从而可与（1）式计算出的正应力理论值 理σ?进行比较。 六、实验步骤及注意事项 1．开电源，使应变仪预热。 2．在CD 段的大致中间截面处贴五片应变片与轴线平行，各片相距h/4，作为工作片；另在一块与试样相同的材料上贴一片补偿片，放到试样被测截面附近。应变片要采用窄而长的较好，贴片时可把试样取下，贴好片，焊好固定导线，再小心装上。 3．调动蝶形螺母，使杠杆尾端翘起一些。 4．把工作片和补偿片用导线接到预调平衡箱的相应接线柱上，将预调平衡箱与应变仪联接，接通电源，调平应变仪。 5．先挂砝码托，再分四次加砝码，记下每次应变仪测出的各点读数。注意加砝码时要缓慢放手。 6．取四次测量的平均增量值作为测量的平均应变，代入（3）式计算可得各点的
图2-2 梁的尺寸、测点布置及加载示意图 图2-3半桥接线图 实验五 梁的纯弯曲正应力测定 一、概述 梁是工程中常用的构件和零件。在结构设计和强度计算中经常要涉及到梁的弯曲正应力的计算。而梁的弯曲正应力的理论公式是根据纯弯曲梁横截面变形保持平面的假设推导出来的，它的正确性以及能否推广到剪切弯曲梁，可以由本次实验提供的简便方法验证。 二、实验目的 1.用电测法测量矩形截面梁在纯弯曲时横截面上正应力的大小及分布规律，并与理论计算值相比较，以验证弯曲正应力理论公式。 2.掌握电测法原理和电阻应变仪的使用方法。 三、实验设备、器材及试样 1. 静态应变测试仪。 2. 多功能组合实验台。 四、实验原理 弯曲梁为矩形截面钢梁，其弹性模量E ＝2.05×105MPa ，几何尺寸见图2-2，CD 段为纯弯曲段，梁上各点为单向应力状态，在正应力不超过 比例极限时，只要测出各点的轴向应变ε实，即可按σ实 ＝E ε实计算正应力。为此在梁的CD 段某一截面的前后 两侧面上，在不同高度沿平行于中性层各贴有五枚电阻 应变片。其中编号3和3′片位于中性层上，编号2和2′ 片与编号4和4′片分别位于梁的上半部分的中间和梁 的下半部分的中间,编号1和1′片位于梁的顶面的中线 上,编号5和5′片位于梁的底面的中线上（见图2-2）， 并把各前后片进行串接。 温度补偿片贴在一块与试件相同的材料上,实验时放在 被测试件的附近。上面粘贴有各种应变片和应变花，实验时根据工作片的情况自行组合。为了便于检验测量结果的线性度，实验时采用等量逐级缓慢加载方法，即每次增加等量的荷载ΔP ，测出每级荷载下各点的应变增量Δε，然后取应变增量的平均值 实ε?，依次求出各点应力增量Δσ实＝E 实实ε?。 实验可采用半桥接法、公共外补偿。即工作片与不受力的温度补 偿片分别接到应变仪的A 、B 和B 、C 接线柱上（如图2-3），其中R 1 为工作片，R 2为温度补偿片。对于多个不同的工作片，用同一个温度 补偿片进行温度补偿，这种方法叫做“多点公共外补偿”。 也可采用半桥自补偿测试。即把应变值绝对值相等而符号相反的两个 工作片接到A 、B 和B 、C 接线柱上进行测试、但要注意，此时ε实=ε仪/2，ε仪 为应变仪所
第11章梁的弯曲应力 教学提示：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力；梁横力弯曲时横截面上的切应力；提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。 教学要求：掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。熟练掌握弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。 在外荷载作用下，梁截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。 11.1梁的弯曲正应力 平面弯曲情况下，一般梁横截面上既 有弯矩又有剪力，如图11.1所示梁的AC、 DB段。而在CD段内，梁横截面上剪力等 于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。 下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公 式。应综合考虑变形几何关系、物理关系 和静力学关系等三个方面。 11.1.1 弯曲正应力一般公式 1、变形几何关系 为研究梁弯曲时的变形规律，可通过 试验，观察弯曲变形的现象。取一具有对 称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上， 画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn，再 在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线 ab和cd，如图11.2(a)所示。然后按图 11.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲 状态。从试验中可以观察到图11 .2(b)情况： （1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正 交，只是横线间作相对转动。
矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验 一、实验名称 矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验。 二、实验目的 1．学习使用电阻应变仪，初步掌握电测方法； 2．测定矩形截面梁纯弯曲时的正应力分布规律，并与理论公式计算结果进行比较，验证弯曲正应力计算公式的正确性。 三、实验设备 1．WSG－80型纯弯曲正应力试验台 2．静态电阻应变仪 四、试样制备及主要技术指标 1、矩形截面梁试样 材料：20号钢，E=208×109Pa； 跨度：L=600mm，a=200mm，L1=200mm； 横截面尺寸：高度h=28mm，宽度b=10mm。
2．载荷增量 载荷增量ΔF=200N （砝码四级加载，每个砝码重10N 采用1：20杠杆比放大），砝码托作为初载荷，F0=26 N 。 3．精度 满足教学实验要求，误差一般在5%左右。 五、实验原理 如图1所示，CD 段为纯弯曲段，其弯矩为a 2 1 F M = ， 则m N M ?=6.20，m N M ?=?20。根据弯曲理论，梁横截面上各点的正应力增量为： z I y M ?= ?理σ （1） 式中：y 为点到中性轴的距离；Iz 为横截面对中性轴z 的惯性矩，对于矩 形截面， 12 bh I 3 z = （2） 由于CD 段是纯弯曲的，纵向各纤维间不挤压，只产生伸长或缩短，所以各点均为单向应力状态。只要测出各点沿纵向的应变增量ε?，即可按胡克定律计算出实际的正应力增量实σ?。 εσ?=?E 实 （3） 在CD 段任取一截面，沿不同高度贴五片应变片。1片、5片距中性轴z 的 距离为h/2，2片、4片距中性轴z 的距离为h/4，3片就贴在中性轴的位臵上。 测出各点的应变后，即可按（3）式计算出实际的正应力增量实σ?，并画出正应力实σ?沿截面高度的分布规律图，从而可与（1）式计算出的正应力理论值理σ?进行比较。 六、实验步骤 1．开电源，使应变仪预热。
厦 门 海 洋 职 业 技 术 学 院 编号：XH03J Ｗ０24-05/０ 实训（验) 报告 班级： 姓名: 座号： 指导教师: 成绩： 课程名称: 实训（验)： 梁弯曲正应力测量 年 月 日 一、 实训(验）目的: 1、掌握静态电阻应变仪的使用方法; ２、了解电测应力原理，掌握直流测量电桥的加减特性; 3、分析应变片组桥与梁受力变形的关系,加深对等强度梁概念的理解。 二、 实训(验)内容、记录和结果（含数据、图表、计算、结果分析等） 1、实验数据: （1） 梁的尺寸： 宽度b ＝9mm ；梁高h=3０mm ；跨度l =６0０mm;AC 、BD:弯矩a=200m ｍ。测点距轴z 距离： 21h y ==１5mm;42h y ==7．5mm ；3y =0ｃm ；-=-=44h y 7.5mm;-=-=2 5h y 15mm;Ｅ=２10Gpa 。 抗弯曲截面模量W Z =b ｈ2/６ 惯性矩J Z ＝bh 3 ／１2 （2） 应变)101(6-?ε记录：
（3） 取各测点ε?值并计算各点应力： 1ε?=1６×１0-6 ;2ε?=7×１0-6 ;3ε?= ０ ；4ε?=８×１0-6 ；5ε?＝1５×10 - ６ ； 1σ?=E 1ε?＝3．３6ＭPa;2σ?=E 2ε?=１．4７MP ａ;3σ?=0 ; 4σ?=E 4ε?=１．68MPa;5σ?＝E 5ε?=3.15MPa ； 根据ΔM Ｗ=ΔF ·a/2=5 N ·m 而得的理论值： 1σ?=ΔM Ｗ／W Z =3．７0MPa;2σ?=ΔＭＷｈ/4（J Ｚ)=１.85M Ｐa ；3σ?=0 ; 4σ?＝ΔM W ｈ/4(J Z )＝1．8５MPa;5σ?=ΔＭW /W Ｚ=3.70MPa; （4） 用两次实验中线形较好的一组数据,将平均值ε?换算成应力εσ?=E ，绘在坐标 方格纸上，同时绘出理论值的分布直线。
课时授课计划 掌握弯曲应力基本概念； 掌握弯曲正应力及弯曲剪应力的计算；掌握弯曲正应力的强度计算； 掌握弯曲剪应力强度校核。
I D (d
根据[M]，用平衡条件确定许用外载荷。 在进行上列各类计算时，为了保证既安全可靠又节约材料的原则，设计规范还规定梁内的最大正应力允许稍大于[σ]，但以不超过[σ]的5%为限。即 3、进行强度计算时应遵循的步骤 （1）分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力，分析梁的内力（画出弯矩图）。（2）依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险截面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险截面。 （3）确定危险点 （4）依据强度条件，进行强度计算。 第三节梁的剪应力强度条件 一、概念 梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。 对剪应力的分布作如下假设： (1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行； (2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。 根据以上假设，可推导出剪应力计算公式： 式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力； Q—该截面上的剪力； b—需求剪应力作用点处的截面宽度； Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。 剪应力的单位与正应力一样。剪应力的方向规定与剪力的符号规定一样。 二、矩形截面横梁截面上的剪应力 如图所示高度h大于宽度b的矩形截面梁。横截面上的剪力Q沿y轴方向作用。 将上式带入剪应力公式得： 上式表明矩形截面横梁截面上的剪应力，沿截面高度呈抛物线规律变化。 在截面上、下边缘处y=±h/2,则=0；在中性轴上，y=0，剪应力值最大，
中国矿业大学（北京） 工程土木工程_______专业_______班_________组 实验者姓名：__________实验日期：___________年____月___日 实验六纯弯曲正应力分布规律实验 一.实验目的 1.用电测法测定梁纯弯曲时沿其横截面高度的正应变（正应力）的 分布规律。 2.验证纯弯曲梁的正应力计算公式。 二.实验仪器与设备 1.多功能工程力学实验台。 2.应力＆应变综合参数测试仪一台。 3.矩形截面钢梁。 4.温度补偿块（或标准无感电阻）。 5.长度测量尺。 三.实验原理及方法 四.实验步骤
1.测量梁矩形截面的宽度b 和高度h 、载荷作用点到梁支点的距离a ，并测量各应变片到中性层的距离y I 。 2.将拉压传感器接至应力＆应变综合参数测试仪中。 3.应变片连接采用1/4桥连接方式，将待测试应变片连接在A 、B 两端，将B 、B 1短接，在桥路选择上，将A 、D 两端连接补偿片，D 1、D 2短线连接即可。 4.本次实验的载荷范围为0～2kN ，在此范围内，采用分级加载方 式（一般分4～6级），实验时逐级加载，分别记录各应变片在各级载荷作用下的应变值。 五.实验结果处理 1.按实验记录数据求出各点的应力实验值，并计算出各点的应 力理论值。计算出它们的相对误差。 2.按同一比例分别画出各点应力的实验值和理论值沿横截面高度 的分布曲线，将两者进行比较，如两者接近，则说明弯曲正应 力的理论分析是可行的。 3.计算6＃和5＃的比值，若 μεε≈5 6 ，则说明纯弯曲梁为单向应力状 态。
4.实验数据可参照下表： 应变片至中性层的距离 梁宽度b= 20.84 mm；梁高度h= 40.15mm；施力点到支座距离l= 106 mm 应变片在各级载荷下的应变值 各测试点应力实验结果 P=400N
梁弯曲时横截面上的正应力 在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。 1、纯弯曲与横力弯曲 从火车轴的力学模型为图2-53a所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b、c）,在其AC、BD段内各横截面上有弯矩M和剪力同时存在，故梁在这些段内发生弯曲变形的F Q 同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯曲。在其CD段内各段截面， ，梁的这种弯曲称为纯只有弯矩M而无剪力F Q 弯曲。 2、梁纯弯曲时横截面上的正应力 如图2-54a所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m和n—n，再画两条纵向线a—a和b—b，然后在其两端外力偶矩M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象：
⑴横向线m —m 和n —n 任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 ⑵纵向线a —a 和b —b 弯成了曲线，且a —a 线缩短，而b —b 线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b 中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c ）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必相等。 ⑶在图2-54b 所示的受力情况下，中性轴上部分各点正应力为压应力（即负值），中性轴下部分各点正应力为拉应力（即正值）。 ⑷横截面上的正应力沿y 轴呈线性分布，即ky =σ（k 为特定常数），如图2-55、图2-56所示。最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处。 由于距离中性层上、下的纵向纤维的线应变与到中性层的距离y 成正比，当其正应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律可知 y E y E E ?=?=?=ρρεσ 2-24 对于指定的横截面，ρE 为常数（即为上述k 的值）看，由于此时梁轴线的曲率
实验二、纯弯曲梁正应力电测实验 一、 实验目的 1、 电测法测定纯弯曲梁正应力分布规律。 2、验证纯弯曲梁正应力计算公式。 二、 实验装置与仪器 1、 纯弯曲梁实验装置。 2、 数字式电阻应变仪。 三、 实验装置与实验原理 1、实验装置 弯曲梁试验装置如图1所示。它有弯曲梁 1， 定位板2，支座3，试验机架4，加载系统5， 两 端带万向接头的加载杆6，加载压头（包括φ16 钢珠）7，加载横梁8，载荷传感器9和测力 仪10等组成。该装置有已粘贴好应变片的钢梁（其弹性模量2210m GN E =）用来完成纯 弯曲梁正应变分布规律试验。 纯弯曲梁正应变分布规律试验 纯弯曲梁受力状态及有关尺寸见图2。 图 2 在梁的纯弯曲段内已粘贴好两组应变片，每组8片，分别为1～8号片和1*～8*号片，各片距中心层的距离在图3中已标出。当梁受力变形后，可由应变仪测出每片应变片产生的应变，这样就可得到实测的沿梁横截面高度的正应变分布规律。根据材料力学中纯弯曲梁的
平面假设，沿梁横截面高度的正应变分布规律应当是直线。另外材料力学中还假设梁在纯弯曲段内是单向应力状态，为此，我们在梁的下 表面粘贴有与7号片和7*号片垂直的8号片和 8*号片，当梁受力变形后，可测得8ε和* 8ε，根 据泊松比纵横 εεμ=，可由78εε或* *78εε计算得到 'μ，若'μ近似等于μ时，则证明梁纯弯曲段 内近似于单向应力状态。 2、实验原理 梁的纯弯曲段内，每片应变片所处状态是单向应力状态。根据单向应力状态的虎克定律： σ = E ε 可以计算出梁的纯弯曲段内每片应变片所处的应力。 注：该装置只允许加4KN 载荷，超载会损坏传感器。
《纯弯曲梁的正应力实验》实验报告 一、实验目的 1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律 2.验证纯弯曲梁的正应力计算公式 二、实验仪器设备和工具 3.XL3416 纯弯曲试验装置 4.力＆应变综合参数测试仪 5.游标卡尺、钢板尺 三、实验原理及方法 在纯弯曲条件下，梁横截面上任一点的正应力，计算公式为 σ= My / I z 式中M为弯矩，I z 为横截面对中性轴的惯性矩；y为所求应力点至中性轴的距离。 为了测量梁在纯弯曲时横截面上正应力的分布规律，在梁的纯弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。 实验采用半桥单臂、公共补偿、多点测量方法。加载采用增量法，即每增加等量的载荷△P，测出各点的应变增量△ε，然后分别取各点应变增量的平均值△ε实i，依次求出各点的应变增量 σ实i=E△ε实i 将实测应力值与理论应力值进行比较，以验证弯曲正应力公式。 四、实验步骤 1.设计好本实验所需的各类数据表格。 2.测量矩形截面梁的宽度b和高度h、载荷作用点到梁支点距离a及各应变 片到中性层的距离y i 。见附表1 3.拟订加载方案。先选取适当的初载荷P 0（一般取P =10％P max 左右），估 算P max （该实验载荷范围P max ≤4000N），分4～6级加载。 4.根据加载方案，调整好实验加载装置。
5. 按实验要求接好线，调整好仪器，检查整个测试系统是否处于正常工作状态。 6. 加载。均匀缓慢加载至初载荷P 0，记下各点应变的初始读数；然后分级 等增量加载，每增加一级载荷，依次记录各点电阻应变片的应变值εi ，直到最终载荷。实验至少重复两次。见附表2 7. 作完实验后，卸掉载荷，关闭电源，整理好所用仪器设备，清理实验现场，将所用仪器设备复原，实验资料交指导教师检查签字。 附表1 （试件相关数据） 附表2 （实验数据） 载荷 N P 500 1000 1500 2000 2500 3000 △P 500 500 500 500 500 各 测点电阻应变仪读数 με 1 εP -33 -66 -99 -133 -166 △εP -33 -33 -34 -33 平均值 -33.25 2 εP -16 -3 3 -50 -67 -83 △εP -17 -17 -17 -16 平均值 16.75 3 εP 0 0 0 0 0 △εP 0 0 0 0 平均值 0 4 εP 1 5 32 47 63 79 △εP 17 15 1 6 16 平均值 16 5 εP 32 65 9 7 130 163 △εP 33 32 33 33 平均值 32.75 五、实验结果处理 1. 实验值计算 根据测得的各点应变值εi 求出应变增量平均值△εi ，代入胡克定律计算 各点的实验应力值，因1με=10-6ε，所以 各点实验应力计算： 应变片至中性层距离（mm ） 梁的尺寸和有关参数 Y 1 －20 宽 度 b = 20 mm Y 2 －10 高 度 h = 40 mm Y 3 0 跨 度 L = 620mm （新700 mm ） Y 4 10 载荷距离 a = 150 mm Y 5 20 弹性模量 E = 210 GPa （ 新206 GPa ） 泊 松 比 μ= 0.26 惯性矩I z =bh 3/12=1.067×10-7m 4 =106667mm 4
在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。 1、纯弯曲与横力弯曲 从火车轴的力学模型为图2-53a 所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b 、c ）,在其AC 、BD 段内各横截面上有弯矩M 和剪力F Q 同时存在，故梁在这些段内 发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯曲。在其CD 段内各段截面，只有弯矩M 而无剪力F Q ，梁的这种弯曲称为纯弯曲。 2、梁纯弯曲时横截面上的正应力 如图2-54a 所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m —m 和n —n ，再画两条纵向线a —a 和b —b ，然后在其两端外力偶矩M ，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象： ⑴横向线m —m 和n —n 任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 ⑵纵向线a —a 和b —b 弯成了曲线，且a —a 线缩短，而b —b 线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b 中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c ）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必相等。 ⑶在图2-54b 所示的受力情况下，中性轴上部分各点正应力为压应力（即负值），中性轴下部分各点正应力为拉应力（即正值）。 ⑷横截面上的正应力沿y 轴呈线性分布，即ky =σ（k 为特定常数），如图2-55、图2-56所示。最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处。 由于距离中性层上、下的纵向纤维的线应变与到中性层的距离y 成正比，当其正应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律可知 y E y E E ?=?=?=ρρεσ 2-24 对于指定的横截面，ρE 为常数（即为上述k 的值）看，由于此时梁轴线的曲率 半径ρ还是一个未知量，通过静力学平衡关系∑z F )(=0，可得 图2-55 正应力分布图 图2-56 梁纯弯曲时横截面上的
实验五 纯弯曲梁正应力实验 一、试验目的 1、熟悉电测法的基本原理。 2、进一步学会静态电阻应变仪的使用。 3、用电测法测定钢梁纯弯曲时危险截面沿高度分布各点的应力值。 二、试验装置 1、材料力学多功能实验装置 2、CM-1C 型静态数字应变仪 三、试验原理 本试验装置采用低碳钢矩形截面梁，为防止生锈将钢梁进行电镀。矩形截面钢梁架在两支座上，加载荷时，钢梁中段产生纯弯曲变形最大，是此钢梁最危险的截面。为了解中段危险截面纯弯曲梁应力沿高度方向分布情况，采用电测法测出加载时钢梁表面沿高度方向的应变情况，再由σ实=E ε实得到应力的大小。试验前在钢梁上粘贴5片应变 片见图5—1，各应变片的间距为4 h ，即把钢梁4等分。在钢梁最外侧不受力处粘贴一片 R 6作为温度补偿片。 图5—1 试验装置示意图 对于纯弯曲梁，假设纵向纤维仅受单向拉伸或压缩，因此在起正应力不超过比例极限时，可根据虎克定律进行计算： σ实=E ε实 E 为刚梁的弹性模量，ε实是通过电测法用电阻应变仪测得的应变值。 四、电测法基本原理 1、电阻应变法工作原理 电测法即电阻应变测试方法是根据应变应力关系，确定构件表面应力状态的一种实验应力分析法。 将应变片紧紧粘贴在被测构件上，连接导线接到电桥接线端子上 当构件受力 构件产生应变 应变片电阻值随之变化 应变仪内部的惠斯登电桥
将电阻值的变化转变成正比的电压信号电阻应变仪内部的放大、相敏、检波电路转换显示器读出应变量。 2、电阻应变片 1）电阻应变片的组成 由敏感栅、引线、基底、盖层和粘结剂组成，其构造简图如图5—2所示。敏感栅能把构件表面的应变转换为电阻相对变化。由于它非常敏感，故称为敏感栅。它用厚度为0.002~0.005mm的铜合金或铬合金的金属箔，采用刻图、制版、光刻及腐蚀等工艺过程制成，简称箔式应变。它粘贴牢固、散热性能好、疲劳寿命长，并能较好的反映构件表面的变形，使测量精度较高。在各测量领域得到广泛的应用。 图5—2 电阻应变片构造简图 2）电阻应变片种类 电阻应变片按敏感栅的结构形状可分为： 单轴应变片：单轴应变片一般是指具有一个敏感栅的应变片。 应变花（多轴应变片）：具有两个或两个以上轴线相交成一定角度的敏感栅制成的应变片称为多轴应变片，也称为应变花。其敏感栅可由金属丝或金属箔制成。采用应变花可方便地测定平面应变状态下构件某一点处的应变。 3）应变灵敏系数（K） 将应变片贴在单向应力状态的试件表面，且其轴向与应力方向重合。在单向应力作用下，应变片的电阻相对变化ΔR/P与试件表面沿应变片轴线方向的应变ε之比值，称为应变片的灵敏系数 K=（ΔR/P）/ε 应变片灵敏系数是使用应变片的重要数据。它主要取决于敏感栅的材料、型式和几何尺寸。应变片的灵敏系数受到多种因素的影响，无法由理论求得，是由制造厂经抽样在专门的设备上进行标定，并于包装上注明。常用的应变片灵敏度系数为2—2.4。 当我们使用应变片时，必须在测量前进行校准。校准方法：根据应变片的K值，查表5—1，再根据表内K值所对应的标定值，来调节静态应变仪。 3、CM-1C型静态数字应变仪 通过应变片可以将试件的应变转换为应变片的电阻变化。但通常这种电阻变化是很小的。为了便于测量，需将应变片的电阻变化转换成电压（或电流）信号，再通过电
一、实验目的 1、用电测法测定梁纯弯曲时沿其横截面高度的正应变（正应力）分布规律； 2、验证纯弯曲梁的正应力计算公式。 3、初步掌握电测方法，掌握1/4桥，1/2桥，全桥的接线方法，并且对试验结果及误差进行比较。 二、实验仪器和设备 1、多功能组合实验装置一台； 2、TS3860型静态数字应变仪一台； 3、纯弯曲实验梁一根。 4、温度补偿块一块。 三、实验原理和方法 弯曲梁的材料为钢，其弹性模量E=210GPa ，泊松比μ=0.29。用手转动实验装置上面的加力手轮，使四点弯上压头压住实验梁，则梁的中间段承受纯弯曲。根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到纯弯曲正应力计算公式为： x M y I σ= 式中：M 为弯矩；x I 为横截面对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点至中性轴的距离。由上式可知，沿横截面高度正应力按线性规律变化。 实验时采用螺旋推进和机械加载方法，可以连续加载，载荷大小由带拉压传感器的电子测力仪读出。当增加压力P ?时，梁的四个受力点处分别增加作用力/2P ?，如下图所示。 为了测量梁纯弯曲时横截面上应变分布规律，在梁纯弯曲段的侧面各点沿轴线方向布置了3片应变片，各应变片的粘贴高度见弯曲梁上各点的标注。此外，在梁的上表面和下表面也粘贴了应变片。 如果测得纯弯曲梁在纯弯曲时沿横截面高度各点的轴向应变，则由单向应力状态的虎克定律公式E σε=，可求出各点处的应力实验值。将应力实验值与应力理论值进行比较，以验证弯曲正应力公式。 σ实 =E ε实 式中E 是梁所用材料的弹性模量。
图3-16 为确定梁在载荷ΔP 的作用下各点的应力，实验时，可采用“增量法”，即每增加等量的载荷ΔP 测定各点相应的应变增量一次，取应变增量的平均值Δε实来依次求出各点应力。 把Δσ实与理论公式算出的应力Z I MY =σ比较，从而验证公式的正确性，上述理论公式中的M 应按下式计算： Pa ?= M 2 1 （3．16） 四、实验步骤 1、检查矩形截面梁的宽度b 和高度h 、载荷作用点到梁支点距离a ，及各应变片到中性层的距离i y 。 2、检查压力传感器的引出线和电子秤的连接是否良好，接通电子秤的电源线。检查应变仪的工作状态是否良好。分别采用1/4桥，1/2桥，全桥的接线方法进行测量，其中1/4桥需要接温度补偿片，1/2桥通过交换接线方式分别进行两次试验来比较试验结果。 3、根据梁的材料、尺寸和受力形式，估计实验时的初始载荷0P (一般按00.1s P σ=确定)、最大载荷max P (一般按max 0.7s P σ≤确定)和分级载荷P ? (一般按加载4～6级考虑)。 本实验中分四次加载。实验时逐级加载，并记录各应变片在各级载荷作用下的读数应变。 4、实验完毕后将载荷卸掉，关上电阻应变仪电源开关，并请教师检查实验数据后，方可离开实验室。 五、数据处理
梁的正应力分布实验 一、实验目的 １．测定矩形截面梁在纯弯曲时横截面上正应力的分布规律，并与理论计算结果进行比较，以验证纯弯曲正应力公式ｚＩＭｙ =σ的正确性。 ２．熟悉静态电阻应变仪的桥路接线方法（外补偿或自补偿）。 图2－25 梁的几何尺寸图 图2－26 测点示意图 补偿片贴在与试件材料相同的补偿块上。实验时，放在被测截面的附近。 三、实验原理和方法 为了便于检验测量结果的线性度，实验时采用等量逐级缓慢加载方法，即每次增加等量的载荷，测出每级载荷下各点的应变增量ＦΔεΔ，然后取各点应变增量的平均值实εΔ，依次求出其应力增量实σΔ＝实εΔＥ。
实验可采用1/4桥接线方式和公用补偿，即工作片接 在应变仪的、（或′）接线柱上，补偿片接在公共补 ＡB B 偿接线柱上如图2－27，其中１Ｒ为工作片，２Ｒ为补偿片。 对于不同的工作片，用同一个补偿片，这种方法叫“公用 补偿”。 也可用半桥自补偿接线方法进行测试。即把应变绝对 值相等而符号相反(一个受拉，另一个受压)的两个工作 图2－27 4 1桥接线图 片接到、与、ＡB B Ｃ接线柱上进行测试。但注意，此时实ε=2读 ε，读ε为应变仪所测的读数。 四、实验步骤 １．打开电阻应变仪电源，AC 为交流电源、DC 为直流电源，将开关拨到AC，显示屏上显现C1，C 表示测点号，即第一个测点。 2．选择所需的桥路形式：全桥、半桥或1/4桥。按下键盘上BRID 键，再按下数字键，1为1/4桥、2为半桥、4为全桥，选择1。 3．依次将七个工作片按顺序接到、1Ｂ′、、2Ｂ′至、7Ｂ′至接线柱上，将另一根不同颜色的公共 引线接到点上。 Ａ4．将相同颜色的两根温度补偿片连线分别接到应变仪公共补偿接线柱上。 5．按下K 键设定灵敏系数为2.17，按下R 键选择应变片电阻值为120，这两个数值为应变片本身所固有，再按返回键。 6．加初载荷0.5 kN，正式测量前，先进行各测点桥路的调平衡，按下红色键BAL 再依次按下数字键1、2直至7，即对7个测点进行调平衡。 7．按下测量键MEAS，再按下测量点的通道数(1、2直至7)，观察各点的应变是否为零或接近零，否则重复上一步骤将各点桥路再平衡一次。 8．平稳加载至1.5 kN，按下测量键，显示屏上前两位为M1表示第一个测点的测量值，紧接着后面的四位数为应变值，单位为με，正号为拉应变，负号为压应变。依次读出并记录七个测点的应变值。 9．继续以1 kN 为间隔，分级加载，直至加载到4.5 kN 为止，记录每次加载后各测点的应变值。 10．卸去载荷，测力读数应显示为零，关闭电阻应变仪的电源，关闭加载装置电源，拆去连接线，清理场地，整理实验数据，并完成实验报告。 五、实验结果的处理 1．根据实验记录数据求出各点的正应力实验值，并计算出相应的正应力理论值。计算每一点的相对误差δ＝?理实 理σσσΔΔ?Δ?×100%。 2．按同一比例分别画出各点正应力的实验值与理论值沿截面高度的分布曲线，将两者进行比较，分析误差产生的主要原因。 六、思考题 1．比较应变片6＃和7＃（或4＃和5＃）的应变值，可得到什么结论? 2．在实验中，未考虑梁的自重，是否应该考虑?为什么?
单一材料梁的弯曲正应力实验 一、实验目的 1．用电测法测量单一材料的矩形截面梁在纯弯曲状态时其横截面上正应力的大小及分布规律，并与理论计算值比较，从而验证梁的弯曲正应力理论公式。 2．初步掌握电测法原理和静态电阻应变仪的使用方法。 二、预习思考要点 1．本实验装置是如何实现使梁的某一区段处于纯弯曲状态的？ 2．梁处于纯弯曲状态时其内力分布有何特征？ 3．梁处于纯弯曲状态时，若要测取其上某一点的线应变为何只需在该点布设一枚应变计，且平行于梁的轴线方向？ 三、实验装置和仪器 1．纯弯曲实验装置 本实验采用低碳钢或中碳钢制成的矩形截面梁，测试其正应力分布规律的实验装置如图1-26（a）所示，所加的砝码重量通过杠杆以一定的放大比例作用于加载辅梁的中央，设作用于辅梁中央的载荷为F，由于载荷对称，支承条件对称，则通过两个挂杆作用于待测梁上C、D处的载荷各为F/2。由待测梁的内力图可知CD段上的剪力Q=0， 弯矩为一常量M= 2a F ，即梁的CD段处于纯弯曲状态。 图1-26 弯曲正应力实验装置及试样贴片位置图 2．静态电阻应变仪 3．游标卡尺、钢直尺 四、实验原理 由于矩形截面梁的CD段处于纯弯曲状态，当梁发生变形其横截面保持平面的假设
成立，又可将梁视作由一层一层的纵向纤维叠合而成且假设纵向纤维间无挤压作用，此时纯弯曲梁上的各点处于单向应力状态，且弯曲正应力的方向平行于梁的轴线方向，所以若要测量纯弯曲状态下梁的横截面上的正应力的分布规律，可在梁的CD 段任一截面上沿不同高度处平行于梁的轴线方向布设若干枚电阻应变计，为简便计算，本实验的布片方案如图1-26（b ）所示，一枚布设在梁的中性层上，其余四枚分别布设在距中性层h/4或h/2处（h 为梁矩形截面的高度），此外还布设了一枚温度补偿片。 当梁受载后，电阻应变计随梁的弯曲变形而产生伸长或缩短，使自身的电阻改变。通过力学量的电测法原理，利用电阻应变仪即可测出梁横截面上各测点的应变值ε实。由于本实验梁的变形控制在线弹性范围内，所以依据单向虎克定律即可求解相应各测点的应力值，即σ实=E ·ε实，E 为梁材料的弹性模量。 实验采用“等增量法”加载，即每增加等量的载荷ΔF ，测定一次各点相应的应变增量Δε实，并观察各点应变增量的线性程度。载荷分为3—5级，最终载荷的选取，应依据梁上的最大应力σmax <(0.7－0.8)σs （σs 为材料的屈服极限）。当加载至最后一级，测完各应变值后即卸载，最后算出各测点应变增量的算术平均值实ε?，依次求出各点的应力增量Δσ实。 Δσ实=E· 实ε? （1-43） 把Δσ实与理论公式计算的应力增量 Δσ理= z I y M ?? （1-44） 进行比较，算出截面上各测点的应力增量实验值与理论值的相对误差，即 %100???-?= 理 理 实σσση （1-45） 从而验证梁的弯曲正应力公式的正确性。 五、实验步骤 1．用游标卡尺和钢直尺测量梁的矩形截面的宽度b 和高度h ，载荷作用点到梁支点的距离a 。 2．根据梁的截面尺寸和支承条件，材料的σs 值，确定分级加载的载荷增量和级次，（每级加载应使梁上各点的应变有较明显的变化），最终载荷值。 3．本实验采用多点半桥公共补偿测量法，将5枚应变测量计和公共温度补偿计分别接入静态电阻应变仪的相邻桥臂上，根据电阻应变计所给出的灵敏系数k 值调好电阻
第8章梁得弯曲应力 梁在荷载作用下,横截面上一般都有弯矩与剪力，相应地在梁得横截面上有正应力与剪应力。弯矩就是垂直于横截面得分布内力得合力偶矩;而剪力就是切于横截面得分布内力得合力。所以,弯矩只与横截面上得正应力σ相关,而剪力只与剪应力τ相关。本章研究正应力σ与剪应力τ得分布规律，从而对平面弯曲梁得强度进行计算。并简要介绍一点得应力状态与强度理论。 8.1梁得弯曲正应力 平面弯曲情况下,一般梁横截面上既有弯 矩又有剪力，如图8、1所示梁得AＣ、ＤＢ 段。而在CD段内,梁横截面上剪力等于零，而 只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。下面推导梁 纯弯曲时横截面上得正应力公式。应综合考虑 变形几何关系、物理关系与静力学关系等三个 方面。 8.１.1弯曲正应力一般公式 1、变形几何关系 为研究梁弯曲时得变形规律,可通过试验, 观察弯曲变形得现象。取一具有对称截面得矩 形截面梁,在其中段得侧面上,画两条垂直于梁 轴线得横线mｍ与nｎ,再在两横线间靠近上、 下边缘处画两条纵线aｂ与cd,如图8、2(a)所 示。然后按图8、１（a)所示施加荷载,使梁得 中段处于纯弯曲状态。从试验中可以观察到图 8、２(b)情况: (１)梁表面得横线仍为直线,仍与纵线正交,只 就是横线间作相对转动。 (２)纵线变为曲线,而且靠近梁顶面得纵线缩 短,靠近梁底面得纵线伸长。 (３)在纵线伸长区,梁得宽度减小，而在纵线 缩短区，梁得宽度则增加,情况与轴向拉、压时得 变形相似。 根据上述现象,对梁内变形与受力作如下假设: 变形后,横截面仍保持平面,且仍与纵线正交;同时, 梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。前 者称为弯曲平面假设;后者称为单向受力假设。 根据平面假设,横截面上各点处均无剪切变形,因此，纯弯时梁得横截面上不存在剪应力。 根据平面假设,梁弯曲时部分纤维伸长,部分纤维缩短,由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变得过渡层,称为中性层,如图8、2(ｃ)所示。中性层与横截面得交线称为中性轴。对于具有对称截面得梁,在平面弯曲得情况下,由于荷载及梁得变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面得对称轴垂直。
实验四：弯曲正应力电测实验 一、实验目的和要求 1．学习使用应变片和电阻应变仪测定静态应力的基本原理和方法。 2．用电测法测定纯弯曲钢梁横截面不同位置的正应力。 3．绘制正应力沿其横截面高度的的分布图，观察正应变（正应力）分布规律，验证纯弯曲梁的正应力计算公式。 二、实验设备、仪器和试件 1.CLDS-2000型材料力学多功能实验台。 2.YJZ —8型智能数字静态电阻应变仪。 3.LY —5型拉力传感器。 4.直尺和游标卡尺。 三、实验原理和方法 （1）理论公式： 本实验的测试对象为低碳钢制矩形截面简支梁，实验台如图4-1所示，加载方式如图4-2所示。 图4-1 图4-2 由材料力学可知，钢梁中段将产生纯弯曲，其弯矩大小为 c P M 2 ?= （1） 横截面上弯曲正应力公式为
Z I My = σ （2） 式中y 为被测点到中性轴z 的距离，I z 为梁截面对z 轴的惯性矩。 12 3bh I Z = （3） 横截面上各点正应力沿截面高度按线性规律变化，沿截面宽度均匀分布，中性轴上各点的正应力为零。截面的上、下边缘上各点正应力为最大，最大值为W M =max σ。 （2）实测公式： 实验采用螺旋推进和机械加载方法，可以连续加载，荷载大小可由电子测力仪读出。当增加压力P ?时，梁的四个点受力分别增加作用力2/P ?，如图4-2所示。 为了测量梁纯弯曲时横截面上应变分布规律，在梁的纯弯曲段侧面布置了5片应变片，如4-2所示，各应变片的粘贴高度见梁上各点标注。此外，在梁的上表面沿横向粘贴了第6片应变片，用以测定材料的泊松比μ；在梁的端部上表面零应力处粘贴了第7片温度补偿应变片，可对以上各应变片进行温度补偿。 在弹性范围内，如果测得纯弯曲梁在纯弯曲时沿横截面高度上的轴向应变，则由单向应力状态的胡克定律，即： σε=E （4） 由上式可求出各点处的应力实验值。将应力实验值σε=E 与理论值Z I My =σ进行比较，以验证弯曲正应力公式。 如果测得应变片4和6的应变满足 μεε=46/ 则证明梁弯曲时近似为单向应力状态，即梁的纵向纤维间无挤压的假设成立。 实验采用增量法。每增加等量载荷ΔP ，测得各点相应得应变增量实ε?一次。因每次ΔP 相同，故实ε?应是基本上按比例增加。 四、实验步骤 1.用游标卡尺和直尺分别测量矩形截面梁的宽度b 、高度h 以及载荷作用点到支点的距离a ，并记入实验记录表中。注意两端a 值应相等，可通过移动两根拉杆的位置来保证。 2.将1到5点测量应变片以4/1桥分别接入电阻应变仪的任意5个通道的A 、B 点之间（若考虑温度补偿，则须将仪器后面板B 、1C 端子的标准120Ω电阻去掉，再将温度补偿片接入该处），将拉力传感器的四根输出线与电阻应变仪的任意通道的A 、B 、C 、D 端对应连接（全桥测量），将应变仪的通讯电缆与PC 机的COM 口连接，注意检查各接点连接是否可靠。 3．打开PC 机及应变仪的电源，预热后设置各通道参数（通道使用与否、桥型、灵敏度系数、被测物理量量纲），参数设置有两种方法：一是由应变仪键盘设定，二是由PC 机安装的测试软件用通信方式设定，建议采用第二种方法设定参数，这样比较简单快捷。具体设定
竭诚为您提供优质文档/双击可除纯弯曲正应力分布实验报告 篇一：弯曲正应力实验报告 一、实验目的 1、用电测法测定梁纯弯曲时沿其横截面高度的正应变（正应力）分布规律； 2、验证纯弯曲梁的正应力计算公式。 3、初步掌握电测方法，掌握1/4桥，1/2桥，全桥的接线方法，并且对试验结果及误差进行比较。 二、实验仪器和设备 1、多功能组合实验装置一台； 2、Ts3860型静态数字应变仪一台； 3、纯弯曲实验梁一根。 4、温度补偿块一块。三、实验原理和方法 弯曲梁的材料为钢，其弹性模量e=210gpa，泊松比μ =0.29。用手转动实验装置上面的加力手轮，使四点弯上压 头压住实验梁，则梁的中间段承受纯弯曲。根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到纯弯曲正应力计算公式为：?? m
yIx 式中：m为弯矩；Ix为横截面对中性轴的惯性矩；y为所求应力点至中性轴的距离。由上式可知，沿横截面高度正应力按线性规律变化。 实验时采用螺旋推进和机械加载方法，可以连续加载，载荷大小由带拉压传感器的电子测力仪读出。当增加压力?p 时，梁的四个受力点处分别增加作用力?p/2，如下图所示。 为了测量梁纯弯曲时横截面上应变分布规律，在梁纯弯曲段的侧面各点沿轴线方向布置了3片应变片，各应变片的粘贴高度见弯曲梁上各点的标注。此外，在梁的上表面和下表面也粘贴了应变片。 如果测得纯弯曲梁在纯弯曲时沿横截面高度各点的轴 向应变，则由单向应力状态的虎克定律公式??e?，可求出各点处的应力实验值。将应力实验值与应力理论值进行比较，以验证弯曲正应力公式。 σ实=eε 式中e是梁所用材料的弹性模量。 实 图3-16 为确定梁在载荷Δp的作用下各点的应力，实验时，可采用“增量法”，即每增加等量的载荷Δp测定各点相应的应变增量一次，取应变增量的平均值Δε