2014年12月22日平面向量数量积的坐标表示
一．填空题（共17小题）
1．（2014?北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|= _________ ．2．（2014?临汾模拟）已知向量，，且，则的最小值为_____ ．
3．（2014?泰州模拟）如图，直线l1，l2交于点A，点B、C在直线l1，l2上，已知∠CAB=45°，AB=2，设=λ，点P为直线l2上的一个动点，当λ= _________ 时，|2+|的最小值是3．
4．（2013?杭州模拟）已知非零向量满足||=1，，与的夹角为120°，则||= ____ ．5．（2012?盐城二模）已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为____ ．6．（2012?江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，则= ______ ．7．（2012?安徽模拟）已知向量、的夹角为，且，，则向量的模等于_________ ．8．（2012?荔湾区模拟）已知||=||=||=2，则|2|的值为_________ ．
9．（2011?江苏模拟）已知向量=（x，3），=（2，1），若，则实数x的取值范围是_________ ．10．（2011?黄冈模拟）不共线的三个平面向量两两所成的角相等，且，则
= _________ ．
11．（2010?镇江模拟）设向量与的夹角为θ，，，则sinθ= _________ ．
12．（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m= _______ ．
13．（2014?盐城二模）已知||=1，||=2，∠AOB=，=+，则与的夹角大小为______ ．
14．（2013?宿迁一模）已知双曲线，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B，F 分别是双曲线的左顶点和左焦点．若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为_________ ．15．（2014?烟台三模）设，，x∈[1，2），且，则函数
的最大值为_________ ．
16．（2014?浙江二模）设向量=（1，cosθ），=（﹣，tanθ），θ∈（，），且⊥，则θ= _________ ．
17．已知=（1，4），=（m，n），且m＞0，n＞0，若?=9，则的最小值为_________ ．
二．解答题（共13小题）
18．（2014?南通一模）设向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），其中0＜β＜α＜π．
（1）若⊥，求的值；（2）设向量=，且+=，求α，β的值．
19．（2012?南京二模）设向量=（2，sinθ），=（1，cosθ），θ为锐角．
（1）若?=，求sinθ+cosθ的值；
（2）若∥，求sin（2θ+）的值．
（1）求∠A的大小；
（2）若∠B=，求的值．
21．已知=（t，﹣2），=（t﹣3，t+3）．
（1）设f（t）=?，求f（t）的最值；（2）若与的夹角为钝角，求t的取值范围．
22．（2011?杭州一模）已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），设=+t（t为实数）．
（1）若，求当||取最小值时实数t的值；
（2）若⊥，问：是否存在实数t，使得向量﹣和向量的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．
23．（2010?杭州一模）已知点P（2cosα，2sinα）和Q（a，0 ），O为坐标原点．当α∈（0，π）时．（Ⅰ）若存在点P，使得OP⊥PQ，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果a=﹣1，求向量与的夹角θ的最大值．
24．已知a、b都是非零向量，且（+3）与（7﹣5）垂直，（﹣4）与（7﹣2）垂直，求与的夹角．
25．已知向量=（1，2），=（2，﹣2），
（1）设，求（）．（2）若与垂直，求λ的值．（3）求向量在方向上的投影．
26．已知向量．
（1）求；（2）若，求k的值．
27．已知，且与的方向相同，求的取值范围．
28．（2011?江苏模拟）在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量=（1，2sinA），=（sinA，1+cosA），满足∥，b+c=a．
（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sin（B+）的值．
29．已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα）．
（1）若||=||，α∈（，）．求角α的值；
（2）若?，求的值．
30．已知向量，
（1）求；（2）求与的夹角的余弦值；
（3）求向量的坐标（4）求x的值使与为平行向量．
2014年12月22日平面向量数量积的坐标表示
参考答案与试题解析
一．填空题（共17小题）
1．（2014?北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|= ．
考点：平面向量数
量积的坐标
表示、模、夹
角．菁优网版权所有
专题：平面向量及
应用．
分析：设=（x，
y）．由于向量
，满足
||=1，=（2，
1），且
+=（λ
∈R），可得
，解出即可．
y）．
∵向量，满
足||=1，=
（2，1），且
+=（λ
∈R），
∴=λ
（x，y）+（2，
1）=（λx+2，
λy+1），
∴
，化为λ2=5．
解得
．
故答案为：
．
点评：本题考查了
向量的坐标
运算、向量的
模的计算公
式、零向量等
法，属于基础
题．
2．（2014?临汾模拟）已知向量，，且，则的最小值为．
考点：平面向量数
量积的坐标
表示、模、夹
角．菁优网版权所有
专题：平面向量及
应用．
分析：利用向量垂
直与数量积
的关系可得
x，再利用向
量模的计算
公式即可得
出．
解答：解：∵，
∴=2x﹣
2=0，解得
x=1．
（1，2）=（2+
λ，2λ﹣1）．
∴
=
=
，当且
仅当λ=0时取
等号．
因此
的
最小值为
．
故答案为：
．
点评：本题考查了
向量垂直与
数量积的关
系、向量模的
计算公式，属
于基础题．
3．（2014?泰州模拟）如图，直线l1，l2交于点A，点B、C在直线l1，l2上，已知∠CAB=45°，AB=2，设=λ，点P为直线l2上的一个动点，当λ= 1或﹣5 时，|2+|的最小值是3．
考点：平面向量数
量积的坐标
表示、模、夹
角．菁优网版权所有
专题：平面向量及
应用．
分析：如图所示，建
立直角坐标
系．设C（c，
c），P（x，
x）．由=λ
，可得
=（c+2λ，
c）．可得
=（c
3x）．设c﹣
3x=t，化为
=
（t+2λ+4，
t）．由向量数
量积的性质
及其题意可
得可得
=
=
，解出
即可．
解答：解：如图所
示，建立直角
坐标系．
∵AB=2，∴B
（2，0）．
设C（c，c），
P（x，x）．
∵=λ，∴
又=（2﹣x，﹣x）．
∴=（c﹣3x+2λ
+4，c﹣3x）．设c﹣3x=t，
则=（t+2λ+4，t）．
∴
=
=
，当且仅当t+λ+2=0时取等号．∴2λ2+8λ
+8=18，
化为λ2+4λ﹣
5=0．
解得λ=1或﹣5．
时，|2+|
的最小值是
3．
故答案为：1
或﹣5．
点评：本题考查了
向量的坐标
运算、数量积
的性质、二次
函数的单调
性、换元法等
基础知识与
基本技能方
法，考查了数
形结合的思
想方法，考查
了推理能力
和计算能力，
4．（2013?杭州模拟）已知非零向量满足||=1，，与的夹角为120°，则||= 1 ．
考点：平面向量数
量积的坐标
表示、模、夹
角．菁优网版权所有
专题：平面向量及
应用．
分析：把
平方，并代入
已知数据易
得
+﹣
2=0，解之即
可．
解答：解：由题意可
得
=
=
=1++
=3，即
+﹣
2=0，
分解因式可
得（﹣1）
（+2）
=0，
解得=1，
或=﹣2
（舍去）
故答案为：1
点评：本题考查向
量的数量积
的应用，涉及
模长的求解，
属基础题．
5．（2012?盐城二模）已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为．
考点：平面向量数
量积的坐标
表示、模、夹
专题：计算题；平面
向量及应用．分析：设向量与
的夹角为θ，
可得?
=2cosθ，再
根据
，得?﹣
2=2cosθ﹣
1=0，最后结
合θ∈[0，π]，
可得向量与
的夹角θ的
大小．
解答：解：设向量
与的夹角为
θ，
∴?=?
cosθ=1
×2×cosθ
=2cosθ
∵
，
∴
=?﹣2=0，
得2cosθ﹣
1=0，所以
cosθ=，
∵θ∈[0，π]，∴
θ=
故答案为：点评：本题给出单
位向量与向
量的差向量
垂直于单位
向量，求
与的夹角大
小，着重考查
了平面向量
的数量积运
算和向量的
夹角等知识，
属于基础题．
考点：平面向量数
量积的坐标
表示、模、夹
角．菁优网版权所有
专题：计算题；平面
向量及应用．分析：根据条件
求出然后再
根据向量数
量积的坐标
计算公式即
可求出．解答：解：∵
∴=2﹣2（3，
1）=（﹣4，2）
∴=（1，
2）?（﹣4，2）=
﹣4+4=0
故答案为0
点评：本题主要考
量的数量积，
属常考题，较
易．解题的关
键是求出以
及熟记平面
向量数量积
的坐标计算
公式！
7．（2012?安徽模拟）已知向量、的夹角为，且，，则向量的模等于．
考点：平面向量数
量积的坐标
表示、模、夹
角．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：根据题意，首
先由数量积
公式可得?
，又由
||2=
（）
2=2+2﹣