高等数学复习提纲
一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题
二、知识点 1．平面及其方程。
例题：一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程.
解 所求平面的法线向量可取为
k j i k
j i b a n 3011112-+=-=?=,
所求平面的方程为
(x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即x +y -3z -4=0.
2．空间直线及其方程。
例题：求过点(2, 0, -3)且与直线?
??=+-+=-+-012530
742z y x z y x 垂直的平面方
程.
解 所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量, 即
k j i k
j i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=.
所平面的方程为
-16(x -2)+14(y -0)+11(z +3)=0,
即 16x -14y -11z -65=0.
例题：求过点(3, 1, -2)且通过直线1
2354z y x =+=-的平面方程. 解 所求平面的法线向量与直线1
2354z
y x =+=-的方向向量
s 1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, -2)和(4, -3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s 2=(4, -3, 0)-(3, 1, -2)=(1, -4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为
k j i k
j i s s n 229824112521--=-=?=.
所求平面的方程为
8(x -3)-9(y -1)-22(z +2)=0, 即 8x -9y -22z -59=0.
3．旋转曲面。
例题：将
zOx 坐标面上的抛物线z 2=5x 绕x 轴旋转一周, 求
所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的z 换成22z y +±
得旋转曲面的方程y 2+z 2
=5x .
例题：将zOx 坐标面上的圆x 2+z 2=9绕z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.
解 将方程中的x 换成2
2y x +±得旋转曲面的方程
x 2+y 2+z 2=9.
4. 多元复合函数求导，隐函数求导。 例题：求函数 x
y
e z = 的全微分
解 xdy e x
dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??=.
例题：设z =u 2ln v , 而y
x u =, v =3x -2y , 求x
z ??, y
z ??.
解 x
v v z x u u z x z ?????+?????=?? 31ln 22?+?=v u y v u 22
2)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=, y
v v z y u u z y z ?????+?????=??
)2()(ln 222-+-?=v u y x v u 22
32)23(2)23ln(2y
y x x y x y x ----=. 例题：设z =e x -2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dt
dz .
解 dt dy
y z dt dx x z dt dz ???+???=2223)2(c o s t e t e y x y x ?-?+=--
0 )6(cos )6(cos 22sin 223
t t e t t e t t y x -=-=--. 例题：设sin y +e x -xy 2=0, 求
dx
dy . 解 令F (x , y )=sin y +e x -xy 2, 则F x =e x -y 2, F y =cos y -2xy , xy
y e y xy y y e F F dx dy x
y x 2cos 2cos 222--=---=-=. 例题：设x
y y x arctan ln 22=+, 求dx dy
.
解 令x
y
y x y x F arctan ln ),(22-+=, 则
2
2222222)()(11221y x y x x y x
y y x x y x F x ++=-?+-
+?+=, 2
2222221)(11221y x x y x x
y y x y y x F y +-=?+-
+?+=,
y
x y x F F dx dy
y x -+=-=.
5.重积分（直角坐标，极坐标）。
例题：??+D
d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1};
解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是
??+D
d y x σ)(22y d y x dx ??--+=1
11
122)(x d y y x ?--+=1
11132]31
[ x d x ?-+=1
12)3
12(113]3232[-
+=x x 38=.
例题：??+D
d y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形
闭区域.
解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤π, 0≤y ≤x . 于是,
??+D
d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 00)cos(π?+=π
0)][sin(dx y x x x
?-=π0)s i n 2(s i n dx x x x ?--=π
0)c o s 2c o s 2
1(x x xd
+--=0|)c o s 2c o s 21(πx x x dx x x ?-π0)cos 2cos 21(π23-=.
例题：利用极坐标计算下列各题:
(1)??+D
y x
d e σ2
2
，其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域;
解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以
????=+D
D
y x d d e d e θρρσρ2
22
)1()1(2
124420
2
02
-=-?==
??e e d e d ππρρθπ
ρ.
(3)σd x y
D
arctan ??, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成
的第一象限内的闭区域.
解 在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以
???????=?=D
D
D
d d d d d x
y θρρθθρρθσ)arctan(tan arctan ??
?=402
1
π
ρρθθd d ??==403
2
164
3π
πρρθθd d .
5．求曲顶柱体体积。
例题：求由曲面z =x 2+2y 2及z =6-2x 2-y 2所围成的立体的体积. 解
由?
??--=+=2
22
2262y x z y x z 消去z , 得x 2+2y 2=6-2x 2-y 2, 即x 2+y 2=2,
故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2≤2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y 都是偶函数, 所以
??+---=D
d y x y x V σ)]2()26[(2222??--=D
d y x σ)336(22
?
?---=2
20
2220
)2(12x dy y x dx π6)2(82
32=-=?
dx x .
例题：计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底, 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积.
解 曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|x 2+y 2≤ax }.
在极坐标下}cos 0 ,2
2
|),{(θρπθπθρa D ≤≤≤≤-=, 所以
??≤++=
ax
y x dxdy y x V 22)(22πθθρρρθπ
πθ
π
π422cos 0
2244
232
3cos 4a d a d d a ==?=???--.
6 常数项级数的审敛法。
例题：判定下列级数的收敛性:
(1) )
4)(1(1 631521
???++++???+?+?n n ; 解 因为145lim 1
)
4)(1(1
lim 222
=++=++∞→∞→n n n n n n n n , 而级数∑∞
=1
21
n n 收敛,故所给级数收敛.
(2) 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 32???++???+++n π
πππ;
解 因为π
ππππ==∞→∞→n
n n n n n 22sin
lim 212sin lim ,
而级数
∑∞
=12
1n n 收敛,故所给级数收敛. (1) 2
3 23322321333
22
???+?+???+?+?+?n n
n ; 解 级数的一般项为n
n
n n u 23?=. 因为
123123lim 3
22)1(3lim lim 111>=+?=???+=∞→++∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n n n
所以级数发散.
(2)∑∞
=1
23n n n ; 解 因为
1
31)1(31lim 33)1(lim lim 22121<=+?=?+=∞→+∞→+∞→n
n n n u u n n n n n n n ,
所以级数收敛.
(3)∑∞
=?1
!
2n n n n n ;
解 因为
12)1
(
lim 2!2)1()!1(2lim lim 111<=+=??++?=∞→++∞→+∞→e n n n n n n u u n n n n n n n n n n , 所以级数收敛.
(3)∑∞
=+1
12tan n n n π. 解 因为
1
21221lim 2tan 2
tan )1(lim lim 1
21
21
<=?+=+=++∞→++∞
→+∞→n n n n n n n n n n
n n n u u ππ
ππ
所以级数收敛.
例题：判定下列级数是否收敛？如果是收敛的, 是绝对收敛还是 条件收敛？ (1)
4
131211???+-+-
;
解 这是一个交错级数∑∑∞
=-∞
=--=-1
111
1
)1()
1(n n n n n n u , 其中n
u n 1
=
.
因为显然u n ≥u n +1, 并且0lim =∞
→n n u , 所以此级数是收敛的. 又因为∑∑∞
=∞
=-=-111
1
|)
1(|n n n n n
u 是p <1的p 级数, 是发散的,
所以原级数是条件收敛的. (2)∑∞
=---11
1
3)1(n n n n ;
解 ∑∑∞=-∞
=--=-11
1
11
3|3)
1(|n n n n n n
n .
因为131331
lim 1
<=+-∞→n n
n n n ,
所以级数∑
∞
=-113
n n n
是收敛的,
从而原级数收敛, 并且绝对收敛.
7．幂级数。
例题：求下列幂级数的收敛域:
)1( 21222???+-+???++-n
x x x n n ; 解 1)1(lim 1
)1(1
lim ||lim 222
21=+=+=∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n , 故收敛半径为R =1.
因为当x =1时, 幂级数成为∑∞
=-2
21)1(n n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞
=+1
211n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-1, 1].
∑∞
=++-1
1
212)1(n n n
n x
解 这里级数的一般项为12)1(12+-=+n x
u n n
n .
因为2
12321|1232|l i m ||l i m x x n n x u u n n n n
n n =+?+=++∞→+∞→, 由比值审敛法, 当x 2<1, 即|x |<1时, 幂级数绝对收敛; 当x 2>1, 即|x |>1时, 幂级数发散, 故收敛半径为R =1.
因为当x =1时, 幂级数成为∑∞
=+-1
121)1(n n n , 是收敛的; 当
x =-1时, 幂级数成为∑∞
=++-1
1121)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-1, 1].
8．函数展开成幂级数。
例题：将下列函数展开成x 的幂级数, 并求展开式成立的区间: (1)sin 2x ;
解 因为x x 2cos 2
121sin 2-=,
∑∞
=-=0
2)!2()1(cos n n
n
n x x , x ∈(-∞, +∞), 所以
∑∑∞=-∞=?-=--=1212022
)!2(2)1()!2()2()1(2121sin n n
n n n n n n x n x x x ∈(-∞, +∞).
例题：将函数f (x )=cos x 展开成)3
(π+x 的幂级数.
解
3
sin )3sin(3cos )3cos(]3)3cos[(cos ππππππ+++=-+=x x x x
)3
sin(23)3cos(21ππ+++=x x ∑∑∞=+∞=++-++-=01202)3
()!12()1(23)3()!2()1(21n n n n n n x n x n ππ
)( ])3
()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-=+∞=∑x x n x n n n n n ππ 5.
例题：将函数x
x f 1)(=展开成(x -3)的幂级数.
解 ∑=<-<---=-+=-+=n n n n x x x x x 0)13
31( )33()1(313
311313311,
即
∑=<<--=n n n n x x x 0)60( )3
3()1(311.
例题： 将函数2
31)(2
++=x x x f 展开成(x +4)的幂级数. 解 2
111231)(2+-+=++=x x x x x f ,
而 ∑∞
=<++-=+--=++-=+0)1|3
4(| )34(313
41131)4(3111n n x x x x x ,
即
)17( 3)4(1101
-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n ;
∑∞
=<++-=+--=++-=+0)1|2
4(| )24(212
41121)4(2121n n x x x x x ,
即 )26( 2)4(2101
-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n .
因此
∑∑∞=∞=+++++-=++=001
122)4(3)4(231)(n n n n
n n x x x x x f
)26( )4)(3121(0
1
1-<<-+-=∑∞
=++x x n n n n
.
注意复习书上习题
同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案6-3
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 习题6-3 1. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功. 解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为 18216026 0===?s k ksds W k(牛?厘米). 2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻-马定律知: ππ80000)8010(102=??==k PV . 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则 ππ80000)]80)(10[()(2=-?x x P , π -=80800)(x P . 功元素为dx x P dW )()10(2?=π, 所求功为 2ln 8008018000080800)10(400400 2 πππππ=-=-??=??dx dx W (J). 3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 h R mgRh W +=, 其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径; (2)一颗人造地球卫星的质量为173kg , 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km . 证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功元素为 dy y kMm dW 2=, 所求的功为 ) (2h R R mMh k dy y kMm W h R R +?==?+. (2)533324111075.910 )6306370(106370106301098.51731067.6?=?+???????=-W (kJ). 4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为3ct x =, 所以 23)(cx t x v ='=, 阻力4 229t kc kv f -=-=. 而32)(c x t =, 所以 3432342 9)(9)(x kc c x kc x f -=-=.
第八章：空间解析几何与向量代数 一、向量),,(),,,(),,,(c c c b b b a a a z y x c z y x b z y x a === 1.向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 的数量积:b a b b b a z z y x x x b a b a ++==??cos ; 2。向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 的向量积:b b b a a a z y x z y x k j i b a =?。 ?sin b a b a =?的几何意义为以b a ,为邻边的平行四边形的面积. 3。向量),,(z y x r = 的方向余弦： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ,cos ,cos z y x y z y x y z y x x ++= ++= ++= γβα, 1cos cos cos 222=++γβα；2sin sin sin 222=++γβα. 4.向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 垂直的判定： 00=++?=??⊥b a b b b a z z y x x x b a b a . 5.向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 平行的判定：
k z z y x x x k b k a b a b a b a b b b a ===?≠=?=??0,0// 。 6。三向量共面的判定：?=++0 c n b m a k c b a ,,共面。 7.向量) ,,(a a a z y x a = 在),,(b b b z y x b = 上的投影:222Pr a a a b a b b b a a z y x z z y x x x a b a b j ++++=?= 。 二、平面 1。过点),,(000z y x P ,以),,(C B A n = 为法向量的平面的点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 。 2。以向量),,(C B A n = 为法向量的平面的一般式方程：0=+++D Cz By Ax 。 3.点),,(111z y x M 到平面 0=+++D Cz By Ax 的距离2 2 2 111C B A D cz By Ax d +++++= 。
习题8-1 1. 设u =a -b +2c , v =-a +3b -c . 试用a 、b 、c 表示2u -3v . 解 2u -3v =2(a -b +2c )-3(-a +3b -c ) =2a -2b +4c +3a -9b +3c =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形. 证 →→→-=OA OB AB ; →→→-=OD OC DC , 而 →→-=OA OC , →→-=OB OD , 所以 →→→→→→-=-=+-=AB OA OB OB OA DC . 这说明四边形ABCD 的对边AB =CD 且AB //CD , 从而四边形ABCD 是平行四边形. 3. 把?ABC 的BC 边五等分, 设 分点依次为D 1、D 2、D 3、D 4, 再把 各分点与点A 连接. 试以c =→AB 、 a =→BC 表示向量→A D 1、→A D 2、→ A D 3、→ A D 4. 解 a c 5111--=-=→→→BD BA A D , a c 5 222--=-=→→→BD BA A D , a c 5 333--=-=→→→BD BA A D , a c 5444--=-=→→→BD BA A D .
4. 已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2(1, -1, 0). 试用坐标表示式表示向量→21M M 及→-212M M . 解 )2 ,2 ,1()2 ,1 ,0()0 ,1 ,1(21--=--=→M M , )4 ,4 ,2()2 ,2 ,1(2221-=---=-→M M . 5. 求平行于向量a =(6, 7, -6)的单位向量. 解 11)6(76||222=-++=a , 平行于向量a =(6, 7, -6)的单位向量为 )116 ,117 ,116(||1-=a a 或)11 6 ,11 7 ,116(||1--=-a a . 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A (1, -2, 3); B (2, 3, -4); C (2, -3, -4); D (-2, -3, 1). 解 A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限. 7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: A (3, 4, 0); B (0, 4, 3); C (3, 0, 0); D (0, -1, 0). 解 在xOy 面上, 点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 点的坐标为(x , 0, z ). 在x 轴上, 点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 点的坐标为(0, 0, z ). A 在xOy 面上, B 在yOz 面上, C 在x 轴上, D 在y 轴上. 8. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , -c ), 点(a , b , c )
第八章 向量与解析几何 向量代数 两点间的距离公式： 2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, c a b =+ c a b =－ 0a ≠，则a a e a =x z a a a = = ，， 曲面、空间曲线及其方程 1、 曲面及其方程Σ : F (x , y , z ) = 0，旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画
母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母 线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常见的曲面及其方程并会作 2、旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0 ),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 1、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 ),(z y x F 的柱面 2、 二次曲面:椭圆锥面：2 22 22 z b y a x =+ 椭球面：122 2222=++c z b y a x 旋转椭球面：122 222 2=++c z a y a x 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x 双叶双曲面： 122 2222=--c z b y a x 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-2222 椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-b y a x 抛物柱面：ay x =2 空间曲线及其方程: 一般方程：?????==0 ),,(0),,(z y x G z y x F 参数方程：???? ???===) ()()(t z z t y y t x x 如螺旋线：??? ? ???===bt z t a y t a x sin cos 空间曲线在坐标面上的投影?? ???==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去 z ， 得到曲线在面xoy 上的投影?????==0 ),(z y x H 3:曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投谁便消去谁
2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用
了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
高数（下）小结 一、微分方程复习要点 解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解. 一阶微分方程的解法小结： 方程 编号 类型一般形式解法备注 1型 可分离变量 方程 ) ( ) (y x y? φ? ='或 ) ( ) (= +dy y N dx x M分离变量法 有些方程作代换后可 化为1型 2型齐次方程 ) ( x y yφ ='或 ) ( y x x? =' 令化 或 y x u x y u= = 为1型求解 有时方程写成 ) ( y x xφ ='令u y x =化 为1型求解 3型线性方程 ) ( ) (x Q y x P y= +' 或 ) ( ) (y Q x y P x= +' 1．常数变易法 2．凑导数法：同乘 Pdx e? 有时方程不是关于 y y' ,线性方程，而是 关于x x' ,线性方程 4型贝努里方程 α y x Q y x P y) ( ) (= +' 或 α x y Q x y P x) ( ) (= +' 令z y= -α 1或 z x= -α 1化为3型求 解 有时方程不是关于 y y' ,的贝努里方程， 而是关于x x' , 贝努里方程 5型全微分方程 ) , ( ) , (= +dy y x Q dx y x P 其中 y P x Q ? ? = ? ? (,) u x y c = (,) u x y为原函数 有时乘以一个积分因 子可化为5型
二阶微分方程的解法小结： 齐次方程"'0y py qy ++=的通解y 为： 判别式 两特征根情况 通 解 240p q -> 相异实根1r ，2r x r x r e c e c y 2121+= 042=-q p 二重实根0r ()x r e x c c y 021+= 240p q -< 共轭复根βαi r ,±=2 1 ()x c x c e y x ββαsin cos 21+= 非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解* y 的形式为： ()x f 的形式 特征根情况 *y 的形式 ()rx m P x e r 不是特征根 ()rx m x e Q r 是k 重特征根 ()x m x x e αk Q 12r k r k =?? ?=?? 是单根是二重根 ()()cos sin x l n e P x x P x x αββ?+??? i αβ±不是特征根 ()()() ()12cos sin x m m e Q x x Q x x αββ??+??i αβ ±是特征根 ()()()()12cos sin x m m xe Q x x Q x x αββ??+?? 类 型 特 征 求 解 方 法 备 注 () ()x f y n = 缺,x y ' n 次积分 求解见上册 ()' "y ,x f y = 缺 y 令'"',y p y p ==，降为一阶方程 降价后是关于p ，x 的一阶方程 ( )' " y ,y f y = 缺x 令 ()y p y '=， dy dp p y ' '=降为一阶方程 降价后是关于 p ,y 的一阶方 程 ()p y f dy dp p ,= ()y py qy f x '''++= ,p q 常 系数 通解y y y *+= y y *及见下表
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221) 1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、2 22)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数????? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01sin lim 2 2 ) 0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 2、求空间曲线??? ??=+=Γ2 1:2 2y y x z 在点（ 1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y x y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1) 4、设y z x u =, 求 x u ?? ，y u ?? ，z u ?? 解：1 -=??y z x y z x u ， x x y z y u y z ln 2-=?? x x y z u y z ln 1=?? 5、设2 2 2 z y x u ++=，证明 : u z u y u x u 2 222222=??+??+?? 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续是否可导（偏导）说明理由 ?????≠+≠++=0, 00,1sin ),(222 22 2y x y x y x x y x f )0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→ 连续； 2 01 sin lim )0,0(x f x x →= 不存在， 000 0lim )0,0(0=--=→y f y y 7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x b x a f b x a f x ) ,(),(lim --+→
本答案由大学生必备网https://www.doczj.com/doc/fa11767228.html, 免费提供下载 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 本节主要概念，定理，公式和重要结论 理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ) ,(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ; 注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。 习题 8－1 1.求下列函数表达式: (1)x y y x y x f +=),(，求),(y x xy f + 解：(,)()x y xy f xy x y xy x y ++=++ (2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f 解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+?= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(y x x y x z --+-+= 解：22221011010x y x y x y x y x +->?+>??-->???+ (3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->?+< 3.求下列极限: (1)2 2)1,0(),(1lim y x xy x y x ++-→ 解：22(,)(0,1)1lim 1x y x xy x y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim )0,0(),(+-→ 解一： (,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim 2lim 2lim 4x y x y x y xy xy →→→=-=-=-
※高等数学上册期末复习 一.填空题 1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim 30 2 3 2.曲线x xe y -=的拐点是 )2,2(2 -e 3.设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→x x f x ) (lim 0 )0(f ' 4.曲线x x y +-= 22cos 1在)2 1,2(π π+处的切线方程为 1y x =+ 5.曲线1 22 -=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y 6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =，则=dy dx e e f e f x x x ?'?)()]([2sin #7.=?dx e x 4 0 )1(22+e 8.若3)(0-='x f ，则=--+→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 12- 9.若 dx x p ? +∞ 1 收敛，则p 的范围是 1-
=0 ,0,)(2x x x x x f ，则?-=11)(dx x f 61 - #14.过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 12+=x y 15.已知函数?????=≠=0 ,0 ,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时，函数)(x f 是无穷小；当 =a 1时，函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第 （一）类间断点。 16.已知 ?+=c x F dx x f )()(，则? =-dx x f x )(arcsin 112 c x F +)(arcsin
高等数学第六版（上册）总复习习题答案及解析 1. 填空: 设常数k >0, 函数k e x x x f +-=ln )(在(0, +∞)内零点的个数为________. 解 应填写2. 提示: e x x f 1 1)(-=', 21)(x x f -=''. 在(0, +∞)内, 令f '(x ) 0, 得唯一驻点x e . 因为f ''(x )<0, 所以曲线k e x x x f +-=ln )(在(0, +∞)内是凸的, 且驻点x e 一定是 最大值点, 最大值为f (e )k >0. 又因为-∞=+→)(lim 0 x f x , -∞=+∞ →)(lim x f x , 所以曲线经过x 轴两次, 即零点的个数为2. 2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设在[0, 1]上f ''(x )>0, 则f '(0), f '(1), f (1)f (0)或f (0)f (1)几个数的大小顺序为( ). (A )f '(1)>f '(0)>f (1)f (0); (B )f '(1)>f (1)f (0)>f '(0); (C )f (1)f (0)>f '(1)>f '(0); (D )f '(1)>f (0)f (1)>f '(0). 解 选择B . 提示: 因为f ''(x )>0, 所以f '(x )在[0, 1]上单调增加, 从而f '(1)>f '(x )>f '(0). 又由拉格朗日中值定理, 有f (1)f (0)f '(), ∈[0, 1], 所以 f '(1)> f (1)f (0)>f '(0). 3. 列举一个函数f (x )满足: f (x )在[a b ](a b )内除某一点外处处 (a b )内不存在点ξ f (b )f (a ) f '(ξ)(b a ). 解 取f (x )|x |, x ∈[1, 1]. 易知f (x )在[1, 1]上连续, 且当x >0时f '(x )1; 当x >0时, f '(x )1; f '(0)不存在, 即f (x )在[1, 1]上除x 0外处处可导. 注意f (1)f (1)0, 所以要使f (1)f (1)f '()(1(1))成立, 即f '()0, 是不可能的. 因此在(1, 1)内不存在点ξ f (1)f (1)f '()(1(1)). 4. 设k x f x ='∞ →)(lim , 求)]()([lim x f a x f x -+∞ →. 解 根据拉格朗日中值公式, f (x +a )-f (x )=f '( )?a , 介于x +a 与x 之间. 当x →∞ 时, → ∞, 于是 ak f a a f x f a x f x x ='=?'=-+∞ →∞ →∞ →)(lim )(lim )]()([lim ξξξ. 5. 证明多项式f (x )x 3 3x a 在[0, 1]上不可能有两个零点. 证明 f '(x )=3x 2-3=3(x 2 -1), 因为当x ∈(0, 1)时, f '(x )<0, 所以f (x )在[0, 1]上单调减少. 因此, f (x ) 在[0, 1]上至多有一个零点. 6. 设1 21 0++???++n a a a n 0, 证明多项式f (x )a 0a 1x +???+a n x n 在(0,1)内至少有 一个零点.
高等数学第六版上册课后习题答案 第一章 习题1?1 1? 设A ?(??? ?5)?(5? ??)? B ?[?10? 3)? 写出A ?B ? A ?B ? A \B 及A \(A \B )的表达式? 解 A ?B ?(??? 3)?(5? ??)? A ? B ?[?10? ?5)? A \ B ?(??? ?10)?(5? ??)? A \(A \B )?[?10? ?5)? 2? 设A 、B 是任意两个集合? 证明对偶律? (A ?B )C ?A C ?B C ? 证明 因为 x ?(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ?A C 或x ?B C ? x ?A C ?B C ? 所以 (A ?B )C ?A C ?B C ? 3? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? B ?X ? 证明 (1)f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)f (A ?B )?f (A )?f (B )? 证明 因为 y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y ?(因为x ?A 或x ?B ) y ?f (A )或y ?f (B ) ? y ?f (A )?f (B )? 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)因为 y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y ?(因为x ?A 且x ?B ) y ?f (A )且y ?f (B )? y ? f (A )?f (B )? 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )? 4? 设映射f ? X ?Y ? 若存在一个映射g ? Y ?X ? 使X I f g =ο? Y I g f =ο? 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射? 即对于每一个x ?X ? 有I X x ?x ? 对于每一个y ?Y ? 有I Y y ?y ? 证明? f 是双射? 且g 是f 的逆映射? g ?f ?1? 证明 因为对于任意的y ?Y ? 有x ?g (y )?X ? 且f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像? 所以f 为X 到Y 的满射? 又因为对于任意的x 1?x 2? 必有f (x 1)?f (x 2)? 否则若f (x 1)?f (x 2)?g [ f (x 1)]?g [f (x 2)] ? x 1?x 2? 因此f 既是单射? 又是满射? 即f 是双射? 对于映射g ? Y ?X ? 因为对每个y ?Y ? 有g (y )?x ?X ? 且满足f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 按逆映射的定义? g 是f 的逆映射? 5? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? 证明? (1)f ?1(f (A ))?A ? (2)当f 是单射时? 有f ?1(f (A ))?A ? 证明 (1)因为x ?A ? f (x )?y ?f (A ) ? f ?1(y )?x ?f ?1(f (A ))? 所以 f ?1(f (A ))?A ?
高等数学第六版（上册）第三章课后习题答案及解析 习题3-1 1.验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]6 5 ,6[ππ上的正确性. 解因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续,在)6 5 ,6(ππ内可导,且)65()6(ππy y =, 所 以由罗尔定理知,至少存在一点)6 5 ,6(ππξ∈,使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)6 5 ,6(2πππ∈. 因此确有)65 ,6(2πππξ∈=,使y '(ξ)=cot ξ=0. 2.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性. 解因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续,在(0, 1)内可导,由拉格朗日中值定理 知,至少存在一点ξ∈(0, 1),使00 1) 0()1()(=--= 'y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12 135∈±=x . 因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ,使01) 0()1()(--='y y y ξ. 3.对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的 正确性. 解因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续,在)2 ,0(π可导,且 F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0,所以由柯西中值定理知至少存在一点)2 ,0(πξ∈, 使得 )() ()0()2 ()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2 ()0()2 ()() (F F f f x F x f --=''ππ,即2 2sin 1cos -=-πx x . 化简得14)2(8s i n 2-+-=πx .易证114 )2(802<-+-<π,所以 14)2(8s i n 2-+-=πx 在
高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(- , -5) (5, + ), B =[-10, 3), 写出A B , A B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A B =(- , 3) (5, + ), A B =[-10, -5), A \ B =(- , -10) (5, + ), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A B )C =A C B C . 证明 因为 x (A B )C x A B x A 或x B x A C 或x B C x A C B C , 所以 (A B )C =A C B C . 3. 设映射f : X Y , A X , B X . 证明 (1)f (A B )=f (A ) f (B ); (2)f (A B ) f (A ) f (B ). 证明 因为 y f (A B ) x A B , 使f (x )=y (因为x A 或x B ) y f (A )或y f (B ) y f (A ) f (B ), 所以 f (A B )=f (A ) f (B ). (2)因为 y f (A B ) x A B , 使f (x )=y (因为x A 且x B ) y f (A )且y f (B ) y f (A ) f (B ), 所以 f (A B ) f (A ) f (B ). 4. 设映射f : X Y , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中 I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x X , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.