高二数学参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. C
2. C
3. A
4. A
5. C
6. B
7.B
8. D
9. D 10. A
二、填空题 (本大题共7小题，多空题 每小题6分，单空题 每小题4分，共36分)
12. 3 13.
3
π
14.
8
3
15. [)2,-+∞; 1,52??-????
16. 1,0- 17. []8,1-
三、解答题 ( 本大题共5小题，共74分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18. （本小题满分14分）
解析：(I)
a b ⊥，0a b ∴?= ，故sin 0x x -=，tan x ∴= ………4分
0,2x π??
∈ ???
，3x π∴=，2tan 2tan 3x π∴==………6分
（II ）
a 与
b 的夹角为
23π
，1cos ,2a b a b a b
?∴<>=
==-?，……8分 1sin()32x π∴-=-，0,2x π??
∈ ???， ,336x πππ??∴-∈- ???
，36x ππ∴-=-，
………13分
即
6
x π
=
. 故
x
的值为
6
π
. ………14分
19. (本小题满分15分)
解析：(I)
()sin cos )4
f x x x x π
=+=+， (2)
分
())4f x x πθθ∴+=++ ，由函数()f x θ+是偶函数得sin()14π
θ+=±， ………4分
4
2
k π
π
θπ∴+
=
+ 故4
k π
θπ=
+
[],θππ∈-，θ∴的值为34
π
-
和4
π
. ………7分 （II
）
())4
f x x π
=+
, ()sin()4222A A f ππ∴+=+=
，
sin()22A π∴+=
A 为ABC ?的内角，3
A π
∴=
. (9)
分
由余弦定理2222cos a b c bc A =+- ，得224b c bc +-=。由222b c bc +≥，知
4bc ≤。…13分
11sin 422ABC S bc A ?∴=≤?=. 于是ABC ?的面积的最大值
为
. ………15分
20. (本小题满分15分)
解析：(I) 1
()1
f x x '=
+， (0)1k f '∴==，
∴在原点处的切线方程为y x =。 ………3分
（II ）由已知，211()(())()12111x
x x
x g x g g x g x x x x +∴====
++++， ………5分3221()(())()2131121
x
x x
x g x g g x g x x x x +∴====
++++， 可猜想()1
n x
g x nx =
+ ………9分
下面用数学归纳法证明．
①当1n =时，1()1
x
g x x =
+，结论成立． ②假设当*
(1,)n k k k N =≥∈时结论成立，
即
()1
k x g x kx =
+，则当
1
n k =+时，
1()1()(())=()+1(1)111
k k k k x
g x x
kx g x g g x x g x k x kx ++===
++++ 即结论成立．
由①②可知，结论对*n N ∈恒成立． ………15分
21. (本小题满分15分)
解析：(I) 由题意得a ＝1时，令210x x --+= ,当2x ≥时， (2)10x x --+=
，解得
1x =+
当2x <时， (2)10x x -+=，解得1x =. 故函数()y f x =的零点
为1和1. ………4分
(II) 2
221,2,()21,2,
x ax x a f x x ax x a ?-++≥?=?-+
∈ ???
于是最大值在(1),(2),(2)f f f a 中取． ………6分
当021a <≤，即1
02
a <≤
时，()f x 在[]1,2上单调递减， 故max ()(1)2f x f a ==；
当122a a <<<，即
1
12
a <<时，()f x 在[]1,2a 上单调递增，[]2,2a 上单调递减，故max ()(2)1f x f a ==；
当122a a ≤<<，即12a ≤<时，()f x 在[]1,a 上单调递减，[],2a 上单调递增，故
{}max ()max (1),(2)f x f f =；因为(1)(2)(22)(54)230f f a a a -=---=-<，故
max ()(2)54f x f a ==-。
综
上
，
max
12,0,21
()1,1,
2
354,1,2a a f x a a a ?
<≤???=<
-≤
………11分 (III)()0,x ∈+∞时 ，max ()1f x =，故问题转化为在给定区间内()1f x ≥-恒成
立．
因2()1f a a =-+，分两种情况讨论：
当211a -+≤-时，()T a 是方程2211x ax -+=-的较小根，
即a ≥
时，()T a a =-
当211a -+>-时，()T a 是方程2211x ax -++=-的较大根，
即0a <<
时，()T a a =+；
综上()a a T a a a ?≥?=?<
22. (本小题满分15分)
解析：(I )由题意知，()f x 的定义域为()0,+∞，11()ax
f x a x x
-'=
-=
①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,+∞上单调递增。
②当0a > 时，令()0f x '= ，则1x a = ，()f x 在10,a ?? ???上单调递增，在1,a ??
+∞ ???
上单调递减。………4分
(II) 由（I ）知当0a ≤时显然不符合题意。 当1
01a
<
≤，即1a ≥时，()f x 在()1,+∞上单调递减，又()10f =，所以()0f x <在()1,+∞上恒成立，无零点，不符合题意．
当
11a >，即01a <<时，()f x 在11,a ??
???
上单调递增，在1,a ??
+∞ ???
上单调递减，所以11ln 1(1)0f a f a a ??
=+->= ???
，又1
1
1
211()(1)a a a f e ae a a e a a =-+=+-,令11t a =>， 设
2()1t g t t e =+- ，则()2t g t t e '=-，()20t g t e ''∴=-< （1t >）∴()g t '在()1,+∞上
递减
()(1)20g t g e ''∴<=-< 故()g t 在()1,+∞上递减，因此()(1)20g t g e <=-<，即
1
()0a
f e < 故()f x 在11,a ?? ???上无零点，在1,a ??
+∞ ???
上有唯一零点．
综
上
，
满
足
条
件
的
实
数
a
的取值范围是
()0,1。 ………10分
(III)证明：由(II)得，01,x a ??
∈+∞
???
且01a <<，由00ln (1)x a x =- 要证02
1x a +>，即证()0001ln 21x x x +>-，即证()00021ln 1x x x ->
+ 令()21()ln 1x h x x x -=-+，则()()()
2
22
114
()011x h x x x x x -'=-=>++， ()h x ∴在()1,+∞上递增，()(1)0h x h ∴>=，
故
()
21
ln
1
x
x
x
-
>
+
，由此
2 1
x
a
+>。………15分