H
G
D C
B
A E
F b
a
c
福建省中学数学学科教学带头人培养对象公开课教案
课题：基本不等式: 2
b
a a
b +≤
（第一课时） 授课：连城一中 黄 椿 地点：子江中学 时间：2011年9月30日上午第一节
教学目标：1.知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并理解等号的条件.
2.过程与方法：通过实例探究抽象出基本不等式.
3.情感态度与价值观：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣. 教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2
a b
ab +≤的证明过程.
教学难点：基本不等式2
b
a a
b +≤等号成立条件. 教学过程
一.课题引入
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客. 二.问题探究
其实赵爽的弦图是由4个全等的直角三角形拼成的（如图所示）， 设直角三角形的两条直角边和斜边的长分别为)(,,b a c b a ≠.
问题1：四边形ABCD 和EFGH 为什么都是正方形？
问题2：初中时，曾利用该图证明过勾股定理（2
2
2
c b a =+），现在的你还记得当时的证明方法吗？证明的关键是什么？
问题3：受问题2证明勾股定理的启发，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
你能给出它的证明吗？
三.例题解析
例1.已知R b a ∈,，证明：ab b a 22
2
≥+
例2.已知0,>b a ，证明：2
b
a a
b +≤
例3.下面不等式正确的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4
（1）44≥+
x
x
e
e . （2）)0(2>?≥+b a b a a b . （3）)0(21
<-≤+a a a . （4）2lg 1lg ≥+
x x . （5）)),0((4sin 4
sin π∈≥+x x
x . 四.课堂练习
1.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么θ2cos 的值等于 ．
2.已知0,>b a ，证明：(1)ab b a ab ≤+2.(2)2
22
2b a b a +≤+
3.设,0,0>>b a 称b
a ab
+2为b a ,的调和平均数．如图，C 线段AB 上的点，且,,b CB a AC ==O 为AB 中点，以
AB 为直径作圆．过点C 作AB 的垂线交于圆于D ，连结
BD AD OD ,,．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是b a ,的算术平均数，线段 的长度 是b a ,的几何平均数，线段 的长度是b a ,的五.教学小结
1.两个不等式：（1）重要不等式：22
2
2
2(,)2
a b a b ab ab a b R ++≥?≤∈，当且仅当b a =时取等号.（2
2
()(,0)22
a b a b ab a b ++≤?≤>，当且仅当b a =时取等号.
我们可从三个角度来理解基本不等式:
①几何平均数不大于算术平均数；②等比中项不大于等差中项；③半弦长不大于半径长.
2.几个不等式之间的关系：)0,(2
222
2>+≤+≤≤+b a b a b a ab b a ab .
3.证明不等式常见的方法：（1）比较法；（2）分析法；（3）综合法. 六.课后作业
1.（1）设R y x ∈,，且0≠xy ，则)41
)(1(222
2
y x
y x ++
的最小值为 .
（2）若对任意a x x x
x ≤++>1
3,02
恒成立，则实数a 的取值范围是 .
2.（1）已知R b a ∈,，证明：2
2222)())((bd ac d c b a +≥++（（二元）柯西不等式）.
（2）已知R c b a ∈,,，证明：ca bc ab c b a ++≥++2
2
2
.
（3）已知+
∈R c b a ,,，且1=++c b a ，证明：8)11
)(11)(11(≥---c
b a .
3.预习课本99P 的例1、例2和100P 的练习. 七.教学反思