《微积分(1)》练习题
一.单项选择题
1.设()0x f '存在,则下列等式成立的有( ) A. ()()()0000
lim
x f x x f x x f x '=?-?-→? B.()()
()0000lim x f x
x f x x f x '-=?-?-→?
C.()()()0000
2lim
x f h x f h x f h '=-+→ D.()()()00002
1
2lim x f h x f h x f h '=-+→
2.下列极限不存在的有( )
A.201
sin lim x
x x → B.12lim 2+-+∞→x x x x
C. x
x e
1
lim → D.()
x
x x
x +-∞
→6
3
2
21
3lim
3.设)(x f 的一个原函数就是x e 2-,则=)(x f ( )
A.x e 22--
B.x e 2-
C.x e 24-
D. x xe 22--
4.函数??
?
??>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为( )间断点。
A.跳跃间断点;
B.无穷间断点;
C.可去间断点;
D.振荡间断点
5. 设函数()x f 在[]b a ,上有定义,在()b a ,内可导,则下列结论成立的有( ) A . 当()()0
f x f x ;
C . 当()()b f a f =时,至少存在一点()b a ,∈ξ,使()0='ξf ; D.至少存在一点()b a ,∈ξ,使()()()()a b f a f b f -'=-ξ; 6. 已知()x f 的导数在a x =处连续,若()1lim
-=-'→a
x x f a
x ,则下列结论成立的有( )
A.a x =就是()x f 的极小值点;
B.a x =就是()x f 的极大值点;
C.()()a f a ,就是曲线()x f y =的拐点;
D.a x =不就是()x f 的极值点,()()a f a ,也不就是曲线()x f y =的拐点; 二.填空: 1.设??
?
??=x f y 1arcsin
,f 可微,则()='x y 2.若32325-+-=x x x y ,则()=6y
3.过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线,则切线方程为
4.曲线()2142
-+=
x
x y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5.设x x f +='1)(ln ,则()='x f ()=x f
三.计算题:
(1)321lim 221-+-→x x x x (2)3
2lim +∞→??
?
??-x x x x
(3)x
x x x 3sin )1ln(lim 20+→ (4)()[]221ln x y -= 求dy (5)053=-+x y e
xy
求
=x dx
dy
四.试确定a ,b ,使函数()()?
?
?<-≥+++=0,10
,2sin 1x e x a x b x f ax
在0=x 处连续且可导。 五.试证明不等式:当1>x 时,()
e xe 2
1
e x e x x
+< 六.设()()()()a x a
x a f x f x F >--=
,
,其中()x f 在[)+∞,a 上连续,()x f ''在()+∞,a 内存在
且大于零,求证()x F 在()+∞,a 内单调递增。
《微积分》练习题参考答案
七.单项选择题
1.( B )
2.( C )
3.( A )
4.( C )
5.( B )
6.( B ) 八.填空:(每小题3分,共15分) 1. ??? ?
?
'--
x f x x 1arcsin 11
2
2. ()06=y
3. 12+=x y
4. 2-=y , 0=x
5. ()x e x f +='1,()c e x x f x ++=
三,计算题:(1)321lim 221-+-→x x x x (2)3
2lim +∞→??
?
??-x x x x
2
1222lim 3
21lim
122
1=+=-+-→→x x x x x x x ()2
62lim 3223
)21(lim 2lim -+-
+??
?
??-?-∞→+∞→==-=??
? ??-∞→e e x
x x x x x x x x x x x (3)x
x x x 3sin )1ln(lim 20+→ (4)()[]2
21ln x y -= 求dy 3
1
3lim 3sin )1ln(lim 2
020=
?=+→→x x x x x x x x ()[]()()[]dx x x dx x x dy 2121ln 4221121ln 2---=-?-?-= (5)053=-+x y e
xy
求
=x dx
dy
()xy
xy
xy xe y ye y y y y x y e +-='?=-'+'+2
235053
又10-=?
=y x
2351
02
=+-='-===y x xy
xy x xe y ye y
(
九.试确定a ,b ,使函数()()?
?
?<-≥+++=0,10
,2sin 1x e x a x b x f ax
在0=x 处连续且可导。 (8分)
解:()()[]22sin 1lim 000
++=+++=++→b a a x b f x
()[]
01lim 000
=-=--→ax x e f , 函数()x f 在0=x 处连续()()0000-=+f f
02=++b a , (1)
()()[][]b x
a b a x b f x =++-+++='+
→+22sin 1lim 00
()[]a x
e x b a e
f ax x ax x =-=++--='→→--1
lim 21lim 000
函数()x f 在0=x 处可导()()00-+'='f f ,故b a = (2) 由(1)(2)知1-==b a
十.试证明不等式:当1>x 时,()
e xe 2
1
e x e x x
+<
(8分) 证:(法一)设()t
e t
f = []x t ,1∈ 则由拉格朗日中值定理有
()()()111-<-=-<-x e x e e e x e x x ξ ()x ,1∈ξ
整理得:()
e xe 2
1
e x e x x
+<
法二:设()ex e x f x
-=
()()10>>-='x e e x f x 故()ex e x f x -=在1>x 时,为增函数,
()()01=>-=f ex e x f x ,即ex e x >
设()()
e xe e x
f x
x
+-
=2
1 ()()
()()1012
1
21><-=+-
='x x e xe e e x f x x x x 故()()
e xe e x
f x
x
+-
=2
1在1>x 时,为减函数,
()()()0121=<+-=f xe e e x f x x x ,即()e xe 2
1
e x x +<
综上,()e xe 2
1e x e x
x +<
十一. 设()()()()a x a
x a f x f x F >--=
,其中()x f 在[)+∞,a 上连续,()x f ''在()+∞,a 内存在且大于零,求证()x F 在()+∞,a 内单调递增。 (5分) 证:()()()()()()2)(a x a f x f a x x f x F ----'=
'
()()()()()x a a x a x f a x x f <<--'--'=
ξξ2
)
( ()()a
x f x f -'-'=ξ
()()()x a
x x f <<>--''=
ηξξη0 故()x F 在()+∞,a 内单调递增。
一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数,g (x)是减函数 Bf (x)是减函数,g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时,e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值,则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为: X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解:原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(, X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值,则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解:原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八] 2 3 求极限 lim(cos x)x x 01-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
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