高二数学 导数及其应用测试题 (含答案)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分每小题5分,共60分). 1.若对任意x ,有f ′(x )=4x 3,f (1)=-1,则此函数为( B )
A .f (x )=x 4
B .f (x )=x 4-2
C .f (x )=x 4+1
D .f (x )=x 4+2 2.设函数()x
f x xe =,则( D )
A .1x =为()f x 的极大值点
B .1x =为()f x 的极小值点
C .1x =-为()f x 的极大值点
D .1x =-为()f x 的极小值点
解析:()(1)x f x x e '=+,令()0,f x '=得1x =-,1x <-时,()0f x '<,()x
f x xe =为减函
数;1x >-时,()0f x '>,()x
f x xe =为增函数,所以1x =-为()f x 的极小值点,选D.
3.函数y =(3-x 2)e x 的单调递增区是( D )
A.(-∞,0)
B. (0,+∞)
C. (-∞,-3)和(1,+∞)
D. (-3,1)
解析:
222
2(3)(23)023031x x x y xe x e e x x x x x '=-+-=--+>?+--<< ∴函数y =(3-x 2)e x 的单调递增区是(-3,1)
4.设a >0,b >0. ( A )
A .若2223a b a b +=+,则a >b
B .若2223a b a b +=+,则a
C .若2223a b a b -=-,则a >b
D .若2223a b a b -=-,则a
【解析】若2223a b a b +=+,必有2222a b a b +>+.构造函数:()22x f x x =+,则
()2ln 220x f x '=?+>恒成立,故有函数()22x f x x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.
5.已知函数a a bx ax x x f 7)(223--++=在1=x 处取得极大值10,则b
a
的值为( A )
A.3
2-
B.2-
C.2-或3
2-
D. 不存在
【解析】由题2
'()32f x x ax b =++,则2
3201710a b a b a a ++=??++--=?
,解得2
1a b =-??=?,或69a b =-??
=?,经检验69
a b =-??=?满足题意,故2
3a b =-,选A 。 6、函数)(x f 的定义域为R ,2)1(=-f ,对任意2)(,'
>∈x f R x ,则42)(+>x x f 的解集
为( B )
A.)1,1(-
B.),1(+∞-
C.)1,(--∞
D.R
7.曲线y =13x 3+x 在点? ??
??1,43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( A )
A.19
B.29
C.13
D.23
【解析】.y ′=x 2+1,曲线在点? ??
??1,43处的切线斜率k =12
+1=2,
故曲线在点? ??
??1,43处的切线方程为y -43=2(x -1). 该切线与两坐标轴的交点分别是? ????13,0,? ????0,-23. 故所求三角形的面积是:12×13×23=1
9
.故应选A.
8、已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示,则不等式0)()32(2
>'--x f x x 的解集为( D )
A .),1()2,(+∞?--∞
B .)2,1()2,(?--∞
C .),2()0,1()1,(+∞?-?--∞
D .),3()1,1()1,(+∞?-?--∞ 9.已知2)3(',2)3(-==f f ,则3
)
(32lim
3--→x x f x x 的值为( C ).
A .4-
B .0
C .8
D .不存在 10.函数)cos (sin 2
1)(x x e x f x +=
在区间]2,0[π
的值域为( A )
. A .]21,21[2π
e B .)2
1
,21(2π
e C .],1[2π
e D .),1(2π
e
11.积分
=-?
-a
a
dx x a 22( B ).
A .
24
1
a π B .
22
1
a π
C .2a π
D .22a π
12.由抛物线x y 22
=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( B ). A .18
B .
3
38
C .
3
16 D .16
13.与直线2x -y -4=0平行且与曲线x y 5=相切的直线方程是 16x-8y+25=0
14.已知函数32
()21f x x x ax =+-+在区间)1,1(-上恰有一个极值点,则实数a 的取值范围
是__________________. -1a 7≤p 15.
=-+-?
dx x x 4
|)3||1(| ____________。 答案:10
16、函数()3
31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立,则a = 答案:4 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用.若x =0,则不论a 取何值,()f x ≥0显然成
立;当x >0 即[]1,1x ∈-时,()331f x ax x =-+≥0可化为,23
31a x x ≥
- 设()2331g x x x =-,则()()'
4
312x g x x -=, 所以()g x 在区间10,2?? ???
上单调递增,在区间1,12??????
上单调递减,因此()max 142g x g ??
== ???,从而a ≥4;
当x <0 即[)1,0-时,()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x
-,()()'
4312x g x x -=0>
()g x 在区间[)1,0-上单调递增,因此()()ma 14n g x g =-=,从而a ≤4,综上a =4
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本题满分10分)设函数f (x )=ax 3
+bx +c (a ≠0)为奇函数,其图象在点(1,f (1))处的切线与直线x -6y -7=0垂直,导函数f ′(x )的最小值为-12.
(1)求a ,b ,c 的值;
(2)求函数f (x )的单调递增区间,并求函数f (x )在[-1,3]上的最大值和最小值. 解 (1)∵f (x )为奇函数,
∴f (-x )=-f (x )即-ax 3-bx +c =-ax 3-bx -c ,∴c =0, ∵f ′(x )=3ax 2+b 的最小值为-12,∴b =-12,
又直线x -6y -7=0的斜率为1
6,
因此,f ′(1)=3a +b =-6, ∴a =2,b =-12,c =0.
(2)单调递增区间是(-∞,-2)和(2,+∞). f (x )在[-1,3]上的最大值是18,最小值是-8 2.
18(本小题满分12分)用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形,制成一个圆锥形容器,扇形的圆心角α多大时,容器的容积最大? 解:设圆锥的底面半径为r ,高为h ,体积为V ,则 由2
2
2
R r h =+,所以 )0(,31
31)(313132222R h h h R h h R h r V <<-=-==
ππππ ∴22
3
1'h R V ππ-=
,令0'=V 得 R h 33= ┅┅┅┅┅┅┅ (6分) 易知:R h 3
3
=
是函数V 的唯一极值点,且为最大值点,从而是最大值点。 ∴当R h 3
3
=
时,容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8分) 把R h 33=
代入222R r h =+,得 R r 3
6=
由r R πα2=得 πα3
6
2=
即圆心角πα3
6
2=
时,容器的容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅ (11分) 答:扇形圆心角πα3
6
2=
时,容器的容积最大。 ┅┅┅┅ (12分) 19、(本小题满分12分)已知函数2
()()()x
f x x ax e x =-∈R ,a 为实数.
(Ⅰ)当0=a 时,求函数)(x f 的单调增区间;
(Ⅱ)若)(x f 在闭区间[1,1]-上为减函数,求a 的取值范围. 解:(1)当0=a 时,x
e x x
f 2
)(=
x x x e x x e x xe x f )2(2)(22/+=+=,由00)(/>?>x x f 或2- 故)(x f 单调增区间为),0(+∞和)2,(--∞ (2)由R x e ax x x f x ∈-=,)()(2 [] x x x e a x a x e ax x e a x x f --+=-+-=?)2()()2()(22/ 记a x a x x g --+=)2()(2 , 依题[]1,1-∈x 时,0)(≤x g 恒成立,结合)(x g 的图象特征 得?? ?≤-=-≤-=0 1)1(023)1(g a g 即23≥a ,a 的取值范围),23 [+∞. 20.(本题满分12分) (2012北京理)已知函数2 ()1f x ax =+(0a >),3 ()g x x bx =+. (1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值; (2)当2 4a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值 解:(1)由()1c ,为公共切点可得:2()1(0)f x ax a =+>,则()2f x ax '=,12k a =, 3()g x x bx =+,则2()=3g x x b '+,23k b =+,∴23a b =+① 又(1)1f a =+,(1)1g b =+,∴11a b +=+,即a b =,代入①式可得:3 3a b =??=? . (2)Q 24a b =,∴设3221 ()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++ 则221()324h x x ax a '=++,令()0h x '=,解得:12 a x =-,26a x =-; Q 0a >,∴2 6 a a -<-, 综上所述:当(]02a ∈,时,最大值为2(1)4a h a =-;当()2,a ∈+∞时,最大值为12a h ?? -= ??? . 21、(本小题满分12分)设13 ()ln 1,22 f x a x x x =+ ++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴.(Ⅰ) 求a 的值;(Ⅱ) 求函数()f x 的极值. 解:(1)因()13ln 122f x a x x x =+ ++,故()21322 a f x x x '=-+ 由于曲线()y f x =在点()() 1,1f 处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即 ()10f '=, 从而13 022 a -+=,解得1a =- (2)由(1)知()()13 ln 1022 f x x x x x =-+++>, ()222113321222x x f x x x x --'=--+= () 2 (31)(1) 2x x f x x +-'∴= 令()0f x '=,解得1211,3 x x ==- (因21 3x =-不在定义域内,舍去), 当()0,1x ∈时,()0f x '<,故()f x 在()0,1上为减函数; 当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在()1,+∞上为增函数; 故()f x 在1x =处取得极小值()13f =. 22.(本题满分12分)已知函数().ln x x x f = (1)求函数()x f 的极值点; (2)若直线l 过点(0,—1),并且与曲线()x f y =相切,求直线l 的方程; (3)设函数()()()1--=x a x f x g ,其中R a ∈,求函数()x g 在[]e ,1上的最小值.(其中e 为自然对数的底数) 解:(1)()x x x f ,1ln +='>0. 而()x f '>0?lnx+1>0?x >()x f e ',1 <0?1ln +x <0?0<x <,1e 所以()x f 在??? ??e 1,0上单调递减,在?? ? ??+∞,1e 上单调递增 所以e x 1 = 是函数()x f 的极小值点,极大值点不存在. (2)设切点坐标为()00,y x ,则,ln 000x x y =切线的斜率为,1ln 0+x 所以切线l 的方程为()().1ln ln 0000x x x x x y -+=- 又切线l 过点()1,0-,所以有()().01ln ln 10000x x x x -+=-- 解得.0,100==y x 所以直线l 的方程为.1-=x y (3)()()1ln --=x a x x x g ,则().1ln a x x g -+=' ()x g '<0a x -+?1ln <0?0<x <()x g e a '-,1>0x ?>,1-a e 所以()x g 在()1,0-a e 上单调递减,在() +∞-,1a e 上单调递增. ①当,11≤-a e 即1≤a 时,()x g 在[]e ,1上单调递增, 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().01=g 当2≥a 时,()x g 的最小值为.ae e a -+ 高二数学导数单元测试题(有答案) (一).选择题 (1)曲线32 31y x x =-+在点(1,-1)处的切线方程为( ) A .34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y =a x 2 +1的图象与直线y =x 相切,则a = ( ) A . 18 B .41 C .2 1 D .1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A .),2(+∞ B .)2,(-∞ C .)0,(-∞ D .(0,2) (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上,其切线的倾斜角小于 4 π 的点中,坐标为整数的点的个数是 ( ) A .3 B .2 C .1 D .0 (6)函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( ) A .0a > B .0a ≥ C .0a < D .0a ≤ (7)函数3 ()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是( ) A . 1 2 B . -1 C .0 D .1 (8)函数)(x f =x (x -1)(x -2)…(x -100)在x =0处的导数值为( ) A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100! (9)曲线313y x x = +在点413?? ???,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23 (二).填空题 (1).垂直于直线2x+6y +1=0且与曲线y = x 3 +3x -5相切的直线方程是 。 (2).设 f ( x ) = x 3 - 2 1x 2 -2x +5,当]2,1[-∈x 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数m 的取值范围为 . (3).函数y = f ( x ) = x 3+ax 2+bx +a 2 ,在x = 1时,有极值10,则a = ,b = 。 (4).已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值,那么a = ;b = (5).已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是 (6).已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值,则实数a 的取值 1.求 导:(1)函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- (2)y =ln(x +2)-------------------------------------;(3)y =(1+sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y =3x 2+x cos x ------------------------------------ ;(5)y =x 2cos(2x -π 3 )---------------------------------------- . (6)已知y =ln 3x e x ,则y ′|x =1=________. 2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ). (A).5 4 (B).5 2 (C).5 1 (D). 5 3 3.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1x =-,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为 ( ) (A).4 (B).5 (C).-6 (D).不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时, 底面边长为( ). (A).3V (B).32V (C).34V (D).32V 6.由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). (A).18 (B). 3 38 (C). 3 16 (D).16 7.曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1,则=a _________ 。 8.已知抛物线2y x bx c =++在点(12),处的切线与直线20x y ++=垂直,求函数2y x bx c =++的最值. 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程. 第一章导数及其应用测试题 一、 选择题 1.设x x y sin 12-=,则='y ( ). A .x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B .x x x x x 2 2sin cos )1(sin 2-+- C .x x x x sin )1(sin 22-+- D .x x x x sin ) 1(sin 22--- 2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ) . A . 54 B .52 C .51 D .5 3 3.已知2)3(',2)3(-==f f ,则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为( ). A .4- B .0 C .8 D .不存在 4.曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为( ). A .126-=x y B .1612-=x y C .108+=x y D .322-=x y 5.已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x , )0,(2x ,且)(x f 在1=x ,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为( ) A .4 B .5 C .6 D .不确定 6.在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3, 当)1,0(∈x 取得极大值,当)2,1(∈x 取得极小值,则 1 2 --a b 的取值范围是( ). A .)1,4 1( B .)1,2 1( C .)4 1,21(- D .)2 1,21(- 7.函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为( ). A .]21,21[2π e B .)2 1 ,21(2πe C .],1[2πe D .),1(2π e 8.积分 =-? -a a dx x a 22( ). 导数单元测试 【检测试题】 一、选择题 1. 设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A .'(1)f B .3'(1)f C .1 '(1)3 f D .以上都不对 2. 已知函数f (x )=ax 2 +c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D. 0 3 .()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()f x ,()g x 满足' ' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足( ) A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4.三次函数x ax y +=3 在()+∞∞-∈,x 内是增函数,则 ( ) A . 0>a B .0(word完整版)高二数学导数单元测试题(有答案)
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