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知识点四:平行四边形性质之角平分线的性质

知识点四:平行四边形性质之角平分线的性质
知识点四:平行四边形性质之角平分线的性质

6.1 平行四边形之角平分线性质

1、平行四边形的一个角的平分线分对边为3和4两部分,则平行四边形的周长为.

2、平行四边形两邻角的角平分线相交所成的角是()

A.锐角 B.直角 C.钝角 D.锐角或钝角

3、如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的角平分线BE交AD于E点,AB=5,ED=3,则平行四边形ABCD的周长为.

4、如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD、∠ADC的角平分线与BC分别交于E、F点,若AB=4,BC=7,则EF= .

5、如图,已知在平行四边形ABCD中,AB=4 cm,AD=7 cm,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于

点F,则DF=_____________ cm.

6、如图,已知:平行四边形ABCD中,∠BCD的平分线CE交边AD于E,∠ABC的平分线BG交CE于F,交AD于G.求证:AE=DG.

7、如图,已知平行四边形ABCD,DE是∠ADC的角平分线,交BC于点E.

(1)求证:CD=CE;

(2)若BE=CE ,∠B=80°,求∠DAE 的度数.

8、平行四边形ABCD 中,AB=3,BC=4,ABC ∠的平分线交AD 于点E ,BCD ∠ 的平分线交AD 于点F ,BE 、CF 交于点G ,FG=1。求:A ∠的度数。

9、如图14,已知四边形ABCD 是平行四边形,∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ,∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G.

(1)求证:AF=GB ;

(2)请你在已知条件的基础上再添加一个条件,使得△EFG 是等腰直角三角形,并说明理由.

图14

角的平分线教学设计

3.9角的平分线教学目标 1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用.2.理解原命题和逆命题的概念和关系,会找一个简单命题的逆命题.3.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。教学重点和难点角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点.性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点.教学过程设计一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明1,复习引入课题.(1)提问关于直角三角形全等的判定定理.(2)让学生用量角器画出图3-86中的∠AOB的角平分线OC.2.画图探索角平分线的性质并证明之.(1)在图3-86中,让学生在角平分线OC上任取一点P,并分别作出表示P点到∠AOB两边的距离的线段PD,PE.(2)这两个距离的大小之间有什么关系?为什么?学生度量后得出猜想,并用直角三角形全等的知识进行证明,得出定理.(3)引导学生叙述角平分线的性质定理(定理1),分析定理的条件、结论,并根据相应图形写出表达式. 3.逆向思维探求角平分线的判定定理.(1)让学生将定理1的条件、结论进行交换,并思考所得命题是否成立?如何证明?请一位同学叙述证明过程,得出定理2——角平分线的判定定理.(2)教师随后强调定理1与定理2的区别:已知角平分线用性质为定理1,由所给条件判定出角平分线是定理2.(3)教师指出:直接使用两个定理不用再证全等,可简化解题过程.4.理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.(1)角平分线上任意一点(运动显示)到角的两边的距离都相等(渗透集合的纯粹性).(2)在角的内部,到角的两边距离相等的点(运动显示)都在这个角的平分线上(而不在其它位置,渗透集合的完备性).由此得出结论:角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.二、应用举例、变式练习练习1填空:如图3-86(1)∵OC平分∠AOB,点P 在射线OC上,PD⊥OA于DPE⊥OB于E.∴(角平分线的性质定理).(2)∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴ OP 平分∠AOB()例1已知:如图3-87(a), ABC的角平分线BD和CE交于F.(l)求证:F到AB,BC和 AC边的距离相等;(2)求证:AF平分∠BAC;(3)求证:三角形中三条内角的平分线交于一点,而且这点到三角形三边的距离相等;(4)怎样找△ABC内到三边距离相等的点?(5)若将“两内角平分线BD,CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD,CE交于F,如图387(b),那么(1)~(3)题的结论是否会改变?怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点?共有多少个?说明:(1)通过此题达到巩固角平分线的性质定理(第(1)题)和判定定理(第(2)题)的目的.(2)此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法:先确定两条直线交于某一点,再证明这点在第三条直线上。(3)引导学生对题目的条件进行类比联想(第(5)题),观察结论如何变化,培养发散思维能力.练习2已知△ABC,在△ABC内求作一点P,使它到△ABC三边的距离相等.练习 3已知:如图 3-88,在四边形 ABCD中, AB=AD, AB ⊥BC,AD⊥DC.求证:点 C在∠DAB的平分线上.例2已知:如图 3- 89,OE平分∠AOB,EC⊥OA 于 C,ED⊥OB于 D.求证:(1)OC=OD;(2)OE垂直平分CD.分析:证明第(1)题时,利用“等角的余角相等”可得到∠OEC=∠OED,再利用角平分线的性质定理得到 OC=OD.这样处理,可避免证明两个三角形全等.练习4 课本第54页的练习.说明:训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力.三、互逆命题,互逆定理的定义及应用1.互逆命题、互逆定理的定义.教师引导学生分析角平分线的性质,判定定理的题设、结论,使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反,得出互逆命题、互逆定理的定义,并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子.教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系,其中任何一个做为原命题,那么另一个就是它的逆命题.2.会找一个命题的逆命题,并判定它是真、假命题.例3写出下列命题的逆命题,并判断(1)~(5)中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题:(1)两直线平行,同位角相等;(2)直角三角形的两锐角互余;(3)对顶角相等;(4)全等三角形的对应角相等;(5)如果|x|=|y|,那么x=y;(6)等腰三角形的两个底角相等;(7)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.说明:注意逆命题语言的准确描述,例如第(6)题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”.3.理解互逆命题、互逆定理的有关结论.例4 判断下列命题是否正确:(1)错误的命题没有逆命题;(2)每个命题都有逆命题;(3)一个真命题的逆命题一定是正确的;(4)一个假命题的逆命题一定是错误的;(5)每一个定理都一定有逆定理.通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义.四、师生共同小结1.角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么?2.三角形的角平分线有什么性质?怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点?3.怎样找一个命题的逆命题?原命题与逆命题是否同真、同假?五、作业课本第55页第3,5,6,7,8,9题.课堂教学设计说明本教学设计需2课时完成.角平分

(完整word版)角平分线的性质知识点小结及练习题

1 B A O E P D B D C A (第3题) (第2题) 角的平分线的性质及其练习题 1、尺规作图画角平分线 (1)、以O 为圆心,适当长为半径画弧,交OA 于M ,交OB 于N 。 (2)、分别以M 、N 为圆心,大于1/2MN 的长为半径画弧,两弧在∠AOB 的内部交于点C 。 (3)、画射线OC 。射线OC 即为所求。 2、角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 图形表示:若CD 平分∠ADB,点P 是CD 上一点PE ⊥AD 于点E ,PF ⊥BD 于点F , 则PE=PF 。 3、角的平分线的性质推论:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 图形表示:若PE ⊥AD 于点E ,PF ⊥BD 于点F ,PE=PF ,则PD 平分∠ADB 4、证明命题的步骤: (1)明确命题中的已知和求证; (2)根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证; (3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。 角平分线的性质(1) 一、选择题 1.用尺规作已知角的平分线的理论依据是( ) A .SAS B .AAS C .SSS D .ASA 2.如图,OP 平分∠AOB , PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,下列结论错误的是( ) A .PD =PE B .OD =OE C .∠DPO =∠EPO D .PD =OD 二、填空题 3.如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 是∠BAC 的角平分线,若BC =5㎝,BD =3㎝,则点D 到AB 的距离为______㎝. 三、解答题 4.已知:如图,AM 是∠BAC 的平分线,O 是AM 上一点,过点O 分别作AB ,AC 的垂线,垂足为F ,D ,

《角平分线的性质》(课时)教案

12.3 《角的平分线的性质》教案设计 (第1课时) 利川市忠路镇初级中学钟金荣 教案目标 知识与技能: 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法; 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法: 通过让学生经历观察演示,动手操作,合作交流,自主探究等过程,培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观: 培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,激发学生应用数学的热情。 教案重点: 掌握角平分线的尺规作图,理解角的平分线的性质并能初步运用。 教案难点: 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解; 2、对于性质定理的运用。 教案过程: 一、创设情景

学生结合导学案,独立思考,小组交流完成。 二、探究体验 探究一 学生在导学案上完成,请一名学生板书到黑板上。探究二:

结合图形写出已知,求证,分析后写出证明过程.教师归纳,强调定理的条件和作用.

三、合作交流 判断正误,并说明理由: (1)如图1,P 在射线OC 上,PE ⊥OA ,PF ⊥OB ,则PE =PF . (2)如图2,P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点,E 、F 分别在OA 、OB 上,则 PE =PF . (3)如图3,在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ,若P 到OA 的距离为3cm ,则P 到OB 的距离边为3cm . A O B P E 图2 图3 A B P E A O B P E F 图1

四、完成导学案练习 1.如图,△ABC 中,∠C =90°,AD 平分∠BAC ,AB =5, CD =2. 求:(1)点D 到AB 的距离; (2)△ABD 的面积. 2 五、课堂小结 六、作业 教材第51页第2、3题 七、板书设计: 12.3 角的平分线的性质

【精品】三角形角平分线专题讲解

【关键字】精品 二由角平分线想到的辅助线 口诀: 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线; ②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。 通常情况下,出现了直角或是笔直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 (一)、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试,但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的,希望同学们能掌握相关的几何规律,在解决几何问题中大胆地去猜想,按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1,∠AOC=∠BOC,如取OE=OF,并连接DE、DF,则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1.如图1-2,AB//CD,BE平分∠BCD,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。 分析:此题中就涉及到角平分线,可以利用角平分线来构造全等三角形,即利用解平分线来构造轴对称图形,同时此题也是证明线段的和差倍分问题,在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明,延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等,延长要证明延长后的线段与某条线段相等,截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等,进而达到所证明的目的。

角平分线的性质定理教案

角平分线的性质定理教案 慧光中学:王晓艳 教学目标:(1)掌握角平分线的性质定理; (2)能够运用性质定理证明两条线段相等; 教学重点:角平分线的性质定理及它的应用。 教学难点:角平分线定理的应用; 教学方法:引导学生发现、探索、研究问题,归纳结论的方法 教学过程: 一,新课引入: 1.通过复习线段垂直平分线的性质定理引出角平分线上的点具有什么样的特点 操作:(1)画一个角的平分线; (2)在这条平分线上任取一点P,画出P点到角两边的距离。 (3)说出这两段距离的关系并思考如何证明。 2.定理的获得: A、学生用文字语言叙述出命题的内容,写出已知,求证并给予证明, 得出此命题是真命题,从而得到定理,并写出相应的符号语言。 B、分析此定理的作用:证明两条线段相等; 应用定理所具备的前提条件是:有角的平分线,有垂直距离。 3.定理的应用 二.例题讲解: 例1:已知:如图,点B、C在∠A的两边上,且AB=AC,P为∠A内一点,PB=PC,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别是E、F。 求证:PE=PF (此题已知中有垂直,缺乏角平分线这个条件)

例2:已知:如图,⊙O与∠MAN的边AM交于点B、C,与边AN交于点 E、F, 圆心O在∠MAN的角平分线AQ上。 求证:BC=EF (此题已知中有角平分线,缺乏垂直这个条件) 三:课堂小结: ①应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是:有角的平分线,有垂 直距离; ②若图中有角平分线,,可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.四:巩固练习 1.已知:如图,△ABC中,D是BC上一点,BD=CD,∠1=∠2求证:AB=AC 分析:此题看起来简单,其实不然。题中虽然有三个条件(∠1= ∠2;BD=CD,AD=AD),但无法证明△ABD ≌△ACD,所以必须添加一些线帮助解题。

12.3《角平分线的性质》教学设计

12.3 《角的平分线的性质》教学设计 (第1课时) 授课教师: 教学目标 知识与技能: 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法; 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法: 通过让学生经历观察演示,动手操作,合作交流,自主探究等过程,培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观: 培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,激发学生应用数学的热情。 教学重点: 掌握角平分线的尺规作图,理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点: 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解; 2、对于性质定理的运用。 教学过程: 一、创设情景 生活中有很多数学问题: 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼,刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点,要从P 点建两条管道,分别与暖气管道和天然气管道相连。 问题1:怎样修建管道最短? 问题2:新修的两条管道长度有什么关系,画来看一看。 二、探究体验 要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线,工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线。出示仪器模型,介绍仪器特点(有两对边相等),将A 点放在角

的顶点处,AB 和AD 沿角的两边放下,过AC 画一条射线AE ,AE 即为∠BAD 的平分线。 学生口述,用三角形全等的方法证明AE 是∠BAD 的平分线。 多媒体展示实验过程。 把简易平分角的仪器放在角的两边时,平分角的仪器两边相等,从几何作图角度怎么画?BC =DC ,从几何作图角度怎么画? 让学生用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,把对折后的纸片继续折一次,折出一个直三角形(使第一次的折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕。 问题1:第一次的折痕和角有什么关系?为什么? 问题2:第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系,它们的长度有何关系? 如图:按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕.让学生分组讨论、交流,再利用几何画板软件验证结论,并用文字语言阐述得到的性质.(角的平分线上的点到角两边的距离相等) 结合图形写出已知,求证,分析后写出证明过程.教师归纳,强调定理的条件和作用. 三、合作交流 判断正误,并说明理由: (1)如图1,P 在射线OC 上,PE ⊥OA ,PF ⊥OB ,则PE =PF . (2)如图2,P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点,E 、F 分别在OA 、OB 上,则PE =PF . (3)如图3,在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ,若P 到OA 的距离为3cm ,则P 到OB 的距离边为3cm . 让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题: 问题:引例中两条管道的长度有什么关系?理由是什么? 四、例题讲解 O B A O B P E 图2 图3 A O B P E A O B P E F 图1

三角形角平分线专题讲解(精选.)

二由角平分线想到的辅助线 口诀: 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线; ②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。 通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 (一)、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试,但这 种尝试与猜想是在一定的规律基本之图1-1 B

上的,希望同学们能掌握相关的几何规律,在解决几何问题中大胆地去猜想,按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1,∠∠,如取,并连接、,则有△≌△,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1. 如图 1-2,,平分∠,平分∠, 点E 在上,求证:。 分析:此题中就涉及到角平分线, 可以利用角平分线来构造全等三角形,即利用解平分线来构造轴对称图形,同时此题也是证明线段的和差倍分问题,在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明,延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等,延长要证明延长后的线段与某条线段相等,截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等,进而达到所证明的目的。 简证:在此题中可在长线段上截取,再证明,从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证明。自已试一试。 例2. 已知:如图 1-3,2,∠∠,,求证⊥ 图1-2 D B C

角的平分线的性质教案

12.3 角的平分线的性质(1) 教学内容 本节课首先介绍作一个角的平分线的方法,然后用三角形全等证明角平分线的性质定理. 教学目标 1.知识与技能 通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理. 2.过程与方法 经历探究角的平分线的性质的过程,领会其应用方法. 3.情感、态度与价值观 激发学生的几何思维,启迪他们的灵感,使学生体会到几何的真正魅力. 重、难点与关键 1.重点:领会角的平分线的两个互逆定理. 2.难点:两个互逆定理的实际应用. 3.?关键:可通过学生折纸活动得到角平分线上的点到角的两边的距离相等的结论.利用全等来证明它的逆定理. 教具准备 投影仪、制作如课本图11.3─1的教具. 教学方法 采用“问题解决”的教学方法,让学生在实践探究中领会定理. 教学过程 一、创设情境,导入新课 【问题探究】(投影显示) 如课本图11.3─1,是一个平分角的仪器,其中AB=AD ,BC=DC ,将点A 放在角的顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射线AE ,AE 就是角平分线,你能说明它的道理吗? 【教师活动】首先将“问题提出”,然后运用教具(如课本图11.3─1?)直观地进行讲述,提出探究的问题. 【学生活动】小组讨论后得出:根据三角形全等条件“边边边”课本图11.3─1判定法,可以说明这个仪器的制作原理. 【教师活动】 请同学们和老师一起完成下面的作图问题. 操作观察: 已知:∠AOB . 求法:∠AOB 的平分线. 作法:(1)以O 为圆心,适当长为半径作弧,交OA 于M ,交OB 于N .(2)分别以M 、N 为圆心,大于MN 的长为半径作弧,两弧在∠AOB 的内部交于点C .(3)作射线OC ,射线OC?即为所求(课本图11.3─2). 【学生活动】动手制图(尺规),边画图边领会,认识角平分线的定义;同时在实践操作中感知. 【媒体使用】投影显示学生的“画图”. 【教学形式】小组合作交流. 二、随堂练习,巩固深化 课本P19练习. 【学生活动】动手画图,从中得到:直线CD 与直线AB 是互相垂直的. 【探研时空】(投影显示) 如课本图11.3─3,将∠AOB 对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论? 【教师活动】操作投影仪,提出问题,提问学生. 【学生活动】实践感知,互动交流,得出结论,“从实践中可以看出,第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ,第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离,这两个距离相等.” 论证如下: 1 2

角平分线的性质知识点小结及练习题

1 B A O E P D B D C A (第3题) (第2题) 角的平分线的性质及其练习题 1、尺规作图画角平分线 (1)、以O 为圆心,适当长为半径画弧,交OA 于M ,交OB 于N 。 (2)、分别以M 、N 为圆心,大于1/2MN 的长为半径画弧,两弧在∠AOB 的内部交于点C 。 (3) 、画射线OC 。射线OC 即为所求。 2、角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 图形表示:若CD 平分∠ADB,点P 是CD 上一点PE ⊥AD 于点E ,PF ⊥BD 于点F , 则PE=PF 。 3、角的平分线的性质推论:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 图形表示:若PE ⊥AD 于点E ,PF ⊥BD 于点F ,PE=PF ,则PD 平分∠ADB 4、证明命题的步骤: (1)明确命题中的已知和求证; (2)根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证; (3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。 角平分线的性质(1) 一、选择题 1.用尺规作已知角的平分线的理论依据是( ) A .SAS B .AAS C .SSS D .ASA 2.如图,OP 平分∠AOB , PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,下列结论错误的是( ) A .PD =PE B .OD =OE C .∠DPO =∠EPO D .PD =OD 二、填空题 3.如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 是∠BAC 的角平分线,若BC =5㎝,BD =3㎝,则点D 到AB 的距离为______㎝. 三、解答题 4.已知:如图,AM 是∠BAC 的平分线,O 是AM 上一点,过点O 分别作AB , AC 的垂线,垂足为F ,D ,且

《角的平分线的性质》同步练习(1)及答案

角的平分线的性质 知识点1:角平分线的性质 1.如图11.3-1所示,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC ,BC=20cm ,DB=17cm ,则D 点到AB 的距离是_________. 2.如图11.3-2所示,点D 在AC 上,∠BAD=∠DBC ,△BDC 的内部到 ∠BAD 两边距离相等的点有_______个,△BDC 内部到∠BAD 的两边、∠DBC 两边等距离的点有_____个. 图11.3-1 图11.3-2 图11.3-3 3.如图11.3-3,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ,CD=2,则点D 到AB 的距离是 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4.如图11.3-4,已知AC ⊥BC ,DE ⊥AB ,AD 平分∠BAC ,下面结论错误的是( ) A .BD+ED=BC B .DE 平分∠ADB C .A D 平分∠EDC D .ED+AC >AD 图11.3-4 图11.3-5 5.如图11.3-5,Q 是△OAB 的角平分线OP 上的一点,PC ⊥OA 于C ,PD ⊥OB 于D ,QE ⊥OB 于E ,FQ ⊥OQ 交OA 于F ,则下列结论正确的是 ( ) A .PA=P B B .PC=PD C .PC=QE D .QE=QF 6.如图11.3-6,AP 平分∠BAC ,PE ⊥AC ,PF ⊥AB ,垂足分别为E 、F ,点O 是 AP 上任一点(除A 、P 外).求证:OF=OE . B D A E A D C B A C B D A B C D E A O B P C D F E Q

七年级数学下册 角平分线的性质教案

第3课时 角平分线的性质 1.经历角的平分线性质的发现过程,初步掌握角的平分线的性质定理;(重点) 2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.(难点) 一、情境导入 问题:在S 区有一个集贸市场P ,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P 点建两条路,一条到公路,一条到铁路. 问题1:怎样修建道路最短? 问题2:往哪条路走更近呢? 二、合作探究 探究点一:角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,F 在AC 上,∠FDC =∠BDE .试说明:(1)CF =EB ;(2)AB =AF +2EB . 解析:(1)根据角平分线的性质,可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离,即DE =DC .再根据△CDF ≌△EDB ,得CF =EB ;(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全等,从而得到AC =AE ,然后通过线段之间的相互转化进行求解. 解:(1)∵AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB ,DC ⊥AC ,∴DE =DC .∵在△CDF 和△EDB 中,∵?????∠C =∠DEB =90°,DC =DE ,∠FDC =∠BDE , ∴△CDF ≌△EDB (ASA).∴CF =EB ; (2)∵AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB ,DC ⊥AC ,∴∠CAD =∠EAD ,∠ACD =∠AED =90°.在△ADC 和△ADE 中,∵?????∠CAD =∠EAD ,∠ACD =∠AED ,AD =AD , ∴△ADC ≌ △ADE (AAS),∴AC =AE ,∴AB =AE +BE =AC +EB =AF +CF +EB =AF +2EB .

初二数学知识点归纳角平分线的定义

初二数学知识点归纳:角平分线的定义 初二数学知识点归纳:角平分线的定义 角平分线的性质一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线,还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。二、知识要点 1、角平 分线的定义:从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。如下图:OC平分∠AOB ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】如第一个图:∵OC平分 ∠AOB(或∠1=∠2),PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道 △OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边,直角边斜边) 3、角的平分线的判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。如第一个图:∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2)一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关 题型。其实不仅仅是角平分线,还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。 二、知识要点 1、角平分线的定义:从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 OC平分∠AOB ∵OC平分 ∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2),PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边,直角边斜边) 3、角的平分线的判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平 分线上。∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2) 4、线段的中点的定义:把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线 段的中点。∵C是AB的中点∴AC=BC 5、垂直的定义:两条直线相交所成的四个角中有一个是直角,这两条直线互相垂直。如图:【重点】∵AB⊥CD ∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90° 或∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD 注意:要判断两条直线垂直,只要知道这两条相交直线所 形成的四个角中的一个角是直角就可以了。反过来,两条直线互相 垂直,它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质:全等三角

角平分线的性质 知识点

角平分线的性质 一、本节学习指导 角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线,还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。本节有配套免费学习视频。 二、知识要点 1、角平分线的定义:从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 如下图:OC平分∠AOB ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】 如第一个图: ∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2),PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边,直角边斜边) 3、角的平分线的判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 如第一个图: ∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2)

4、线段的中点的定义:把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。 如下图: ∵C是AB的中点 ∴AC=BC 5、垂直的定义:两条直线相交所成的四个角中有一个是直角,这两条直线互相垂直。 如图:【重点】 ∵AB⊥CD ∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90° 或∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD 注意:要判断两条直线垂直,只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的 一个角是直角就可以了。反过来,两条直线互相垂直,它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。 ∵△ABC≌△A'B'C' ∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'; ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C'

《角平分线的性质》教案

12.3 《角的平分线的性质》教案 台前县吴坝镇中学李桂香 一、教学背景的分析 1、教学内容 本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的。内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。作角的平分线是基本作图,角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径,体现了数学的简洁美,同时也是全等三角形知识的延续,又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。因此,本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理,符合学生的心理特点和认知规律。 2、学生 刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强,但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱,思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺,需要在课堂教学中进一步加强引导。根据学生的认知特点和接受水平,我把第一课时的教学任务定为:掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题,同时为下节判定定理的学习打好基础。 3、教学环境 利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境,在这种情境下,通过思考和操作活动,研究数学现象的本质和发现数学规律。 4、教学重点、难点 本节课的教学重点为:掌握角平分线的尺规作图,理解角的平分线的性质并能初步运用。教学难点是:1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解;2、对于性质定理的运用。 教学难点突破方法:(1)利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容,在学生脑海中加深印象,从而对性质定理正确使用;(2)通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题;(3)通过多媒体创设具有启发性的问题情境,使学生在积极的思维状态中进行学习。 二、教学目标的确定

(完整版)初中数学之三角形中线、高线、角平分线知识点

初中数学之三角形中线、高线、角平分线知识点 我们在学习三角形的时候,学到好多“线”,比如:中线、角平分线、垂线、高线等等。它们都是三角形里面比较重要的东西,也是比较重要的知识点。 如图所示,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD是△ABC的中线,则△ABD与△ADC的周长之差为多少? 这道题题目比较简单,很容易得出答案是2。 三角形的中线

在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边,所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。 三角形中线性质定理:1、三角形的三条中线都在三角形内。 2、三角形的三条中线交于一点,该点叫做三角形的重心。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4. 三角形的角平分线

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线不是角的平分线,是线段。角的平分线是射线。(这是三角形的角平分线与角平分线的区别) 角平分线线定理:定理1:在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。逆定理:在一个角的内部(包括顶点),且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。定理2:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例,如:在△ABC中,BD平分∠ABC,则AD:DC=AB:BC注:定理2的逆命题也成立。三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等!(即内心)。 三角形的高线

从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。线段的垂直平分线:经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。注意:要证明一条线为一个线段的垂直平分线,应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 垂直平分线的性质:1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等。 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等。垂直平分线的逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

三角形内角平分线的性质定理的证明

三角形内角平分线的性质定理的证明 一、定理 三角形内角平分线分对边为两部分与两邻边成比例. 二、证明 已知:如图,2∠1∠=. 求证: BC AC BD AD =. 方法一:利用平行线作等比代换. 证明:作DE//BC ,DE 交AC 于点E ,则EC AE BD AD =.3∠2∠=,BC AC DE AE = 又2∠1∠=,∴3∠1∠=,于是DE=EC. ∴BC AC DE AE BD AD == 方法二:应用平行线分线段成比例定理,等比代换中辅以等量代换. 如图,作BE//DC ,BE 交AC 的延长线于点E ,则CE AC BD AD =,E ∠1∠=,3∠2∠=.

又2∠1∠=,得E ∠3∠=,于是 BC=CE , 则BC AC BD AD =. 方法三:进行逆推分析,若在AC 的延长线上作一个CE=BC ,则只要BE//DC. 延长AC 到点E ,使CE=BC ,连接BE ,则)(E ∠3∠21 3∠+=.又∠ACB 2 12∠=, ∠E ∠3∠+=ACB ,∴3∠2∠=,于是 BE//DC. 则CE AC BD AD ==BC AC . 证法4:如图20.改变△ADC 的一个内角的大小,把它改造为△AEC ,使之与△BDC 相似并作等量代换. 第一种情况:当BC AC ≠ 时,不妨设BC AC >,B CAB ∠∠<,以AC 为一边,在CAB ∠的同侧,作B CAE ∠∠=,AE 与CD 的延长线交于点E.又2∠1∠=,∴△ACE ∽△BCD. 则BC BD AC AE =,而E CA E B ∠∠-1∠-180∠-2∠-1804∠3∠=°=°==. ∴AE=AD ,于是 BC BD AC AD =,即BC AC BD AD =.

初二数学上册知识点:角平分线的性质知识点

初二数学上册知识点:角平分线的性质知识点 初二数学上册知识点:角平分线的性质知识点 一、本节学习指导 角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线,还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。 二、知识要点 1、角平分线的定义:从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 如下图:OC平分∠AOB ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】 如第一个图: ∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2),PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边,直角边斜边) 3、角的平分线的判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 如第一个图:

∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2) 4、线段的中点的定义:把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。 ∵C是AB的中点 ∴AC=BC 5、垂直的定义:两条直线相交所成的四个角中有一个是直角,这两条直线互相垂直。 如图:【重点】 ∵AB⊥CD ∴∠AOC=∠AOD=∠BOC=∠BOD=90° 或∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD 注意:要判断两条直线垂直,只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的 一个角是直角就可以了。反过来,两条直线互相垂直,它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。 ∵△ABC≌△A'B'C' ∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C';∠A=∠A',∠B=∠B', ∠C=∠C'

角平分线的性质1

课 题:11.3 角的平分线的性质(1) 课 型:新授课 教学目标: 1、知识与技能:应用三角形全等的知识,解释角平分线的原理.会用尺规作一个已知角的 平分线. 2、过程与方法:通过操作、探究角的平分线的性质 3、情感、态度与价值观:敢于面对教学活动中的困难,能通过合作交流解决遇到的困难。 教学重点:利用尺规作已知角的平分线. 教学难点:角的平分线的作图方法的提炼。 教学方法:探究、合作交流 教学资源:三角尺、圆规、纸张 教学过程 一.提出问题,创设情境 三角形中有哪些重要线段.你能作出这些线段吗? 二.导入新课 议一议:下图是一个平分角的仪器,其中AB=AD ,BC=DC .将点A 放在角的顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射线AE ,AE 就是角平分线.你能说明它的道理吗? 要说明AC 是∠DAC 的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB . ∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中,那么证明这两个三角形全等就可以了. 看看条件够不够. AB AD BC DC AC AC =??=??=? 所以△ABC ≌△ADC (SSS ). 所以∠CAD=∠CAB . 即射线AC 就是∠DAB 的平分线. 作已知角的平分线的方法: 已知:∠AOB .求作:∠AOB 的平分线. 作法: (1)以O 为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA 、OB 于M 、N . (2)分别以M 、N 为圆心,大于2 1MN 的长为半径作弧.两弧在∠AOB 内部交于点C . (3)作射线OC ,射线OC 即为所求. 议一议: 1.在上面作法的第二步中,去掉“大于2 1MN 的长”这个条件行吗? 2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗? 总结: 1.去掉“大于2 1MN 的长”这个条件,所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的平分线.

(完整版)利用角平分线构造全等三角形

善于构造 活用性质 安徽 张雷 几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题. 1.显“距离”, 用性质 很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身(过角平分线上的一点向角的两边作垂线段) 例:三角形的三条角平分线交于一点,你知道这是为什么吗? 分析:我们知道两条直线是交于一点的,因此可以想办法证 明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点. 已知:如图,△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ,求证:点I 在∠ACB 的平分线上. 证明:过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ,垂足分别是点 H 、G 、F . ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上,且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH=IG (角平分线上的点到角的两边距离相等) 同理 IH=IF ∴IG=IF (等量代换) 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC ∴点I 在∠ACB 的平分线上(到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上).即:三角形的三条角平分线交于一点. 【例2】已知:如图,PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线,?它们交于点P ,PD ⊥BM 于D ,PF ⊥BN 于F . 求证:BP 为∠MBN 的平分线. 【分析】要证BP 为∠MBN 的平分线,只需证PD=PF ,而PA 、PC 为外角平分线,?故可过P 作PE ⊥AC 于E .根据角平分线性质定理有PD=PE ,PF=PE ,则有PD=PF ,故问题得证. 【证明】过P 作PE ⊥AC 于E . ∵PA 、PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线.且PD ⊥BM ,PF ⊥BN ∴PD=PE ,PF=PE,∴PD=PF 又∵PD ⊥BM ,PF ⊥BN,∴点P 在∠MBN 的平分线上, D C A E H I F G

角平分线的性质和判定(人教版)(含答案)

角平分线的性质和判定(人教版) 试卷简介:本套试卷主要测试学生角平分线的性质和判定,检测学生数学中“见到什么想什么”的模块化思维过程,逐步培养学生数学学习中有序思考的能力。 一、单选题(共10道,每道10分) 1.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( ) A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP 答案:D 解题思路: ①根据角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,可以得到PA=PB,A正确; ②角平分线可以看成一个角的对称轴,对称轴两侧的图形全等,即△APO≌△BPO, ∴B,C正确. 只有D选项不一定正确,所以选D 试题难度:三颗星知识点:角平分线的性质 2.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B

解题思路: ①如图, 过点P向OM作垂线,垂足为Q.根据直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短,PQ 即为最小值; ②根据角平分线的性质,PQ=PA=2,选B 试题难度:三颗星知识点:垂线段最短 3.如图,已知点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC等于( ) A.110° B.120° C.130° D.140° 答案:A 解题思路: ①由点O到△ABC三边的距离相等,可知点O是△ABC三个角的角平分线; ②设, 分别在△ABC和△BOC中利用三角形内角和定理, 可得:,整体代入可得: ,选A

试题难度:三颗星知识点:角平分线的性质与判定 4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,给出下列结论:①DC=DE;②DA平分∠CDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB;⑤∠BAC=∠BDE.其中正确的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案:C 解题思路: (1)根据角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,可以得到DE=DC, ∴①正确; (2)角平分线可以看成一个角的对称轴,对称轴两侧的图形全等,即△ADC≌△ADE, ∴∠EAD=∠CAD,AE=AC, ∴②,④正确,③不正确; (3)∵∠BAC+∠B=90°,∠BDE+∠B=90°,根据同角的余角相等, ∴∠BAC=∠BDE, ∴⑤正确; 综上,正确序号为①②④⑤,共有4个,选C 试题难度:三颗星知识点:角平分线的性质 5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和 N,再分别以M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点 D,则下列说法中正确的是( ) ①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③DA=DB;

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