二分法
例 证明方程1－x －sin x ＝0在区间[0，1]内有唯一实根，如果使用二分法求该区间内的根，且误差不超过0.5×10－4，试问需要二分区间[0，1]多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0
∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根。又
f '(x )= －1－c os x <0 (x ∈[0，1])，故f (x )＝0在区间[0，1]内有唯一实根。
给定误差限ε＝0.5×10－4，有
7287.1312
ln 10ln 45.0ln 12ln ln )ln(=-+-=---≥εa b k 故只要取n ＝14即可。
练习 证明方程e x +10x －2＝0在区间[0，1]内有一个根，如果使用二分法求该区间内的根，且误差不超过10－6，试问需要二分区间[0，1]多少次？ 证明 令f (x )＝e x +10x －2， ∵ f (0)=-1<0，f (1)=e+8> 0
∴ f (x )= e x +10x －2 =0在[0，1]有根。又
f '(x )= e x +10 >0(x ∈[0，1])，故f (x )＝0在区间[0，1]内有唯一实根。 给定误差限10－6，有
12
ln 10ln 612ln ln )ln(-=---≥εa b k 只要取k ＝19次.
第1章第1章 插值法
三、例题：
例1 已知函数y =f (x )的观察数据为下表，试构造拉格朗日多项式 L n (x )， 并计算
解： 先构造基函数
84)
5)(4()52)(42)(02()5)(4()(0---=--------=
x x x x x x x l
40)
5)(4)(2()50)(40))(2(0()5)(4)(2()(1--+=------+=
x x x x x x x l
24
)
5)(2()54)(04)(24()5()2()(2-+-=--+-+=
x x x x x x x l
35
)
4)(2()45)(05)(25()4)(0)(2()(3-+=
--+--+=
x x x x x x x l 所求三次多项式为
L 3(x )
35)4)(2(24)5)(2()3(40)5)(4)(2(84)5)(4(5-++
-+?----++--?-=x x x x x x x x x x x x ＝1+21
55-14
1-42
523x x x
L 3(－1)＝7
24
12155141425=
++--
例2 已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487, sin0.36=0.352274, 用线性插值及抛物插值计算 sin0.3367 的值并估计截断误差。
解： 由题意取x 0=0.32, y 0=0.314567 , x 1=0.34 ,y 1=0.333487 , x 2=0.36 , y 2=0.352274 。
用线性插值及抛物插值计算，取 x 0=0.32 及 x 1=0.34 , 又由公式得
sin0.3367≈L 1(0.3367)= )x - (0.3367y 00*0
10
1x x y y --+
=0.01670.02
0.01892
0.314567*+ =0.330365 . 其截断误差得))((2
)(102
1x x M
R x x x --≤
其中)(//
1
max 2
x f x
x x M ≤≤=
，因 f(x)=sinx ，f //(x)= -sinx ，
可取3335.0)(11
)(max 2
≤==
≤≤x Sin x Sin x
x x M ，于是
∣R 1(0.3367)∣=∣sin 0.3367 –L 1(0.3367)∣ ≤1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033)≤0.92?10–5，
若取x 1=0.34，x 2=0.36为节点，则线性插值为
330387
.0)0033.0(02
.0018787
.0333487.0)
3367.0(3367.01~0.3367sin 1121
21)(=-+=---+=≈x x x y y y L ，
其截断误差为))((2
)(~
212
1x x M
x x x R --≤
，
其中3523.0)(//
2
1
2max ≤≤≤=
x x
x x f M
于是
51036.1)0233.0)(0023.0)(3523.0(2
1
)
3367.0(1~
3367.0sin )3367.0(1~-?≤≤-=L R
用抛物插值计算 sin0.3367时，可得
330374
.00008
.0105511.0352274.00004.01089.3333487.00008.0107689.0314567.0)
3367.0()
)(()
)(())(())(())(()
)((3367.0sin 4
4421202102
2
1012012010210y =?-?
+??+??==----+
----+----≈---L x x x x x x y
x x x x x x y x x x x x x x x x x x x 这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精
度已相当高了。其截断误差得 ))()((6
|)(2103
1
|x x x x x x x M
R ---≤
其中828.0)(0cos ///
2
max 3<=≤≤=x x M f x
x x
于是
6
2
210178.0 )0233.0)(033.0)(0167.0)(828.0(6
1
)3367.0(3367.0sin )3367.0(L -?<≤-=R 练习：已知函数y =ln x 的函数表如下：
解 线性插值。取两个节点110=x ，121=x ，插值基函数为
)12()(1010--=--=
x x x x x x l 11)(0
10
1-=--=x x x x x x l 由式（1-4）得
)11(4849.2)12(3979.2)(1-+--=x x x L
将5.11=x 代入，即得
4414.25.04849.25.03979.2)5.11(5.11ln 1=?+?=≈L
按式（1-12）得
)12)(11(!
2)(ln )(1x x x x R --''=
ξ
因为21
)(ln x
x -
=''，ξ在11与12之间，故 ξ
)(ln ''x =0082645.011
1
1
2
2
=≤
ξ 于是
311003306.15.05.00082645.02
1
)5.11(-?=???≤
R 抛物线插值。取110=x ，121=x ，132=x ，插值多项式为
)
1213)(1113()
12)(11(5649
.2)
1312)(1112()
13)(11(4849.2)1311)(1211()13)(12(3979.2)(2----+
----+----=x x x x x x x L
)
12)(11(28245.1)13)(11(4849.2)13)(12(19895.1--+
-----=x x x x x x
所以
+-??--?-?=≈)5.1(5.04849.2)5.1()5.0(19895.1)5.11(5.11ln 2L
442275.2)5.0(5.028245.1=-??
因为3
2
)(ln x x =
'''，于是 2
313
11101503.011
2)(ln max -≤≤?=≤
'''x x 因此用抛物线插值计算的误差为
)135.11)(125.11)(115.11(!
3)(ln )5.11(2---'''=
ξ
x R
5
2103938.95
.15.05.0101503.06
1
--?=?????≤
查表可得442347.25.11ln =。 例 给定函数
)(x f y =的函数表
写出函数
)(x f y =的差商表。
小结：①牛顿(Newton) 差商插值多项式)(x N n 次数不超过n ，项数不超过n+1，各项系数是是各阶差商； ① 节点上)()(x f x N n =
，即
n)0,1,2(i ===i i i n y x f x N )()(
③增加一个节点时，只须在)(x N n 得名基础上再增加最后一项，其余各项
不变。
例如当n=1时，取 , 10x x 进行插值，有
N 1(x)= f(x 0)+f[x 0, x 1](x- x 0)
当n=2时，取210x x x , , 进行插值，有
N 2(x)= f(x 0)+f[x 0, x 1](x- x 0) +f[x 0,x 1,x 2](x- x 0)(x- x 1)
＝N 1(x)+ f[x 0,x 1,x 2](x- x 0)(x- x 1)
练习：试列出f (x )=x 3 在节点x =0，2，3，5，6上的各阶差商值。 例 对上例的中的)(x f ，求节点为
10,x x 的一次插值多项式，节点为
210,,x x x 的二次插值多项式和节点为3210,,,x x x x 的三次插值多项
式。
由上例知
17)(0=x f ，8],[10-=x x f ，3],,[210=x x x f ，
1],,,[4210=x x x x f ，于是有
x x x N 81)2(817)(1--=+-=
)
)(](,,[)](,[)()(1021001002x x x x x x x f x x x x f x f x N --+-+=1
23)2(381)(2
2--=++--=x x x x x x N
)
)()(](,,,[))(](,,[)](,[)()(21032101021001003x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N ---+
--+-+=
1
44)1()2(123)
1()2()()(2
3
2
23--+=-++--=-++=x x x x x x x x x x x x N x N 练习已知函数表(见下表)，试用牛顿插值公式求)(2x N ，并计算)5.1(f 的近似
值。
解：列出差商表：
)
](,[)()(01001x x x x f x f x N -+=625
.0)5.1()5.1(2-==≈ N f 8
5.95.25.2)3)(1(5.0)1(1],,[)(22101010002+-=?--+?-+==∴x x x x x x x x f f x N
复习 默写 牛顿插值公式
N n (x)= f(x 0)+f[x 0, x 1](x- x 0) +f[x 0,x 1,x 2](x- x 0)(x- x 1)+…+
f[x 0, x 1 ,…,x n ] (x- x 0)…(x- x n-1)
例. 给定单调连续函数y ＝f(x)的函数值表如下
求方程f(x)＝0的根的尽可能好的近似值
解：分析如果直接运用插值公式，可以求得4次插值多项式。从而可以得到一元4次方程。然而我们没有可靠的办法直接解高次方程。
因为函数y ＝f(x)单调连续，所以f(x)必存在反函数x ＝f -1(y) 利用已知函数值表可知
建立差商表
得到牛顿插值
)
11)(1)(5)(10(0.000072 )1)(5)(10(0.001272)5)(10(012121.0)10(2.02)(4--+++-++-+++++-=y y y y y y y y y y y N 709250
.0)0()0(41≈≈=-N f x 特别注意：反插值只有在y = f (x )为单调函数才能使用。 例.已知函数表
求函数y ＝f(x)在[0，2]上零点的近似值
解：由于y i 是严格单调的，可用反插值求其零点。可先求出插值多项式
)(y x ?=，并令y ＝0
0.445
2)
5.718)(818()
5.70)(80(1)185.7)(85.7()180)(80(0)188)(5.78()180)(5.70( )0())(())(())(())(())(()
)(()(2
12021012101200201021=?+---+-+?+---+-+?++++==----+----+----==??x x y y y y y y x y x y y y y y y y y x y y y y y y y y y x 1
练习. 给定单调连续函数y ＝f(x)的函数值表如下
求方程f(x)＝0的根的尽可能好的近似值 解：利用函数值表
建立差商表
得到牛顿插值
)
11)(1)(5)(10(0.000072 )1)(5)(10(0.001272)5)(10(012121.0)10(2.02)(4--+++-++-+++++-=y y y y y y y y y y y N 709250.0)0()0(41≈≈=-N f x
练习2 已知函数表
求函数y ＝f(x)在[0，2]上零点的近似值
解：由于y i 是严格单调的，可用反插值求其零点。可先求出插值多项式
)(y x ?=，并令y ＝0
0.445
2)
5.718)(818()
5.70)(80(1)185.7)(85.7()180)(80(0)188)(5.78()180)(5.70( )0())(())(())(())(())(()
)(()(2
12021012101200201021=?+---+-+?+---+-+?++++==----+----+----==??x x y y y y y y x y x y y y y y y y y x y y y y y y y y y x
例. 给定函数y ＝f(x)的函数值表如下，已知该函数是一个多项式，试求其次数及x 的最高幂的系数
由牛顿插值公式得
f (x)＝－7＋3（x -0）+3（x -0）(x -1)+（x -0）(x -1) (x -2) ＝x 3+2x -7 故 x 3的系数为1
例 求一个次数不高于
解：设P 2(x )满足 P 222P 2(x )＝3x 2-7x +6
为求得P 3(x )，根据插值条件知，P 3(x )应具有下面的形式 P 3(x )＝P 2(x )＋k (x -1) (x -2) (x -3)，这样的P 3(x )自然满足：
P 3(x i )= f (x i )
由P 3’(2 )=3
P 3’(2 )= P 2’(2 )+k [(2-2) (2-3)+ (2-1) (2-3)+ (2-1) (2-2)] = P 2’(2 )－k = 3 ∵ P 2’(2 ) = 5 ∴k = 2
∴ P 3(x )＝P 2(x )＋2(x -1) (x -2) (x -3) ＝2x 3-9x 2+15x -6
第二章 例 试构造求积公式)4
3
()41()(1010f A f A dx x f +≈?使其代数精度尽可能高，并证明
构造出的求积公式是插值型的。
解：设原式对于f=1，f=x 精确，可列方程
?????=+=+2
1434111010
A A A A ?21 1
0==A A 这样构造出的求积公式是)4
3
(21)41(21)(10f f dx x f +≈?
设43 , 4110==x x 易知拉格朗日插值基函数分别为2
3
2)(0+-=x x l ，
2
1
2)(1-=x x l
21)(100=?dx x l 2
1)(101
=?dx x l 故所求积公式是插值型的。 练习：用两种方法计算
试构造形如)4
3
()21()41()(21010f A f A f A dx x f ++≈? 的插值型求积公式，并指明
该求积公式所具有的代数精度。
解 按题设原式是插值型的，故有
32434121414321100=??
? ??-??? ??-??? ??-??? ??-=?dx x x A
同样，容易计算出
32
02==A A ，于是有求积公式
??
? ??+??? ??-
??? ??≈?
43322131
4132)(1
f f f dx x f 由于原式含有3个节点，按定理1它至少有2阶精度。考虑到其对称性，可
以猜到它可能有3阶精度。事实上，对于3
)(x
x f =原式左右两端相等。此
外，容易验证原式对4
)(x
x f =不准确，故所构造的求积公式确实有3
阶精度。
2.2 牛顿-柯特斯求积公式
特例：
①当n=1的牛顿-柯特斯公式为：梯形公式
②当n=2 时 牛顿-柯特斯公式为：辛普森(Simpson)公式
.
2
1
.
)(21)(21
)()
()()1(1)1(0
1
0)1(==??
? ??+-=-=∑=C C b f a f a b x f C a b k k k T 3
1432141214341101-=??
? ??-???
??-??? ??-??? ??
-=?dx x x A
③当n=4 时 牛顿-柯特斯公式为：柯特斯公式
[])(7)(32)(12)(32)(790
43210x f x f x f x f x f a
b C ++++-=
这里x k =a +k h (k =0,1,…,4), h =(b-a)/4 练习1 用n=6牛顿—柯特斯公式计算定积分?
1
0dx
的值(下列数据表作为参考) 解：h=(b-a)/n=1/6，x i =0+i/6=i/6
∑=-=n
i i n i
x f c a b I 0
)
()()(
6933.021
840416
51135932112809211110534311128097635984041=?
++?++?++?++?+?+=
练习2 分别利用梯形公式、Simpson 公式和柯特斯公式计算积分 ?
1
0dx e x 的值
解：（1）梯形公式
（2）Simpson 公式
（2）柯特斯公式
.
6
4;61.)()2(4)(6)(61)2(64)(61)()
()()2(1)
2(2)2(02
)2(===??
????+++-=?
?
?
???+++-=-=∑=C C C b f b a f a f a b b f b a f a f a b x f C a b k k k S 7188612.1]4[6112
101
0=++≈?e e e dx e x 9
140 859.1][21101
0=+≈?e e dx e x
7182827.1]73212327[90114
3
214101
=++++≈?e e e e e dx e x
练习3 当n ＝1，2，3时，分别用牛顿－柯特斯公式计算积分
?=1
0sin dx x
x I 的值。
解： 取x
x
x f sin )(=
当n ＝1时，9207354.0)8414709.01(21
)]1()0([21sin 10=+=+≈=?f f dx x x I 当n ＝2时，9461359.0)]1()21
(4)0([61sin 10=++≈=?f f f dx x x I 当n ＝3时，9461109.0)]1()3
2
(3)31(3)0([81sin 10=+++≈=?f f f f dx x x I
练习1 试检验下列求积公式的代数精度。
??
?
??+??? ??-??? ??≈?
433221314132)(1
f f f dx x f
解
记
?=1
)()(dx x f f I
??
? ??+??? ??-
??? ??=4332213
14132)(~
f f f f I 因为
?
==1
011)(dx f I 113
2131132)(~
=?+?-?=f I
?==102
1
)(xdx f I 21433221314132)(~=?+?-?=f I
?==1
02
31)(dx x f I 3
116932413116132)(~
=?+?-?=f I
?=
=1
03
4
1
)(dx x f I
4
1642732813164132)(~
=?+?-?=f I
?=
=1
04
5
1
)(dx x f I
5
1433221314132)(~
4
4
4
≠??? ???+??? ???-??? ???=f I
当4)(x x f =时左右两端不等，故所给求积公式仅有三阶精度。
练习2：判别下列求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度：
[])2()1(2
3
)(3
f f dx x f +≈?
解 这里关于拉格朗日插值基函数)(),(10x l x l 直接求积知
23
)()(3
013
00=≈??dx x l dx x l
因此所给求积公式是插值型的。
按定理1，含有2个节点的求积公式至少有1阶精度。再考察
2)(x x f =，
原式左端9=，而右端)41(2
3
+=，左右两端不相等。因此所给求积公式仅
有1阶精度。
2.2.4 复化求积公式
。例 取9个等距节点（包括区间端点）分别用复化梯形公式和复化辛甫生
公式求积分?+102
14x dx
的近似值（取6位小数）
解：易知125.08
1
==h 列表如下
对复化梯形公式
223818
.50)(2872101=++++=∑f f f f f 138989.321411
02=∑≈+?h
x dx
对复化辛甫生公式
389224.7542424248765432102=++++++++=∑f f f f f f f f f
练习 利用n ＝5的复化辛甫生公式计算积分?
+=1
01x
dx
I 的近似值. 分析：n ＝5，需要2×5＋1＝11个点的函数值，h=(1-0)/5=1/5， 然后计算。
解： 区间长度为b-a=1, n ＝5，h=1/5=0.2
所需节点x k =0+k h (k =0,1,…,5),在每个小区间[x k-1, x k ]中还要计算
]
)(4)(2)()([61
02
111∑∑-=+-=+++=n k k n k k n x f x f b f a f h
S 69315
.0]1
11
)9.0117.0115.0113.0111.011(4)8
.011
6.0114.0112.011(2011[5161=+++++++++++?++++++++?++??=∴ S 5
例. 依次利用n ＝8的复化梯形公式和n ＝4时的复化辛甫生公式计算定积分dx x x
I ?
=1
0sin ，已知函数x
x x f sin )(= 的数据如下表 )
51,2,k ( =+=-+
-h x x
k k 2
1
12
1
1141593
.3621421
02=∑≈+?h
x dx
解 :
])(2)()([2)(1
1
∑?
-=++=≈n k k b
a
n x f b f a f h
T dx x f
9456909
.0]
)(2)1()0([161
1
1
8=++=∴∑-=n k k x f f f T )
(2)(4)()([6)(1
1102
1∑∑?
-=-=++++=≈n k k n k k n b
a
x f x f b f a f h
S dx x f ∴ ])(2)(4)1()0([241
3
1302
14∑∑==++++=k k k k x f x f f f S 9460832.0]
)]4
3
()42()41([2)]87
()85()83()81([4)1()0([241]
)(2)(4)1()0([241
30302
14=+++++++++=
+++=∑∑==+ f f f f f f f f f x f x f f f S k k k k
2.3 龙贝格算法
例. 用变步长梯形公式计算定积分dx x
x
I ?
=1
0sin . 解：我们先对整个区间[0，1]使用梯形公式.对于函数x
x
x f sin )(=，有1)0(=f ，
而
8414709.0)1(=f ，据梯形公式计算得：
9207355.0)]1()0([2
11=+-=
f f T
然后再计算中点的函数值9588510.0)2
1
(=f ，从而据
)(2211
02
12∑-=++=n k k n n x f h T T 有9397933.0)21(212112=+=f T T .以此类推
9445135.0)]4
3
()41([412124=++=f f T T …
这样不断二分下去，二分10次可以得到比较精确的值0.9460381.
练习：用变步长梯形公式计算积分?+=102
12x dx I ，要求2
1105.0-+?≤-k k T T 解：设2
12
)(x x f +=，应用变步长梯形公式有
5695.1)]875.012625.012375.012125.012(415656.1[21)]
87()85()83()81([81215656.1)]75
.01225.012(2155.1[21)]75.0()25.0([412155.1)5.0125.1(21)5.0(21215.1)112
012(21)]1()0([20122224822242
12221≈++++++++=++++=≈++++=++==++=+==+++=+-=
f f f f T T f f T T f T T f f T ∵248105.00039.0-?≤=-T T ∴取5695.1≈I
第3章 常微分方程插分法 3.1欧拉方法
1 欧拉格式（公式） 例1 求解初值问题
??
??
?=<<-
='
1)0()
10(2y x y x y y
解 为便于进行比较，本章将多种差分方法求解上述初值问题。这里先用欧拉方
法。求解方程(3-8)的欧拉格式具有形式
????
?
?-+=+n n n n n y x y h y y 21 取步长1.0=h ，计算结果见下表。
例1有解析解
x y 21+=，我们将解的准确值)(n x y 同近似值
n y 一起列在上表中，两者比较后可以看出欧拉方法的精度很低。
为简化分析，人们常在
)
(n n x y y =的前提下估计误差
11)(++-n n y x y 。这种误差称为局部截断误差。
例2 用欧拉方法计算初值问题
?
??=+='0)0(10022y y x y 的解函数)(x y 在x = 0.3时的近似值。（取步长h ＝0.1，小数点后至少保留4位） 解：欧拉格式为：
)
100(1.0)100(22221n
n n n n n n y x y y x h y y +?+=++=+由
?= 0)0(y
0000.0)1.0(1=≈y y
0010.01.01.0)2.0(22=?=≈y y
0050.0)0010.01002.0(1.0)3.0(2
223=?+?+=≈y y y
3.2 隐式欧拉格式
设改用向后差商
h
x y x y n n )
()(1-+替代方程
))(,()(111+++='n n n x y x f x y
中的导数项
)(1+'n x y ，再离散化，即可导出下列格式
,2,1,0),,(111=+=+++n y x hf y y n n n n
(3-5)
3.4 改进的欧拉方法
。练习：用梯形格式求解初值问题?
??=≤≤-='2)1(2)
x (1 , 38y y y ，取步长h ＝0.2，
小数点后至少保留五位 解：梯形格式为
)],(),([2111+++++
=n n n n n n y x f y x f h
y y ，于是 1316137 , ]3838[22
.0111+
=?
-+-+=+++n n n n n n y y y y y y 由2)1(0==y y 计算得
63649
.2)0.2(61062.2)8.1(56258.2)6.1(47337.2)4.1(30769.2)2.1(54321=≈=≈=≈=≈=≈y y y y y y y y y y 思考题
对初值问题
?
??==+'1)0(0y y y 试证明用梯形格式所求得的近似解为： )(n
n h
h y +-=22 (其中h 为步长) 证明：梯形格式为
)],(),([2111+++++
=n n n n n n y x f y x f h
y y ，于是 )(211++--+=n n n n y y h
y y ?
011)22(222121y h h y h h y h h y n n n n ?+-=?+-=?+-
=++ 而
1)0(0==y y ，故得
)(n
n h
h y +-=22
2 改进的欧拉公式
用欧拉预-校格式求初值问题?
??==++'1)1(0
sin 2y x y y y ，要求取步长h ＝0.2
试计算y(1.2)及y(1.4)的近似值（小数点后至少保留五位）
解：?????++=+=++++)],(),([2
)
,(1111n n n n n n n n n n y x f y x f h
y y y x hf y y 于是有
?????+++-=+-=+++++)
sin sin (1.0)
sin (2.012112
121n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y 由1)1(0==y y 计算得
??
?=≈=715488
.0)2.1(63171
.011y y y
期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q
(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。
数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分
②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(数值分析试题及答案汇总
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
1. 近似数*0.14161x =作为x 的近似值，有 有效数字，误差限为 。 2. 设数据1x ,2x 的绝对误差限分别为0.02和0.005，那么两个数的乘积x 1x 2积的误差限 ()12x x ε= 。 3. 已知三个节点x 0, x 1, x 2上函数值()0f x , ()1f x 和()2f x ，那么[]01,f x x = ； []012,,f x x x = ；设()321f x x x =+-，则均差[]0,1,2f = 。 4. 求定积分()b a f x dx ?的近似值的梯形求积公式是()b a f x dx =? 。 5. 方程组210 x y x y +=??-=?的雅克比法迭代矩阵为 ；高斯-赛德尔法迭代矩阵 为 。 6. 设求积公式 ()()()()1 01 00.516f x d x f A f B f ≈++?????具有最高次的代数精确度，则A= 。 二、 三、 求()f x =[]0,1上的一次最佳平方逼近多项式。 四、 五、 试确定常数A , B , C ，使求积公式()()()()2101x dx Af Bf Cf -≈-++?具有尽可能高的代 数精确度，指出它的代数精确度并判别是否为高斯型的。 六、 给定线性方程组1231013001011x a a x x ?????? ? ? ? = ? ? ? ? ? ????? ??， 试求：(1) 确定a 的取值范围，使方程组对应的雅克比迭代法收敛。 (2) 当1a =时，用高斯列主元素法求线性方程组的解。
1. 近似数* 1.141x =作为π的近似值，有 有效数字，误差限为 。 2. 设数据1x ，2x 的绝对误差限分别为0.01和0.001，那么两个数的乘积12x x +积的误差限 ()12x x ε+= 。 3. 已知三个节点x 0, x 1, x 2上函数值()0f x , ()1f x 和()2f x ，那么[]01,f x x = ； []012,,f x x x = ；设()321f x x x =+-，则均差[]0,1,2f = 。 4. 求定积分()b a f x dx ?的近似值的中值定理求积公式是()b a f x dx =? 。 5. 方程组210 x y x y +=??-=?的雅克比法迭代矩阵为 ；高斯-赛德尔法迭代矩阵 为 。 6. 设求积公式()()()()1 01 00.513f x d x f B f A f ≈++?????具有最高次的代数精确度，则A= ，B= 。 二、 三、 求()f x =[]0,1上的一次最佳平方逼近多项式。 四、 五、 试确定常数A , B , C ，使求积公式()()2 11022x dx Af Bf Cf -???? ≈-++ ? ????? ? 具有尽可能高的 代数精确度，指出它的代数精确度并判别是否为高斯型的。 六、 给定线性方程组1231012002012x a a x x ?????? ? ? ? = ? ? ? ? ? ????? ??， 试求：(1) 确定a 的取值范围，使方程组对应的雅克比迭代法收敛。 (2) 当1a =时，用高斯列主元素法求线性方程组的解。
习 题 二 解 答 1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31 102-?。 分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。 解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。 由 3 4311*10 2 2 2 2 2 n n n n n n b a b a x x -----≤ == = < ? 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。 x *≈x 11=3.632。 指出： （1）注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3 是不同的。 （2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。
（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。 1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。 解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+- 当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有122 23,x x =-=。 因为2 14902150327(),()y y -=- <=-<，所以方程在区间223 (,)-上无根； 因为214903 27 ()y - =-<，而函数在23 (,)-∞- 上单调增，函数值不可能变号，所以 方程在该区间上无根； 因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根， 而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。 所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。 2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于4 1 102-?的根，需要迭代多少次？ 分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。 解：令()1sin f x x x =--， 因为(0)10sin 010,(1)11sin 1sin 10f f =--=>=--=-<，
第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2）
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因
，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和.
解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表
数值分析复习题及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
数值分析复习题 一、选择题 1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点( )() 0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数 ()() 01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． () 00l x ＝0， ()111 l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1， ()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ． 232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+=D ． 230.5 1.5 x x -=- 二、填空 1. 设 2.3149541...x * =，取5位有效数字，则所得的近似值x= .
2.设一阶差商 ()()()211221 14 ,3 21f x f x f x x x x --= = =---， ()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商 ()123,,______ f x x x = 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。 4．求方程2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么 1______x =。 5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =?? =?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 6、 1151A ?? = ? -??，则A 的谱半径 ＝ 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+==，则 []12,,n n n f x x x ++= 和 []123,,,n n n n f x x x x +++= 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。 10、为了使计算 23123 101(1)(1)y x x x =+ +- ---的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。 11. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 12. 一阶均差 ()01,f x x = ？ 13. 已知3n =时，科茨系数 ()()() 33301213,88C C C ===，那么() 33C =
数值分析期末复习资料
数值分析期末复习 题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明 第一章 误差与有效数字 一、 有效数字 1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说 x*有n 位有效数字。 2、 两点理解： （1） 四舍五入的一定是有效数字 （2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为 4、 考点： （1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3） 二、 避免误差危害原则 1、 原则： （1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ） （2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或 （3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14 三、 数值运算的误差估计 1、 公式： （1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差（两边同时 除以f (x *)） eg.P19习题1、2、5 （2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4 *(1) 11 102n r a ε--≤?;x εx εx εx ++=-+();1ln ln ln ??? ? ??+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =
第二章 插值法 一、 插值条件 1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值 yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使 2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一 二、 拉格朗日插值及其余项 1、 n 次插值基函数表达式（P26（2.8）） 2、 插值多项式表达式（P26（2.9）） 3、 插值余项（P26（2.12））：用于误差估计 4、 插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1 三、 差商（均差）及牛顿插值多项式 1、 差商性质（P30）： （1） 可表示为函数值的线性组合 （2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关 （3） 均差与导数的关系（P31（3.5）） 2、 均差表计算及牛顿插值多项式 四、埃尔米特插值（书P36） 两种解法： （1） 用定义做：设P 3(x)=ax 3+bx 2+cx+d ，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相 等各2个） （2） 牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14 五、三次样条插值定义 n i y x P i i n ,,2,1,0)( ==
数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k
n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!
.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
第一章 1、ln2＝0.69314718…，精确到 10－3 的近似值是多少？ 解 精确到 10－3＝0.001，即绝对误差限是 e ＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.693。 2、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x ， 21x x +的绝对误差限 解：记126.1025, 80.115x x == 则有11232411 10, | 102|||2 x x x x --≤?-≤?- 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤-- 3411 80.11610 6.10102522 0.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11 |10100.0005522 |x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+- 3、一个园柱体的工件,直径d 为10.250.25mm,高h 为40.00 1.00mm,则它的体 积V 的近似值、误差和相对误差为多少。 解： ()() 22222222 4 314210254000000330064 221025400002510251002436444 3300624362436 0073873833006 , .....; ()()()......, ..().()..% .r d h V d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε= ≈=??===+=???+?==±====第二章： 1、分别利用下面四个点的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式N 3(x )， 计算L 3(0.5)及N 3(-0.5) x －2 －1 0 1 f (x ) －1 1 2
一． 单项选择题（每小题2分，共10分） 1． 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 5102 1 -?，则该数是（ ） A 0.001523 B 0.15230 C 0.01523 D 1.52300 2． 设方阵A 可逆，且其n 个特征值满足：n λλλ>≥> (21) ，则1-A 的主特征值是（ ） A 11λ B n λ1 C 1λ或n λ D 11λ或n λ1 3． 设有迭代公式 → →+→+=f x B x k k ) () 1(。若||B|| > 1，则该迭代公式（ ） A 必收敛 B 必发散 C 可能收敛也可能发散 4． 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ） A 解函数 B 近似解函数 C 解函数值 D 近似解函数值 5． 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） A 追赶法 B LU 分解法 C 雅可比迭代法 D 高斯—塞德尔迭代法 二． 填空题（每小题4分，共20分） 1． 设有方程组 ??? ??=+-=+-=+0 21324321 32132x x x x x x x x ，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为 ?? ??? 2． 设?? ?? ??????----=111112101A ，则=∞A 3． 设1)0(,2'2 =+=y y x y ，则相应的显尤拉公式为=+1n y 4． 设 1)(+=ax x f ,2)(x x g =。若要使)(x f 与)(x g 在[0，1]上正交，则a = 5． 设 T x )1,2,2(--=→ ，若有平面旋转阵P ，使P → x 的第3个分量为0，则P = ???? ? ????? 三． 计算题（每小题10分，共50分） 1． 求 27的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？
中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题（共30分，每空3分） 1、 已知x =0.004532是由准确数a 经四舍五入得到的近似值，则x 的绝对误差 界为_______________。 2、数值微分公式()() '()i i i f x h f x f x h +-≈ 的截断误差为 。 3、已知向量T x =，求Householder 变换阵H ，使(2,0)T Hx =-。 H = 。 4、利用三点高斯求积公式 f x x f f f 1 1 ()d 0.5556(0.7746)0.8889(0)0.5556(0.7746)-≈-++? 导出求积分 f x x 4 ()d ? 的三点高斯求积公式 。 5、4 2 ()523,[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.f x x x f =+-=若则 6、以n +1个互异节点x k (k =0,1,…,n ),(n >1)为插值节点的Lagrange 插值基函数为l k (x )(k =0,1,…,n )，则 (0)(1)__________.n k k k l x =+=∑ 7、已知3()P x 是用极小化插值法得到的cos x 在 [0,4]上的三次插值多项式，则3()P x 的 截断误差上界为3()cos ()R x x P x =-≤_________. 8、已知向量(3,2,5)T x =-，求Gauss 变换阵L ，使(3,0,0)T Lx =。L =_________. 9、设3 2 ()(7)f x x =-, 给出求方程()0f x =根的二阶收敛的迭代格式_________。 10、下面M 文件是用来求解什么数学问题的？________________________. function [x,k]=dd （x0） for k=1:1000
0.1算法 1、 （p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不 超过10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812 ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用 二分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根. 由二分法的误差估计式211*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k . 两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分
0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字： 因为111021 05.001828.0||-?= <=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1 2102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字； 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171.205 .0||222=<-= x x e r ε； %0184.0718 .20005 .0||333=<-= x x e r ε。 评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字； （2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2．（p.12，题9）设72.21=x ， 71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限) 与相对误差(限)。 【解】 005.01=ε，31 1 11084.172.2005 .0-?≈< = x r εε； 000005.02=ε，622 21084.171828 .2000005 .0-?≈< =x r εε； 00005.03=ε，43 3 31096.60718 .000005 .0-?≈< = x r εε； 评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位. 3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4 310184-?=x 的绝对误差限均为 2105.0-?，问它们各有几位有效数字？
1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ
1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分