三角函数最值问题的几种常见类型
三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用,近几年的高考题中经常出现。其出现的形式,或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题;或者是隐含在解答题中,作为解决解答题所用的知识点之一;或者在解决某一问题时,应用三角函数有界性会使问题更易于解决(比如参数方程)。题目给出的三角关系式往往比较复杂,进行化简后,再进行归纳,主要有以下几种类型。掌握这几种类型后,几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。
1.y=asinx+bcosx 型的函数
特点是含有正余弦函数,并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转
化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可:φ),其中tan b a φ= 例1已知函数f (x )=2cos x sin(x +3
π)-3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期;
(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值;
(3)若当x ∈[
12
π,127π]时,f (x )的反函数为f -1(x ),求f --1(1)的值. 解:(1)f (x )=2cos x sin(x +3
π)-3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3
π)-3sin 2x +sin x cos x =2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3
π) ∴f (x )的最小正周期T =π
(2)当2x +3π=2k π-2
π,即x =k π-125π (k ∈Z )时,f (x )取得最小值-2. (3)令2sin(2x +3π)=1,又x ∈[2
7,2ππ], ∴2x +3π∈[3π,23π],∴2x +3π=6
5π,则 x =4π,故f --1(1)= 4π. 2.y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数。
特点是含有sinx, cosx 的二次式,处理方式是降幂,再化为型1的形式来解。 例2.求y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值,并求出y 取最小值时的x 的集合。
解:y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+sin2x+2cos 2x=1+sin2x+1+cos2x
4π) 当sin(2x+4
π)=-1时,y 取最小值
x 的集合{x|x=k π-38π, k ∈Z}. 3.y=asin 2x+bcosx+c 型的函数
特点是含有sinx, cosx ,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin 2x+cos 2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数来求解。
例3 是否存在实数a ,使得函数y =sin 2x +a ·cos x +
85a -23在闭区间[0,2
π]上的最大值是1?若存在,求出对应的a 值;若不存在,试说明理由. 22
2max 2max 5351.:1cos cos (cos ).8224820,0cos 1.2531,2,cos 1,1282
202(),13
5101,02,cos ,122482
340().2
0,0,cos 0,2a a y x a x a x a x x a a x y a a a a a a a x y a a a a a x y π=-++-=--++-≤≤
≤≤>>==+-=?=<≤≤≤≤==+-=?==-<<<=解当时若时即则当时舍去若即则当时或舍去若即则当时max 51121()825
a a =-=?=>舍去 综合上述知,存在2
3=a 符合题设 4.y=sin cos a x c b x d
++型的函数 特点是一个分式,分子、分母分别会有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子,分母的化简,最后整理成这个形式,它的处理方式有多种。
例4.求函数y=2sin 2cos x x
--的最大值和最小值。 解法1:原解析式即:sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x+φ
,
∵ |sin(x+φ)|≤1,
≤1,解出y 的范围即可。
解法2:2sin 2cos x x
--表示的是过点(2, 2)与点(cosx, sinx)的斜率,而点(cosx, sinx)是单位圆上的点,观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值。
解法3:应用万能公式设t=tg(2
x ) 则y=2222231t t t -++,即(2-3y)t 2-2t+2-y=0 根据Δ≥0解出y 的最值即可。
5.y=sinxcos2x 型的函数。
它的特点是关于sinx ,cosx 的三次式(cos2x 是cosx 的二次式)。因为高中数学不涉及三次函数的最值问题,故几乎所有的三次式的最值问题(不只是在三角)都用均值不等式来解(没有其它的方法)。但需要注意是否符合应用的条件(既然题目让你求,多半是符合使用条件的,但做题不能少这一步),及等号是否能取得。
例6如右图,在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比,角和这一点到光源的距离 r 的
平方成反比,即I =k ·2sin r
θ,其中 k 是一个和灯光强度有关的常数,那么怎样选择电灯悬挂的高度h ,才能使桌子边缘处最亮?
解:R =r cos θ,由此得:2
0,cos 1π<θ<θ=R r , R R h R k I R
k R k I R
k R k r k I 22tan ,33sin ,39
2)32()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 232222222222222=θ==θ?≤?≤θ-θ-?θ?=θ?θ?=θ?θ?=θ?=此时时成立等号在由此得 注:本题的角和函数很难统一,并且还会出现次数太高的问题。
6.含有sinx 与cosx 的和与积型的函数式。
其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子,处理方式是应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx进行转化,变成二次函数的问题。
例6.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。
解:令sinx+cosx=t,(- ≤t),则1+2sinxcosx=t2,所以2sinxcosx=t2-1,
所以y=t2-1+t=(t+1
2
)2-
5
4
.
根据二次函数的图象,解出y的最大值是。相信通过这一归纳整理,大家对有
关三角函数最值的问题就不会陌生了。并且好多其它的求最值的问题可以通过代换转化成三角求最值的问题。望同学们在做有关的问题时结合上面的知识。
求三角函数的值域(或最值)的方法 三角函数y=sinx及y=cosx是有界函数,即当自变量x在R内取一定的值时,因变量y有最大值y max=1和最小值y min=-1,这是三角函数y=sinx及y=cosx的基本性质之一,利用三角函数的这一基本性质,我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化.虽然这部分内容在教材中出现不多,但是,在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现,学生也往往对这样的问题颇感棘手.笔者根据日常的教学积累,对三角函数求值域或最值的方法,加以归纳总结如下. 1 配方分析法 如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式,可采用此方法. 例1求函数y=2cos2x+5sinx-4的值域. 解原函数可化为 当sinx=1时,y max=1; 当sinx=-1时,y min=-9, ∴原函数的值域是y∈[-9,1]. 注:此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见.但在最后讨论值域时,往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意. “cosx”,再求已知函数的最值 例2求下列函数的最值,并求出相应的x值.
y=asinx+bcosx或可转化为此种形式的函数,其最大值和最小值分别为y max= 3 求反函数法 如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名,我们可考虑此种方法,用因变量y表示出该函数,再利用该函数的值域求对应的原函数的值域.
∴原函数的值域是 4 应用函数的有界性 上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值,在此只不过是为了更加突出一下. 解由原式可得 (3y-1)sinx+(2y-2)cosx=3-y, 则上式即为 利用函数的有界性有 ∴原函数的值域是
三角函数最值问题的几种常见类型 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用,近几年的高考题中经常出现。其出现的形式,或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题;或者是隐含在解答题中,作为解决解答题所用的知识点之一;或者在解决某一问题时,应用三角函数有界性会使问题更易于解决(比如参数方程)。题目给出的三角关系式往往比较复杂,进行化简后,再进行归纳,主要有以下几种类型。掌握这几种类型后,几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。 1.y=asinx+bcosx 型的函数 特点是含有正余弦函数,并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转 化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可:φ),其中tan b a φ= 例1已知函数f (x )=2cos x sin(x +3 π)-3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期; (2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值; (3)若当x ∈[ 12π,12 7π]时,f (x )的反函数为f -1(x ),求f --1(1)的值. 解:(1)f (x )=2cos x sin(x +3 π)-3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3 π)-3sin 2x +sin x cos x =2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3 π) ∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π-2 π,即x =k π-125π (k ∈Z )时,f (x )取得最小值-2. (3)令2sin(2x +3 π)=1,又x ∈[27,2ππ], ∴2x +3π∈[3π,23π],∴2x +3 π=65π,则 x =4π,故f --1(1)= 4π. 2.y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数。 特点是含有sinx, cosx 的二次式,处理方式是降幂,再化为型1的形式来解。 例2.求y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值,并求出y 取最小值时的x 的集合。
三角函数的值域-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
如何求三角函数的值域 濮阳外国语学校 王艳敏 电话: 摘要:三角函数的最值是中学数学的一个重要内容,归纳这一内容,有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识,沟通三角、代数、几何的联系,培养学生的思维能力。 关键词:函数最值 三角函数 三角函数最值问题是高中数学的重点内容之一,也是高考命题的热点,由于三角函数和代数、几何等知识联系紧密,故求解这类问题的方法灵活多变,能力要求高,具有一定的综合性.本文介绍三角函数值域问题的一些常见类型和解题方法。 一. 基本型: 或 cos y a x b =+ 解决策略:利用sinx 和cosx 的有界性,即sin 1x ≤和cos 1x ≤ 解:x R ∈ 2sin(3 y x π =+ ) []sin()113x π ∴+∈- ,∴函数的值域为分析:引入辅助角,再利用正弦函数的有界性 sin y a x b =+1≤分析:利用 sinx 的有界性 1sin 1x -≤≤解: 12sin 13x ∴-≤+≤ [] 2sin 113y x ∴ =+- 函数的值域为,2sin 1y x =+例1.求 值域。 sin cos y a x b x c =++), tan b x c a ??=++= y 其中二、形如 引入辅助角转化为基本型 解决策略: 例2、求函数 sin y x x =+[]22-,
三、形如22 sin sin cos cos y a x b x x x =++ 型的函数 解决策略:通过降幂再转化为sin()y A x ω?=+ 来求解 例3.求 22 sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ 的值域 解: 2 12sin cos 2cos y x x x =++ sin 2cos 22)24 x x x π=++=++ 1sin(2)14 x π -≤+≤ 所以所求函数的值域为2?-? 四、反比例型:形如 sin sin a x b y c x d +=+ 或cos cos a x b y c x d +=+ 解决策略:用反表示法,再利用有界性或数形结合。 例4、求函数1sin 2cos x y x -= -的值域 方法一 解:由1sin 2cos x y x -= - 得 2cos 1sin y y x x -=- sin cos 12x y x y ∴-=- )12tan x y y ??-=-=其中 sin()x ?∴-= sin()1x ?-≤ 1≤ 22(12)1y y ∴-≤+ 24340 03 y y y -≤∴≤≤ 方法二 解:此函数看做过定点A (2,1)和动点B (cosx,sinx )的直线的斜率。如图所示 因为点B 的轨迹是单位圆 当直线和圆相切时斜率取最值 设直线方程为1(2)y k x -=- 即1 kx y -+-由于直线与圆相切 1= 解得 k=0或k=43 所以函数1sin 2cos x y x -= -的值域为40,3?????? 五、二次型,形如 2sin sin y a x b x c =++ 解决策略:转化为二次函数在有限闭区间上的值域问题
三角函数值域的求法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
例谈三角函数值域(最值)的几种求法 南县一中 肖胜军 有关三角函数的值域(最值)的问题是各级各类考试考察的热点之一,这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想,采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。掌握这类问题的解法,不仅能加强知识的纵横联系,巩固基础知识和基本技能,还能提高数学思维能力和运算能力。 一、 合理转化,利用有界性求值域 例1、求下列函数的值域: (1)1sin cos y x x =+ (2)cos 3 cos 3 x y x -= + (3)22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ (4)3sin()4cos()44 y x x ππ =+++解 析:(1)根据11sin cos sin 222x x x ≤≤可知:13 22y ≤≤ (2)将原函数的解析式化为:3(1)cos 1y x y += -,由cos 1x ≤可得:1 22 y -≤≤- (3) 原函数解析式可化为:21sin 22cos 2sin 2cos 22) 4 y x x x x x π =++=++=++ 可得:22y -≤≤ (4)根据sin cos )a x b x x φ?+=+∈?可得:55y -≤≤ 二、单调性开路,定义回归 例2、求下列函数的值域: (1)y = (2)y (3)2cos ,63y x x x ππ?? ??=∈ ?????? ? (4)y = 1sin 022 x ≤≤≤≤解析:(1)由-1知: 1sin 1,cos1cos sin 1 2 2 x x π π ≤-≤≤≤ ≤≤≤≤(2)由- 有()125sin()663366 x x x ππππππ +≤≤≤+≤≤≤(3)y=2由知:由正弦函数的单调性:1y 2 [](4)0,2y ==
三角函数的定义域、值 域和最值 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1