定积分常见问题
一、关于含“变上限积分”的问题
3
21(1)()x x F x =
?
例、求下列导数
3
2
(2)()x x F x =
?
220
(3)()()x
F x tf x t dt =-?
2例、求下列极限
2
2
2
1
(1)lim (1)x t x
x t e dt x -→∞+?求 220
4
()(2)lim
,()(0)0,(0)2x
x tf x t dt
f x f f x
→-'==?
求连续，
3例
1
(1)()()()sin f x f tx dt f x x x =+?求连续函数，使之满足
1
ln 1
(2)()0()()1x
t f x dt x f x f t x =>++?
、设，其中，求 ()
()
32
1
3()0(),1()8,()3
f x f x x
g x g t dt x f x >=
-?
（）设在可微。其反函数为且
求
二、定积分计算的有关问题
4
1
1(1)例、（常见形式积分）
4
(2)1cos 2x
dx x π
+
?
1
2
(3).
2(4)(0)a
a >
?
ln 0(5)
?0(6)a
例2、（分段函数，绝对值函数）
[(1)()b a x dx a b
(2)(),()(),2
x l kx x f x x f t dt l c x l ?
≤≤??=Φ=??≤≤???、设求
1
(3)
t t x dt -?
sin ,02
(4).
()(),(0)0(),()0,2
x
x x f t g x t dt x x f x x g x x ππ?
≤
其中当时，而
例3（对称区间上积分）
1
1
(1)(1sin )()x x x e e dx --++?
(
1212
(2)sin ln x x x dx -?+??
?24
4
sin (3)1x x
dx e
π
π--
+? ()
4[]()()
b
a
f x dx f x
g x +?
例、形如的积分
4
2
(1)?
sin 2
sin cos 0
(2)x
x x e dx
e e π
+?2
(3),1()dx
tgx π
λ
+?
例5、（由三角有理式与其他初等函数通过四则成复合而成的函数的积分）
2
20
2200
1.
(sin )(cos ))2.(sin )(sin )21331,24223.sin cos ,1342,1253n n
f x dx f x dx xf x dx f x dx
n n n n n xdx xdx n n n n n π
π
πππ
π
π
π
==
--??????-==?--????-?
?
?
??
?? 常用结论
，为正偶自然数为大于的正奇数，
2
(sin )
(1)(sin )(cos )f x dx
f x f x π
+
?2
π
?
10
10
2
0sin cos (2)4sin cos x x dx x x π---?、2
(3)ln sin xdx π
?
320
sin (4)1cos x x dx x π
+?2220sin (5),sin cos n n n n x x I dx n N x x π+=∈+?计算 640
(6)sin cos x x xdx π
?
[]2(7)(),,()()sin ,()1cos x
f x f x f x xdx f x x ππ
ππ--=
++?设在上连续且满足求
1
21001
1
(8)(1)
x dx
--?
求0
(9)n π
?
2sin (10)()sin ,().x t x
F x e tdt F x A B C D π
+=?
则是（
）
正常数负常数恒为零不是常数
例6 利用适当变量代换计算积分
4
(1)ln(1)tgx dx π+?1
20
ln(1)
(2)
1x dx x ++? 20
(3)sin n x xdx π
?
20
(4)(1)(1)
dx
x x α+∞++?
求
例7（其它）
2
2
(1)()[0,]()cos ()()2f x f x x x f t dt f x π
π
=+?、设在上连续，且，求
2
1
2
(2)()()2()()f x x x f x dx f x dx f x =-+??设，求
1
20
(3)()()arcsin(1),(01),()y y x y x x x y x dx '==-≤≤?设满足求
2
201
1
(4)()(2)arctan ,(1)1,()2x f x tf x t dt x f f x dx -==??、设连续，且满足求的值
2
200
cos sin cos (5),,(2)1x x x
dx A dx x x π
π
=++??已知：求
220
(6)()ln(12cos )(),()F a a x a dx F a F a π
=-+-?设，求
(2)
(),()a x
a
y a y f x e
dy f x dx --=
??(7)、设求
1
(8)(1)m n x x dx -?
例8、计算下列广义积分（基本题）
2(1),1dx
x +∞-∞
+
?1(2),e 2
ln (3),1x
dx x
+∞
+?
5
1
(4)1
(5)cos(ln ),
x dx ?
例9
0(1)0)pt te dt p p +∞->?
（是常数，且 2
(2).
(1)x
x xe dx
e +∞
--+?
例10、计算下列广义积分（广义积分变量代换例）
3
(1)?
2320
2
ln(1)(2)(1)
x x dx x +∞
++?
22200200
.
cos sin (1)(1)1sin sin (2),()2x x x
dx A A dx x x x x dx dx
x x π+∞
+∞
+∞
+∞
++=????例11已知广义积分收敛于，试用表示广义积分的值已知求 经典例题
例1
求21lim
n n
→∞ ． 解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n
?=
，然后把2111n n n =?的一个因子1
n 乘入和
式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即
21lim
n n →∞ =1lim n n →∞+ =34
=
?．
例20
?
=_________．
解法1由定积分的几何意义知，0?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)
与x 轴所围成的图形的面积．故0
?
=
2
π
． 解法2本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2
2
t π
π
-
≤≤
），则
?
=22
tdt π
π-?=2tdt =220
2cos tdt π
?=
2
π
例3 比较12
x e dx ?，2
1
2
x e dx ?，1
2
(1)x dx +?．
解法1在[1,2]上，有2
x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又
1
22
1
()()f x dx f x dx =-?
?，从而有2
111
2
2
2
(1)x x x dx e dx e dx +>>???．
解法2在[1,2]上，有2
x
x e e ≤．由泰勒中值定理2
12!
x
e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到
1
2
2
1
()()f x dx f x dx =-?
?．因此
2
1
11
2
2
2
(1)x x x dx e dx e dx +>>?
??．
例4 估计定积分2
2x
x
e dx -?的值．
解设 2
()x
x
f x e -=, 因为 2
()(21)x
x
f x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点1
2
x =
, 而 0
(0)1f e ==, 2
(2)f e =, 141
()2
f e -=,
故
124
(),[0,2]e
f x e x -≤≤∈,
从而
2
12
24
022x
x
e
e dx e -
-≤≤?,
所以
210
2
4
2
22x x
e e
dx e -
--≤≤-?.
例5设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ≥，()0f x >．求lim (b
a
n g x →∞
?．
解由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x >知0M >，0m >．又()0g x ≥，则
()b a
g x dx (b a
g x ≤?()b
a
g x dx ≤．
由于1n n =，故
lim (b
a
n g x →∞?=()b
a
g x dx ?．
例6求sin lim n p
n
n x
dx x
+→∞?
, ,p n 为自然数． 解法1利用积分中值定理 设sin ()x
f x x
=
, 显然()f x 在[,]n n p +上连续, 由积分中值定理得 sin sin n p n x dx p x ξ
ξ
+=??, [,]n n p ξ∈+, 当n →∞时, ξ→∞, 而sin 1ξ≤, 故
sin sin lim lim 0n p
n
n x dx p x
ξξ
ξ+→∞→∞=?=?
．
解法2利用积分不等式 因为
sin sin 1ln
n p
n p n p n
n n x x n p
dx dx dx x x x n
++++≤≤=?
??, 而lim ln
0n n p
n
→∞
+=,所以 sin lim 0n p
n
n x
dx x
+→∞=?
． 例7求1
0lim 1n
n x dx x
→∞+?．
解法1由积分中值定理()()()()b b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=??可知
1
01n x dx x +?=1
1
1n x dx ξ
+?
，01ξ≤≤．
又
1
1
lim lim
01n n n x dx n →∞→∞==+?且11121ξ
≤
≤+， 故
1
0lim 01n n x dx x
→∞=+?． 解法2因为01x ≤≤，故有
01n
n x x x
≤≤+．
于是可得
1
100
01n
n x dx x dx x ≤≤+??．
又由于
1
1
0()1
n x dx n n =
→→∞+?
． 因此
1
0lim 1n
n x dx x
→∞+?=0． 例8设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且31
4()(0)f x dx f =?．证明在(0,1)内存在
一点c ，使()0f c '=．
证明 由题设()f x 在[0,1]上连续，由积分中值定理，可得
3413
(0)4()4()(1)()4
f f x dx f f ξξ==-=?，
其中3
[,1][0,1]4
ξ∈?．于是由罗尔定理，存在(0,)(0,1)c ξ∈?，使得()0f c '=．证毕．
例9（1）若2
2
()x t x
f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0
()()x
f x xf t dt =?，求()f x '=___．
()
()
()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?．
解（1）()f x '=42
2x x xe e ---；
（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x
f x x f t dt =?，则可得
()f x '=0()()x
f t dt xf x +?．
例10 设()f x 连续，且31
()x f t dt x -=?，则(26)f =_________．
解对等式310
()x f t dt x -=?
两边关于x 求导得
32(1)31f x x -?=，
故321(1)3f x x -=
，令3
126x -=得3x =，所以1(26)27
f =． 例11函数
1
()(3(0)x F x dt x =>?的单调递减开区间为_________．
解()3F x
'=，令()0F x '<3>，解之得109x <<，即1
(0,)9为所求．
例12求0
()(1)arctan x
f x t tdt =-?的极值点．
解''1x =，0x =．列表如下：
故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．
例13已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中 2
arcsin 0
()x t g x e dt -=?
，[1,1]x ∈-，
试求该切线的方程并求极限3
lim ()n nf n
→∞．
解由已知条件得
2
0(0)(0)0t f g e dt -===?，
且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知
(0)(0)1f g =''==
=．
故所求切线方程为y x =．而
3
()(0)
3
lim ()lim 33(0)330n n f f n nf f n n
→∞→∞
-'=?==-． 例14 求2
20
00
sin lim
(sin )x x x
tdt
t t t dt
→-??
；
解2
2000
sin lim (sin )x x x
tdt
t t t dt
→-?
?=22
02(sin )lim (1)(sin )x x x x x x →-??-=220()(2)lim sin x x x x →-?-=304(2)lim 1cos x x x →-?-
=2
012(2)lim sin x x x
→-?=0．
注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．
例15试求正数a 与b
，使等式2
01lim
1sin x x x b x →=-?成立．
解2001lim sin x x x b x →-?
=2
0x →
=20lim 1cos x x x b x →→-
2
011cos x x b x →==-，
由此可知必有0
lim(1cos )0x b x →-=，得1b =．又由
2011cos x x x →=-， 得4a =．即4a =，1b =为所求． 例16设sin 20
()sin x f x t dt =?
，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（）．
A ．等价无穷小．
B ．同阶但非等价的无穷小．
C ．高阶无穷小．
D ．低阶无穷小．
解法1由于 223
00()sin(sin )cos lim lim
()34x x f x x x
g x x x →→?=+ 2200cos sin(sin )
lim lim
34x x x x x x →→=?+ 22011lim 33
x x x →==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ． 解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到 sin 223370
111
()[()]sin sin 3!342
x f x t t dt x x =-
+=-+?
， 则
344340001111
sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13
x x x x x x f x g x x x x →→→-+-+===++
． 例17证明：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调增加，则有
()b
a
xf x dx ?
()2b
a
a b f x dx +≥
?． 证法1 令()F x =()()2
x x
a
a a x tf t dt f t dt +-??，当[,]t a x ∈时，()()f t f x ≤，则 ()F x '=1()()()22x a a x xf x f t dt f x +-
-?=1()()22x a
x a f x f t dt --?
≥
1()()22x a x a f x f x dt --?=()()22
x a x a
f x f x ---0=． 故()F x 单调增加．即()()F x F a ≥，又()0F a =，所以()0F x ≥，其中[,]x a b ∈． 从而
()F b =()()2
b
b
a a a
b xf x dx f x dx +-
??0≥．证毕． 证法2由于()f x 单调增加，有()[()()]22
a b a b
x f x f ++-
-0≥，从而 ()[()()]22
b
a
a b a b
x f x f dx ++-
-?
0≥． 即
()()2b
a
a b x f x dx +-
?
()()22b a a b a b x f dx ++≥-?=()()22
b a a b a b
f x dx ++-?=0．
故
()b
a
xf x dx ?
()2b
a
a b f x dx +≥
?． 例18计算2
1||x dx -?．
分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解2
1
||x dx -?＝0
21
()x dx xdx --+??
＝220210[][]22x x --+＝5
2
．
注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3
322
2111[]6dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数2
1
x 在0x =处间断且在被积区间内无界.
例19 计算2
20max{,}x x dx ?．
分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数
212
()01
x x f x x x ?<≤=?
≤≤?． 解232
12
2
2
12010
1
1717
max{,}[][]23236
x x x x dx xdx x dx =+=+=+=???
例20设()f x 是连续函数，且1
0()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =．
解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而1
0()f t dt ?是常数，记1
()f t dt a =?，则
()3f x x a =+，且1
1
00(3)()x a dx f t dt a +==??．
所以
210
1[3]2x ax a +=，即1
32
a a +=， 从而14a =-，所以3
()4
f x x =-．
例21设23, 01
()52,12
x x f x x x ?≤<=?-≤≤?，0
()()x F x f t dt =?，02x ≤≤，求()F x , 并讨论()F x 的连
续性．
解（1）求()F x 的表达式．
()F x 的定义域为[0,2]．当[0,1]x ∈时，[0,][0,1]x ?, 因此
23300
()()3[]x
x
x
F x f t dt t dt t x ====??．
当(1,2]x ∈时，[0,][0,1][1,]x x = , 因此, 则
1
20
1
()3(52)x
F x t dt t dt =+-??=31201[][5]x t t t +-=2
35x x -+-，
故
3
2
, 01()35,12
x x F x x x x ?≤
21
1
lim ()lim(35)1x x F x x x ++→→=-+-=, 31
1
lim ()lim 1x x F x x --
→→==, (1)1F =． 因此, ()F x 在1x =处连续, 从而()F x 在[0,2]上连续．
例22 计算
2
1
-
?．
由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．
解
2
1
-
?=2
11
--
+
??．由于2是偶函数，而
是奇函数，有10
-
=
?, 于是
2
1
-
?=2
1
4?=04?=1044
dx-
??
由定积分的几何意义可知
4
π
=
?, 故
2
11
444
4
dx
π
π
-
=-?=-
??．
例23计算
3
4
1
2
e
e
?
解
3
1
e
e
?
3
e
3
4
1
e
e
??
=
3
4
1
2
e
e
=
6
π
．
例24计算4
sin
1sin
x
dx
x
π
+
?．
解4
sin
1sin
x
dx
x
π
+
?=42
sin(1sin)
1sin
x x
dx
x
π-
-
?=2
44
2
00
sin
tan
cos
x
dx xdx
x
ππ
-
??
=2
44
2
00
cos
(sec1)
cos
d x
x dx
x
ππ
---
??
=44
00
1
[][tan]
cos
x x
x
ππ
--=2
4
π
-
注此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．
例25计算2
a
?，其中0
a>．
解2
a
?=20a?，令sin
x a a t
-=，则
2
a
?=32
2
2
(1sin)cos
a t tdt
π
π
-
+
?
=32
2
2cos0
a tdt
π
+
?=3
2
a
π
．
注 sin x a t =或cos x a t =． 例26 计算
a
?
0a >．
解法1令sin x a t =，则
a
?
2
cos sin cos t
dt t t
π
=+?
201(sin cos )(cos sin )2sin cos t t t t dt t t π++-=+? 201(sin cos )[1]2sin cos t t dt t t
π'+=++?
[]201ln |sin cos |2t t t π
=++=4
π． 解法2 令sin x a t =，则
a
?
2
cos sin cos t
dt t t
π
+?．
又令2
t u π
=
-，则有
20cos sin cos t dt t t π
+?=2
0sin sin cos u du u u π
+?．
所以，
a
?
=22001sin cos []2sin cos sin cos t t dt dt t t
t t ππ+++??=2012dt π
?=4π．
注如果先计算不定积分
，再利用牛顿-莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此
可看出定积分与不定积分的差别之一．
例27计算ln 0
?
．
解设u 2ln(1)x u =+，221
u
dx du u =
+，则
ln 0
?
=22220(1)241u u u du u u +?=++?2
2222200442244
u u du du u u +-=++??
22
20
1
284
du du u =-=+??
4π-． 例28 计算
220
()x
d tf x t dt dx -?，其中()f x 连续． 分析要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．
解由于
220
()x
tf x t dt -?
=
2220
1()2x
f x t dt -?． 故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以
220()x tf x t dt -?=201()()2x f u du -?=201()2x f u du ?， 故
220()x d tf x t dt dx -?=201[()]2x d f u du dx ?=2
1()22
f x x
?=2()xf x ． 错误解答
220
()x
d tf x t dt dx -?22()(0)xf x x xf =-=． 错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式
()()()x
a
d x f t dt f x dx 'Φ==?
中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．
例29计算30
sin x xdx π
?．
解30
sin x xdx π?30
(cos )xd x π=-?3
300
[(cos )](cos )x x x dx ππ=?---?
30
cos 6
xdx π
π
=-
+?6
π
=
-． 例30计算1
2
0ln(1)
(3)x dx x +-?．
解 1
20ln(1)(3)x dx x +-?
=101ln(1)()3x d x
+-?=11
00111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-?--+? =101111
ln 2()2413dx x x -++-?
11
ln 2ln324
=-． 例31计算20
sin x e xdx π
?．
解由于20
sin x e xdx π
?20
sin x
xde π
=?2200
[sin cos x
x e x e xdx ππ=-?
2
20
cos x e e xdx ππ=-?， （1） 而
20
cos x
e xdx π
?
2
cos x
xde π
=?220
[cos ](sin )x
x e x e x dx ππ=-?-?
20
sin 1x e xdx π=-?， （2） 将（2）式代入（1）式可得
20
sin x
e xdx π?
2
20
[sin 1]x e e xdx π
π=--?,
故
20
sin x
e xdx π
?
21(1)2
e π
=+．
例32 计算1
0arcsin x xdx ?．
解1
0arcsin x xdx ?21
0arcsin ()2x xd =?2211
00[arcsin ](arcsin )2
2x x x d x =?-?
21
142π
=-?． （1） 令sin x t =，则
21
?
20
sin t π
=?
220
sin cos cos t
tdt t
π
=??
220sin tdt π
=?
20
1cos22t dt π-==?20sin 2[]24t t π-4
π
=．
（2） 将（2）式代入（1）式中得
1
arcsin x xdx =
?
8
π． 例33设()f x 在[0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且0[()()]cos 2f x f x xdx π
''+=?，求(0)f '． 解 由于0
[()()]cos f x f x xdx π''+?0
()sin cos ()f x d x xdf x ππ
'=+??
[]000
{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππ
π
π'''=-++??
()(0)2f f π''=--=．
故(0)f '=2()235f π'--=--=-． 例34（97研）设函数()f x 连续，
1
()()x f xt dt ?=?，且0
()
lim
x f x A x
→=（A 为常数）
， 求()x ?'并讨论()x ?'在0x =处的连续性．
分析 求()x ?'不能直接求，因为1
0()f xt dt ?中含有()x ?的自变量x ，需要通过换元将x
从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出()x ?'，最后用函数连续的定义来判定()x ?'在0x =处的连续性． 解由0
()
lim
x f x A x
→=知0lim ()0x f x →=，而()f x 连续，所以(0)0f =，(0)0?=．
当0x ≠时，令u xt =，0t =，0u =；1t =，u x =．1
dt du x
=
，则
()()x
f u du x x
?=
?，
从而
02
()()()(0)x
xf x f u du
x x x
?-'=
≠?．
又因为0
2
()()(0)
()lim
lim
lim
22x
x x x f u du x f x A x x x ??→→→-===-?，即(0)?'=2
A
．所以 ()x ?'=02()(),0,02
x xf x f u du x x A
x ?-?≠??
?=???． 由于
02
20
0()()()()lim ()lim
lim
lim x
x
x x x x xf x f u du
f u du f x x x
x x ?→→→→-'==-??=(0)2
A ?'=．
从而知()x ?'在0x =处连续．
注 这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误： （1）直接求出
2
()()()x
xf x f u du
x x
?-'=
?，
而没有利用定义去求(0)?'，就得到结论(0)?'不存在或(0)?'无定义，从而得出()x ?'在0x =处不连续的结论．
（2）在求0
lim ()x x ?→'时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致
()()()1
lim ()lim ().22x x xf x f x f x x f x x ?→→'+-''=
=
又由0()
lim
x f x A x
→=用洛必达法则得到0lim ()x f x →'=A ，出现该错误的原因是由于使用洛必达法
则需要有条件：()f x 在0x =的邻域内可导．但题设中仅有()f x 连续的条件，因此上面出现
的0
lim ()x f x →'是否存在是不能确定的．
例35（00研）设函数()f x 在[0,]π上连续，且
()0f x dx π
=?
，0
()cos 0f x xdx π
=?．
试证在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ使得12()()0f f ξξ==．
分析 本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数0
()()x
F x f t dt =?，找出()F x
的三个零点，由已知条件易知(0)()0F F π==，0x =，x π=为()F x 的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明()f x 在(0,)π之间存在两个零点．
证法1 令0
()(),0x
F x f t dt x π=≤≤?，则有(0)0,()0F F π==．又
00
()cos cos ()[cos ()]()sin f x xdx xdF x xF x F x xdx π
ππ
π==+?
??
()sin 0F x xdx π
==?，
由积分中值定理知，必有(0,)ξπ∈，使得
()sin F x xdx π
?
=()sin (0)F ξξπ?-．
故()sin 0F ξξ=．又当(0,),sin 0ξπξ∈≠，故必有()0F ξ=． 于是在区间[0,],[,]ξξπ上对()F x 分别应用罗尔定理，知至少存在
1(0,)ξξ∈，2(,)ξξπ∈，
使得
12()()0F F ξξ''==，即12()()0f f ξξ==．
证法2 由已知条件0
()0f x dx π
=?及积分中值定理知必有
10
()()(0)0f x dx f π
ξπ=-=?
，1(0,)ξπ∈，
则有1()0f ξ=．
若在(0,)π内，()0f x =仅有一个根1x ξ=，由0
(
)0f xd x π
=?知()f x 在1(0,)ξ与1(,)ξπ内异号，
不妨设在1(0,)ξ内()0f x >，在1(,)ξπ内()0f x <，由
()cos 0f x xdx π
=?
，0
()0f x dx π
=?，
以及cos x 在[0,]π内单调减，可知：
10
0()(cos cos )f x x dx π
ξ=-?=1
1
110
()(cos cos )()(cos cos )f x x dx f x x dx ξπ
ξξξ-+-??0>．
由此得出矛盾．故()0f x =至少还有另一个实根2ξ，12ξξ≠且2(0,)ξπ∈使得 12()()0.f f ξξ==
例36计算2
43
dx
x x +∞
++?
．
分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．
解20
43dx x x +∞
++?
=20lim 43t t dx x x →+∞++?=0111lim ()213
t t dx x x →+∞-++? =011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111
lim (ln ln )233
t t t →+∞+-+ =
ln3
2
． 例37
计算3
+∞
?
解3+∞
?
2
2
3
3
sec tan sec tan d π
π
θθ
θθθ
+∞
=?
?
23
cos 1d π
πθθ==?． 例38
计算4
2
?
．
分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，
当且仅当3
2
?
和4
3
?
均收敛时，原反常积分才是收敛的．
解 由于
3
2
?
=3
2
lim a
a +→?
=3
2
lim a
a +→?
=32
lim[arcsin(3)]a a x +
→-=2
π
．
4
3
?
=3
4
lim b
b -→?
=3
4
lim b
b -→?
=34
lim[arcsin(3)]b
b x -
→-=2
π
．
所以4
2
?
2
2
π
π
π=
+
=．
例39
计算0
+∞
?
．
分析此题为混合型反常积分，积分上限为+∞，下限0为被积函数的瑕点． 解
t =，则有
+∞
?
＝50
22
2(1)
tdt t t +∞
+?
＝50
22
2(1)
dt t +∞
+?
，
再令tan t θ=，于是可得
50
22
(1)
dt t +∞
+?
＝250
22
tan (tan 1)
d π
θθ+?
＝2250
sec sec d π
θθθ?
＝230sec d π
θθ
? ＝3
20
cos d πθθ?＝220
(1sin )cos d πθθθ-?
＝220
(1sin )sin d π
θθ-?
＝3/2
1[sin sin ]3πθθ-＝23
． 例40
计算2
1
?． 解 由于
2
2
1
11211
1()d x x x +
-==?
??，
可令1
t x x
=-
，
则当x =
t =；当0x -→时，t →+∞；当0x +→时，t →-∞；
当1x =时，0t =；故有
2
1
0102
11
()()
12()d x d x x x x x
--=++-?
??
022dt
t +∞
-∞=++?
?
1
arctan )2
π=
+． 注有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．
例41求由曲线1
2
y x =，3y x =，2y =，1y =所围成的图形
的面积．
分析若选x 为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以y 为积分变量． 解选取y 为积分变量，其变化范围为[1,2]y ∈，则面积元素为
dA =1|2|3y y dy -=1
(2)3y y dy -． 于是所求面积为
211(2)3A y y dy =-?=5
2． 例42抛物线22y x =把圆228x y +=分成两部分，求这两部分面积之比．
解抛物线22y x =与圆228x y +=的交点分别为(2,2)与(2,2)-，
如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分1A ，2A ，记它们的面积分别为1S ，2S ，则有
图5－2
1S =22
2)2y dy -?=244
88cos 3d π
πθθ--?=423π+，218S A π=-=4
63π-，于是
12S S =4
23463
ππ+-=3292
ππ+-． 例43 求心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积．
分析心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可． 解求得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的交点为(,)
ρθ=3(,)23
π
±，由图形的对称性得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积为
图5－3
A =2
2320
3112[(1cos )(3cos )]22
d d π
π
πθθθθ++?
?=54π． 3
π
θ=
3cos ρθ
=3
2
1
1
-o
1
1
-1cos θ
+
例44求曲线ln y x =在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．
分析 要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式． 解 设所求切线与曲线ln y x =相切于点(,ln )c c ，则切线方程为
1
ln ()y c x c c
-=-．
又切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成的平面图形的面积为
图5－4
A =621[()ln ln ]x c c x dx c -+-?=4
4(1)4ln 46ln 62ln 2c c
-++-+．
由于
dA dc =2164c c
-+=24
(4)c c --，
令
0dA dc =，解得驻点4c =．当4c <时0dA dc
<，而当4c >时0dA
dc >．故当4c =时，A 取得极小值．由于驻点唯一．故当4c =时，A 取得最小值．此时切线方程为：
1
1ln 44
y x =
-+． 例45求圆域222()x y b a +-≤（其中b a >）绕x 轴旋转而成的立体的体积．
解如图5－5所示，选取x 为积分变量，得上半圆周的方程为
2y b =
下半圆周的方程为
1y b =
图5－5
则体积元素为
dV =2
22
1()y y dx ππ-
=4π．于是所求旋转体的体积为 V
=4a
b π-?
=08b π?=2
84
a b ππ?
=222a b π．
注 可考虑选取y 为积分变量，请读者自行完成．
例46（03研）过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D ．
（1）求D 的面积A ；
（2）求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V ． 分析先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A ，旋转体积可用大的立体体积减去小的立体体积进行
图5－6
计算，如图5－6所示．
不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：
2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（ ） A.233 B. 31 C.3 4 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函
数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =（ ） A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
定积分与微积分 一、知识回顾： 1.用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和： 1 ()n i i b a f n ξ=-∑； ④取极限： () 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑? 2.曲边图形面积：()b a S f x dx =?； 变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =? ； 变力做功 ()b a W F r dr = ? . 3.定积分有如下性质： 性质1 =?b a dx 1 性质2 =? b a dx x kf )( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 ?=±b a dx x f x f )]()([2 1 （定积分的线性性质） 性质4 ??? +=c a b c b a dx x f dx x f dx x f )()()( 其中（b c a <<） 4.定积分的计算（微积分基本定理） （1）（牛顿——莱布尼兹公式）若)(x f 是区间],[b a 上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么有 二、常考题型： 一选择题 1.由直线与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、1 C 、 D 、 2.由曲线y=x 2 ，y=x 3 围成的封闭图形面积为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ? -==b a b a a F b F x F dx x f ) ()()()(
3.由曲线y=，直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A 、 B 、4 C 、 D 、6 4. ? +1 )2(dx x e x 等于（ ） A 、1 B 、e ﹣1 C 、e D 、e 2 +1 5. ? 4 2 1 dx x dx 等于（ ） A 、﹣2ln2 B 、2ln2 C 、﹣ln2 D 、ln2 6. dx x ?--2 2 )cos 1(π π等于（ ） A 、π B 、2 C 、π﹣2 D 、π+2 7. 已知则? -= a a xdx 2 1 cos （a ＞0），则?a xdx 0cos =（ ） A 、2 B 、1 C 、 D 、 8. 下列计算错误的是（ ） A 、 ?- =π π 0sin xdx B 、 ? = 1 32dx x C 、 ?? -=22 2 cos 2cos π ππ xdx xdx D 、 ?- =π π0sin 2 xdx 9 计算dx x ? -2 24的结果是（ ） A 、4π B 、2π C 、π D 、 10. 若 0)32(0 2=-? dx x x k ，则k 等于（ ） A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、以上均不对 11.下列结论中成立的个数是（ ） ①∑?=?= n i n n i dx x 133 1 031；②∑?=?-=n i n n i dx x 131031)1( ；③∑?=∞→?=n i n n n i dx x 1331031lim 。 A .0 B .1 C .2 D .3 12.根据定积分的定义，?202 dx x =（ ） A . ∑=?-n i n n i 1 21)1( B . ∑=∞→?-n i n n n i 121)1(lim C . ∑=?n i n n i 122)2( D . ∑=∞→?n i n n n i 122 )2(lim 13.变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为0s ，则当1t 秒末它所在的位置 为 （ ） A ． ? 1 )(t dt t v B ．dt t v s t ? + 1 0)( C ．00 1 )(s dt t v t -? D ．dt t v s t ?-1 0)(
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各 项．于是将所求极限转化为求定积分．即 3321lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=03 4 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ? 等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π． 例18 计算 2 1 ||x dx -? ． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1 ||x dx -? ＝02 1 ()x dx xdx --+?? ＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算 2 20 max{,}x x dx ? ． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212 ()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717 max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且1 ()3()f x x f t dt =+? ，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分 ()b a f x dx ? 是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而 1 ()f t dt ? 是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且1 1 (3)()x a dx f t dt a +==??． 所以
定积分典型例题 例 1 求 Iim J 2(^n τ +Q2n 2 +H ∣ +V ∏3). n _.: ∏ 分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限?若对题目中被积函数难以想到， 可采取如下方法：先对区间［O, 1］n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 1 III 1 解 将区间［0, 1］ n 等分，则每个小区间长为.汉=丄，然后把—=丄1的一个因子-乘入和式中 n n n n n 各项?于是将所求极限转化为求定积分?即 n i ?^贰+痢+山+疔)=曲(￡ +￡ +川+晋)=MdX=扌? 例 2 ￡ J 2x 一 X d X __________ . 解法1由定积分的几何意义知， °?2x -χ2dx 等于上半圆周(x_1) y =1 (y_0) 与X 轴所围成的图形的面积?故 2? 2^x 2dx = _ ? ■° 2 解法2本题也可直接用换元法求解?令 x_1 = sint (—巴 第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为 定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？ 看到1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ? 定积分在高考中的常见题 型 Last revision on 21 December 2020 定积分在高考中的常见题型解法 贵州省印江一中（555200） 王代鸿 定积分作为导数的后续课程，与导数运算互为逆运算,也是微积分基本概念之一，同时为大学数学分析打下基础。从高考题中来看，定积分是高考命题的一种新方向，在高考复习中要求学生了解定积分的定义，几何意义，掌握解决问题的方法。 一、利用微积分基本定理求定积分 1、微积分基本定理：一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么?-=b a b F a F dx X f )()()(.这个结论叫做微积分基本定理（又叫牛顿-莱布尼兹公式）。 2、例题讲义 例1、计算?+e dx x x 1)21( 解：因为 x x x x 21 )ln 2+='+（ 所以?+e dx x x 1)21(=22212)11(ln )(ln |ln e e e x x e =+-+=+）（ 【解题关键】：计算?b a dx X f )(的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数)(x F 。 跟踪训练：1计算?+2 0)cos (π dx x e x 二、利用定积分的几何意义求定积分。 1、定积分的几何意义 ：设函数y=f(x)在 []b a ,上y=f(x)非负、连续，由直线x=a,x=b, y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积 S=?b a dx X f )( 2、例题讲义： 例2、求由曲线12+=x y ，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积S 等于=___________ 解： 联立方程组 （如图所示） ? ??-=+=11x y x y 解得???==34y x S =BCD OBCE AOB S S S 曲边梯形曲边梯形++? =dx x x dx x )1(11112 14210--++++????）（）（ = 412231023|)22 132(|)3221x x x x x +-+++（ =3 8 【解题关键】：将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形，再求面积 和 例3、求dx x ?+402)2-4（ 的值 解：令)0()2(42≥+-=y x y 则有)0()2(42 2≥+-=y x y 及）（）（04222≥=++y y x 右图所以π221)2-1402==+?A S dx x 圆（ 【解题关键】：将被积函数转化为熟悉的曲线方程，利用曲线图形的特点 求其定积分。 练习：由直线21=x ，x=2，曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积为（ ） A. 415 B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2 三、利用变换被积函数求定积分 定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+ 三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积 不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan 3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。 欢迎阅读 题型 1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积 2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积 内容 一．微元法及其应用 二．平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三．立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四．平面曲线的弦长 五．旋转体的侧面积 六．定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积 题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一．填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤- 上的一段弧所围成的图形面积为 ． 6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二．选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 31 B ． 32 C ． 21 D ． 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 223a π B ． 243a π C ． 2 8 3a π D ． 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ） A ． 2 a a e e -+ B ． 2a a e e -- C ． 12++-a a e e D ．12-+-a a e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<经济数学(不定积分习题及答案)
定积分典型例题20例答案
不定积分例题及答案
定积分在高考中的常见题型
高中数学定积分计算习题
(完整版)不定积分习题与答案
定积分的应用练习题,DOC
不定积分_定积分复习题与答案
相关主题
文本预览