1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633. 证明：
如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为
2．若晶胞基矢c b a
,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 解：
c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a
===,,
晶胞体积abc c b a v =??=)(
倒格子基矢：
k
c
j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i
a k c j
b ab
c c b v b
πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=?=?==?=?==?=?=
而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢
2
22321)()()(2)
(2c
l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ 故（hkl ） 晶面族的面间距
2222
22)()()(1)()()(222c
l b k a h c
l b k a h G d ++=
++=
=ππ
π
3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？ 答：
通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。
体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。
4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。
解：
（111）面
平均每个（111）面有22
1
3613=?+?个原子。 （111）面面积
()222232
322)2
2(
)2(22
1
a a a a a a =?=
-? 所以原子面密度2
2
)111(342
32a
a =
=
σ
（110）面
平均每个（110）面有22
1
2414=?+?
个原子。 （110）面面积2
22a a a =?
所以（110）面原子面密度22
)110(2
22a a
==σ 5．设二维矩形格子的基矢为j a a i a a
2,21==，试画出第一、二、三、布里渊区。
解：
倒格子基矢：
j
b j a j a j ax x a a a a v b k x a i a
x i a x a a a a v b 113233212
12212222)(2)
(2222)(2===??=?===??=?=πππππππ
所以倒格子也是二维矩形格子。2b
方向短一半。
最近邻;,22b b -
次近邻;2,2,,2211b b b b --
再次近邻;,,,12122121b b b b b b b b
---+-
再再次近邻;3,322b b
-
做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得：
第一布里渊区是一个扁长方形；
第二布里渊区是2块梯形和2块三角形组成；
第三布里渊区是2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。
6．六方密堆结构的原胞基矢为：
k c a j a i a a j
a i a a
=+-=+=32123212321
试求倒格子基矢并画出第一布里渊区。
解：
原胞为简单六方结构。原胞体积：
c a j i j i c a i j ac j i a k c j i a j i a a a a v 223212
3)3()3(41)]3(2
1[)3(21])3(2
1[)3(21)
(=+?+=+?+=?+-?+=??=
倒格子基矢：
k
c
a a v
b j i a
j i a k c c a a a v
b j i a k
c j i a c a a a v b ππππ
ππππ2)(2)3(2)]3(21[2
32)(2)3(32])3(21
[232)(22132
1322321=?=+-=+?=
?=+=?+-=
?=
由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。（注意：倒格
子是简单六方，而不是六方密堆）
选六边形面心处格点为原点，则最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六面柱体。
次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。
再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六角柱体。
所以第一布里渊区是一个六角柱体。比倒格子六方要小。
7．略
8、证明一维NaCl 晶体的马德隆常数为2ln 2=α
证明：
，，则左右两侧对称分布任选一参考离子i
最近距离）
为晶格常数（正负离子；这里令a a a r j ij = .
为其中，异号为＋；同号; (4131211121)
＝那么，有：
-??
?
???+-+-=±
∑j j a α ......432)1ln(利用展开式：4
32+-+-=+x x x x x
(4)
1
312112ln ，得：1令+-+-==x
2ln 2=∴α
9、若离子间的排斥势用ρλr
e -来表示，只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结合能的表达式，并讨论参数λ和ρ应如何决定。 解：
离子为原点）
（以，则设最近邻离子间距离为i r a r r j ij = ???
?
???±=-=-，（最近邻以外）
4），（最近邻，4)(0202
/ij ij ij r ij r e r r r e e
r u ij πεπελρ ??
??
??-
±-=∑∑-≠最近邻
/)
(02
1
42总相互作用能为：
ρ
λπεr N
i
j j
e
a r
e N U
为最近邻离子数
其中)1......(....................；42
/02Z e Z r e N
U r ??????+-=
∴-ρλπεα
)
2.....(....................4；得：0由平衡条件：/2
0020
ρ
λπεραr r r e
Z r e r U -===???? ????)3...(....................142得：00
02
??
?
???-=
r r e N
U ρπεα )(结合能0r U E c -=
)4.........(. (91)
等离子晶体：
对于0
220r r r U Nr K NaCl =????
????= )5..(..........142181/23
00200??
?
???+-=∴-ρρλπεαr e Z r e r K )6........(..........1442181得：
)5(代入)2(将20023
020
???????+-=
ρπεαπεαr e r e r K
)7.....(.. (7224)
0020
2K
r e r e πεααρ+=∴ )8..(....................4得：)2(由/2
0020ρ
περαλr e Z r e =
10、如果NaCl 结构晶体中离子的电荷增加一倍，假定排斥势不变，试估计晶体的结合能及离子间的平衡距离将产生多大变化。 解：
)1........(42
总相互作用能02??
?
? ??--
=n r B r e N
U πεα
)2.(..........0421020020=???
? ??-=???? ?
???+=n r r r nB r e N r U πεα )2....(..........4得：'1
12
00-???
?
?
?=n e nB
r απε
)3.....(..........4得：)2(由1
002-=n r n
e B πεα
)4........(118)(得：)1(代入)3(0
02
0???? ?
?--
=n r e N r U πεα 1
11
00'4)
()
2(4)()
2(可知：
)4(和)2(时，由2变为当电荷由--==n n
n
e U e U e r e r e e
11、在一维单原子晶格中，若考虑每一院子于其余所有原子都有作用，在简谐近似下求格波的色散关系。
∑∑≠≠+
=-=j
i ij
ij j i ij ij u U u x U 2
00
41)(21解：在简谐近似下：
βφ
)(41个原子的运动方程：
第22
2∑≠??-=??-=j i ij ij n n n u u u U dt
u d m n β
)(41右边)
(2
)(2∑∑≠≠+??-=n j nj nj n i in in n u u u ββ
))()((41)
(2)(2∑∑≠≠-+-??-=n j n j nj n i i n in n u u u u u ββ
))()((21
)
()
(∑∑≠≠--
--=n
j n j nj n i i n in u u u u ββ
∑≠-=
)
()(n
i n i in u u β
∑-+=
-+p
n p n p
n p u u u )2(β
∑-+=
-=---+------p
n aq p n t i aq p n t i p
naq t i naq t i n u Ae Ae Ae m Ae u )2(代入上式得：设)
)(())(()(2)(ωωωωβω ∑-=p
p paq m
)cos 1(2整理，得：
2
βω
12、设有一维双原子晶格，两种院子的质量相等，最近邻原子间的力常数交错地等于1β和2β，试求格波的色散关系。
n
n n n n n n n u u u dt
u d m )()()(解：
2121121122ββυβυβυβυβ+-+=-+-=--
n
n n n n n n n u u u u dt d m υββββυβυβυ)()()(211121122
2+-+=-+-=++
)
()(;试探解：t naq i n t naq i n Be Ae u ωωυ----==
B
A Ae
B m A B Be A m iaq iaq )()(代入方程，得：2121221212ββββωββββω+-+=-+-+=--
0)
()
()(212
1221221=+-++--+-ββωββββωββm e e m iaq iaq
m
aq cos 2经计算，得：
212
221212
ββββββω++±+=
13、已知一维单原子晶格的格波色散关系为
)cos 1(2)(2qa M
q -=
β
ω
试求：(1)格波的模密度g(ω);
(2)低温下晶格热容与温度的比例关系。
?-=
))((2)(解：一维时，模密度q dq l
g ωω
δπ
ω
aqdq
M
a
d M aq sin 22;
21cos 由色散关系，得：2
βωωωβ
=-=
2/1422
24???
? ??-=∴ωβωββω
ωM M M a d dq ????
? ??--?=m q M q M M a q q d q l g ω
ωβωββωωδωωπω02/14
222)(4)())
(()()(22)( 2
/1422
24???
? ??-=
ωβωββω
πM M M
a l
?
-??=???? ????=m
T k d g T T E
C B ωυ
υ
ωω
ω
ω0
1)/exp()(晶格热容：
）
1项，（因为低温，略去4<<ωω
?
-???=∴m
B T
k e d M M a l T
C ωω
υ
ω
ωωβ
βωπ0
1 ?
∞
-??=0
1
ω
ω
βπω
d e
T
M a
l
T
k B
)似为无穷大主要，所以上限可以近因为低温，频率低的占(
?∞
-=0
2
22)
1(dx e e x T k M a
l x
x
B
βπ
3
经计算，上面积分＝
2
π
T M
a lk C B ?=
∴β
πυ
32
14、将Debye 模型用于一维晶格，求低温下晶格热容与温度的关系，并和上题的结果进行比较，讨论Debye 模型的合理性。 cq =ω色散关系：解：对于德拜模型，有
cdq
d =∴ω
?+∞
∞
--?=
∴))((2)(q dq l g ωωδπ
ω
?∞-?=0
))((1q d c l ωωδωπ
?∞
-???=∴0
1
)
(T k B e g d T
C ω
υ
ω
ωω
?∞
-=
2
22)
1(dx e e x T k c l x
x
B
π
3
上面积分＝
2
π
T c k l C B ?=∴
32πυ
温的情况下。
有其合理性，尤其是低成正比，说明德拜模型
与上题结果比较，都与T
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52体心立方3π/ 8 ≈0.68面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密 排2π/ 6 ≈0.74金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为
面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线
根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；
一．本章习题 P272习题 1.试证理想六方密堆结构中c/a=. 一． 说明： C 是上下底面距离，a 是六边形边长。 二． 分析： 首先看是怎样密堆的。 如图(书图(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。 （同一面上有6个，上下各有3个） 上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。 中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。球心之间距离为a 。 所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。 三． 证明： 如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点 3 3 'a AB AO = = ∴ （由余弦定理 ) 330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=οο ο 633.13 22384132)2()2()3 ()2(2 22 222 22 2 2' '≈===∴+=+=+ =a c c a a c a a c OA AO OO
2．若晶胞基矢c b a ρ ρρ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 一、分析： 我们想到倒格矢与面间距的关系G d ρπ 2=。 倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G ρρρρ ++= 写出)(321b b b ρρρ与正格子基矢 )(c b a ρ ρρ的关系。即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G ρ。进而求 得此面间距d 。 二、解： c b a ρρρΘ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ρρρρρρ ===,, 晶胞体积abc c b a v =??=)(ρ ρρ 倒格子基矢： k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρπππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=?=?==?=?==?=?= 而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππρρρρρρρρ 故（hkl ） 晶面族的面间距 2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d ++= ++= =ππ π ρ
《固体物理学》习题解答 ( 仅供参考) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院2003级
2006年6月 第一章 晶体结构 1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl － 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。 由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 12 3()2()2()2a a a ? =+?? ?=+?? ?=+?? a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为： ,,.a a a =?? =??=? a i b j c k 2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的 晶面指数()h k l m 。 解： (1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢 上的截矩分别为：１，１，1 2 -，１。所以， 其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1 2-，∞。 所以，其晶面指数为()1120。 (3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。 (4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。 3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为： 简立方： 6 π ；六角密集：6；金刚石： 。 证明： 由于晶格常数为a ，所以： (1)．构成简立方时，最大球半径为2 m a R = ，每个原胞中占有一个原子， 3 34326m a V a π π??∴== ??? 36 m V a π∴ = (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子， 3 3 422348m V a π??∴=?= ? ??? 32m V a ∴ = (3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子， 3 3 444346 m V a a π??∴=?= ? ???
中山大学本科生期中考试 考试科目：《固体物理》（A卷） 学年学期：2017学年第1学期姓名： 学院/系：电子与信息工程学院学号： 考试方式：开卷年级专业： 考试时长：120分钟班别： “考试作弊者，不授予学士学位。” ------------以下为试题区域，共四道大题，总分100分,考生请在答题纸上作答------------ 一、判断题（共15小题，每小题2分，共30分） 1.晶胞是描述晶体结构的最小体积重复单元。（×）原胞 复习：晶胞、原胞、维格纳赛茨原胞； 2.对于一定的布喇菲晶格，基矢的选择是不唯一的，但是对应的倒格子空间是唯一的。（√） 复习：倒格子的定义，第一布里渊区的选取： 3.二维蜂房结构分别有声学支格波和光学支格波各2支。（√） 复习：二维蜂房结构的倒格子怎么画？ 4.即使在绝对零度，价电子与晶格仍有能量交换。（×） 复习：晶格热运动和温度的关系？高温区，低温区，绝缘体，导体 晶格无热运动，不激发声子 5.声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒，但声子数不守恒。（√）
复习：能量转移表现为声子数目的增加或减小，能量振子 6.非常低的温度下，短波声子才会被热激发。（×） 复习：长波声子被激发，短波声子在高温下被激发 7.面心立方的致密度与六角密堆相同，但小于体心立方的致密度。（×） 复习：面心立方和六角密堆致密度是最大的，密堆积，0.74的致密度，大于体心立方的致密度0.68. 8.布拉格反射发生在晶体的边界上。（×） 复习：是晶体中所有原子都参与的反射。 9.对于一维双原子问题，声学波原胞中两种原子振动相位基本相同，无相对振动。（×） 复习：长波近似下，无相对振动。 10.NaCl晶体具有一些金刚石没有的衍射斑点。（√） 复习：KCl、fcc、bcc…. 11.每个布里渊区的体积均相等，都等于倒格子原胞的体积。（√） 复习：布里渊区怎么选取，如果求第一布里渊区边界。 12.声子服从费米－狄拉克统计。（×）玻色统计 13.格波的色散关系只能在第一布里渊区表示才有物理意义。（√） 对的也可以，错的也可以，错的应该改为晶格振动中，格波的色散关系只在第一布里渊区才有物理意义，考虑到与其他体系，如电子的相互作用，便把它拓展到其他布里渊区。见PPT 14.在格波中，光学波为极化波，而短声学支为弹性波。（×）对换 15.当光与光学波相互作用时，称为布里渊散射；当光与声学波相互作用时，称为拉曼散射。 （×）对换 二、选择题（共3小题，每小题3分，共9分） 1.一立方晶系的晶格常数为a，如图所示的三角形平面的晶面指数为（C） A．（112）；B. （122）；C. （221）；D. （211）；E. （110） 此晶面的晶面间距为（E）
固体物理基础解答吴代鸣
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１.试证理想六方密堆结构中c/a ＝1．633. 证明： 如图所示,六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构,其高度为 2.若晶胞基矢c b a ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 解： c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ===,, 晶胞体积abc c b a v =??=)( 倒格子基矢: k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=?=?==?=?==?=?= 而与 (h ｋl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ 故（hkl ） 晶面族的面间距 2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d ++= ++= =ππ π
３.若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择?每个原胞含有几个原子? 答: 通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。 体心,八个顶点中取一个,对面面心各取一个原子(即三个)作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。 4．试求面心立方结构的(111)和（11０)面的原子面密度。 解: (１11)面 平均每个（１11)面有22 1 3613=?+?个原子。 （１11)面面积 ()222232 322)2 2( )2(22 1 a a a a a a =?= -? 所以原子面密度2 2)111(34 2 32a a = = σ (1１０)面 平均每个(110）面有22 1 2414=?+? 个原子。 (１10）面面积2 22a a a =? 所以（11０)面原子面密度22 )110(2 22a a ==σ 5.设二维矩形格子的基矢为j a a i a a 2,21==，试画出第一、二、三、布里渊区。 解： 倒格子基矢: j b j a j a j ax x a a a a v b k x a i a x i a x a a a a v b 113233212 12212222)(2) (2222)(2===??=?===??=?=πππππππ 所以倒格子也是二维矩形格子。2b 方向短一半。 最近邻;,22b b - 次近邻;2,2,,2211b b b b -- 再次近邻;,,,12122121b b b b b b b b ---+- 再再次近邻;3,322b b - 做所有这些点与原点间连线的垂直平分线,围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得: 第一布里渊区是一个扁长方形; 第二布里渊区是2块梯形和２块三角形组成； 第三布里渊区是２对对角三角和４个小三角以及2个等腰梯形组成。
1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633. 证明： 如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为 2．若晶胞基矢c b a ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 解： c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ,, 晶胞体积abc c b a v )( 倒格子基矢： k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b 2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321 而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G 故（hkl ） 晶面族的面间距 2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d 3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？ 答： 通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。 体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立
方格子。 4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。 解： （111）面 平均每个（111）面有22 1 3613 个原子。 （111）面面积 222232 322)2 2( )2(22 1 a a a a a a 所以原子面密度2 2)111(34 2 32a a （110）面 平均每个（110）面有22 1 2414 个原子。 （110）面面积2 22a a a 所以（110）面原子面密度22 )110(2 22a a 5．设二维矩形格子的基矢为j a a i a a 2,21 ，试画出第一、二、三、布里渊区。 解： 倒格子基矢： j b j a j a j ax x a a a a v b k x a i a x i a x a a a a v b 113233212 12212222)(2) (2222)(2 所以倒格子也是二维矩形格子。2b 方向短一半。 最近邻;,22b b 次近邻;2,2,,2211b b b b 再次近邻;,,,12122121b b b b b b b b 再再次近邻;3,322b b 做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得： 第一布里渊区是一个扁长方形； 第二布里渊区是2块梯形和2块三角形组成； 第三布里渊区是2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。 6．六方密堆结构的原胞基矢为：
附件1：教学大纲的基本格式和内容 （教学大纲封面） 中山大学 本科课程教学大纲 学院（系）物理学院 课程名称群论简介 二〇一七年
群论简介（Introductory Group Theory）教学大纲 （编写日期：2018年7月） 一、课程基本说明 二、课程基本内容 （一）教学进度表 （含学时分配，学时分配要落实到“章”或“节”，并对各章节的重点、难点内容加以必要的说明）
（二）教学环节安排 （对各种教学环节的安排如：实验、实习、习题课、作业等以及本课程与其他相关课程的联系、分工等作必要说明） 本课程是我校物理学专业理论物理方向的专业基础课之一，由于知识点多而且有一定难度，学生在学习的过程中应以消化吸收课程知识内容为主，不宜做过多的题海练习。平时作业以补充完善课堂中未来得及讲授的证明或计算过程、应用课堂讲授的方法去解决前沿文献中的问题为主。由于学时有限以及可能遇到节假日的放假影响，部分课程内容还可留给学生自学。 （三）教学方法 （包括课堂讲授、提问研讨，课后习题和答疑等情况） 课堂讲授采用启发式教学方法，在讲课中注意问题的提出、问题处理的设想和问题的处理方法，引导学生去思考、讨论和研究，激发学生的学习热情；对重点内容要讲透，难点要讲清，例题要选好，分析方法要一般化，能起到举一反三的作用；引导和鼓励学生应用在课堂上所学到的知识和方法，去解决前沿文献中遇到的物理问题。 （四）课程教材 1、主讲教材 张宏浩，《群论讲义》 2、辅助教材 韩其智，孙洪洲，《群论》，北京大学出版社，1987 （五）主要参考书目 （要求推荐若干参考书，并注明书名、作者、出版社、版本、出版日期等） 马中骐，《物理学中的群论》，科学出版社，第二版，2006 徐婉裳，喀兴林《群论及其在固体物理中的应用》，高等教育出版社，1995
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3
个人简历 物理科学与工程技术学院 材料物理 姓名: 学历：本科 地址: 电话:
姓名：性别：男 出生年月：健康状况:良好 毕业院校： 电子邮件： 通信地址： 邮编：000000 联系电话：00000000 教育背景 ●专业：材料物理 ●语言程度：英语四级，有良好的听、说、读、写能力；能流利用普通话、 广州话交流。 ●学历：物理学学士 ●计算机程度：熟悉掌握C、汇编语言，有较多的工作经验； 熟悉WINDOWS操作系统，了解UNIX和LINUX系统; 熟悉计算机硬件及架设计算机网络。 可运用frontpage制作网页 求职意向 具有数学，物理背景的计算工作，对磁场计算感兴趣 学习成绩 优秀，曾获两年奖学金，熟悉数字电路和模拟电路，熟悉计算软件。性格特点 为人踏实，乐观上进，工作刻苦钻研，能进行长时间的连续工作，有
很好的团队协作精神。 实验室工作 ?2001，7—2001，9中大电介质实验室一中型电路的研发工作?2002年2月在低温实验室参与纳米材料的研制与测试 社会工作 ★西码公司促销员 ★安利公司营销代表 学生工作 ★班团支书，专业班班长 ★学生会学术部部长 ★组织理工学院物理系迎新晚会 ★成立理工学院家电维修小组，策划全校的电器维修活动 ★策划组织理工学院迎澳门回归晚会 ★组织理工学院首届运动会 ★组织理工学院每年的圣诞晚会 核心课程： 电路理论分析电工学实 验 课 程 普通物理实验 微机原理与接口试验 模拟电子技术试验 近代物理实验 材料物理实验
主要课程机械基础 算法语言与程序设计 数学物理方法 专业英语 高等数学 线性数学 理论物理 普通物理 量子力学 数理统计 专 业 课 程 模拟电子技术 数字电路技术 结构与物性 固体物理 铁磁学及磁性材料 现代材料分析技术 材料科学导论 材料制备技术 微机原理 选 修 课 程 计算机网络原理 市场营销
东南大学考试卷（A 卷） 固体物理基础 课程名称 适用专业电子科学与技术（类） 考试形式 考试学期 得分 闭卷 考试时间长度 120分钟 一.填空题（41分） 1 ?波函数的统计解释是波函数在空间某一点的强度（波函数绝对值的平方） _______ 。 氢原子”模型均属束缚态问题，它们的定态薛定谔方程的解 。 :2 ?无限深势阱”谐振子”和 其能量特性具有这样一些共性： 自 觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效 3.质量为m 的粒子处于能量为 势场为 。 I --------------------------------------------------------------------- 4?固体物理学原胞体积相同的简立方、体心立方和面心立方其晶格常数之比 为 ;第一布里渊区的体积之比为 ________________ ;第二布里渊区的体积之 比又为 。 i| ------------------------------------------------------------- 5 ?按三种统计法，现将两个粒子分配在三个不同格子中。对于麦克斯韦 -玻尔兹曼分布有 线 线 ______ 种安排方法；对于费米-狄拉克分布有 ___________ 种安排方法；对于玻色-爱因斯坦分布有 ______ 种安排方法。 E 的本征态，波函数为 6 ?在一维双原子晶格中，两种原子的质量分别为 为a ，那么色散关系曲线中，格波波矢 q 封 ;又格波波矢q ，那么粒子所处的 g 和口 2 （口 m 2），若同种原子间的间距 时，光学波频率取最大值，且 时，声学波频率取最大值，且 A m ax o m ax : 3 7 ?在晶格常数为a 的一维单原子晶格中，波长为 a ; 4 长为 __________________ 的格波，它们的振动状态相同。 密&对晶体热阻起主要作用的声子碰撞过程是 ___________________ ________________________________ ，动量守衡条件为 _ 的格波与处于第一布里渊区的波 过程，该过程能量守衡条件为 9 ?氢原子中的电子运动状态用四个量子数来描述，其波函数记为 子的运动状态用四个量子数来描述，其波函数可记为 个，它们分别记为 nlmg s （r,,），其氢原 nlm l m s ， 若 n 2，对应的运动状态有 （用 nlm i m s 形式表示出来）。 10?限制在一个长度为L 的一维金属线中的N 个自由电子。电子能量E （k ）上，那么 2m 电子的状态密度（考虑自旋）为 ;一维系统在绝对零度的费米能量
《电子工程物理基础》课后习题参考答案 第一章 微观粒子的状态 1-一维运动的粒子处在下面状态 (0,0)() (0) x Axe x x x λλψ-?≥>=? =??==?
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。
1． 基元，点阵，原胞，晶胞，布拉菲格子，简单格子，复式格子。 基元：在具体的晶体中，每个粒子都是在空间重复排列的最小单元； 点阵：晶体结构的显著特征就是粒子排列的周期性，这种周期性的阵列称为点阵； 原胞：只考虑点阵周期性的最小重复性单元； 晶胞：同时计及周期性与对称性的尽可能小的重复单元； 布拉菲格子：是矢量Rn=mA1+nA2+lA3全部端点的集合，A1，A2，A3分别为格点到邻近三个不共面格点的矢量； 简单格子：每个基元中只有一个原子或离子的晶体； 复式格子：每个基元中包含一个以上的原子或离子的晶体； 2． 晶体的宏观基本对称操作，点群，螺旋轴，滑移面，空间群。 宏观基本对称操作：1、2、3、4、6、i 、m 、4， 点群：元素为宏观对称操作的群 螺旋轴：n 度螺旋轴是绕轴旋转2/n π与沿转轴方向平移T t j n =的复合操作 滑移面：对某一平面作镜像反映后再沿平行于镜面的某方向平移该方向周期的一半的复合操作 空间群：保持晶体不变的所有对称操作 3． 晶向指数，晶面指数，密勒指数，面间距，配位数，密堆积。 晶向（列）指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行直线族上，取一个格点沿晶向到邻近格点的位移基失由互质的（l1/l2/l3）表示； 晶面指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行平面族上，取原胞基失为坐标轴取离原点最近晶面与三个基失上的截距的倒数由互质的（h1/h2/h3）表示； 密勒指数：晶胞基失的坐标系下的晶面指数； 配位数：晶体中每个原子（离子）周围的最近邻离子数称之为该晶体的配位数； 面间距：晶面族中相邻平面的间距； 密堆积：空间内最大密度将原子球堆砌起来仍有周期性的堆砌结构； 4． 倒易点阵，倒格子原胞，布里渊区。 倒易点阵：有一系列在倒空间周期性排列的点-倒格点构成。倒格点的位置可由倒格子基矢表示，倒格子基矢由…确定 倒格子原胞：倒空间的周期性重复单元（区域），每个单元包含一个倒格点 布里渊区：在倒格子中如以某个倒格点作为原点，画出所有倒格矢的垂直平分面，可得到倒格子的魏格纳塞茨原胞，即第一布里渊区 5． 布拉格方程，劳厄方程，几何结构因子。 劳厄方程0(s s )m m R S λ?-= 布拉格方程2sin hkl d m θλ=
固体物理基础答案解 析吴代鸣
1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633. 证明： 如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为 2．若晶胞基矢c b a ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 解： c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ===,, 晶胞体积abc c b a v =??=)( 倒格子基矢： k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=?=?==?=?==?=?= 而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ 故（hkl ） 晶面族的面间距
2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d ++= ++= =ππ π 3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？ 答： 通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。 体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。 4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。 解： （111）面 平均每个（111）面有22 1 3613=?+?个原子。 （111）面面积( )222232 322)2 2( )2(221 a a a a a a =?= -? 所以原子面密度2 2)111(34 2 32a a = = σ （110）面 平均每个（110）面有22 1 2414=?+? 个原子。 （110）面面积222a a a =? 所以（110）面原子面密度2 2 )110(222a a = = σ 5．设二维矩形格子的基矢为j a a i a a 2,21==，试画出第一、二、三、布里渊区。 解： 倒格子基矢： j b j a j a j ax x a a a a v b k x a i a x i a x a a a a v b 113233212 12212222)(2) (2222)(2===??=?===??=?=πππ ππππ 所以倒格子也是二维矩形格子。2b 方向短一半。
固体物理部分题目答案 注：这些题目可能与课本上有出入，大家抄题时以课本为主。还有其它题目请大家自己解决。 （本题可能与5.3题有关）6.3若将银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量 1)费密能量和费密温度 2）费米球半径 3）费米速度 4） 费米球面的横截面积 5） 在室温以及低温时电子的平均自由程 解 1）费密能量2 022/3(3)2F E n m π=h 210/3(3)F k n π= 6293 313410.5100.58610/107.87 9.11101.0510A n N m m kg J s --=??=?=?=??h 0198.8210 5.5F E J eV -=?= 费密温度046.410F F B E T K k ==? 2) 费密球半径 020()2F F k E m =h 0F k =0198.8210F E J -=? 01011.210F k m -=? 3) 费密速度0F F k v m =h 61.3810F v m s =? 4) 费密球面的横截面积02022(sin )sin F F S k k πθπθ== ――θ是F k u u r 与z 轴间夹角 21/3(3)F k n π= 2223 (3)sin S n ππθ= 5) 在室温以及低温时电子的平均自由程 电导率1σρ = 20()1 F nq E m τρ= 驰豫时间02()F m E nq τρ=平均自由程0()F F l v E τ= 2F mv l nq ρ=2F k nq ρ =h 0 K 到室温之间的费密半径变化很小01011.210F F k k m -==? 平均自由程02F k l nq ρ=h 将 19293 34010162956201.6100.58610/1.05101.2101.61100.03810F T K T K q C n m J s k m cm cm ρρ----=-==?=?=??=?=?Ω?=?Ω?h 代入 8295 5.241052.4T K l m nm -==?= 6320 2.210 2.210T K l m nm -==?=? 6.2已知一维晶体的电子能带可写成)2cos cos ()(818722 ka ka ma k E +-=η式中a 为晶格常数， 试求：(i)能带宽度 )2cos cos ()(818722 ka ka ma k E +-=η (ii)电子在波矢k 时的速度 (iii)能带底和顶的有效质量 解：(i) 0=dk dE 可解得：
1.1对于体积V 内N 个电子的自由电子气体，证明 （1）电子气体的压强 ()() V p 032ξ?=，其中 0ξ为电子气体的基态能量。 （2）体弹性模量()V p V K ??-=为V 100ξ 解：（1） () 3 2 352225 223101101-==V N m h V m k h F πππξ （1.1.1） () () () ()() V V N m h V N m h V N m h V V p 035 352223535222323522223101323231013101ξππππππξ?==??? ? ??--=??? ? ????=??-=--- （1.1.2） （2） ()() () () V V N m h V N m h V V N m h V V V p V K 1031019103531013231013203 8 35222 383 52 22 353522 2ξππππππ==??? ? ??--=??? ? ????-=??-=--- （1.1.3） 1.2 He 3 原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附近，液体He 3 的密度为0.081g ?cm -3。 计算费米能量F ε和费米温度F T 。He 3 原子的质量为g m 24105-?≈。 解：把 He 3 原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1. 3 2832224 1062.11062.1105081 .01m cm m Z n m ?=?=??== --ρ （1.2.1） ( ) 19173 1 2 108279.7108279.73--?=?==m cm n k F π （1.2.2） () eV J m k F F 42327 2 9 3422102626.41080174.6100.52108279.710055.12----?=?=?????= =ηε （1.2.3） K k T B F F 92.410381.1106.801742323=??==--ε （1.2.4）
中山大学个人简
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个人简历 个 性 特 点 乐观向上，幽默风趣，诚实守信， 为事认真负责 好学上进，自学能力强。 善于与人合作，同时独立能力强。 姓名 性别 男 贴 照 片 处 民族 汉 政治面貌 团员 出生年月 1980年8月 健康状况 良好 生源地 湖南永州 学历 本科 主修专业 物理 培养方式 国家任务 联系方式 020-8411 通讯地址 广州中山大学理工学院物理系xx 级 个人简历 自何时起至何时止 在何处学习 1995年9月—1998年7月 1998年9月—2002年7月 湖南省双牌县二中 广州市中山大学物理系 奖学金 曾获一次三等奖学金 计 算 机 水 平 熟悉Windows 操作熟悉C 语言和Foxpro ；会应用Word2000 , Excel2000等多种办 公软件。 爱好 及 特长 文学，体育，计算机编程和网络 英语水平 六级，有一定听说读写译能力
人生格言Maybe I am not the best but I am special, And I will keep trying to become better 课程简介 主修专业:物理学 主修课基 础 必 修 课 程 ★大学英语★当代资本主义经济 ★线性代数★邓小平概论 ★高等数学★中国近现代发展史论 ★军事教育★科学世界观与方法论 ★人生修养导论 专 业 必 修 课 物 理 类 ★力学★数学物理方法 ★电磁学★电路基础与模拟电路 ★热学★电子线路实验 ★普通物理实验★数字电子技术 ★光学★固体物理 ★原子物理★结构与物性 ★四大力学（电动力学，热力学统计物理，理论力学，量 子力学） ★近代物理实验★计算机应用基础 ★算法语言与程序设计★微机原理与应用
中山大学物理科学与工程技术学院 信息显示与光电子技术专业2011年本科培养方案 一、培养目标 以培养适合国家经济建设需要、德智体全面发展的人才为宗旨，培养能够适应当代信息技术发展的需要，在信息显示技术领域具有扎实的理论基础、较宽广的专业知识、熟练的工程技术的高级专业人才。学生通过学习信息显示和发光器件的原理、微纳加工工艺技术、器件特性表征与检测技术、显示系统设计和制造技术等方面的专业知识，接受平板显示相关工程技术的实践训练，将具备从事光电显示器件、系统集成与应用等方面的研究、设计、开发和应用的能力。学生毕业后可以从事信息显示领域相关的研究、设计、开发、制造、应用和管理工作，也可以继续攻读微电子学与固体电子学、光学工程、电子科学与技术等方向的硕士/博士学位。 二、培养规格和要求 本专业为学制四年大学本科专业。要求学生完成所有必修课、专业限定选修课程和公共选修课，并符合下列条件： 1.拥护中国共产党的领导，坚持四项基本原则，遵纪守法；努力学习马列主义、毛 泽东思想和邓小平建设中国特色社会主义的理论；热爱社会主义祖国，热心为社会服务，有良好的道德品质和文明风尚; 2.掌握完善的基础理论，基本知识和基本技能，了解所学专业的新发展、新成就， 具有较强的汲取新知识、分析问题和解决问题的能力，具有初步的科研能力，能运用一种外国语以上较熟练阅读所学专业书刊，并具备一定的听说读写能力; 3.有良好的综合素质和健康的体魄。 三、授予学位： 按要求完成学业者授予工学学士学位。
四、毕业总学分及课内总学时 表中实践教学包括军事训练、公益劳动、人文基础与经典阅读、就业指导、教学生产实习和毕业论文等的非课内学时。教学生产实习一周，毕业论文十二周。 五、专业核心课程：按培养要求列出专业课程10门左右。
一、填空 1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。 2. 组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为_______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。 3. 在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。 5. 简单立方结构原子的配位数为______；体心立方结构原子的配位数为______。 6．NaCl 结构中存在_____个不等价原子，因此它是_______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的______________格子套构而成的。 7. 金刚石结构中存在______个不等价原子，因此它是_________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成，晶胞中有_____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=??===?≠?r r 当时 （，当时 关系的123,,b b b r r r 为基矢，由112233h K hb h b h b =++r r r r 构成的点阵，称为_______。 10. 晶格常数为a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为________。 11. 晶格常数为a 的面心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 12. 晶格常数为a 的体心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 13. 晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为________ 14. 体心立方的倒点阵是________________点阵，面心立方的倒点阵是________________点阵，简单立方的倒点阵是________________。 15. 一个二维正方晶格的第一布里渊区形状是________________。 16. 若简单立方晶格的晶格常数由a 增大为2a ，则第一布里渊区的体积变为原来的___________倍。