锐角三角函数的简单应用（方位角）(2)
【知识要点】
1．认清俯角与仰角
3． 解决此类问题的关键是将一般三角形问题，通过添加辅助线转化直角三角形问题。
【典型例题】
如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB 的楼顶A 点测得楼CD 的楼顶C 的仰角为45°，楼底D 的俯角为30°．求楼CD 的高。
若已知楼CD 高为30米，其他条件不变，你能求出两楼之间的距离BD 吗？
2．如图,飞机在距地面9km 高空上飞行,先在A 处测得正前方某小岛C 的俯角为30°,飞行一段距离后，在B 处测得该小岛的俯角为60°.求飞机的飞行距离。
30° 45° 45° 北
东
西 O 南 2．方位角： 如图，从O 点出发的视线与铅垂线 所成的锐角,叫做观测的方位角
3．如图,在一笔直的海岸线上有A,B两个观测站,A在B的正西方向,AB=2km,从A测得船C在北偏东60°的方向,从B测得船C在北偏西45°的方向.求船C离海岸线的距离.
4．气象局发出预报:如图, 沙尘暴在A市的正东方向400km的B处以40km/h的速度向北偏西600的方向转移,距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响,A市是否受到这次沙尘暴的影响?如果受到影响,将持续多长时间?
5．如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海里处有暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行, 行至A点处测得P在它的北偏东60度的方向, 继续行驶20分钟后, 到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45度方向. 问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?
课后练习：
【基础演练】
1．如图，一座塔的高度TC=120m ，甲、乙两人分别站在塔的西、东两侧的点A 、B 处，测得塔顶的仰角分别为28o、15o。求A 、B 两点间的距离_________（精确到0.1米） (参考数据：tan 280.53,tan150.27?≈?≈)
2．如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为60°和45°，则广告牌的高度BC 为_____________米(结果保留根号)．
3．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处向东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC
＝ 米（结果保留根号）．
题1图
题
2图 题3图 4．如图，在某广场上空飘着一只汽球P ，A 、B 是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角∠PAB=45o ，仰角∠PBA=30o ，求汽球P 的高度。（结果保留根号）
5．如图所示，A 、B 两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么？（参考数据：732.13≈，414.12≈）
6．海上有一小岛A ，它周围8.7海里内有暗礁，某海船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛在北偏东60°，航行10海里后到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30°，如果渔船不改变航向，继续向东追踪捕捞，有没有触礁的危险？
T
A B C 120m 28o 15o P A B E F 30o 45o
P A B C 30° 60° 北 A B
C D 6米 60° 45°
【能力升级】
7．大楼AD的高为10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60o，爬到楼顶D点测得塔顶B点的仰角为30o，求塔BC的高度。（结果保留根号）．
B
D
A C
初中数学《锐角三角函数的应用》教案 31.3锐角三角函数的应用 教学目标 1.能够把数学问题转化成数学问题。 2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。过程与方法 经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用。 情感态度与价值观 积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具。 重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。 难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。 教学过程 一、问题引入，了解仰角俯角的概念。 提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18，求A、B间的距离。 提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？
2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？ 教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角 的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。 二、测量物体的高度或宽度问题. 1.提出老问题，寻找新方法 我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。 利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？ 学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。 2.运用新方法，解决新问题. ⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30，测量仪距古塔60米，则古塔高（）米。 ⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45、30，已知C、D相距100米，那么山高（）米。 ⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得ACB ＝45，ABC＝60，求河宽（精确到0.1米）。 在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形
锐角三角函数 一．〖基础训练〗 1、在△ABC 中,∠C ＝90°,则sinA= ,cosA= tanA= cotA= . 2、根据直角三角形的 元素（至少有一个边）,求出 其它所有元素的过程,即解直角三角形 3．Rt △ABC 中,若sinA ＝45 ,AB ＝10,那么BC ＝ ,tanB ＝ 4．写出适合条件的锐角α Sin600= , tan300= ,cos α＝32 ,α= , 5、在△ABC 中,∠C ＝90°,AC=6,BC=8,那么sinA= 6、sin300+tan450= . 7、若sin α=cos70°,则角α等于 A ．70°； B ．60°； C ．45°； D ．20°． 8、（讲解）若∠A 为锐角,且cosA ≤ 12 ,那么（ ） A 、00≤A ≤600 B 、600≤A ≤900 C 、00≤A ≤300 D 、300≤A ≤90 0 二．〖中考在线〗（讲解） 1、（2004年中考题）．在△ABC 中,∠C ＝90°,sinA ＝35 ,则cosA 的值是（ ） （A ） 35 （B ）45 （C ）925 （D ）1625 2、如图,(2003年第21题)在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,tanB=cos ∠DAC. (1)求证：AC=BD （2）若sinC=1213 ,BC=12,求AD 的长. 三．〖考点训练〗 1．Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝6,AC ＝2,则sinA ＝（ ） （A ） 13 （B ）23 （C ）23 2 （D ）23 2．已知∠A ＋∠B ＝90°,则下列各式中正确的是（ ） A B C D
课题：锐角三角函数的实际应用 【基础知识回顾】 知识点1：锐角三角函数的概念（正弦、余弦、正切、余切） 技巧点拨： ①弦——分母都是斜边 ②正弦——分子是正对的边（谐音“正邪”) ③切——垂直的意思，只与直角边有关 ④正切——分子是正对的边 ⑤余——剩余的意思 余弦——分子是剩下的直角边（即邻边） 余切——分子是剩下的直角边（即邻边） 简记为：正弦——对比斜(或正比斜） 正切——对比邻 余弦——邻比斜 知识点2：常见的锐角三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 技巧点拨 sin α 21 22 23 分母都是2，分子分别是 √13 cos α 2 3 22 21 分母都是2，分子分别是 3√1 tan α 33 1 3 分母都是3，分子分别是 3、1、3 【新课知识讲解】 知识点3：解直角三角形 1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直 角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（三角形角和） （3）边角之间的关系：（锐角三角函数） b a B a b B c a B c b B a b A b a A c b A c a A ========cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin 知识点4:直击中考——解直角三角形的实际应用：测距、测高、测长 等 例1、如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方点P 处，此时飞机离地面的高度PO ＝450 m ，且A ，B ，O 三点在一条直线上，测得∠α＝30°，∠β＝45°，求大桥 AB 的长(结果保留根号)． 【分析】 第一步：确定相关直角三角形 本题中∠α、∠β分别在Rt ΔAOP 、Rt ΔBOP 中（由平行线错角相等转化已知角） 第二步：分别在直角三角形中列出已知角的锐角三角函数值 第三步：代入已知条件求值，并简答 【答案】 由题意得，ΔAOP 、ΔBOP 均为直角三角形， ∠PAO=∠α＝30°，∠PBO=∠β＝45°，PO=450m
备战中考数学锐角三角函数综合练习题附答案 一、锐角三角函数 1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）3 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 3，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE 5032 35 答：从无人机'A 上看目标D 2 35
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°． （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：， 【答案】（1）∠BPQ=30°； （2）该电线杆PQ的高度约为9m． 【解析】 试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解． 试题解析：延长PQ交直线AB于点E， （1）∠BPQ=90°-60°=30°； （2）设PE=x米． 在直角△APE中，∠A=45°， 则AE=PE=x米； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30°
人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析 一、选择题 1．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 与灯塔P 之间的距离为( ) A ．60海里 B ．45海里 C ．3 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP 的长，求出答案． 【详解】 解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°， 故AB=2AP=60（海里）， 则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为：22303AB AP -= 故选：D ． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键． 2．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解． 【详解】 利用垂径定理可知：32 2 AE = ．
sin∠AOD= 3 2 ，∴∠AOD=60°； sin∠AOE= 2 2 ，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°． 当两弦共弧的时候就是15°． 故选：C． 【点睛】 此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形. 3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（） A．23B．3C．33D．3 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，3， 所以BD=BA=2x，即可得33）x， 在Rt△ACD中，tan∠DAC= (32) 32 CD x AC + ==， 故选A. 4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC V如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE ∠的值是（）
锐角三角函数【知识梳理】 【思想方法】 1. 常用解题方法——设k法 2. 常用基本图形——双直角 【例题精讲】 例题1.在△ABC中，∠C=90°． （1）若cosA=1 2 ，则tanB=______;（?2）?若cosA= 4 5 ，则tanB=______． 例题2.（1）已知：cosα=2 3 ，则锐角α的取值范围是（） A．0°<α<30° B．45°<α<60° C．30°<α<45° D．60°<α<90° （2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（） A．tanθ>cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθ C．tanθ>sinθ>cosθ D．sinθ>tanθ>cosθ 例题3.（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠CAB=60°，?CD=3，BD=23，求AC，AB的长． 例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？ 例题5.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，?求AD、BC的长．
【当堂检测】 1.若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ） A.300 B.450 C.600 D.不能确定 2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD 的长为（ ） A.638 B.64 C.328 D.24 3.在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在BC 上取一点D ，使AC=CD ，则CD ：BD=（ ） A.213+ B.13- C.2 3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，b=310，则a= ，c= ； 5.已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34， 则底角∠B= ； 6.若∠A 是锐角，且cosA=5 3，则cos （900-A ）= ； 7.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1，sinA= 23，求tanA ，BC ． 8.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB=22，AC=BC=52，求AD 的长． 9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ B A D C A B C D C A B 第2题图 第8题图 第9题图
人教版初中数学锐角三角函数的知识点复习 一、选择题 1．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( ) A ．asinα+asinβ B ．acosα+acosβ C ．atanα+atanβ D ．tan tan a a αβ + 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝atanα，BD ＝atanβ，得出CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ即可． 【详解】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tanα＝ BC AB ，tanβ＝BD AB ， ∴BC ＝atanα，BD ＝atanβ， ∴CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ， 故选C ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC 和BD 是解题的关键． 2．如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值等于（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43 【答案】C 【解析】
试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4. ∵∠A=1 2 ∠BOC，∴∠A=∠BOD. ∴tanA=tan∠BOD= 4 3 BD OD . 故选D． 考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义． 3．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图： （1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（） A．∠ABD＝90°B．CA＝CB＝CD C．sinA＝ 3 2 D．cosD＝ 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论． 【详解】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确； ∴点B在以AD为直径的圆上， ∴∠ABD＝90°，故A正确； ∴点C是△ABD的外心，
锐角三角函数及其应用 命题点1 直角三角形的边角关系 1. (怀化6题4分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是() A. 3 5B. 3 4C. 4 5D. 4 3 第1题图第3题图 2. (怀化10题4分)在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝4 5,AC＝6 cm.则BC的长度为() A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm 3. (株洲15题3分)如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB＝10,EF＝2,那么AH 等于________． 4. (张家界16题3分)如图,在四边形ABCD中,AD＝AB＝BC,连接AC,且∠ACD＝ 30°,tan∠BAC＝23 3,CD＝3,则AC＝________． 第4题图 命题点2 锐角三角函数的实际应用 5. (益阳7题5分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB ＝α,则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)() A. h sinα B. h cosα C. h tanα D. h·cosα
第5题图第6题图第7题图 6. (益阳8题3分)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等,小明将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C＝α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为1米,则旗杆PA的高度为() A. 1 1－sinα B. 1 1＋sinα C. 1 1－cosα D. 1 1＋cosα 7. (岳阳14题4分)如图,一山坡的坡度为i＝1∶3,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了________米． 8. (邵阳22题8分)图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°,由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平面所形成的夹角∠OCA、∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1 cm,温馨提示：sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,3≈1.73)． 第8题图 9. (郴州22题8分)如图所示,C城市在A城市正东方向,现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC),经测量,森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上,在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上,已知森林保护区是以点P为圆心,100 km为半径的圆形区域,请问计划修建的这条高速铁路是否
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=， 2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到 1cm ）？ 【答案】 【解析】 过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm ，再再根据DC=DE+EC 进行解答即可． 2．如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以 为顶点作菱形 ，使点 在第一象限内，且 ；以 为圆心， 为 半径作圆．设点运动了秒，求： （1）点的坐标（用含的代数式表示）； （2）当点在运动过程中，所有使 与菱形 的边所在直线相切的的
值． 【答案】解：（1）过作轴于， ，， ，， 点的坐标为． （2）①当与相切时（如图1），切点为，此时， ，， ． ②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，， 过作于，则， ，． ③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，
则，， ． 过作轴于，则， ， 化简，得， 解得， ， ． 所求的值是，和． 【解析】 （1）过作轴于,利用三角函数求得OD、DC的长，从而求得点的坐标 ⊙P与菱形OABC的边所在直线相切，则可与OC相切；或与OA相切；或与AB相切，应分三种情况探讨：①当圆P与OC相切时，如图1所示，由切线的性质得到PC垂直于OC，再由OA=+t，根据菱形的边长相等得到OC=1+t，由∠AOC的度数求出∠POC为30°，在直角三角形POC中，利用锐角三角函数定义表示出cos30°=oc/op，表示出OC， 等于1+t列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；②当圆P与OA，即与x轴相切时，过P作PE垂直于OC，又PC=PO，利用三线合一得到E为OC的中点，OE为OC的一半，而OE=OPcos30°，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；③当圆P与AB所在的直线相切时，设切点为F，PF与OC交于点G，由切线的性质得到PF垂直于AB，则PF垂直于OC，由CD=FG，在直角三角形OCD中，利用锐角三角函数定义由OC表示出CD，即为FG，在直角三角形OPG中，利用OP表示出PG，用PG+GF表示出PF，根据PF=PC，表示出PC，过C作CH垂直于y轴，在直角三角形PHC中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值． 3．如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在
第1页/共1页 第5讲 锐角三角函数的 综合应用 ※题型讲练 【例1】如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC 中，AB =AC ，若过点C 作CD ⊥AB 于点D ．根据图形求tan ∠BCD 的值． 【例2】如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，，AC =6，D 为AC 上一点，若tan ∠DAB = ，求AD 的长． 【例3】如图，在△ABC 中∠C 是锐角，BC ＝a ，AB ＝c ． (1)证明：△ABC 的面积S △ABC = acsinB ； (2)若△ABC 是等边三角形，边长为4，求△ABC 的面积． 【例4】如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD 上． (1)求证：△ABF ∽△DFE ； (2)若sin ∠DFE ＝1 3 ，求tan ∠EBC 的值． 【例5】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上， 请按要求完成下列各题： (1)用签字笔画AD ∥BC （D 为格点），连接CD ； (2)请你在△ABD 的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是 ． (3)若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是 ． 【例6】如图，已知一次函数y =kx +b 的图象经过A (－2，－1)，B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ， (1)求该一次函数的解析式； (2)求tan ∠OCD 的值； (3)求证：∠AOB =135°． 【例7】已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别为sinθ 和cosθ，且锐角θ 的范围是0°<θ<45°． (1)求m 的值； (2)求方程的两根及此时θ的值． 【例8】已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC =10， BD =8． (1)若AC ⊥BD ，试求四边形ABCD 的面积 ； (2)若AC 与BD 的夹角∠AOD =60°，求四边形ABCD 的面积； (3)试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD ”改为“四边形ABCD ”，且∠AOD =θ，AC =a ，BD =b ，试求四边形ABCD 的面积（用含θ，a ，b 的代数式表示）． ※课后练习 1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝4 5 ，BC ＝10，则AB 的值是( ) A ．3 B ．6 C ．8 D ．9 1．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC =45°，OC =2，则点B 的坐标为( ) A ．(2，1) B ．(1，2) C ．(2+1，1) D ．(1，2+1) 3．在Rt △ABC 中，a 、b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C =90°，则a 3cosA +b 3cosB 等于（ ） A ．abc B ．(a +b )c 3 C ．c 3 D ． 4．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．24 5．如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P (3，4)，则 sinα= ． 6．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cosA =3 5，BE =4， 则tan ∠DBE 的值是 ． 7．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若tan ∠AEH =4 3，四边形EFGH 的周长为40，则矩 形ABCD 的面积为 ． 8．如图，已知：在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，AB ＝82． 求△ABC 的面积(结果可保留根号)． 9．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB =cos ∠DAC ． (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC = ，BC =12，求AD 的长． 10．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝b ，BC ＝a ． 求证： ． 11．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在A 1处，已知OA =3，AB =1，求点A 1的坐标. 12．如图，△ABC 是等腰三角形，∠ACB =90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 5 1 2 1() . abc a b c +B b A a sin sin =13 12 第4题图 第2题图 第6题图 第7题图 第1题图 第5题图
【2020】人教版中考数学《锐角三角函数》 专题及答案 一、选择题 1. 如图，在△ABC 中，CA = CB = 4，cos C=1 4，则sinB 的值为（▲） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 2..如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于（ ） A ．asinx+bsinx B ．acosx+bcosx C ．asinx+bcosx D ．acosx+bsinx 【答案】D 【解析】作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC ，∠BCO=x ，∴∠EAB=x ，∴∠FBA=x ，∵AB=a ，AD=b ，∴FO=FB+BO=a ?cosx+b ?sinx ，故选D ． 3．如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB 走到山顶B 点.已知坡角为20°，山高BC ＝2千米. A. B. C. D. BC AB 2 sin 20sin 20BC .故按键顺序为 20° 2
4.已知∠α为锐角，且sinα=1 2，则∠α=（） A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A 【解析】∵∠α为锐角，且sinα=1 2，∴∠α=30°．故选A. 5.矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B （32，2），点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD ⊥PC 交x 轴于点D ，下列结论：①OA=BC= 32；②当点D 运动到OA 的中点处时，PC 2+PD 2=7；③在运动过程中，∠CDP 是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为(33 2,0)，其中正确结论的个数是（） A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 【答案】D 【解析】已知B （32，2），所以OA=BC=32，故①正确；当点D 运动到OA 的中点处时， OD=3，而OC=2，所以OC 2=7，在直角三角形CPD 中，PC 2+PD 2 =7，故②正确；过点P 作PD ⊥ PC 交x 轴于点D ，所以在运动过程中，∠CDP 是一个定值，故③正确；当△ODP 为等腰三角形时， OC ⊥BD ，∠CDO=60°所以3 OD OC ，即OD=332，所以点D 的坐标为(332,0). 6. 如图，在△ABC 中，CA = CB = 4，cos C=1 4，则sinB 的值为（▲） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵cosC=1 4，AC=4，∴CD=1，∴BD=3， AD= B
人教版初中数学锐角三角函数的图文解析 一、选择题 1．如图，已知△A 1B 1C 1的顶点C 1与平面直角坐标系的原点O 重合，顶点A 1、B 1分别位于x 轴与y 轴上，且C 1A 1＝1，∠C 1A 1B 1＝60°，将△A 1B 1C 1沿着x 轴做翻转运动，依次可得到△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3等等，则C 2019的坐标为（ ） A ．（30） B ．（3，0） C ．（4035233 D ．（30） 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，又因为20193673÷=，那么2019C 相当于第一个循环体的3673C 个即可算出. 【详解】 由题意知，111C A =，11160C A B ?∠=， 则11130C B A ?∠=，11222A B A B ==，1122333C B C B C B === 结合图形可知，三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环， Q 20193673÷=， ∴2019673(123)20196733OC =+=+， ∴2019C (20196733,0)+， 故选B . 【点睛】 考查解直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，结合找规律.理解题目中每三次是一个循环是解题关键. 2．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D 处，测得信号塔A 的俯角为40?，若55DE =米，DE CE ⊥，36CE =米，CE 平行于AB ，BC 的坡度为1:0.75i =，坡长140BC =米，则AB 的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin 400.64?≈，cos400.77?≈，tan 400.84?≈）
中考数学锐角三角函数综合经典题含答案 一、锐角三角函数 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案． 试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°， ∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，
2020-2021中考专题复习：锐角三角函数及其应用 一、选择题 1. （2020·玉林）sin 45°的值是（ ） A ．12 B ．2 C ．2 D ．1 2. (2019?天津) 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3. 在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝4 5，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( ) A . 6 cm B . 7 cm C . 8 cm D . 9 cm 4. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则房屋顶上弦杆AB 的长为( ) A.95sin α m B.95cos α m C.59sin α m D.59cos α m 5. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在 同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于 A ．asinx+bsinx B ．acosx+bcosx C ．asinx+bcosx D ．acosx+bsinx
6. （2020?湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上， 矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边AB ＝a ，BC ＝b ，∠DAO ＝x ，则点C 到x 轴的距离等于（ ） A ．a cos x +b sin x B ．a cos x +b cos x C ．a sin x +b cos x D ．a sin x +b sin x 7. 如图，以 O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵ 上一点(不与A ，B 重合)， 连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( ) A . (sin α，sin α) B . (cos α，cos α) C . (cos α，sin α) D . (sin α，cos α) 8. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ， 若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为( ) A . 12 B . 22 C . 32 D . 33 二、填空题 9. 【题目】 （2020·攀枝花）sin60?= . 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝ 15 8 ，则AB ＝________． 11. (2019·浙江衢州)如图，人字梯AB ，AC 的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的 高度AD 是__________米(结果精确到0.1m ．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．
第二十八章锐角三角函数 28．1 锐角三角函数（1） 教学目标： 1、知识与技能：通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。能根据正弦概念正确进行计算。 2、过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． 3、情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 教学重点： 理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 教学难点： 引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实． 教学过程： 一、复习旧知、引入新课 【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测 量旗杆高度。小明站在离旗杆底部10米远处，目 测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦 34 1米 10 米 ?
二、探索新知 【活动一】问题的引入 【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 分析：问题转化为，在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求AB 根据“在直角三角形中，30o 角所对的边等于斜边的一半”，即 可得AB=2BC=70m.即需要准备70m 长的水管 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 2 1 【问题二】如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比 AB BC ，能得到什么结论？（学生思考） 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 2 2。 【问题三】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 如图：Rt △ABC 与Rt △A 1B 1C 1中，∠C=∠C 1=90o ， ∠A=∠A 1=α，那么与 有 什么关系 分析：由于∠C=∠C 1 =90o ，∠A=∠A 1=α，所以Rt△ABC∽Rt△A 1B 1C 1， ，即
九年级思维拓展：锐角三角函数的综合运用 ? 知识点睛 1. 利用锐角三角函数解直角三角形 （1）直角三角形中，除直角外，共有五个元素．即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素． （2）利用解直角三角形解决实际问题： ①将实际问题抽象为数学问题 画图平面图形，提取信息并标注，明确所求目标及判断标准，转化为解直角三角形的问题． ②根据问题中的条件，选用适当的锐角三角函数和其他信息解直角三角形 作高是构造直角三角形的常见手段；在分析直角三角形时，往往先从已知边长的直角三角形出发；若没有完整边长，则通常考虑从两个直角三角形的相等线段长出发，先设，然后借助三角函数值表达其他边长后进行求解． ③求解验证，回归实际 结合实际场景和判断标准进行比较后，确定判断结果，回归实际场景． 2. 利用锐角三角函数解三角形 （1）在三角形中，由已知的边、角出发，求未知边、角的过程叫做解三角形．已知边指已知该边的长度，已知角指已知该角的三角函数值．解三角形时，往往会通过作高的方式将三角形分割为2个直角三角形进行研究；作高时，一般要保留已知三角函数值的角． （2）常见的可解三角形 ①1边2角 β αc C B A βα a C B A ②2边1角 αc a C B A αb a C B A 注：当一个三角形具有三个元素，但不能利用全等判定确定形状唯一时，三角形可解，但图形不唯一． ③3边
b c a B A ④1边1角2表达 αa C B A α b B A AB =mAC AB +BC =n 3. 锐角三角函数在综合问题中的应用 研究题目背景往往是分析综合问题的第一步，可以帮助我们找到题目中隐藏的信息——已知三角函数值的角． ①在直角三角形中研究边，分析直角三角形三边之比，判断两锐角的三角函数值是否已知； ②研究角度，来转移计算，判断背景中是否有特殊角（30°，45°，60°，150°，135°，120°），比如由三角形中60°，75°可以计算出第3个角为45°． ? 精讲精练 1. （2019河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者） 的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55 m 的小山EC 上，在A 处测得塑像底部E 的仰角为34°，再沿AC 方向前进21 m 到达B 处，测得塑像顶部D 的仰角为60°，求炎帝塑像DE 的高度．（精确到1 m ．参考数据：sin 34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67 1.73 ） 60°34° A B C D E
九年级数学教案
第二十八章锐角三角函数 教材分析： 本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。 本章内容与已学"相似三角形""勾股定理"等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。 学情分析： 锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号 sinA 、 cosA 、 tanA 表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。 28．1 锐角三角函数（1） 第一课时 教学目标： 知识与技能： 1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、能根据正弦概念正确进行计算 3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。 过程与方法： 通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． 情感态度与价值观： 引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 重难点： 1．重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 2．难点与关键：难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实． 教学过程： 一、复习旧知、引入新课 【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片） 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。 你想知道小明怎样算出的吗？ ? 34 1 10