2017 全国各地中考数学压轴题汇编之一
1．（2017 江苏淮安，28，14 分）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝-1
x2+bx+c 3
的图像与坐标轴交于A、B、C 三点，其中点A 的坐标为（－3，0），点B 的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒1 个单位长度的速度向点C 作匀速运动；同时，动点Q 从点O 出发，在线段OB 上以每秒1 个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t 秒．连接PQ．
（1）填空：b ＝，c ＝；
（2）在点P、Q 运动过程中，△APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；
（3）在x 轴下方，该二次函数的图像上是否存在点M，使△PQM 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t ；若不存在，请说明理由；
（4）如图②，点N 的坐标为（-3
，0），线段PQ 的中点为H，连接NH，当点Q 关于直线NH
2
的对称点Q′恰好落在线段BC 上时，请直接写出点Q′的坐标．
P
A O Q B
P
H
A N O Q B
y y
C C
x x A
图①图②
【分析】（1）将A（－3，0）、B（4，0）代入y＝-1x2+bx+c即可求解；（2）若△APQ
3
为直角三角形，则∠APQ＝90°（∠PAQ 与∠PQA 不可能为直角）．连接QC，则AQ2－AP2＝QC2
－PC2＝PQ2，据此列出关于t 的方程求解，若t 的值满足0≤t ≤4，则△APQ 可能是直角三角
形，否则不可能；（3）①过点P 作DE∥x 轴，分别过点M、Q 作MD⊥DE，QE⊥DE，垂
足分别为D、E，构成“一线三直角”全等模型，用含t 的式子表示点M 的坐标；②将点M
的坐标代入二次函数的表达式求解；（4）①分别求直线BC、直线NQ′的函数表达式；②解直线
BC、NQ′的函数达式组成的方程组．
【解析】（1 b 1 c 4．
）＝，＝
3
（2）在点P、Q 运动过程中，△APQ 不可能是直角三角形．理由如下：
若△APQ 是直角三角形，因为在点P、Q 运动过程中，∠PAQ、∠PQA 始终为锐角，所以∠APQ＝
90°．
∴AQ 2－AP 2＝QC 2－PC 2＝PQ 2．
连接 QC ．
由（1）知抛物线的函数表达式为 y ＝ - 1 x 2 + 1 x + 4 ，当 x ＝0 时， y ＝4．
3 3
∴C （0，4）．
∴OC ＝4．
∵A （－3，0），
∴OA ＝3．
由题意，得 AP ＝OQ ＝ t ．
∴AQ ＝OA ＋OQ ＝ 3 + t ．
在 Rt △AOC 中，由勾股定理得 AC 5．
∴PC ＝ 5 - t ．
在 Rt △OCQ 中，QC 2＝OQ 2＋OC 2＝ t 2 + 42 ．
∵∠APQ ＝90°，
∴AQ 2－AP 2＝QC 2－PC 2＝PQ 2．
∴ (3 + t )2 - t 2 ＝ t 2 + 42 - (5 - t )2 ．
解得t ＝4.5．
由题意知 0≤ t ≤4．
∴ t ＝4.5 不符合题意，舍去．
∴在点 P 、Q 运动过程中，△APQ 不可能是直角三角形．
P
A O Q B
y
C
x
（3） 如图，过点 P 作 DE ∥ x 轴，分别过点 M 、Q 作 MD ⊥DE 、QE ⊥DE ，垂足分别为点 D 、
E ，MD 交 x 轴于点
F ，过点 P 作 P
G ⊥ x 轴，垂足为点 G ，则 PG ∥ y 轴，∠D ＝∠E ＝90°．
∴△APG ∽△ACO ．
∴ PG ＝ AG ＝ AP ，即 PG ＝ AG ＝ t ． OC OA AC 4 3 5
∴PG ＝ 4 t ，AG ＝ 3
t ．
5 5
∴PE ＝GQ ＝GO ＋OQ ＝AO －AG ＋OQ ＝ 3 - 3 t + t ＝ 3 + 2 t ，DF ＝EQ ＝ 4
t ．
5 5 5
∵∠MPQ ＝90°，∠D ＝90°，
∴∠DMP ＋∠DPM ＝∠EPQ ＋∠DPM ＝90°．
∴∠DMP ＝∠EPQ ．
又∵∠D ＝∠E ，PM ＝PQ ，
∴△MDP ≌△PEQ ．
∴PD＝EQ＝4
t ，MD＝PE＝3 +
2
t ．5 5
∴AM＝MD－DF＝3 +2
t -
4
t ＝3 -
2
t ，5 5 5
OF＝FG＋GO＝PD＋OA－AG＝4
t + 3 -
3
t ＝3 +
1
t ．5 5 5
∴M（-3 -1
t ，-3 +
2
t ）．5 5
∵点M 在x 轴下方的抛物线上，
∴-3 +2
t ＝-
1
(-3 -
1
t)2+
1
(-3 -
1
t) + 4 ．5 3 5 3 5
解得t ＝-65 ±
．
2
∵0≤t ≤4，
∴t ＝-65 +
．
2
D P
E
F A
G O Q B
M
y
C
x
（4）Q ′（ 6 ， 22
）．
7 7
提示：连接 OP ，取 OP 中点 R ，连接 RH 、NR ，延长 NR 交线段 BC 于点 Q ′．
∵点 H 为 PQ 的中点，点 R 为 OP 的中点，
∴RH ＝ 1 OQ ＝ 1
t ，RH ∥OQ ．
2 2
∵A （－3，0）、N （ 3
，0），
2
∴点 N 为 OA 的中点．
? 又∵点 R 为 OP 的中点，
∴NR ＝ 1 AP ＝ 1
t ，RN ∥AC ．
2 2
∴RH ＝NR ．
∴∠RNH ＝∠RHN ．
∵RH ∥OQ ，
∴∠RHN ＝∠HNO ．
∴∠RNH ＝∠HNO ，即 NH 是∠QNQ ′的平分线．
设直线 AC 的函数表达式为 y ＝ mx + n ，把 A （－3，0）、C （0，4）代入，得
?0 = -3m + n ，
?4 = n ，
解得 m ＝ 4
， n ＝4．
3
∴直线 AC 的函数表达式为 y ＝ 4
x + 4 ．
3
同理可求，直线 BC 的函数表达式为 y ＝ -x + 4 ．
设直线 NR 的函数表达式为 y ＝ 4 x + s ，把 N （ - 3 ，0）代入，得
3 2
0＝ 4 ? (- 3
) + s ．
3 2
解得 s ＝2．
∴直线 NR 的函数表达式为 y ＝ 4
x + 2 ．
3
? 4 ?
x = 6， 解方程组? y = 3 x + 2， 得 ? 7
? ?? y = -x + 4 ?
? y = ? 22 ， 7
?
∴Q ′（ 6 ， 22
）．
7 7
y
x
2．(2017 江苏南京，27，11 分)折纸的思考．
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片 ABCD （AB ＞BC ）（图①），使 AB 与 DC 重合，得到折痕 EF ，把纸片展平（图②）．
第二步，如图③ ，再一次折叠纸片，使点 C 落在 EF 上的 P 处，并使折痕经过点 B ，得到折痕 BG ，折出 PB ，PC ，得到△PB C ．
（1） 说明△PBC 是等边三角形．
C
Q '
P R
H A
N
O
Q
B
【数学思考】
（2）如图④．小明画出了图③的矩形ABCD 和等边三角形PB C．他发现，在矩形ABCD 中把△PBC 经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm．对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围．
【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm 和1cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．
【分析】（1）由折叠的性质，线段垂直平分线的性质可判断；
（2）根据旋转的性质和位似变换直接作图，写出过程即可；
（3）根据图形，由勾股定理和等边三角形的性质求解；
（4）由勾股定理和正方形的性质的性质直接求解．
【解析】（1）由折叠，PB＝PC，EF 是BC 的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∴PB＝PC＝BC ，
∴△PBC 是等边三角形．
（2）本题答案不惟一．例如，
如图，以点B 为中心，在矩形ABCD 中把△PBC 逆时针方向旋转适当的角度，得到
△P1B1C1；
再以点B 为位似中心，将△P1B1C1放大，使C1的对应点C2落在CD 上，得到△P2BC2．（3）
3 3
当等边三角形的边长为3cm，acm 为高时，则a＝ 2 ，
当等边三角形的边长为a cm，3cm 为高时，则a＝2 3，
3 3 3 3
然后分0＜a≤ 2 ， 2 ＜a＜2 3，a≥2 3画出示意图．
16
（4）5 ．
当以4cm 的直角边与正方形的边重合时，边长为4cm，正方形的面积为16cm2；当直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，两外两个顶点在边上时，如图，∵四边形ABCD 是正方形，
∴BC＝CD，∠C＝∠D＝90°．
∵∠BFE＝90°，
∴∠BFC＋∠EFD＝90°，∠BFC＋∠CBF＝90°，
∴∠EFD＝∠CBF，
∴△BCF ∽△FDE，
∴BC∶DF＝
BF∶EF．设BC＝a，
由BF＝4，
得CF＝16 ? a2，则DF＝a－16 ? a2，
可知a∶( a－16 ? a2)＝4∶1
12
16解得a＝5 ．
29 1 1 1 1
1 1 1 1
256
正方形得面积为 25 ．
256
因为 25 ＜16，
16
所以 a ＝ 5 ．
3．（2017 江苏连云港，27，14 分）问题呈现：
如图 1，点 E 、F 、G 、H 分别在矩形 ABCD 的边 AB 、BC 、CD 、DA 上，AE ＝DG ，求证：2S
四边形 EFGH ＝S 矩形 ABCD ．
（S 表示面积）
实验探究：某数学实验小组发现：若图 1 中 AH ≠BF ，点 G 在 CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点 E 、G 作 BC 边的平行线，再分别过点 F 、H 作 AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点 A 1、B 1、C 1、D 1，得到矩形 A 1B 1C 1D 1．
如图 2，当 AH ＞BF 时，若将点 G 向点 C 靠近（DG ＞AE ），经过探索，发现：2S 四边形EFGH ＝S
矩形 ABCD ＋ S 矩形A B C D ．
如图 3，当 AH ＞BF 时，若将点 G 向点 D 靠近（DG ＜AE ），请探索 S 四边形EFGH 、S 矩形ABCD 与
S 矩形A B C D 之间的数量关系，并说明理由．
迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
（1） 如图 4，点 E 、F 、G 、H 分别是面积为 25 的正方形 ABCD 各边上的点，已知 AH ＞BF ，
AE ＞DG ，S 四边形EFGH ＝11，HF ＝ ，求 EG 的长．
10
（2）如图5，在矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝5，点E、H 分别在边AB、AD 上，BE＝1，DH＝2，点F、G 分别是边BC、CD 上的动点，且FG＝，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH
面积的最大值．
【分析】问题呈现：根据矩形的性质，通过割补法利用三角形的面积和矩形的面积可得到结论；实
验探究：由题意得当将点G 向点D 靠近( DG < AE )时，通过割补法利用三角形的面积和
矩形的面积可得到结论；迁移应用：(1)由上面的结论，结合图形，通过割补法利用三角形的
面积和矩形的面积可得到结论；（2）直接根据规律写出结果即可.
【解析】问题呈现：证明：如图1 中，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，∠A＝90°，
∵AE＝DG，
∴四边形AEGD 是矩形，
∴S△HGE＝1 S 矩形AEGD，
2
1 1 1 1
1
11
1
1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 S S
同理S△EGF＝1
S 矩形BEGC，2
∴S 四边形EFGH＝S△HGE＋S△EFG＝1 S 矩形BEGC．
2
实验探究：结论：2S 四边形EFGH＝S 矩形ABCD－S
矩形A B C D
．
理由：∵ S
△EHC ＝
1
2
S
矩形AEC1H
，S
△HGD
＝
1
2 矩形HDGD1
，S
△EFB
＝
1
2矩形EBFB1
1
，S
△FGA
＝
2
S
矩形CFA G
，
∴S 四边形EFGH＝S
△EHC ＋S
△HGD
＋S
△EFB
＋S
△FGA
－S
矩形A B C D
，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴2S 四边形EFGH＝2 S
△EHC ＋2 S
△HGD
＋2 S
△EFB
＋2 S
△FGA
－2 S
矩形A B C D
，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴2S 四边形EFGH＝S 矩形ABCD－S
矩形A B C D
．
迁移应用：解：（1）如图4 中，
∵2S 四边形EFGH＝S 矩形ABCD－S
矩形A B C D
．
∴ S矩形A B C D ＝25－2×11＝3＝A1B1·A1D1，
∵正方形的面积为25，∴边长为5，
10
10
1 1
1 1 1 1
∵A D 2＝HF2－52＝29－25＝4，
∴A1D1＝2，A1B1＝3 ，
2
∴EG2＝A B 2＋52＝109 ，
1 1 4
EG＝
109
．
2
（2）∵2S 四边形EFGH＝S 矩形ABCD＋S
矩形A B C D
．
∴四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH 的面积最大．
①如图5－1 中，当G 与C 重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH 的面积最大．此时矩形A1B1C1D1面积＝1·(－2)＝
②如图5－2 中，当G 与D 重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH 的面积最大．此时矩形A1B1C1D1面积＝2·1＝2，
∵2＞－2，
∴矩形EFGH 的面积最大值＝17 ．
2
10
4．（2017 江苏南通，28，13 分）已知直线y＝kx＋b 与抛物线y＝ax2（a＞0）相交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴相交于点C，过点A 作AD⊥x 轴，垂足为D．（1）若∠AOB＝60°，AB∥x 轴，AB＝2，求a 的值；
（2）若∠AOB＝90°，点A 的横坐标为－4，AC＝4BC，求点B 的坐标；
（3）延长AD、BO 相交于点E，求证：DE＝CO．
【分析】（1）如图1，由条件可知△AOB 为等边三角形，则可求得OA 的长，在Rt△AOD 中可求得AD 和OD 的长，可求得A 点坐标，代入抛物线解析式可得a 的值；
（2）如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CF∥BG，由A 的横坐标为－4，
得B 的横坐标为1，所以A（－4，16a），B（1，a），证明△ADO∽△OEB，则AD
＝
OD
，OE BE
得 a 的值及B 的坐标；
（3）如图3，设AC＝nBC 由（2）同理可知：A 的横坐标是B 的横坐标的n 倍，则设B（m，am2），则A（－mn，am2n2），分别根据两三角形相似计算DE 和CO 的长即可得出结论．【解析】解：（1）如图1，∵抛物线y＝ax2 的对称轴是y 轴，且AB∥x 轴，
∴A 与B 是对称点，O 是抛物线的顶点，
3 3 3 3
∵∠AOB ＝60°，
∴△AOB 是等边三角形，
∵AB ＝2，AB ⊥OC ，
∴AC ＝BC ＝1，∠BOC ＝30°，
∴OC ＝ ，
∴A （－1， ），
把 A （－1， ）代入抛物线 y ＝ax 2（a ＞0）中得：a ＝ ；
（2） 如图 2，过 B 作 BE ⊥x 轴于 E ，过 A 作 AG ⊥BE ，交 BE 延长线于点 G ，交 y 轴于 F ，
∵CF ∥BG ，
∴ AC ＝ AF ， BC FG
∵AC ＝4BC ，
∴ AF
＝4， FG
∵A 的横坐标为－4，
∴B 的横坐标为 1，
∴A （－4，16a ），B （1，a ），
∵∠AOB ＝90°，
∴∠AOD ＋∠BOE ＝90°，
∵∠AOD ＋∠DAO ＝90°，
∴∠BOE ＝∠DAO ，
∵∠ADO ＝∠OEB ＝90°，
∴△ADO ∽△OEB ，
∴ AD ＝OD ， OE BE
∴ 16a ＝ 4 ，
1 a
∴16a 2＝4，
a ＝± 1 ，
2
∵a ＞0，
∴a ＝ 1 ；
2
∴B （1， 1
）；
2
（3） 如图 3，设 AC ＝nBC ，
由（2）同理可知：A 的横坐标是 B 的横坐标的 n 倍， 则设 B （m ，am 2），则 A （－mn ，am 2n 2）， ∴AD ＝am 2n 2，
过 B 作 BF ⊥x 轴于 F ，
∴DE ∥BF ，
∴△BOF ∽△EOD ，
∴ OB ＝ OF ＝ BF ， OE OD DE
OB m am 2 ∴ ＝ ＝ ， OE mn DE
∴ OB ＝1
，DE ＝am 2n ， OE n
∴ OB ＝ 1 ， BE 1＋n
∵OC ∥AE ，
∴△BCO ∽△BAE ，