上海市松江区2015届高考数学一模试卷（文科）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若复数z满足|=0，则z的值为__________．
2．已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=__________．
3．在等差数列{a n}中，a2=6，a5=15，则a2+a4+a6+a8+a10=__________．
4．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=__________．
5．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为__________（结果用反三角函数表示）．
6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是__________．
7．按如图所示的流程图运算，则输出的S=__________．
8．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）图象向左平移φ个单位长度（0＜φ＜）所得图象关于y轴对称，则φ=__________．
9．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于__________．
10．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为__________．
11．函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1的单调递增区间为__________．
12．某同学为研究函数的性质，构造了如
图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的值域是__________．
13．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，
0]时，f（x）=．若函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）（a＞1）在区间（﹣2，6]恰有3个不同的零点，则a的取值范围是__________．
14．在正项等比数列{a n}中，已知a1＜a4=1，若集A={t|（a1﹣）+（a2﹣）+…+（a t﹣
）≤0，t∈N*}，则A中元素个数为__________．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知p，q∈R，则“q＜p＜0”是“||＜1”的( )
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
16．若二项式展开式中含有常数项，则n的最小取值是
( )
A．5 B．6 C．7 D．8
17．设P是△ABC所在平面内的一点，，则( )
A．B．C．D．
18．已知满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域面积为S1，满足条件[x]2+[y]2≤1
的点（x，y）构成的平面区域的面积为S2，其中[x]、[y]分别表示不大于x，y的最大整数，例如：[﹣0.4]=﹣1，[1.6]=1，则S1与S2的关系是( )
A．S1＜S2B．S1=S2C．S1＞S2D．S1+S2=π+3
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a＜b＜c，b=2asinB．（1）求A的大小；
（2）若a=2，b=2，求△ABC的面积．
20．已知函数f（x）=a|x+b|（a＞0，a≠1，b∈R）．
（1）若f（x）为偶函数，求b的值；
（2）若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试求a、b应满足的条件．
21．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全
部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．
（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．
22．（16分）已知数列{a n}的首项为1，设f（n）=a1C n1+a2C n2+…+a k C n k+…+a n C n n（n∈N*）．（1）若{a n}为常数列，求f（4）的值；
（2）若{a n}为公比为2的等比数列，求f（n）的解析式；
（3）数列{a n}能否成等差数列，使得f（n）﹣1=2n?（n﹣1）对一切n∈N*都成立？若能，求出数列{a n}的通项公式；若不能，试说明理由．
23．（18分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在最小的非负实数m和n，使得曲线C上任意一点P（x，y），|x|≤m，|y|≤n恒成立，则称曲线C为有界曲线，且称点集{（x，y）||x|≤m，|y|≤n}为曲线C的界域．
（1）写出曲线（x﹣1）2+y2=4的界域；
（2）已知曲线M上任意一点P到坐标原点O与直线x=1的距离之和等于3，曲线M是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由；
（3）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线的界域．
上海市松江区2015届高考数学一模试卷（文科）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若复数z满足|=0，则z的值为±2i．
考点：二阶行列式的定义；复数代数形式的乘除运算．
专题：矩阵和变换．
分析：由已知得z2+4=0，由此能求出z=±2i．．
解答：解：∵=0，
∴z2+4=0，
解得z=±2i．
故答案为：±2i．
点评：本题考查复数的求法，是基础题，解题时要注意二阶行列式性质的合理运用．
2．已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=．
考点：对数函数图象与性质的综合应用．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：由题意可得f（2）=log a2=﹣1；从而得到a=；再写反函数即可．
解答：解：由题意，∵f﹣1（﹣1）=2，
∴f（2）=log a2=﹣1；
故a=；
故f﹣1（x）=；
故答案为：．
点评：本题考查了反函数的应用及指数对数函数的应用，属于基础题．
3．在等差数列{a n}中，a2=6，a5=15，则a2+a4+a6+a8+a10=90．
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知条件，利用等差数列的前n项和公式求出首项和公差，由此能求出结果．
解答：解：∵在等差数列{a n}中，a2=6，a5=15，
∴，解得a1=3，d=3，
∴a2+a4+a6+a8+a10=5a1+25d=90．
故答案为：90．
点评：本题考查数列的若干项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
4．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=2．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）?（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．
解答：解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，
故=（）?（）=（）?（）=﹣+
﹣=4+0﹣0﹣=2，
故答案为2．
点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．
5．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为arccos（结果用反三角函数表示）．
考点：异面直线及其所成的角．
专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．
分析：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，即b=a，再由余弦定理，即可得到．
解答：解：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．
设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，
则由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，
即有tan60°=，即b=a，
在△BA1C1中，BC1=BA1==2a，A1C1=a，
cos∠BC1A1==．
则BC1与AC所成的角为arccos．
故答案为：arccos．
点评：本题考查空间的直线和平面所成的角，异面直线所成的角的求法，考查运算能力，属于基础题．
6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．
考点：圆的标准方程；圆的切线方程．
专题：计算题．
分析：依据条件确定圆心纵坐标为1，又已知半径是1，通过与直线4x﹣3y=0相切，圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标，写出圆的标准方程．
解答：解：∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，
∴半径是1，圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标（a，1），
则1=，又a＞0，∴a=2，
∴该圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=1；
故答案为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．
点评：本题考查利用圆的切线方程求参数，圆的标准方程求法．
7．按如图所示的流程图运算，则输出的S=20．
考点：循环结构．
专题：阅读型．
分析：根据流程图，先进行判定条件，不满足条件则运行循环体，一直执行到满足条件即跳出循环体，输出结果即可．
解答：解：第一次运行得：S=5，a=4，满足a≥4，则继续运行
第二次运行得：S=20，a=3，不满足a≥4，则停止运行
输出S=20
故答案为：20
点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，在近两年的新课标地区2015届高考都考查到了，属于基础题．
8．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）图象向左平移φ个单位长度（0＜φ＜）所得图象关于y轴对称，则φ=．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：根据函数的周期为π，结合周期公式可得ω=2．得到函数的表达式后，根据函数y=f （x+φ）是偶函数，由偶函数的定义结合正弦的诱导公式化简整理，即可得到实数φ的值．
解答：解：∵函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，
∴ω==2，函数表达式为：f（x）=sin（2x+），
又∵y=f（x）图象向左平移φ个单位长度所得图象为y=sin[2（x+φ）+）]关于y轴对称，∴2φ+=+kπ，k∈Z，
因为0＜φ＜，所以取k=0，得φ=，
故答案为：．
点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的图象左移φ个单位后得到偶函数的图象，求φ的值．着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质和正弦的诱导公式等知识，属于基本知识的考查．
9．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题．
分析：可求得抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可求得b2及双曲线﹣=1的右焦点坐标，
利用点到直线间的距离公式即可．
解答：解：∵抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0），
依题意，4+b2=9，
∴b2=5．
∴双曲线的方程为：﹣=1，
∴其渐近线方程为：y=±x，
∴双曲线的一个焦点F（3，0）到其渐近线的距离等于d==．
故答案为：．
点评：本题考查双曲线的简单性质，求得b2的值是关键，考查点到直线间的距离公式，属于中档题．
10．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为．
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：由题意知，七个数的中位数是5，说明5之前5个数中取3个，5之后4个数中取3个，根据概率公式计算即可．
解答：解：5之前5个数中取3个，5之后4个数中取3个，P==．
故答案为：．
点评：本题主要考查了古典概率和中位数的问题，关键是审清题意，属于基础题．
11．函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1的单调递增区间为[kπ﹣]（k∈Z）．
考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．
专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：化简可得解析式f（x）=sin（2x﹣）+1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z即可解得函数f（x）的单调递增区间．
解答：解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1，
∴令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
∴可解得函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1的单调递增区间为：[kπ﹣]（k∈Z），故答案为：[kπ﹣]（k∈Z）．
点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．
12．某同学为研究函数的性质，构造了如
图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的值域是[，]．
考点：函数的值域．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：分别在Rt△PCF和Rt△PAB中利用勾股定理，得PA+PF=+．运
动点P，可得A、P、B三点共线时，PA+PF取得最小值；当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值．由此即可得到函数f（x）的值域．
解答：解：Rt△PCF中，PF==
同理可得，Rt△PAB中，PA=
∴PA+PF=+
∵当A、B、P三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，PA+PF取得最小值=
当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值+1
∴≤PA+PF≤+1，可得函数f（x）=AP+PF的值域为[，]．
故答案为：[，]．
点评：本题以一个实际问题为例，求函数的值域，着重考查了勾股定理和函数的值域及其求法等知识点，属于基础题．
13．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=．若函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）（a＞1）在区间（﹣2，6]恰有3个不同的零点，则a的取值范围是（，2）．
考点：根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．
专题：计算题；压轴题；数形结合．
分析：由题意中f（x﹣2）=f（2+x），可得函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，又由函数为偶函数，则可得f（x）在区间（﹣2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，可将方程f（x）﹣log a x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为两个函数图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．
解答：解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4
又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
故函数f（x）在区间（﹣2，6]上的图象如下图所示：
若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解
则log a4＜3，log a8＞3，
解得：＜a＜2，
即a的取值范围是（，2）；
故答案为（，2）．
点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，关键是根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题．
14．在正项等比数列{a n}中，已知a1＜a4=1，若集A={t|（a1﹣）+（a2﹣）+…+（a t﹣
）≤0，t∈N*}，则A中元素个数为7．
考点：等比数列．
专题：等差数列与等比数列．
分析：设公比为q，由已知得a1=q﹣3，从而（a1﹣）+（a2﹣）+…+（a t﹣）=
﹣=（a12q n﹣1﹣1）=?[q n﹣7﹣1]≤0，
由此求出n≤7．
解答：解：设公比为q
∵a1＜a4=a1q3=1
∴0＜a1＜1 1＜q3，q＞1，①
∴a1=q﹣3，②
∴（a1﹣）+（a2﹣）+…+（a t﹣）
=（a1+a2+…+a t）﹣（++…+）（后一个首项，公比）
=﹣
=（a12q n﹣1﹣1），
代入②，得
?[q n﹣7﹣1]≤0
∵＞0
∴q t﹣7﹣1≤0
q t﹣7≤1
∴t﹣7≤0
解得t≤7
故答案为：7．
点评：本题考查集合中元素个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知p，q∈R，则“q＜p＜0”是“||＜1”的( )
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解答：解：∵“q＜p＜0”，
∴0＜＜1，则||＜1成立，即充分性成立，
若当q=2，p=﹣1时，满足||＜1，但q＜p＜0不成立，即必要性不成立，
故“q＜p＜0”是“||＜1”充分不必要条件，
故选：A
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．16．若二项式展开式中含有常数项，则n的最小取值是
( )
A．5 B．6 C．7 D．8
考点：二项式定理的应用．
专题：计算题．
分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0方程有解．由于n，r都是整数求出最小的正整数n．
解答：解：展开式的通项为T r+1=3n﹣r（﹣2）r C n r x2n﹣
令2n﹣=0，据题意此方程有解
∴n=，当r=6时，n最小为7．
故选C．
点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题．17．设P是△ABC所在平面内的一点，，则( )
A．B．C．D．
考点：向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．
专题：平面向量及应用．
分析：根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果．
解答：解：∵，
∴，
∴
∴
∴
故选B．
点评：本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答．向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好向量的加减运算．
18．已知满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域面积为S1，满足条件[x]2+[y]2≤1
的点（x，y）构成的平面区域的面积为S2，其中[x]、[y]分别表示不大于x，y的最大整数，例如：[﹣0.4]=﹣1，[1.6]=1，则S1与S2的关系是( )
A．S1＜S2B．S1=S2C．S1＞S2D．S1+S2=π+3
考点：二元一次不等式（组）与平面区域．
专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆．
分析：先把满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域，满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域表达出来，然后看二者的区域的面积，再求S1与S2的关系．
解答：解：满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域为一个圆；
其面积为：π
当0≤x＜1，0≤y＜1时，满足条件[x]2+[y]2≤1；
当0≤x＜1，1≤y＜2时，满足条件[x]2+[y]2≤1；
当0≤x＜1，﹣1≤y＜0时，满足条件[x]2+[y]2≤1；
当﹣1≤x＜0，0≤y＜1时，满足条件[x]2+[y]2≤1；
当0≤y＜1，1≤x＜2时，满足条件[x]2+[y]2≤1；
∴满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域是五个边长为
1的正方形，其面积为：5
综上得：S1与S2的关系是S1＜S2，
故选A．
点评：本题类似线性规划，处理两个不等式的形式中，第二个难度较大，[x]2+[y]2≤1的平面区域不易理解．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a＜b＜c，b=2asinB．（1）求A的大小；
（2）若a=2，b=2，求△ABC的面积．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，根据A为锐角求出A的度数即可；
（2）由a，b，cosA的值，利用余弦定理求出c的值，根据b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
解答：解：（1）∵b=2asinB，
∴由正弦定理化简得：sinB=2sinAsinB，
∵sinB≠0，∴sinA=，
∵a＜b＜c，
∴A为锐角，
则A=；
（2）∵a=2，b=2，cosA=，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，
即4=12+c2﹣2×2×c×，
整理得：c2﹣6c+8=0，
解得：c=2（舍去）或c=4，
则S=bcsinA=×2×4×=2．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
20．已知函数f（x）=a|x+b|（a＞0，a≠1，b∈R）．
（1）若f（x）为偶函数，求b的值；
（2）若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试求a、b应满足的条件．
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）因为f（x）为偶函数，得到对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（x），求出b；
（2）记h（x）=|x+b|=，讨论a值得到b的范围．
解答：解：（1）因为f（x）为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（x），
即a|x+b|=a|﹣x+b|，所以|x+b|=|﹣x+b|
得b=0．
（2）记h（x）=|x+b|=，
①当a＞1时，f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，即h（x）在区间[2，+∞）上是增函数，∴﹣b≤2，b≥﹣2
②当0＜a＜1时，f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，即h（x）在区间[2，+∞）上是减函数
但h（x）在区间[﹣b，+∞）上是增函数，故不可能
∴f（x）在区间[2，+∞）上是增函数时，a、b应满足的条件为a＞1且b≥﹣2
点评：本题考查了函数奇偶性的运用以及讨论思想的运用，属于中档题．
21．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全
部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．
（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．
考点：根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义．
专题：计算题；应用题；函数的性质及应用．
分析：（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H=×8=，底面半径为r=×4=；从而求时间；
（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，设高为H′，从而得V=π×42×H′=π；
从而求高．
解答：解：（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高
为H=×8=，底面半径为r=×4=；
V=πr2H=π×（）2×=π≈39.71；
V÷0.02≈1986（秒）
所以，沙全部漏入下部约需1986秒．
（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，设高为H′，
V=π×42×H′=π；
H′=≈2.4；
锥形沙堆的高度约为2.4cm．
点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．
22．（16分）已知数列{a n}的首项为1，设f（n）=a1C n1+a2C n2+…+a k C n k+…+a n C n n（n∈N*）．（1）若{a n}为常数列，求f（4）的值；
（2）若{a n}为公比为2的等比数列，求f（n）的解析式；
（3）数列{a n}能否成等差数列，使得f（n）﹣1=2n?（n﹣1）对一切n∈N*都成立？若能，求出数列{a n}的通项公式；若不能，试说明理由．
考点：二项式定理的应用；等差数列的性质；等比数列的性质．
专题：综合题；转化思想．
分析：（1）{a n}为常数列，a1=1，可求a n=1，代入f（n）=a1C n1+a2C n2+…+a k C n k+…+a n C n n（n∈N*）可求f（4）的值；
（2）根据题意可求a n=2n﹣1（n∈N*），f（n）=C n1+2C n2+4C n3+…+2n﹣1C n n，两端同时2倍，配凑二项式（1+2）n，问题即可解决；
（3）假设数列{a n}能为等差数列，使得f（n）﹣1=（n﹣1）2n对一切n∈N*都成立，利用倒序相加法求得，最终转化为
（d﹣2）+（d﹣2）（n+2）2n﹣1=0对n∈N*恒成立，从而求得d=2，问题解决．
解答：解：（1）∵{a n}为常数列，∴a n=1（n∈N*）．
∴f（4）=C41+C42+C43+C44=15．
（2）∵{a n}为公比为2的等比数列，
∴a n=2n﹣1（n∈N*）．
∴f（n）=C n1+2C n2+4C n3+…+2n﹣1C n n，
∴1+2f（n）=1+2C n1+22C n2+23C n3+…+2n C n n=（1+2）n=3n，
故．
（3）假设数列{a n}能为等差数列，使得f（n）﹣1=（n﹣1）2n对一切n∈N*都成立，设公差为d，
则f（n）=a1C n1+a2C n2+…+a k C n k+…+a n﹣1C n n﹣1+a n C n n，
且f（n）=a n C n n+a n﹣1C n n﹣1+…+a k C n k+…+a2C n2+a1C n1，
相加得2f（n）=2a n+（a1+a n﹣1）（C n1+C n2+…+C n k+…+C n n﹣1），
∴
=
=1+（n﹣1）d+[2+（n﹣2）d]（2n﹣1﹣1）．
∴f（n）﹣1=（d﹣2）+[2+（n﹣2）d]2n﹣1=（n﹣1）2n对n∈N*恒成立，
即（d﹣2）+（d﹣2）（n+2）2n﹣1=0对n∈N*恒成立，∴d=2．
故{a n}能为等差数列，使得f（n）﹣1=（n﹣1）2n对一切n∈N*都成立，它的通项公式为a n=2n ﹣1．
点评：本题重点考查二项式定理的应用，解决的方法有倒序相加法求f（n），难点在于综合分析，配凑逆用二项式定理，属于难题．
23．（18分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在最小的非负实数m和n，使得曲线C上任意一点P（x，y），|x|≤m，|y|≤n恒成立，则称曲线C为有界曲线，且称点集{（x，y）||x|≤m，|y|≤n}为曲线C的界域．
（1）写出曲线（x﹣1）2+y2=4的界域；
（2）已知曲线M上任意一点P到坐标原点O与直线x=1的距离之和等于3，曲线M是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由；
（3）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线的界域．
考点：曲线与方程．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）由已知得（x﹣1）2≤4，y2≤4，由此能求出曲线（x﹣1）2+y2=4的界域．
（2）设P（x，y），则+|x﹣1|=3，从而得到﹣1≤x≤2，﹣2，由此得到曲线M为有界曲线，并能求出求出其界域．
（3）由已知得：=a，
×=a，从而得到|x|，，进而得到|y|≤，由此能求出曲线C界域．
解答：解：（1）∵曲线（x﹣1）2+y2=4，
∴（x﹣1）2≤4，y2≤4，
∴﹣1≤x≤3，﹣2≤y≤2，
∴界域为{（x，y）||x|≤3，|y|≤2}．
（2）设P（x，y），则+|x﹣1|=3，
化简，得：y2=，
∴﹣1≤x≤2，﹣2，
∴界域为{（x，y）||x|≤2，|y|}．
（3）由已知得：=a，
×==a，
∴（x2+y2+1）2﹣4x2=a2，∴，
∵y2≥0，∴，∴（x2+1）2≤4x2+a2，
∴（x2﹣1）2≤a2，∴1﹣a≤x2≤a+1，∴|x|，
，
令t=，，
，
当t=2，即时，等号成立．
若0＜a≤2，1﹣[1﹣a，1+a]，时，，
∴|y|≤，
若a＞2，1﹣＜0，，∴x=0时，=a﹣1，
∴|y|≤，∴曲线C界域为：
①0＜a≤2时，{（x，y）|x|≤，|y|≤}．
②a＞2时，{（x，y）||x|，|y|≤}．
点评：本题考查曲线的界域的求法，考查曲线是否为有界曲线的判断与界域的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．