函数值域的求法
一、观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于正比例、反比例、一次函数、指数函数、对数函数等一些比较简单的函数，其值域可通过观察直接得到.
例 1. 求下列函数的值域：(1)y 1，x [1,2]；(2)y 4 x.
x
答案：值域分别为：(1)[ 1 ,1]; (2)[ ,4].
2
二、配方法：配方法是求“二次函数型”值域的常用方法，可以用来求形如y a[ f 2(x) bx c] 的函数的值域.
例2．求函数y x2 6x 7的值域.
解：由y x26x 7 配方得，y (x 32) 2 2 y ( ,2]
∴函数y x26x 7的值域为( ,2] .
例3．求函数y x2 4x 2( x [ 1,1])的值域.
解：y x2 4x 2 (x 2)2 6 ，
∵ x [ 1,1]，∴ x 2 [ 3, 1] ，∴ 1 (x 2)2 9
∴ 3 (x 2) 2 6 5 ，∴ 3 y 5
∴函数y x2 4x 2( x [ 1,1])的值域为[ 3,5].
另外，能通过换元转化为“二次函数型”的，也可以利用配方法求值域.
例4．求函数y 2 x24x(x [ 0,4]) 的值域.
略解：不妨设: f (x) x2 4x( f (x) 0) ，配方得:
f(x) (x 2)2 4 [0,4]
故y [ 2,2] 提醒：注意“ f (x) 0 ”的限制.
变式：设0≤ x ≤ 2，求函数f(x) 4x 32x 1 1的值域．解：f(x) 4x 32x 1 1 (2x 3)2 8，
∵0≤x≤2，∴ ≤2x≤4．
∴当2x 3时，函数取得最小值8；当2x1时，函数取得最大值 4 ，
∴函数的值域为[ 8，4] ．
三、换元法：形如y ax b cx d ( a, b, c , d均为常数，且 a 0) 的函数可以利用换元法转化为“二次函数型”求值域.
例5．求函数y 2x 3 13 4x 的值域.
2
略解：令：t 13 4x 0，则x 13 t ,2y (t 1)2 8(t 0) . 4
故y ( ,4]
提醒：换元时要注意新变量“ t”的范围，否则将会发生错误.
变式一：求函数y x 4 5 x2的值域
解：由， 5 x2 0 可得x 5
故可令x 5cos , [0, ]
y 5 cos 4 5sin 10 sin( ) 4
∵0
5
4 4 4
当
时， y
max
4 10
4
当
时，
y min
4 5
故所求函数的值域为： [4 5,4 10]
1 x
2 2
变式二：求函数 y 2x 3 的值域 . 四、判别式法：求形如 y
a 1x 2
b 1x
c 1
( a 1
、 a 2
不同时为零)的
a 2x
b 2x
c 2 函数的值域，通常把函数转
化成关于 x 的二次方程 F(x, y) 0； 通过方程有实数根，判别式 0求解 .
例 6．求函数 y x 2 x 3 的值域
x 2
x 1
2
解：由 y x 2 x 3变形得 (y 1)x 2 (y 1)x y 3 0，
x x 1
当 y 1 时，此方程无解； 当 y 1时，∵ x R ，∴
(y 1)2 4(y 1)(y 3) 0 ，
解得 1 y 11 ，又 y 1 ，∴ 1 y 11 33 2
∴函数 y x22 x 3的值域为 {y|1 y 11} .
x 2 x 1 3
五、分离常数法 : 形如 y= ax b (c 0)的函数可用分离常 cx d
数法求值域 .
例 7 ．求函数 y 1 x 的值域 .
2x 5
∴函数 y 1 x 的值域为 {y|y 1} .
2x 5 2
六、分析法：形如 y= ax b (c 0) ，x [m,n]的函数可用分 cx d
析法求值域 .
解：
1x 2x 5
1
(2x 5) 7
22 2x 5
7
1
2 2 2x 5
2x 2 5 0，
1
y 12 例 8 ．求函数 y 1 x ( -1 x 1)
的值域 .
解：
1x y 2x 5
12(2x 5) 72
2x 5
2x 5
2 2x 5
1
1 x 1, 3 2x 5 7,
2 2x 5 6
7
.，∴ 0 y 2，
3
∴函数 y 1 x (-1 x 1)的值域为 {y|0 y 2}. 3
2x 5
七、图像法：利用数形结合的方法，根据函数图像求得 函数值域，也是一种求值域的重要方法
例 9．求函数 y |x 3| |x 5|的值域 .
2x 2 (x 3) 解：∵ y |x 3| |x
5| 8 ( 3 x 5)，
2x 2 (x 5)
∴ y |x 3| |x 5| 的图像如图所示， 由图像知：函数 y |x 3| |x 5 |的值域为 [8, )
变式一：求函数
f(x)
x 2
2x 3 ( 2≤ x 0)，
的值域．
2x 3 (0≤ x ≤3)
解：作图象如图所示．
∵ f ( 1) f (1) 4， f ( 2) 3 ，
f (3) 0， f (0) 3，
∴函数的最大值、最小值分别为0 和4，即函数的值域为[ 4，0] ．
变式二：求函数y x26x 13 x24x 5 的值域.
解：原函数可变形为：
y (x 3)2(0 2)2(x 2)2(0 1)2
上式可看成x 轴上的点P(x,0) 到两定点A(3,2), B( 2, 1)的距
离之和，
由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，
y min AB (3 2)2(2 1)234 ，故所求函数的值域为[ 34, ).
变式三：求函数y x22x 2 x22x 2 的值域
sin x 1
变式四：求函数y 3 2cosx 2sin x (0 x 2 )的值域. y 2x x 2
变式五：求函数y x 1 x 1 的值域
2, 6
八、利用函数的有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域.
2
例10．求函数y x221的值域. x21