2019-2020数学高考模拟试卷及答案

2019-2020数学高考模拟试卷及答案

一、选择题

1．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0

D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0

2．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张

卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．

12

B ．

13

C ．

23

D ．

34

3．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ?=（ ） A ．4

B ．16

C ．8

D ．32

4．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(?q )；④(?p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④

5．已知向量a v ，b v 满足2a =v

，||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值

为（ ） A ．

2 B ．

2 C ．

2 D ．

2 6．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )

A ．

1

4

B ．

13 C ．12

D ．2

3

7．已知非零向量a b r r ，满足2a b r r =，且b

a b ⊥r r r （–），则a r 与b r 的夹角为 A ．

π6

B ．

π3

C ．

2π3

D ．

5π6

8．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM = A ．

534

B ．

532

C ．

53 D ．

13 10．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ） A ．513x << B ．135x << C ．25x <<

D ．55x <<

11．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为

[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )

A ．45

B ．50

C ．55

D ．

12．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A ．3

B ．2

C 3

D 2

二、填空题

13．设n S 是等差数列{}*

()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =

14．设α 为第四象限角，且

sin3sin αα＝13

5

，则 2tan ＝α ________. 15．已知函数2

1,1

()()1

a x x f x x a x ?-+≤=?->?，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-

恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．

16．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数

y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则

12

m n

+的最小值为 17．已知0x >，0y >，0z >，且36x y z ++=，则32

3x y z ++的最小值为

_________．

18．若9

()a x x

-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．

19．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．

20．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线2

2(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两

次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．

三、解答题

21．

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；

（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.

22．在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ?=u u u r u u u r

，

1

cos 3

B =，3b =，求：

（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.

23．设()34f x x x =-+-.

（Ⅰ）求函数()2()g x f x =-

（Ⅱ）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.

24．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()

0,5，且()f x 在区间[]

1,4-上

的最大值是12.

（1）求()f x 的解析式；

（2）设函数()f x 在[]

,1x t t ∈+上的最小值为()g t ，求()

g t 的表达式.

25．如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2

ADC π

∠=，1

22

AB AD CD ==

=，6PD PB ==，PD BC ⊥．

（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；

（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3

π

？若存在，求

CM

CP

的值；若不存在，说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】

因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．

2．B

解析：B 【解析】

试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题．

从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是2

46C =种，数学之和为偶数的有13,24

++两种，所以所求概率为1

3

，选B ． 考点：古典概型．

3．B

【解析】

等比数列的性质可知2

26416a a a ?==,故选B .

4．C

解析：C 【解析】

试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时22x y >不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.

考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.

5．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据平方运算可求得12

a b ?=r r ，利用

cos ,a b a b a b ?<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】

由题意可知：222

2324b a b a b a a b +=+?+=+?=r r r r r r r r ，解得：12

a b ?=r r

2cos ,422

a b a b a b ?∴<>===r r r r

r r 本题正确选项：D 【点睛】

本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.

6．C

解析：C 【解析】 【分析】

由题意，求得(),()P AB P A 的值，再由条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】

记事件A 表示“第一次正面向上”,事件B 表示“第二次反面向上”, 则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==，故选C.

【点睛】

本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7．B

解析：B

【分析】

本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥r r r 得出向量,a b r r

的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】

因为()a b b -⊥r r r ，所以2()a b b a b b -?=?-r r r r r r =0，所以2

a b b ?=r r r ，所以

cos θ=22

||122||

a b b b a b ?==?r r r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】

对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．

8．A

解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

∵函数f （x ）=xlnx 只有一个零点，∴可以排除CD 答案

又∵当x ∈（0，1）时，lnx ＜0，∴f （x ）=xlnx ＜0，其图象在x 轴下方 ∴可以排除B 答案 考点：函数图像．

9．C

解析：C 【解析】

试题分析：先求得M （2,32，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM

=，故选C ．

考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用． 点评：简单题，应用公式计算．

10．A

解析：A 【解析】

试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐

角为角α，根据余弦定理得222

23

cos 04x x

α+-=>

，解得x >x 边对的锐角为

β，根据余弦定理得222

23cos 012

x β+-=>

，解得0x <

x << A. 考点：余弦定理.

11．B

解析：B 【解析】

根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，

在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20， 则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3. 又因为低于60分的人数是15人， 所以该班的学生人数是15÷0.3=50. 本题选择B 选项.

12．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

M N Q ，是双曲线的两顶点，M O N ，，将椭圆长轴四等分

∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍 Q 双曲线与椭圆有公共焦点，

∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2

故答案选B

二、填空题

13．25【解析】由可得所以

解析：25 【解析】

由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5

252

S +?=

=． 14．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同

解析：－34

【解析】 因为3sin sin αα＝()2sin sin ααα

+ ＝

22sin cos cos sin sin αααα

α

+

＝

()

22221sin cos cos sin sin αααα

α

+-

＝24sin cos sin sin αααα

-

＝4cos 2α－1＝2(2cos 2α－1)＋1＝2cos 2α＋1 ＝

135，所以cos 2α＝45

. 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－

35，tan 2α＝－3

4

. 点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．

15．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3

【解析】 【分析】

由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】

由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，

当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，

解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤??

-≤??-≠-?

，解得13a

当1x >时，由2

()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以11

11

a a ->??+>?，解得2a >，

综上可得：实数a 的取值范围为(]

2,3. 【点睛】

本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.

16．8【解析】∵函数（且）的图象恒过定点A ∴当时∴又点A 在一次函数的图象上其中∴又∴∴（当且仅当时取）故答案为8点睛：本题主要考查了基本不等

式基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值其失误

解析：8 【解析】

∵函数log 1

1a y x =-+（）（0a ＞，且1a ≠）的图象恒过定点A ， ∴当2x =时，1y =，∴()21A ，，又点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中

0mn >，

∴21m n +=，又0mn >，

∴0m >，0n >，∴()12124 248n m

m n m n m n m n

+=+?+=++≥（），（当且仅当1

22

n m ==时取“=”），故答案为8.

点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

17．【解析】【分析】利用已知条件目标可转化为构造分别求最小值即可【详解】解：令在上递减在上递增所以当时有最小值：所以的最小值为故答案为【点睛】本题考查三元函数的最值问题利用条件减元构造新函数借助导数知识 解析：

374

【解析】 【分析】

利用已知条件目标可转化为2

323

453324x y z x x y ?++=-+-+ ??，构造

()33f x x x =-，()2

45

24g y y ??=-+ ? ???

，分别求最小值即可. 【详解】

解：32

3x y z ++= ()

3236x y x ++-- 2

34534x x y ?=-++ ??

令()3

3f x x x =-，()2

4524g y y ?=-+ ??

， ()()()2'33311f x x x x =-=-+，0x >， ()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，

所以，()()min 12f x f ==-

当2

y =

时，()g y 有最小值：()min 454g y =

所以，3

2

3x y z ++的最小值为4537244

-+

= 故答案为

37

4

【点睛】

本题考查三元函数的最值问题，利用条件减元，构造新函数，借助导数知识与二次知识处理问题.考查函数与方程思想，减元思想，属于中档题.

18．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二

解析：1 【解析】 【分析】

先求出二项式9

()a x x

-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得

展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可. 【详解】

9()a x x -展开式的的通项为()992199r

r r r r r

r a T C x C x a x --+??=-=- ???

， 令9233r r -=?=，

9()a x x

-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-?=，

故答案为1. 【点睛】

本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考

查二项展开式的通项公式1C r n r r

r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）

（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.

19．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为

解析：513|22,66x k x k k Z ππππ??+<<+∈????

【解析】

由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1

sin 2

x <， 解得

51322,66

k x k k Z ππππ+<<+∈，

即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|

22,}66

x k x k k Z ππππ+<<+∈. 20．【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点设出直线的方程联立直线与抛物线方程表示出弦长再根据两平行线间的最小距离时最短进而可得出结果【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点当直线斜率存在时 解析：24y x =

【解析】 【分析】

先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，PQ 最短，进而可得出结果. 【详解】

由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2

p

F ， 当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为()2

p

y k x =-

，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由2()22p y k x y px ?

=-???=?得：222()24p k x px px -+=，整理得

2222244)0(8k x k p p x k p -++=，

所以2122

2k p p x x k

++=，2

124p x x =， 所以2122

22

2k PQ x x p p p k

+=++=>； 当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =； 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，

又因为两平行光线间的最小距离为4，PQ 最小时，两平行线间的距离最小；

因此min 24PQ p ==，所求方程为2

4y x =.

故答案为2

4y x = 【点睛】

本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.

三、解答题

21．（1）0.5；（2）0.1 【解析】 【分析】

(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；

(2)本题首先可以通过题意推导出()

4P X =所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果． 【详解】

(1)由题意可知，()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所以()

20.50.40.50.6

0.5P X ==??

(2)由题意可知，()

4P X =包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”

所以()

40.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1P X ==创

创创= 【点睛】

本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2P X =以及()

4P X =所包含的事

件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．

22．（1）3,2a c ==；（2）23

27

【解析】

试题分析：（1）由2BA BC ?=u u u r u u u r

和1

cos 3

B =

，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解

，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ?中，利用同角基本关系得

22

sin .3

B =

由正弦定理，得42

sin sin 9

c C B b =

=

，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27

cos 1sin 9

C C =-=

，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ?=u u u r u u u r

得，

，又1

cos 3

B =

，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+?=. 解

，得a=2，c=3或a=3，c=2.

因为a>c,∴ a=3，c=2.

（2）在ABC ?中，2212

sin 1cos 1()33

B B =-=-=

由正弦定理，得

22242

sin sin

339

c

C B

b

==?=，又因为a b c

=>，所以C

为锐角，因此22

427

cos1sin1()

99

C C

=-=-=.

于是cos()cos cos sin sin

B C B C B C

-=+=17224223

393927

?+?=.

考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.

23．（Ⅰ）

59

[,]

22

；（Ⅱ）

1

(,2[,)

2

-∞-?+∞

）．

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：（Ⅰ）先用零点分段法将()

f x表示分段函数的形式，然后再求定义域；（Ⅱ）利用函数图象求解．

试题解析：（Ⅰ）

72,3

()34{1,34

27,4

x x

f x x x x

x x

-<

=-+-=

->

剟，它与直线2

y=交点的横坐标为

5

2

和

9

2

，

∴不等式()2()

g x f x

=-的定义域为

59

[,]

22

．

（Ⅱ）函数1

y ax

=-的图象是过点(0,1)

-的直线，

结合图象可知，a取值范围为

1

(,2)[,)

2

-∞-?+∞．

考点：1、分段函数；2、函数的定义域；3、函数的图象．

24．（1）2

()210f x x x =-（2）2

2

3268,,22535(),,22

25210,,2t t t g t t t t t ?--≤??

?=-

<

【解析】

(1)因为()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()

0,5，所以可设

()(5)(0).f x ax x a =->,然后因为-1比5离对称轴的距离远，所以最大值为(-1)=6a,求出a

值，从而求出f(x)的解析式.

（II ）本小题属于二次函数轴定区间动的问题，分三种情况讨论分别求其最小值即可. 解：（1）Q ()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),

∴可设()(5)(0).f x ax x a =->

()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=

由已知，得612,a =2,a ∴=

2()2(5)210().f x x x x x x R ∴=-=-∈

（2）由（1）知2

2525()2102.22f x x x x ??∴=-=-- ??

?，开口向上，对称轴为52x =

①当512t +≤

，即3

2

t ≤时，()f x 在[],1t t +上是单调递减， ()()()2

221101268g t t t t t ∴=+-+=--

②当5

2

t ≥

时，()f x 在[],1t t +上是单调递减 ()22210210g t t t t t ∴=-=-

③当512t t ≤

≤+，即35

22

t ≤≤时，()f x 在对称轴处取得最小值 ()52522g t f ??

∴==- ???

25．（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CM

CP

=λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于1

2

，解方程得出λ的值,即可得解．

【详解】

（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形， 且//AB DC , 2AB AD ==,2

ADC π

∠=

,

所以22BD =， 又因为4,4

CD BDC π

=∠=

．根据余弦定理得22,BC =

所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.

又因为BC PD ⊥, PD BD D ?=,且BD ,PD ?平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ?平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==,

所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ，

平面ABCD I 平面PBD BD =，

PE ⊥平面ABCD .

如图，以A 为原点分别以AD u u u r ，AB u u u r

和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空

间直角坐标系A xyz -，

则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CM

CP

λλ=≤≤，即CM CP λ=u u u u r u u u r ， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,

易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =u u u v

.

设(,,)n x y z =r 为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =u u u r ， =(2-,4-3,2)λλλu u u u r

AM

由00n AB n AM ??=??=?u u u v v u u u u v v 得20

(2)(43)20y x y z λλλ=??-+-+=?

，不妨取(2,0,2)n λλ=-r .

因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π22412224(2)

λλλ=+-， 解得2

,23

λλ=

=-，（不合题意舍去）.

故存在M点满足条件，且

2

3 CM

CP

.

【点睛】

本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．