8.2点、直线、平面之间的位置关系
【考纲要求】
1、理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。
◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。
◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
2、以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
理解以下判定定理
◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行。
◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。
◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。
理解以下性质定理，并能够证明。
◆如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行。
◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。
◆垂直于同一个平面的两条直线平行。
◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。
③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
【基础知识】
一、平面公理
公理1：如果一条直线上的两个点在一平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
平行直线的（公理4）唯一性：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。[来源:学.科.网Z.X.X.K]
传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
二、空间两条直线的位置关系
1、异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的直线叫做异面直线）
2、异面直线的判定：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线。
3、空间两条直线有共面（相交、平行）和异面（异面）两种位置关系。
4、两条异面直线所成角：异面两条直线，空间内任取一点，分别过该点作两条平行线，所形成的锐角或直角。
5、等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
三、直线与平面平行
1、直线与平面平行的定义：直线和平面没有公共点。
2、直线与平面平行的判定：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（记为：线线平行，则线面平行）
3、直线与平面平行性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。（记为：线面平行，则线线平行）
四、平面与平面平行
1、平面与平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，则这两个平面互相平行
2、平面与平面平行的判定
①如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（记为：线面平行，则面面平行）
②如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行
3、平面和平面平行的性质
①如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面。（记为：面面平行，则线面平行）
②如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
③平行于同一个平面的两个平面平行。
④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
⑤夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。
五、直线与平面垂直
1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线垂直于一个平面的所有直线，则这条直线垂直于这个平面。
2、直线与平面垂直的判定[来源:Z#xx#https://www.doczj.com/doc/f015527291.html,]
①如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。（记为：线线垂直，则线面垂直）
②如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
3、直线与平面垂直的性质
①如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直。（记为：线面垂直，则线线垂直）
②如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
③过一点与已知平面垂直的直线只有一条。
④垂直于同一条直线的两个平面平行。
六、面面垂直
1、面面垂直的定义：如果两个平面相交所构成的二面角是90°，则这两个平面互相垂直。
2、面面垂直的判定：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。(记为：线面垂直，则面面垂直)[来源:学科网ZXXK]
3、面面垂直的性质
①如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。（记为：面面垂直，则线面垂直）
②如果两个平面互相垂直，经过一个平面内的一点向另一个平面作垂线，那么这条垂线一定在第一个平面内。
【例题精讲】
【例1】已知S是△ABC所在平面外一点,O是边AC的中点,∠SOA=∠SOB=∠SOC,点P 是SA的中点.
(1)求证:SO⊥平面ABC;
(2)求证:SC∥平面BOP.
证明:(1)在平面SAC中,∠SOA+∠SOC=180°,
又∠SOA=∠SOB=∠SOC,
∴∠SOA=∠SOC=90°=∠SOB,即SO⊥AC,SO⊥OB.
∴SO⊥平面ABC.
(2)∵P是SA的中点,O是AC的中点,
∴OP∥SC.而OP?平面BOP,SC?平面BOP,[来源:学科网ZXXK]
∴SC∥平面BOP.
【例2】已知正方形ABCD,E、F分别是边AB、CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图所示.记二面角ADEC的大小为θ(0＜θ＜π).
(1)证明BF∥平面ADE;
(2)若△ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,请证明你的结论,并求角θ的余弦值.
(1)证明:E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点,
∴EB∥FD,且EB=FD.
∴四边形EBFD是平行四边形.
∴BF∥ED.
∵ED?平面AED,而BF?平面AED,
∴BF∥平面AED.
(2)解:方法一:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG⊥平面BCDE,垂足为G,连结GC、GD.
∵△ACD为正三角形,
∴AC=AD.∴GC=GD.
∴G在CD的垂直平分线上.
又∵EF是CD的垂直平分线,
∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上. 过G 作GH⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE, ∴∠AHG 是二面角ADEG 的平面角,即∠AHG=θ.
设原正方形ABCD 的边长为2a,连结AF,在折后图的△AEF 中,AF=a 3,EF=2AE=2a, ∴△AEF 为直角三角形,AG·EF=AE·AF. ∴AG=
2
3a. 在Rt△A DE 中,AH·DE=AD·AE, ∴AH=
52a .
∴GH=
5
2a
.∴cos θ=
AH GH 4
1
=. 方法二:点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上. 连结AF,在平面AEF 内过点A 作AG′⊥EF,垂足为G′. ∵△ACD 为正三角形,F 为CD 的中点,[来源:https://www.doczj.com/doc/f015527291.html,] ∴AF⊥CD. 又∵EF⊥CD, ∴CD⊥平面AEF. ∵AG′?平面AEF, ∴CD⊥AG′.
又∵AG′⊥EF,且CD∩EF=F,CD ?平面BCDE,EF ?平面BCDE, ∴AG′⊥平面BCDE.
∴G′为A 在平面BCDE 内的射影G.
∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上. 过G 作GH⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE,
[来源:学科网]
∴∠AHG 是二面角ADEC 的平面角,即∠AHG=θ.
设原正方形ABCD 的边长为2a,在折后图的△AEF 中,AF=3a,EF=2AE=2a, ∴△AEF 为直角三角形,AG·EF=AE·AF. ∴AG=
2
3a. 在Rt△ADE 中,AH·DE=AD·AE,
∴AH=
5
2a .
∴GH=5
2a .∴cos θ=
4
1
AH GH .
8.2点、直线、平面之间的位置关系强化训练
【基础精练】
1.设l,m,n 均为直线,其中m,n 在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m 且l⊥n”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 2.a 、b 是两条异面直线,A 是不在a 、b 上的点,则下列结论成立的是( ) A.过A 有且只有一个平面平行于a 、b B.过A 至少有一个平面平行于a 、b C.过A 有无数个平面平行于a 、b
D.过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在
3.如图,ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体,下面结论错误的是( )
A.BD∥平面CB 1D 1
B.AC 1⊥BD
C.AC 1⊥平面CB 1D 1
D.异面直线AD 与CB 1所成的角为60° 4.给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;②垂直于同一平面的两个平面互相平行;③若直线l 1、l 2与同一平面所成的角相等,则l 1、l 2互相平行;④若直线l 1、l 2是异面直线,则与l 1、l 2都相交的两条直线是异面直线.[来源:学科网ZXXK] 其中假命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4 5.下列命题错误的是( )
A.若四面体的两组对棱垂直,则第三组对棱也垂直
B.若三棱锥的三侧棱两两垂直,则顶点在底面内的射影是底面三角形的垂心
C.若△ABC 所在平面外一点到三顶点的距离相等,则该点在平面ABC 内的射影是△ABC 的外心
D.若△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 的三边距离相等,则P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的内心
6.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,EF是异面直线AC、A1D的公垂线,则EF与BD1的关系为( )
A.相交不垂直
B.相交垂直
C.异面
D.平行
7.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”,在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的对数是( )
A.48
B.18
C.24
D.36
8.给定空间中的直线l及平面α,则“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）
A.充要条件
B.充分非必要条件
C.必要非充分条件
D.既非充分又非必要条件
9.设有直线m、n和平面α、β.下列四个命题中,正确的是（）
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β
C.若α⊥β,m?α,则m⊥β
D.若α⊥β,m⊥β,m?α,则m∥α
10.已知两条直线m,n和两个平面α,β.给出下面四个命题:
①m∥n,m⊥α?n⊥α;②α∥β,m?α,n?β?m∥n;
③m∥n,m∥α?n∥α;④α∥β,m∥n,m⊥α?n⊥β.
其中正确命题的序号是( )
A.①③
B.②④
C.①④
D.②③
11.已知平面α∩β=m,直线n∥α,n∥β,则直线m、n的位置关系是_______________.
12.平行四边形的一个顶点A在平面α内,其余三个顶点在α的同侧.已知其中有两个顶点到平面α的距离分别为1和2,那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是：
①1;②2;③3;④4.以上结论正确的为_______________________.(写出所有正确结论的编号)
13.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥面MNP的图形的序号是_________________.(写出所有符合要求的图形序号)
14.下列五个正方体图形中,l 是正方体的一条对角线,点M 、N 、P 分别是其所在棱的中点,能得出l⊥平面MNP 的图形的序号是_______________________________.
15.如图,四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,侧面PBC 内有BE⊥PC 于E,且BE=
3
6
a,试在AB 上找一点F,使EF∥平面PAD,并确定AF 的长度.
16.如图,在四棱锥P —ABCD 中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD 为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为AD 中点.
(1)求证:PO⊥平面ABCD;
(2)求异面直线PB 与CD 所成角的大小;
(3)线段AD 上是否存在点Q,使得它到平面PCD 的距离为
23?若存在,求出QD
AQ 的值;若不存在,请说明理由.
【拓展提高】
1、如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=4,BC=3,CC 1=2.
(1)求证:平面A 1BC 1∥平面ACD 1; (2)求(1)中两个平行平面间的距离; (3)求点B 1到平面A 1BC 1的距离.
2.已知三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面边长及侧棱长均相等,AB⊥CB 1,且侧面ABB 1A 1垂直于底面ABC.
(1)求证:平面ABC 1⊥平面CBB 1C 1;
(2)求侧棱B 1B 与底面ABC 所成角的大小. [来源:学+科+网Z+X+X+K]
3.已知四棱锥P —ABCD,底面ABCD 是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD,点E 为AB 中点,点F 为PD 中点.
(1)证明平面PED⊥平面PAB;
(2)求二面角PABF 的平面角的余弦值.
【基础精练参考答案】
5．D 【解析】:只有P 点的射影在△ABC 内部时,才是内心. 6.D 【解析】:利用三垂线定理可以证明BD 1⊥平面ACB 1. 又由于A 1D∥B 1C, ∴EF⊥AC,EF⊥CB 1. 从而EF⊥平面ACB 1, ∴EF∥BD 1.选D. 7.D 【解析】：问题等价转化为求正方体中过顶点的直线与过顶点的四边形平面垂直的对数共有多少对.
正方体共有6个面,每个面上有四条垂线,则共有6×4=24对线面垂直;正方体的对角面共有6个,每个对角面上均有两条面上的对角线与之垂直,则共有6×2=12对线面垂直,所以“正交线面对”共有24+12=36对. 8.C 【解析】：如果直线l 仅垂直平面α内的一组平行线,则“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”成立,“直线l 与平面α垂直”不成立,所以“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”不能推出“直线l 与平面α垂直”,而由直线与平面垂直的定义知“直线l 与平面α垂直”可以推出“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”. 9.D 【解析】：由线面垂直的性质定理易得.
10.C 【解析】:①显然成立;②m 与n 可以平行,也可以为异面直线;③n 还可以在α内;④
ββααα⊥??
??
⊥⊥????⊥n n m n m // 11. m∥n
【解析】:在α内取点A ?m,则点A 与n 确定一平面θ,且θ∩α=a.
同理可作平面γ且γ∩β=b. ∵n∥α,n∥β, ∴n∥a,n∥b. ∴a∥b.
∵a ?β,b ?β, ∴a∥β.
∵a ?α,α∩β=m, ∴a∥m.∴n∥m. 12. ①③【解析】：该题属于发散性思维题目,考查立体几何知识.任何一个面都是平行四边形,对角线的交点都是该线段的中点.其余四顶点到面的距离可得如下结果1+2=3,2-1=1.还可以用空间向量的思想来解释,建立坐标系只分析竖坐标即可. 13. ①③
【解析】:①中平面MNP∥平面AB, ∴AB∥平面MNP.
③中AB∥MP,∴AB∥平面MNP. ②④不正确. 14. ①④⑤【解析】:对①,易用三垂线定理证明l⊥MN,l⊥PM,故l⊥平面MNP;对②,易知l⊥平面ABC,但点M 、N 位于该平面的两侧,故平面MNP 不平行平面ABC,从而l 不垂直平面MNP;同理,③也不垂直;对④,易证l⊥MN,l⊥MP,故④正确;对⑤,易知平面MNP∥平面ABC,而l⊥平面ABC,故⑤正确.
15.【解析】:在平面PCD 内作EG⊥PD 于G,连结AG. ∵PA⊥平面ABCD,CD⊥AD, ∴CD⊥PD. ∴CD∥EG. 又AB∥CD, ∴EG∥AB.
若有EF∥平面PAD,则EF∥AG,
∴四边形AFEG 为平行四边形,得EG=AF. ∵CE=3
3)36(
22
=-a a a,△PBC 为直角三角形, ∴BC 2
=CE·CP ?CP=3a,
323333=-
===a
a
a PC
PE
CD EG AB AF .
故当AF∶FB=2∶1, 即AF=
3
2
a 时,EF∥平面PAD. 16.【解析】解法一:(1)证明:如图,在△PAD 中,PA=PD,O 为AD 的中点
,
所以PO⊥AD.
又侧面PA D⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO ?平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD.
(2)连结BO,在直角梯形ABCD 中,BC∥AD,AD=2AB=2BC,有OD∥BC 且OD=BC, 所以四边形OBCD 是平行四边形. 所以OB∥DC.
由(1)知,PO ⊥OB,∠PBO 为锐角,
所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角. 因为AD=2AB=2BC=2,
在Rt△AOB 中,AB=1,AO=1, 所以OB=2.
在Rt△POA 中,因为AP=2,AO=1, 所以OP=1.
在Rt△PBO 中,tan∠PBO=
222
1==BO PO ,∠PBO=arctan 22
, 所以异面直线PB 与CD 所成的角是arctan
2
2
. (3)假设存在点Q,使得它到平面PCD 的距离为
23.设QD=x,则S △DQC =2
1x, 由(2)得CD=OB=2,在Rt△POC 中,PC=22
2
=
+OP OC ,
所以PC=CD=DP,S △PCD =
43·(2)2
=2
3.
由V P-D QC =V Q-PC D ,得
31·21x·1=3
1
·23·23,解得x=23＜2,
所以存在点Q 满足题意,此时3
1=QD AQ . 解法二:(1)同解法一(1).
(2)如图,以O 为坐标原点,
的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向,建立空间直
角坐标系O —xyz,依题意,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以
=(-1,1,0),
=(1,-1,-1),
cos 〈〉==
3
62
311-
=?--. 所以异面直线PB 与CD 所成的角是arccos
3
6. (3)假设存在点Q,使得它到平面PCD 的距离为
2
3
.由(2)知=(-1,0,1),
=(-1,1,0).
设平面PCD 的法向量为n=(x 0,y 0,z 0),[来源:学&科&网Z&X&X&K]
即x 0=y 0=z 0.取x 0=1,得平面PCD 的一个法向量为n=(1,1,1). 设Q(0,y,0)(-1≤y≤1),CQ =(-1,y,0),
由
=
23,得23|
3||1|=+-y ,解得y=-21或y=25
(舍去),此时|AQ|=
21,|QD|=2
3
,所以存在点Q 满足题意,此时31=QD AQ .
【拓展提高参考答案】
(2)解:设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d,则d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离.
易求A 1C 1=5,A 1B=52,BC 1=13, 则cos∠A 1BC 1=
65
2.
从而sin∠A 1BC 1=
65
61
,S △A1BC1=61. 由于V D1—A1BC1=V B —A1C1D1,则
31S △A1BC1·d=31(2
1
·A 1D 1·C 1D 1)·BB 1, 代入求得d=
61
6112, 即(1)中两个平行平面间的距离等于
61
61
12. (3)解:由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分,所以点B 1与点D 1到平面A 1BC 1的距离相等,故由(2)知点B 1到平面A 1BC 1的距离等于
61
61
12. 2.【解析】剖析:(1)利用面面垂直的判定定理,关键是在一个平面内找另一个平面的垂线(这条直线是CB 1);(2)利用面面垂直的性质定理,作出侧棱B 1B 与底面ABC 所成的角. (1)证明:∵四边形BB 1C 1C 是菱形, ∴CB 1⊥C 1B.
又∵AB⊥CB 1,AB∩C 1B=B,[来源:学科网ZXXK] ∴CB 1⊥平面ABC 1. 而CB 1 平面CBB 1C 1,
∴平面ABC 1⊥平面CBB 1C 1.
(2)解:作B 1D⊥AB 于D,连结CD.
∵侧面ABB 1A 1⊥底面ABC,而平面ABB 1A 1∩平面ABC=AB, ∴B 1D⊥面ABC.
∴∠B 1BD 就是侧棱B 1B 与底面ABC 所成的角. 又∵CB 1⊥AB, ∴其射影CD⊥AB. 而△ABC 是正三角形,
∴BD=
21AB=2
1
B 1B. ∴∠B 1BD=60°,即侧棱B 1B 与底面AB
C 所成的角为60°. 3.【解析】(1)证明:连结BD, ∵AB=AD,∠DAB=60°,
∴△ADB 为等边三角形. ∵E 是AB 中点, ∴AB⊥DE.
∵PD⊥平面ABCD,AB ?平面ABCD, ∴AB⊥PD.
∵DE ?平面PED,PD ?平面PED,DE∩PD=D, ∴AB⊥平面PED. ∵AB ?平面PAB,
∴平面PED⊥平面PAB.
(2)解:∵AB⊥平面PED,PE ?平面PED, ∵AB⊥PE, 连结EF,
∴EF ?平面PED. ∴AB⊥EF.
∴∠PEF 为二面角PABF 的平面角. 设AD=2,那么PF=FD=1,DE=3, 在△PEF 中,PE=7,EF=2,PF=1,
∴cos∠PEF=14757
2212)7(22=
?-+,即二面角PABF 的平面角的余弦值为14
7
5.
2019年高三数学知识点总结：立体几何 由查字典数学网高中频道提供，2019年高三数学知识点总结：立体几何，因此老师及家长请认真阅读，关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱： 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台：
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱： 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥： 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台： 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
2019-2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆夯基提能作业本理 1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( ) A. B.(1,+∞) C.(1,2) D. 2.(xx黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的焦点在x轴上,离心率为,直线x+y-4=0与y轴的交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 3.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为( ) A.2 B.2 C.4 D.4 4.设椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为( ) A.3 B.3或 C. D.6或3 5.已知椭圆+=1(0
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线 为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥：有一个面是多边形，其余各面是 有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
好题速递1 1．已知P 是ABC ?内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ． 解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u r u u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y +=++,知点Q 在线段 BC 上．从而1AP x y AQ +=>?? +高三数学一轮复习基础训练系列卷(及答案)
45分钟滚动基础训练卷(十) [考查范围：第32讲～第35讲 分值：100分] 一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1．不等式|x －2|(x －1)<2的解集是________． 2．已知x 是1,2，x,4,5这五个数据的中位数，又知－1,5，－1 x ，y 这四个数据的平均数 为3，则x ＋y 最小值为________． 3．已知函数f (x )＝? ???? 2x 2＋1(x ≤0)， －2x (x >0)，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________． 4．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(?R B )∩A ＝________. 5．设实数x ，y 满足????? x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0， 则u ＝y x －x y 的取值范围是________． 6．[2011·广州调研] 在实数的原有运算法则中，定义新运算a b ＝a －2b ，则|x (1－ x )|＋|(1－x )x |>3的解集为________． 7．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于??? ?－π2，π 2上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________． 8．已知函数f (x )＝2x ＋a ln x (a <0)，则f (x 1)＋f (x 2)2________f ???? x 1＋x 22(用不等号填写大小关系)． 二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 9．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1 x ＋1 的值域，集合C 为不等式? ???ax －1 a (x ＋4)≤0的解集． (1)求A ∩B ； (2)若C ??R A ，求a 的取值范围． 10．已知二次函数y ＝f (x )图象的顶点是(－1,3)，又f (0)＝4，一次函数y ＝g (x )的图象过(－2,0)和(0,2)． (1)求函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的解析式； (2)当x >0时，试求函数y ＝f (x ) g (x )－2 的最小值．
知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++= ，但这时必须“首尾相连” ． 3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的 方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ 6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+ ，记作a =(x,y)。 2平面向量的坐标运算： (1) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy) (4) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ?-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ?=?+? 若a b ⊥ ，则02121=?+?y y x x
2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何 1、（2010一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α?=? ，即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .
连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中，OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、（2011一试6）在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 【解析】 因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ． 在△DMN 中，332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM ．学科*网 由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN ， 故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD ．故球O 的半径3=R ． 3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的
高三数学立体几何经 典例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
厦门一中 立体几何专题 一、选择题(10×5′=50′) 1.如图,设O 是正三棱锥P-ABC 底面三角形ABC 的中心， 过O 的动平面与P-ABC 的三条侧棱或其延长线的交点分别记 为Q 、R 、S ，则 PS PR PQ 1 11+ + ( ) A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等 D.是一个与平面QRS 位置无关的常量 2.在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 ( ) A.??? ??ππ-,1n n B.??? ??ππ-,2n n C.??? ??π2,0 D.? ? ? ??π-π-n n n n 1,2 3.正三棱锥P-ABC 的底面边长为2a ,点E 、F 、G 、H 分别是PA 、PB 、BC 、AC 的中点，则四边形EFGH 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,+∞) B.???? ??+∞,332a C.??? ? ??+∞,632a D.??? ??+∞,212a 4.已知二面角α-a -β为60°，点A 在此二面角内，且点A 到平面α、β的距离分别是AE =4，AF =2，若B ∈α,C ∈β,则△ABC 的周长的最小值是 ( ) A.43 B.27 C.47 D.23 5.如图，正四面体A-BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上， 使得 FD CF EB AE ==λ(0<λ<+∞),记f (λ)=αλ+βλ,其中αλ表示EF 与AC 所成的角，βλ表示EF 与BD 所成的角，则 ( ) A.f (λ)在(0,+∞)单调增加 B.f (λ)在(0,+∞)单调减少 C.f (λ)在(0,1)单调增加,在(1,+∞)单调减少 D.f (λ)在(0,+∞)为常数 6.直线a ∥平面β,直线a 到平面β的距离为1，则到直线a 的距离与平面β的距离都等于5 4 的点的集合是 ( ) A.一条直线 B.一个平面 C.两条平行直线 D.两个平面 7.正四棱锥底面积为Q ，侧面积为S ，则它的体积为 ( ) A.)(6 122Q S Q - B. )(31 22Q S Q - C. )(2 122Q S Q - D. S Q 3 1 8.已知球O 的半径为R ，A 、B 是球面上任意两点，则弦长|AB |的取值范围为 ( ) 第1题图 第5题图
2019届高三数学一轮复习方案 为备战2019年高考，合理有效利用各种资源科学备考，特制定本方案，来完成高三数学一轮复习； 一、指导思想 立足课本，以纵向为主，顺序整理，真正落实“低起点，勤反复、滚动式复习”，抓牢三基，重视展现和训练思维过程，总结和完善解题程序，渗透和提炼数学思想方法，加强章节知识过关，为二轮（条件允许可进行三轮）复习打下坚实的基础，大约在2019年年初结束。 二、复习要求 1、在一轮复习中，指导学生对基础知识、基本技能进行梳理，使之达到系统化、结构化、完整化；通过对基础题的系统训练和规范训练，使学生准确理解每一个概念，能从不同角度把握所学的每一个知识点、所有可能考查到的题型，熟练掌握各种典型问题的通法。 2、一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实“双基”的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、运算求解、推理论证、数据处理等基本能力。复习教学要充分考虑到本班学生的实际水平，坚决反对脱离学生实际的任意拔高和只抓几个“优生”放弃大部分“差生”的不良做法，不做或少做无效劳动，加大分层教学和个别指导的力度，狠抓复习的针对性、实效性，提高复习效果。 3、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。
一定要把复习内容中反映出来的数学思想方法的教学体现在一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于陈旧题目的熟练。 三、一轮复习进度表 1、理科 日期一轮复习主要内容用卷 8月1日--8月7日第1讲集合 第2讲命题及重要条件 第3讲 逻辑联结词与全称命题、特称命题 限时小 题训练 8月8日--9月28日第4讲函数概念及其表示 第5讲函数的单调性与最值（二次） 第6讲函数的奇偶性与周期性 第7讲二次函数与幂函数 第8讲指数与指数函数 第9讲对数与对数函数 第10讲函数的图象 第11讲函数与方程 第13讲变化率与导数、导数的运算 第14讲导数在研究函数中的应用 第15讲定积分与微积分基本定理 限时小 题训练 导数强 化练习 复习卷
一、多选题 1．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 2．已知点()4,6A ，33,2 B ??- ?? ? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 3．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 5．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC = D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ） A ． B ． C ．8 D ． 8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ） A B C D ．9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八
一. 教学内容： 椭圆的几何性质 二. 教学目标： 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 三. 重点、难点： 重点：椭圆的几何性质及初步运用． 难点：椭圆离心率的概念的理解． 四. 知识梳理 1、几何性质 （1）范围，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性 把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称 （3）顶点 在中，须令x＝0，得y＝±b，点B1（0，－b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1（－a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点A1（－a，0）、A2（a，0）、B1（0，－b）、B2（0，b）． ①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； ②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长； （4）离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义： 椭圆的焦距与长轴的比 椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴0＜e＜1． 当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁； 当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；
高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定
基本不等式 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数 例： 当 时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 变式：设2 3 0<
2012届高三数学一轮基础知识复习第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a a b +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ； ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <；
2021年高考数学试题汇编平面向量 （北京4） 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ， 那么（ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ．π 6 C ．π3 D ．π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量1322 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4）
对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2） 将π2cos 3 6x y ??=+ ??? 的图象按向量π24 ?? =-- ??? ， a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ??=+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ，a 在b 上的投影为52 2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227??- ?? ? ， C ．227? ?- ?? ? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r
第52讲椭圆的几何性质 一、课程标准 1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质 2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围 3、掌握直线与椭圆的位置关系 二、基础知识回顾 1、椭圆的标准方程和几何性质 2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2)y2 a2＋x2 b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积
为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)中 (1)当P 为短轴端点时，θ最大． (2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ 2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． 4、．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|； (2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0 a 2y 0. 5、直线与椭圆的关系 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 再求一元二次方程的判别式Δ，当： ①Δ>0?直线与椭圆相交； ②Δ＝0?直线与椭圆相切； ③Δ＜0?直线与椭圆相离． 6、设直线l 与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，k 为直线l 斜率，则AB ＝（1＋k 2）|x 1－x 2|． 三、自主热身、归纳总结 1、直线y ＝kx －k ＋1(k 为实数)与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的位置关系为( ) A . 相交 B . 相切 C . 相离 D . 相交、相切、相离都有可能 【答案】A 【解析】 直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1，1)．∵点(1，1)在椭圆内部，∴直线与椭圆相交．故选A . 第2题图