豫南九校2019-2020学年上期期末联考
高二数学（理）试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若0
60sin 2018=y ，则='y （ ）
A ． 1009
B ．31009
C ．0
D ．2018
2.在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若4115=a a ，8126=a a ，则=98a a （ ） A ．12 B ．24 C ． 26 D ．32
3.在空间直角坐标系中，已知)3,2,1(A ，)6,1,2(--B ，)1,2,3(C ，)0,3,4(D ，则直线AB 与
CD 的位置关系是（ ）
A ． 垂直
B ．平行
C ． 异面
D ． 相交但不垂直 4.若0,0>>y x ，则“xy y x 222=+”的一个充分不必要条件是（ ） A ．y x = B ．y x 2= C. 2=x 且1=y D ．y x =或1=y
5.抛物线24
1y x =的焦点到双曲线1322
=-y x 的渐近线距离是（ ） A ．3 B ．
22 C. 23 D ．2
1
6.下列说法正确的是（ ）
A ．“函数)(x f 为奇函数”是“0)0(=f ”的充分不必要条件
B ．在AB
C ?中，“B A <”是“B A sin sin <”的既不充分也不必要条件 C.若命题q p ∧为假命题，则q p ,都是假命题
D ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232
≠+-x x ”
7.已知数列{}n a 的前n 项和3
2
31+=
n n a S ，则 {}n a 的通项公式=n a （ ） A ．n n a )21(-= B ．1)21(--=n n a C. 1)21(-=n n a D ．1)2
1
(+-=n n a
8.已知实数y x ,满足不等式组??
?
??≤-+≥+-≥042010y x y x y ，则函数3++=y x z 的最大值为（ ）
A ．2
B ． 4 C. 5 D ．6
9.在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若ABC ?为锐角三角形，且满足
C A C A C B sin cos cos sin 2)cos 21(sin +=+，则下列等式成立的是（ ）
A ． b a 2=
B ．a b 2= C. B A 2= D ．A B 2=
10.函数)()(x g x x f -=的图像在点2=x 处的切线方程是1--=x y ，则=+)2(')2(g g （ ）
A ． 7
B ．4 C. 0 D ．-4
11.已知直三棱柱111C B A ABC -中，0120=∠ABC ，2=AB ，11==CC BC ，则异面直线
1AB 与1BC 所成角的正弦值为（ ）
A ．
23 B ．5
15 C. 510 D ．33 12.已知直线01:=-+y x l 截圆)0(:2
2
2
>=+Ωr r y x 所得的弦长为14，点N M ,在圆Ω上，且直线03)1()21(:'=--++m y m x m l 过定点P ，若PN PM ⊥，则||MN 的取值范围为（ ）
A ． ]32,22[+-
B ．]22,22[+- C. ]36,26[+- D ．]26,26[+-
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数x a x a x x f )3()1()(2
4
-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a ．
14.已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的半焦距为c ，且满足02
2<+-ac b c ，则该椭圆的离心
率e 的取值范围是 ．
15.已知ABC ?，4==AC AB ，2=BC ，点D 为AB 延长线上一点，2=BD ，连结CD ，则=∠BDC cos ．
16.已知直线)0,0(22>>=-b a by ax 过圆01242
2=++-+y x y x 的圆心，则
1
1
24++
+b a 的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （1）关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集非空，求实数a 的取值范围； （2）已知45<
x ，求函数5
4124-+-=x x y 的最大值. 18. 等差数列}{n a 中，113221=+a a ，42623-+=a a a ，其前n 项和为n S . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设数列}{n b 满足1
11-=
+n n S b ，其前n 项和为为n T ，求证：)(4
3
*N n T n ∈<
. 19. 四棱锥ABCD S -中，BC AD //，CD BC ⊥，060=∠=∠SDC SDA ，
DC AD =SD BC 2
1
21==
，E 为SD 的中点.
（1）求证：平面⊥AEC 平面ABCD ； （2）求BC 与平面CDE 所成角的余弦值.
20. ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中c b ≠，且C c B b cos cos =，延长线段
BC 到点D ，使得44==CD BC ，030=∠CAD .
（1）求证：BAC ∠是直角； （2）求D ∠tan 的值.
21. 椭圆E 经过点)3,2(A ，对称轴为坐标轴，焦点21,F F 在x 轴上，离心率2
1
=e . （1）求椭圆E 的方程；
（2）求21AF F ∠的角平分线所在直线的方程.
22.已知抛物线)0(2:2
>=p px y C 的焦点为F 抛物线C 上存在一点),2(t E 到焦点F 的距离等于3.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点)0,1(-K 的直线l 与抛物线C 相交于B A ,两点（B A ,两点在x 轴上方），点A 关于x 轴的对称点为D ，且FB FA ⊥，求ABD ?的外接圆的方程.
试卷答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1—5CBBCC 6—10DBDAA 11—12CD
1．C
y'=．
【解析】根据求导法则易知0
2．B
【解析】由等比数列的性质有，
．
3．B 【解析】由题意得,(3,3,3),(1,1,1)AB CD =--=-u u u r u u u r ,所以3AB CD =-u u u r u u u r ，所以AB CD u u u r u u u r
∥．
4．C 【
解
析
】
，，当且仅当时取等号．故
“”是
“”的充分不必要条件．
5．C
【解析】双曲线22
13y x -=的焦点(20)，到渐近线距离为214
x y =的焦点(10)，到渐近
线距离为．（可由抛物线的焦点F （1,0）直接求距离）
6．D 【解析】函数()f x 的定义域为R 才成立，故选项A 错误；因为是在三角形中，所以“A B <”是“sin sin A B <”成立的充要条件，故选项B 错误；若命题p q ∧为假命题，则p ,q 至少有一个为假命题，故选项C 错误；故选D ． 7．B
【解析】令1n =，得111233
S a =+，11a =，当2n ≥时，1112
33n n S a --=+，所以
111133
n n n n n S S a a a ---=-=，所以112n n a a -=-，所以数列{}n a 是以1为首项，1
2-为公比
的等比数列，所以1
1()2
n n a -=-．
8．D
【解析】作出可行域如图，当直线过点C时，z最大，由得
，所以z的最大值为6．
9．A
【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =?=?=，选A ． 10．A
【解析】，又由题意知
，
．
11．C
【解析】补成四棱柱1111ABCD A B C D -,则所求角为11,BC D BC ∠=Q
BD =11C D AB ==,
因此
1cos 5BC D ∠==，故选C ．
12．D
【解析】依题意，=解得2r =，因为直线:(12)(1)30l m x m y m '++--=，故(11)P ，;设MN 的中点为(,)Q x y ，则222OM OQ MQ =+22OQ PQ =+,即
22224(1)(1)x y x y =++-+-，化简可得22113
()()222
x y -+-=，所以点Q 的轨迹是以
11
(,)22为圆心，2 PQ 的取值范围为??
，所以MN
的取值范围为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．3
14．102
e <<
15 16．
4
9 13．【解析】由题意3()42(1)(3)f x x a x a '=--+-是奇函数303a a ?-=?=． 14．【解析
】
，，即
，即，解得
，又
，102
e ∴<<
． 15．【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，
1
cos 4
BE ABC AB ∠=
=，
1cos 4
DBC ∴∠=-
，又
21cos 12sin ,sin 44DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，
cos sin BDC DBF ∴∠=∠=．
16．【解析】圆心为(2,1)-，则代入直线得：222a b +=，即1a b +=，观察所求式子形式；
不妨令2,1m a n b =+=+，则
411121444m n m n n m a b m n m n +++=+=+++++59
44≥=．(当且仅当,4n m m n =即m=2n 时，亦即2a b =时，取“=”；此时2133
a b ==,．) 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（1）解：设()2f x x ax a =--．则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集
()3f x ?≤-在R 上能成立()min 3f x ?≤-，即()2
min 434
a a f x +=-≤-解得 6a ≤-或2a ≥．
（或由230x ax a --+≤的解集非空得0?≥亦可得） （2）解：511,540,4254323144554x x y x x x x Q ??<
∴->∴=-+=--++≤-+= ?--??
， 当且仅当15454x x -=
-，解得x =1或32x =而35
124
x x =>∴= 即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =． 18．解：（1）因为121112323()5311a a a a d a d +=++=+=，
32624a a a =+-，即1112(2)54a d a d a d +=+++-，得2d =，11a =， 所以1(1)1(1)221n a a n d n n =+-=+-?=-．
（2）2111
(1)1(1)222
n S na n n d n n n n =+-=?+-?=，
22
11111111
()1(1)12(2)22n n b S n n n n n n n +=====--+-+++， 11111111111(...)2132435112n T n n n n =-+-+-++-+--++
111113()212124
n n =+--<++*()n N ∈． 19．解：（1）E Q 为SD 的中点，01
,602
AD DC SD SDA SDC ==∠=∠=
.ED EC AD DC EA ∴====
设O 为AC 的中点，连接,EO DO ，则EO AC ⊥， //,AD BC BC CD ⊥Q .AD BC ∴⊥ OD OA OC ∴==，
EOC EOD ∴???从而EO OD ⊥，
AD BC BC
CD ⊥Q ?=DO AC AB AC ,,Θ面ABCD ，AC DO O =I ， EO ∴⊥面ABCD EO ?Q 面AEC ， ∴面AEC ⊥面ABCD
（2）设F 为CD 的中点,连接OF EF 、,则OF 平行且等于
1
2
AD AD Q ∥BC OF ∴∥BC
不难得出CD ⊥面OEF （EO CD ⊥Q FO CD ⊥） ∴面ECD ⊥面OEF
OF 在面ECD 射影为EF ，EFO ∠的大小为BC 与面ECD 所成角的大小．
设AD a =，则2
a
OF =，3EF =,3cos OF EFO EF ∠==
即BC 与ECD 改成角的余弦值为
33
．（亦可以建系完成） 20．解：（1）因为cos cos b B c C =
由正弦定理，得sin cos sin cos B B C C =， 所以sin 2sin 2B C =，又b c ≠ 所以22B C π=- 所以2
B C π
+=
，所以090A ∠=，即BAC ∠为直角。
（2）设,1ADC CD α∠==，则4BC =
在△ABC 中，因为090A ∠=，030ACB α∠=+
所以0cos(30)AC
BC α+=，
所以0
4cos(30)AC α=+
在ADC ?中，sin sin AC CD CAD α=∠，即1
21
sin 2
AC α==，
所以2sin AC α=，
所以0
4cos(30)2sin αα+=，
即31
2cos sin )sin 2
ααα-=（
，整理得3cos 2sin αα= 所以3
tan 2α=．
21．（1）设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b
+=>>．
由12e =，得22221
,32c b a c c a ==-=
所以2222143x y c c +=，将(2,3)A 代入，有2213
1c c
+=，解得2c =
所以椭圆E 的方程为22
11612
x y +=．
（2）由（1）知F 1(-2,0)，F 2(2,0)，所以直线AF 1的方程为3
(2)4
y x =+
即3460x y -+=
直线AF 2的方程为2x =．
由椭圆E 的图形知，12F AF ∠的角平分线所在直线的斜率为正数．
设P (x ,y )为12F AF ∠的角平分线所在直线上任一点，则有346
25
x y x -+=-
若346510x y x -+=-，得280x y +-= 其斜率为负，不合题意，舍去．
于是346510x y x -+=-+,即210x y --=．
所以12F AF ∠的角平分线所在直线的方程为210x y --= 22．解：（1）抛物线的准线方程为2
p
x =-， 所以点E ()2t ，到焦点的距离为232
p
+=． 解得2p =．
所以抛物线C 的方程为2
4y x =．
（2）解法1：设直线l 的方程为()10x my m =->． 将1x my =-代入2
4y x =并整理得2
440y my -+=， 由()2
4160m ?=->，解得1m >． 设()11,A x y ，()22,B x y ，()11,D x y -， 则4y y m +=，4y y =，
即8
所以直线l 的方程为10x -+=．设AB 的中点为()00,x y ,
，0013x my =-=，
所以直线AB 的中垂线方程为)3y x -=-． 因为AD 的中垂线方程为0y =，
所以△ABD 的外接圆圆心坐标为()5,0．因为圆心()5,0到直线l 的距离为
且AB =
所以△ABD 的外接圆的方程为2524x y -+=． 解法2：依题意可设直线()():10l y k x k =+>．
将直线l 与抛物线C 联立整理得0)42(2
2
2
2
=+-+k x k x k ． 由04)42(4
2
2
>--=?k k ，解得10< 则1,4 221221=+ -=+x x k x x ． 所以4)1(21212 21=+++=x x x x k y y ， 因为12121224()18FA FB x x x x y y k ?=-+++=-u u u r u u u r ， 因为FA FB ⊥，所以0FA FB =u u u r u u u r g ． 所以2 4 80k -=，又0k >，解得22=k ．
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