第三节 简单曲线的极系坐标方程
一、选择题
1．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是
( )．
A ．ρ＝1
B ．ρ＝cos θ
C ．ρ＝－
1
cos θ
D ．ρ＝
1
cos θ
解析 如图所示，设M 为直线上任一点，设M (ρ，θ)． 在△OPM 中，OP ＝OM ·cos ∠POM ， ∴1＝ρ·cos(π－θ)，即ρ＝－1
cos θ
. 答案 C
2．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为
( )．
A ．ρ＝22cos θ
B ．ρ＝－22cos θ
C ．ρ＝22sin θ
D ．ρ＝－22sin θ
解析 如图所示，P (2，π)，在圆上任找一点 M (ρ，θ)，延长OP 与圆交于点Q ，则∠OMQ ＝90°， 在Rt △OMQ 中，OM ＝OQ ·cos ∠QOM ∴ρ＝22cos(π－θ)，即ρ＝－22cos θ. 答案 B
3．极坐标方程ρ＝2sin ?
?
???θ＋π4的图形是
( )．
解析 ∵ρ＝2sin ? ????
θ＋π4＝2sin θ·cos π4＋2cos θ·sin π4
＝2(sin θ＋cos θ)， ∴ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ， ∴? ????x －222＋? ????y －222
＝1，
∴圆心的坐标为? ????22，22.
结合四个图形，可知选C. 答案 C
4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为
( )．
A ．x 2＋(y ＋2)2＝4
B ．x 2＋(y －2)2＝4
C ．(x －2)2＋y 2＝4
D ．(x ＋2)2＋y 2＝4
解析 由已知得ρ2＝4ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝4y ，∴x 2＋(y －2)2＝4. 答案 B 二、填空题
5．(2012·安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π
6(ρ∈R)的距离是________．
解析 圆ρ＝4sin θ即x 2＋(y －2)2＝4的圆心为C (0,2)，直线l ：θ＝π
6(ρ∈R)即x －3y ＝0；点C 到直线l 的距离是|0－23|
2＝ 3.
答案
3
6．极点到直线ρ(cos θ－sin θ)＝2的距离为________．
解析 直线ρ(cos θ－sin θ)＝2的直角坐标方程为x －y －2＝0，极点的直 角坐标为(0，0)， ∴极点到直线的距离为d ＝|－2|12
＋（－1）
2
＝ 2.
答案
2
7．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，则|AB |＝________．
解析 过点(3，0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x ＝3，曲线ρ＝4cos
θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，把x ＝3代入上式，得9＋y 2－12＝0， 解得，y 1＝3，y 2＝－3，所以|AB |＝|y 1－y 2|＝2 3. 答案 2 3
8．极坐标方程5ρ2cos 2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为______________．
解析 原方程化为直角坐标系下的方程为x 24－y 2
6＝1， ∴c ＝
a 2＋
b 2＝10，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(10，0)，(－10，
0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(10，0)，(10，π)． 答案 (10，0)，(10，π) 三、解答题
9．(求直线的极坐标方程)求过点A ? ?
???2，π6，并且与极轴垂直的直线的极坐标方
程．
解 在直线l 上任取一点M ，如图： 因为A ?
?
???2，π6，
所以|OH |＝2cos π
6＝ 3.
在Rt △OMH 中，|OH |＝ρcos θ＝3， 所以所求直线的方程为ρcos θ＝ 3. 10．将下列直角坐标方程和极坐标方程互化． (1)y 2＝4x ；
(2)y 2＋x 2－2x －1＝0； (3)ρcos 2 θ
2＝1； (4)ρ2cos 2θ＝4； (5)ρ＝
1
2－cos θ
.
解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化简得ρsin 2 θ＝4cos θ. (2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵ρcos 2 θ
2＝1，
∴ρcos θ＋12＝1，
即ρcos θ＋ρ＝2， ∴x ＋x 2＋y 2＝2， 整理有y 2＝4－4x . (4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2(cos 2 θ－sin 2 θ)＝4. 化简得x 2－y 2＝4. (5)∵ρ＝
1
2－cos θ
，
∴1＝2ρ－ρcos θ，∴1＝2x 2＋y 2－x ，
整理得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.
11．(求圆的极坐标方程)在极坐标系中，求圆心为A ? ?
???8，π3，半径为5的圆的极
坐标方程．
解 在圆上任取一点P (ρ，θ)，那么，在△AOP 中， |OA |＝8，|AP |＝5，∠AOP ＝π3－θ或? ?
???θ－π3.
由余弦定理得cos ? ????π3－θ＝82＋ρ2－52
2×8·ρ
，
即ρ2
－16ρcos ?
????
θ－π3＋39＝0为所求圆的极坐标方程．