高考数学一轮复习 61课时作业
一、选择题
1．设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表示形式中正确的是( ) A ．e ＝
a
|a |
B ．a ＝|a |e
C ．a ＝－|a |e
D ．a ＝±|a |e
答案 D
解析 对于A ，当a ＝0时，
a
|a |
没有意义，错误 对于B 、C 、D 当a ＝0时，选项B 、C 、D 都对； 当a ≠0时，由a ∥e 可知，a 与e 同反或反向，选D.
2．a 、b 、a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，则( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．|a |＝|b | D ．以上都不对
答案 C
3．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →
等于( )
A ．－BC →＋12BA →
B ．－B
C →－12BA →
C.BC →－12BA →
D.BC →＋12BA →
答案 A
解析 ∵D 是AB 的中点，∴BD →＝12BA →
.
∴CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12
BA →
4．(2011·山东师大附中)设a 、b 为不共线的非零向量，AB →＝2a ＋3b ，BC →＝－8a －2b ，CD →
＝－6a －4b ，那么( )
A.AD →与BC →同向，且|AD →|>|BC →|
B.AD →与BC →同向，且|AD →|>|BC →|
C.AD →与BC →反向，且|AD →|>|BC →|
D.AD →∥BD → 答案 A
解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →
＝2a ＋3b ＋(－8a －2b )＋(－6a －4b )＝－12a －3b ， BC →
＝－8a －2b ，∴AD →
＝32
BC →，
∴AD →与BC →同向，且|AD →|＝32|BC →|.
∴|AD →|>|BC →
|.故选A.
5．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且PA →＋PB →＋PC →＝AC →
，那么一定有( ) A.PB →＝2CP →
B.CP →＝2PB →
C.AP →＝2PB →
D.PB →＝2AP →
答案 D
解析 由题意得PA →＋PB →＋PC →＝PC →－PA →，即PB →＝－2PA →＝2AP →
，选D.
6．(2010·湖北卷，理)已知ΔABC 和点M 满足M A →＋M B →＋M C →＝0.若存在实数m 使得A B
→
＋A C →＝mAM →
成立，则m ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案 B
解析 由M A →＋M B →＋M C →＝0得点M 是ΔABC 的重心，可知A M →＝13
(A B →＋A C →)，A B →＋A C
→
＝3A M →
，则m ＝3，选B.
7．(2010·四川卷)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|A B →＋A C →
|＝|A B →－A C →|，则|A M →
|＝( )
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
答案 C
解析 由|A B →＋A C →|＝|A B →－A C →|可知，A B →⊥A C →
，则AM 为Rt ΔABC 斜边BC 上的中线，
因此|A M →|＝12
|B C →
|＝2，选C.
二、填空题
8．设e 是与向量AB →共线的单位向量，AB →＝3e ，又向量BC →＝－5e ，若AB →＝λAC →
，则λ＝________.
答案 －3
2
解析 AC →＝AB →＋BC →
＝3e －5e ＝－2e 由AB →＝λ·AC →
得3e ＝λ·(－2)·e ∴λ＝－3
2
9．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →
＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________． 答案 1
2
解析 如图，取AC 中点D .
OA →＋OC →＝2OD → ∴OD →＝BO →
∴O 为BD 中点，∴面积比为高之比．
10．(2011·苏北四市调研)已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →
＝a ＋λ2b (λ1，
λ2∈R)，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为________．
答案 λ1λ2－1＝0
解析 A 、B 、C 三点共线?AB →∥AC →
?λ1λ2－1×1＝0?λ1λ2＝1，故选C 11．已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为________． 答案 45° 解析 如右图所示，
作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →
＝a －b . ∵OA ＝1，OB ＝2，OA ⊥BA ，∴cos ∠AOB ＝
22
，
∴∠AOB ＝45°，故a 与b 的夹角为45°.
12．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →
，则r ＋s 的值是________． 答案 0
解析 CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →. ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →.
∴32CD →＝AB →－AC →， ∴CD →＝23AB →－23
AC →.
又CD →＝rAB →＋sAC →
，∴r ＝23，s ＝－23，
∴r ＋s ＝0.
13．(09·安徽)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →
＋
μAF →
，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.
答案 43
解析 AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →
，于是得?????
1
2λ＋μ＝1λ＋1
2μ＝1
，所以λ＋
μ＝43
三、解答题
14．已知：任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：EF →＝12(AB →＋DC →
)．
证明 如图所示，
∵E 、F 是AD 与BC 的中点，∴EA →＋ED →＝0，FB →＋FC →
＝0，
又∵AB →＋BF →＋FE →＋EA →
＝0， ∴EF →＝AB →＋BF →＋EA →
，① 同理 EF →＝ED →＋DC →＋CF →
，②
由①＋②得，2EF →＝AB →＋DC →＋(EA →＋ED →)＋(BF →＋CF →)＝AB →＋DC →
， ∴EF →＝12(AB →＋DC →)
15．如右图所示，
已知AP →＝43AB →，AQ →＝13AB →，用OA →、OB →表示OP →，求OP →.
答案 －13OA →＋43
OB →
解析 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝43OB →－13OA →
.
16．设a 、b 是不共线的两个非零向量， (1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →
＝a －3b ， 求证：A 、B 、C 三点共线；
(2)若8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，求实数k 的值． 解析 (1)∵AB →
＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ， 而BC →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－2a －4b ＝－2AB →， ∴AB →与BC →
共线，且有公共端点B ， ∴A 、B 、C 三点共线． (2)∵8a ＋kb 与ka ＋2b 共线， ∴存在实数λ，使得 (8a ＋kb )＝λ(ka ＋2b ) ?(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0， ∵a 与b 不共线，
∴?
??
??
8－λk ＝0k －2λ＝0?8＝2λ2
?λ＝±2，
∴k ＝2λ＝±4.