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2012年数学建模D题机器人避障问题论文

2012年数学建模D题机器人避障问题论文
2012年数学建模D题机器人避障问题论文

机器人避障问题

摘要

我们根据题目所给的 的平面区域和场景图中的12个不规则形状的障碍物,研究讨论了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题。 问题一:避障最短路径有两种情形:

一、由原点出发到达各个目标点的最短路径;

二、由原点出发经过途中的若干个目标点到达最终目标点。

情形一:通过我们的证明知道(猜想一、猜想二):具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的:一部分是平面上的直线段,另一部分是限定区域的部分边界(即圆弧段)。这两部分是相切且连续的,依据这个结果,我们可以认为最短路径一定是由直线段和圆弧段组成的,因此我们建立了线圆结构模型,并采用三中分法、枚举法对可能是最短路的路径分析求解。这样一来无论路径多么复杂,我们都可以将机器人行走路径划分为若干个这样的线圆结构模型来求解。运用matlab 求解最终得:

最短路径为:471.0372; 最短路径为:853.7001; 最短路径为:1090.8041;

对于第二种最短路径情形,我们在拐角处和目标点处均采用最小转弯半径r=10的形式,这样才能使得机器人不仅能够安全行走,且所走路径为最短路。最后建立优化模

型运用MATLAB 求解原点到达最终目标点的最短路径。即最短路径

为2716.0471。

问题二:根据问题要求,运用图论中的最短路方法,建立最短时间路径模型,求出的最短时间路径,根据已知数据运行我们编制的matlab 程序求解得机器人行走最短时间为94.2697。

关键词 避障最短路径 最短时间路径 图论 三中分法 MATLAB 软件

A O →

B O →

C O →O C B A O →→→→A O →

一、问题重述

根据题目所给800×800的平面场景图,在原点 处有一个机器人,该机器人只能在平面场景范围内活动。且不能与场景图中12个不同形状的障碍物发生碰撞,障碍物的数学描述如下表:

编号 障碍物名称 左下顶点坐标 其它特性描述

1 正方形 (300, 400) 边长200

2 圆形

圆心坐标(550, 450),半径70 3 平行四边形 (360, 240) 底边长140,左上顶点坐标(400, 330)

4 三角形 (280, 100) 上顶点坐标(345, 210),右下顶点坐标(410, 100)

5 正方形 (80, 60) 边长150

6 三角形 (60, 300) 上顶点坐标(150, 435),右下顶点坐标(235, 300)

7 长方形 (0, 470) 长220,宽60

8 平行四边形 (150, 600) 底边长90,左上顶点坐标(180, 680) 9 长方形 (370, 680) 长60,宽120 10 正方形 (540, 600) 边长130 11 正方形 (640, 520) 边长80 12

长方形

(500, 140)

长300,宽60

在图(1)的平面场景中,障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点(要求目标

点与障碍物的距离至少超过10个单位)。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成,其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯,转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成,也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成,但每个圆弧的最小半径为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞,同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位,否则将发生碰撞,若碰撞发生,则机器人无法完成行走。

机器人直线行走的最大速度为个单位/秒。机器人转弯时,最大转弯速度为

,其中是转弯半径。如果超过该速度,机器人将发生侧 翻,无法完成行走。

我们需要解决的问题是:建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中4个点O(0, 0),A(300, 300),B(100, 700),C(700, 640),具体计算:

(1) 机器人从O(0, 0)出发,O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径。 (2) 机器人从O (0, 0)出发,到达A 的最短时间路径。

同时需要我们求出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。

50=v 21.0100

e

1)(ρ

ρ-+==v v v ρ

图1 800×800平面场景图

二、问题分析

问题一:要求求出机器人从原点出发,按照一定的行走规则绕过障碍物到达目标点的最短路径,以及求出经过中间的若干个点并按照一定的规则绕过障碍物到达最终目标点的最短路径。

我们可以先采用包络线画出机器人行走的危险区域,这样一来,拐角处就是一个以障碍物某一顶点为圆心,以10为半径的圆弧。首先,如果假设拐角处的圆是一个滑轮,那么我们可以通过拉绳子的方法寻找可能的最短路径,(比如求O和A之间的最短路径,我们就可以连接O和A之间的一段绳子,以拐角处的圆弧为支撑拉紧,那么这段绳子的长度便是O到A的一条可能的最短路径),其次采用枚举法列出原点O到每个目标点的可能的最短路径,最后比较其大小便可得出原点O到达各个目标点的最短路径。

求解从原点到最终目标点的最短路径时,我们不仅要考虑障碍物拐角处的问题,还应该注意经过途中目标点时的转弯问题。这时如果再采用简单的线圆结构就不能解决这类问题。因此,我们在拐点及途中目标点处均采用最小转弯半径(R=10)的形式,然后建立优化模型对方案进行优化处理,最后求得原点到达最终目标点的最短路径。

问题二:要求求得机器人从原点O处出发到达目标点A的最短时间路径。由于机器人的行走速度与行走路径有关,且机器人的行走路径是由有直线段和圆弧段组成的。机器人在直线行走过程中的速度为5个单位/秒,在圆弧段的行走时,转弯速度与圆弧的半径

成正比关系,半径越大速度越大。要确定半径的长度,首先我们应该找出圆心的坐标其次计算半径的长度。

三、模型假设

1、假设机器人能够抽象成一个点来处理。

2、假设机器人在直线行走时,都以最大速度匀速行驶。

3、假设在模型二的计算过程中,直线行走速度变为转弯速度时的时间间隔为0。

四、符号说明

:第

i 段切线的长度。 :第j 段圆弧的长度。

L :从原点到达最终目标点的最短路径的总长度。 K:障碍物上的任一点与行走路径之间的最短距离。

五、模型的建立

5.1 模型猜想:

猜想一:具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的:一部分是平面上的直线段,另一部分是限定区域的部分边界(即圆弧段),这两部分是相切的,连续的。(即问题分析中的拉绳子拉到最紧时的状况)

证明:假设在平面中有 和 两点,中间有一个半圆形的障碍物,证明从A 到B 的最短路径为A

B 。

平面上连接两点最短的路径是通过这两点的直线段,但是连接两点的线段于障碍物相交,所以设法尝试折线路径。在y 轴上取一点 ,若 适当大,则折线ACB 与障碍物不相交,折线 的长度为: 显然 随着 的减小而减小,减小 得 ,即 ,使得 与 都与障碍物相切,切点分别为E 和F,显然

是这种折线路径中最短的。由于满足

的角满足,所以易知弧

小于 的长, 即 ,从而 ,记线段 、弧

21.0100

e 1)(ρ

ρ-+==v v v Lj OE EC <1

、线段 为 ,那么 比任何折线路径都短。

为了使结果更具有说服力,下面再考察一条不穿过障碍物的任何一条路径,设其分

别于 和 的延长线交与 、 两点,记 和 之间的路径长度为

,显然 > ,又因 所以 ,从而

错误!未定义书签。

同理可得 错误!未定义书签。 。

再来比较 之间路径长度 和圆弧 的长度的大小。若 之间的路径可有极坐标

方程 ,则有 ,可得:

即路径 的长度超过路径 的长度。以上证明足以说明 是满足条件 到 的最短路径。

猜想二:假设一个圆环可以绕着环上一个定点转动,那么过圆环外两定点连接一根绳子,并以该圆环为支撑拉紧绳子,达到平衡时,圆心与该顶点以及两条切线的延长线的交点共线

图2

证明猜想:

如图2所示,E 点就是圆环上的一个顶点,A

B 就是拉紧的绳子,就是切线A

C 和

BD 的延长线的交点,证明、E 、三点共线。

我们可以用力学的知识进行证明,因为是拉紧的绳子,所以两边的绳子拉力相等,设为,它们的合力设为,定点对圆环的作用力设为。

那么由几何学的知识我们可以知道一定与共线,而又由力的平衡条件可知:

=-

即与共线,、和三点一定共线。

5.2模型一的准备 1)、有了 的定理,我们就可以认为,无论起点到目标点的途中有多少个障碍物,最短路径都应该是由若干个线圆结构所组成的。根据本题中存在障碍物的情况,且障碍物在拐角处的危险区域是一个半径为10的圆弧。所以结合定理5.1,求两点之间的最短路径时,我们应该按照最小的转弯半径来计算才可达到最优。

2O 1O 2O F 0F 1F 0F 12O O 0F 1F 12O O 2E O 1O E 2O

线圆结构5.21

如线圆结构5.21,设 点坐标为 , 点坐标为 分别为机器人经过拐点分别于隔离危险线拐角小圆弧的切点,圆的半径为 , 的长度为 , 的长度为 , 的长度为 ,角度= =, =,∠COD=.求A B 的长度,设为 解法如下:如上图可得有以下关系:

2)、而对于下图两种情况我们不能直接采用线圆的结构来解决,需要做简单的变换。 情况一如图4所示:

AO B ∠1a A O C ∠B O D ∠L

线圆结构5.22

我们假设 点坐标为 错误!未定义书签。,两圆心坐标分别为 和

, 点坐标为 ,我们很容易知道 点的坐标为

这样我们可以利用5.21中的方法,先求A 到M ,再求M 到B ,这样把整个过程分成两段进行解即:

。同理如果有更多的转弯,同样可以按照此种方法求解。

情形二:

线圆结构5.23

这里我们依然设圆心坐标分别为 和 半径为 ,利用5.21的求解方式我们可以列出在该情形下的函数关系:

AC DE FB AC DM ME FB

这样用D和E任意一点作为分割点都可以将上图分割成两个如图2所示的线圆结构,这样就可以对其进行求解。求解方法运用MATLAB软件进行求解(程序见附录)。同理有多个这样的转弯时,用同样的方法都可以进行分割计算。

4)、模型一的建立

假设机器人从原点O到达任意目标点,由5.2知机器人所走路径一定是由直线段和圆弧组成。设有m条线段,n条圆弧,那么目标函数可以表示为:

建立此模型运用MATLAB软件就可对原点到目标点之间的最短路径进行优化求解(见附表)。

5)、模型二的建立

图6

如图6所示,建立直角坐标系, 点坐标为 , 点为 ,坐标系中阴影5为正方形, 与 相垂直,交点为 ,阴影5的左上角的坐标为 ,半径 在线段CB 上,利用两点之间的距离公式得出:

(机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位),

再利用求导公式

求出半径的最小值。

10

)210()80(2

2≥-+--y x r dx

dr

2

1.01001

2

20221ρ-++

-+-=e

v rd v r b v r a T ()10≥r

六、模型的求解

一、模型一的求解

1、以下给出的是原点到各个目标点的可能的最短路径:

1)、如下图7,解决的就是到目标点的最短路径问题。图中给出了可能路径的最短路径(图中标注红色箭头的黑色线段),我们可以分别计算出两条可能路径的最短路径的长度,然后进行比较,求得的最小值就是到的最短路径。

图7

2)、如下图8,解决的是到目标的最短路径问题。图中给出了两条可能路径的最短路径(图中标注红色箭头的黑色线段),我们同样可以分别计算出两条可能的最短路径,取最小值即为到得最短路径。

图8

3)、如下图9所示,解决的是 到 的最短路径问题。图中给出了两条可能路径的最短路径(图中的红线所示),我们采用上述同样的计算方法,分别计算出两条可能的最短路径,选择最小值作为 到 得最短路径。

图9

4)、如下图10所示,解决的是原点的最短路径问题。图中给出了

两条可能路径的最短路径(图中的红线、黑线所示,有一部分路径重叠),我们采用同样的三中分法来计算,分别计算出两条可能路径的最短路径,然后通过分析比较选出最

小值作为的最短路径。

图10

2、计算结果如下:

1)、原点 到 点的可能的最短路径有两条,如图7所示,运用 编程求解 到 第一条路径是绕过障碍物5,且走在其上方的总距离为471.0372;第二条路径走在障碍物的下方的总距离为498.4259;比较得到 到目标点 的最短路径为:471.0372。(最短路径详细数据见下表)

O C B A O →→→→O C B A O →→→

起点坐标 终点坐标

圆弧圆心坐标

圆弧半径

直线长或弧长

机器人行走总时间

O

线段

0,0

70.506,213.1406 224.4994 44.89988 圆弧一

70.506,213.1406 76.6064,219.4066 80,210 10

9.051 3.6204 线段二 76.6064,219.4066

300,300

237.4868 47.49736 机器人行走总距离

471.0372 96.01764

2)、原点 到 点的可能的最短路径有两条,如图8所示,一条是:机器人从障碍物6的左下顶点处经过到达 点;另一条是走在了障碍物6的右上顶点到达 点。机器人绕过障碍物到达 点的这条路径由六条线段和五段圆弧组成。直接用1)中的解发不能求解出来。于是我们采用三中分法把路径分为如图5.21、5.22、5.23的情况,分别求出每段线段(或圆弧)的长度然后总的相加,便可找出 到 的两条路径,即从障碍物6的左下顶点处经过到达 点的路径为877.384,从障碍物6的右上顶点到达 点的路径为853.7001。最终求得最短路径为853.7001。(最短路径详细数据见下表) 起点坐标 终点坐标 圆弧圆心坐标 圆弧半

直线长或弧长 机器人行

走总时间 O

线段

0,0

50.1353,301.6396 305.7777 61.15554 圆弧一

50.1353,301.6396

,51.6795,305.5470 60,300 10 4.2330 1.6932

线段二

51.6795,305.5470

141.679,440.6795

162.2498 32.44996 圆弧二

141.679,440.6795

147.9621,444.7901 150,435 10 7.7756 3.11024

线段三

147.9621,444.7901

222.0379,460.2099

75.6638 15.13276 圆弧三

222.0379,460.2099

230,470

220,470 10 13.6557 5.46228 线段四

230,470

230,530 60 12

圆弧四230,530 225.4967,538.353

8

220,5

30

1

9.8883 3.95532

线段五225.4967,538.35

38

158.3538,591.646

2

96.9536 19.39072

圆弧五158.3538,591.64

62

140.6916,605.254

2

150,6

00

1

6.1474 2.45896

线段六140.6916,605.25

42

100,700 111.355

3

22.27106

机器人行走总距离853.700

1

179.08004

3)、原点到点的可能的最短路径同样也是两条,如图9所示,我们同样采用上述中三中分的方法把两条路径分割成如图5.21、图5.22、图5.23的形式,再分别求每段路径的长度然后总的相加,即走在障碍物5左上顶点处的距离为1098.9548,另一条走在了其下方距离为1090.8041,得到到的最短路径为1090.8041。(最短路径详细数据见下表)

起点坐标终点坐标圆弧圆

心坐标圆弧

半径

直线长

或弧长

机器

人行

走总

时间

O 线段

0,0 407.4009,90.23

14

421.900

5

84.38

01

圆弧

407.4009

,90.2314

418.3448,107.7

203

410,100 10 7.7166 3.086

64

线段

418.3448,

107.7203

491.6552,205.5

103

134.164

1

26.83

282 圆弧

491.6552,

205.5103

508.5213,194.7

666

500,200 10 3.3127 1.325

08

线段

508.5213,

194.7666

727.9377,525.2

334

388.201

77.64

02

圆弧

727.9377,

525.2334

730,520 720,520

,

10 6.5381 2.615

24

线段

730,520 730,600 79.3725 15.87

45

圆弧

730,600 727.7178,606.3

589

720,600 10 6.8916 2.756

64

线段

727.7178,

606.3589

700,640 43.5890 8.717

8 机器人行走总距离1090.80

41

223.2

2902

4)、原点的可能最短路径有两条,如图10(图中的红线、黑线所

示,有一部分路径重叠),利用三中分法并结合线圆结构(图5.21、图5.22、图5.23),分别计算出两条可能路径的最短路径,即黑色线为2716.0471,红线距离为2772.0445,然后经比较选出的最短路径为2716.0471.(最短路径详细数据见下表)

起点坐标终点坐标圆弧圆心坐标圆

径直线长

或弧长

机器

人行

走总

时间

O线

一0,0 70.5060,213.1

406

224.499

4

44.899

88

圆弧一70.5060,213.1

406

76.6959,219.4

384

80,210 1

9.1459 3.6583

6

线段二76.6959,219.4

384

286.5939,313.

9504

231.055

7

46.211

14

圆弧二286.5939,313.

9504

300.7093,309.

0475

291.4707,305.

2202

1

15.3609 6.1443

6

线段三300.7093,309.

0475

229.7525,532.

2111

235.019

2

47.003

84

圆弧三229.7525,532.

2111

225.4967,538.

3538

220,530 1

6.8098 2.7239

2

线段四225.4967,538.

3538

144.5033,591.

6462

96.9536 19.390

72

圆弧四144.5033,591.

6462

140.2475,597.

7891

150,600 1

5.7062 2.2824

8

线段五140.2475,597.

7891

99.9635,688.4

328

101.113

8

20.222

76

圆弧五99.9635,688.4

328

110.2329,703.

9685

108.14,694.19 1

6.8098 2.7235

6

线段六110.2329,703.

9685

269.6405,689.

9935

161.245

2

32.249

04

O

C

B

A

O→

圆弧六269.6405,689.

6635

272,689.7980 270,680 1

3.5039 1.4015

6

线段七272,689.7980 368,670.2020 97.9796 19.595

92

圆弧七368,670.2020 370,670 370,680 1

2.0136 0.8054

4

线

370,670 430,670 60 12

圆弧八430,670 435.5878,671.

7068

430,680 1

5.9291 2.3716

4

线段九435.5878,671.

7068

542.5741,738.

2932

119.163

8

23.832

76

圆弧九542.5741,738.

2932

540,740 540,730 1

5.9291 2.3716

4

线

540,740 670,740 130 26

圆弧十670,740 679.7788,732.

0917

670,730 1

11.4855 4.5942

线段十一679.7788,732.

0917

700.1603,636.

8062

97.4409 19.488

18

圆弧十一700.1603,636.

8062

702.7889,631.

9068

709.9391,638.

8979

1

6.7447 2.6978

8

线段十二702.7889,631.

9068

727.1502,606.

9910

34.8463 6.9692

6

圆弧十二727.1502,606.

9910

730,600 720,600 1

7.3234 2.9293

6

线730,600 730,520 80 16

段十三

730,520 711.4787,

525.2334

720,520 1

6.5381 2.6152

4

线

711.4787,525.

2334

492.0623,206.

0822

387.814

4

77.562

88

492.0623,206.

0822

491.6552,205.

5103

500,200 1

3.3127 1.3250

8

线

491.6552,205.

5103

418.3448,94.4

897

133.041

4

26.608

28

418.3448,94.4

897

412.1387,90.2

314

410,100 1

7.7166 3.0866

4

线

412.1387,90.2

314

0,0 421.544

8

84.308

96

机器人行走总距离2716.04

71

564.07

5 二、模型二的求解:

的坐标为(),圆心 的坐标(), 点坐标为(),根据各线段之间的位置关系以及线段与角的位置关系,列出了以下的函数关系式:

(1) (2) (3) (1)(2)取等号联立利用导数求得r 的极值 利用 求解

得=87.0711 把(=87.0711 )代入求得 然后把 代入求得最短时间94.2697秒

( 程序见附录模型二的求解)

七、模型评价

一、模型优点

1、本模型简单易懂,便于实际的检验与应用,易于推广。

2、模型优化后运用解析几何进行求解,精确度比较高。

3、 运用多个方案对路径进行优化求解,对相对优化的解进行比较得到最优解。 总的来说,该模型科学合理,考虑仔细,精确度高。比如在求解过程中全面的考虑了机器人所要途经的各种路线情况,然后依据题目要求,优化选择了与题意紧密相关的路线进行求解分析,找出了符合题目要求的最佳路径。 二、模型改进

在障碍物较多时且形状不规则时,模型还需进一步改进。在本题中有12个障碍物,从起点到终点的路径是有限的,我们利用线圆结构、枚举法求解比较科学合理,求得结果较符合提意要求。当障碍物增多时,我们可以考虑采用另为一种求解方式,如dijkstra 算法等。

八、模型推广

该模型科学合理,首先全面地考虑了机器人在到达各目标点时所要行走的所有路线,然后根据题目要求,选择与题目紧密关联的路线进行分析求解,最终求出符合题意要求的最短路径。求解过程中简单易懂,便于实际问题的求解与应用,易于推广。虽然本模型是为计算机器人行走的最短路问题而建立的,但根据本模型的特点,仍然可以运用到现实生活中的最短路问题的求解。如:油气管道的布置问题、城市交通的规划问题、排水系统的规划问题等。

九、参考文献

[1]韩忠庚,数学建模使用教程,北京:高等教育出版社, . [2]尤承业,解析几何,北京:北京大学出版社, .

[3]黄玉清,梁靓,机器人导航系统中的路径规划算法[J],微计算机信息, :

11,y x 22,y x 33,y x 10

)210()80(2

2≥-+--y x r )80(121022--=-x y 10

≥r 2x 9289.2022=

y 2x 9289.2022=

y

.

[4]王沫然,MATLAB与科学计算,北京:电子工业出版社,

[5]胡海星,RPG游戏中精灵的移动问题,杂志《程序员》,。

[6]邦迪,图论及其应用,西安,西安科学出版社,。

十、附录

附表一

计算线圆结构模型5.21

syms a b c x1 x2 x3 y1 y2 y3 a1 b1 c1 d1 r L1

x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=300;y3=300;r=10; (输入对应已知数据)

a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);

b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);

c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);

a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));

b1=acos(r/b);

c1=acos(r/a);

d1=2*pi-a1-b1-c1;

L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1

(线圆结构模型5.22分解为两个模型5.21进行计算)

计算线圆结构模型5.23

Syms x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 a b c d f g h m n a1 a2 b1 b2 d1 d2 L3

x1=0;y1=0;x2=50;y2=40;x3=20;y3=23;x4=30;y4=20;r=10;(输入对应已知数据)a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);

g=sqrt(a^2-r^2);

b1=acos(r/a);

f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);

c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);

a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));

d1=2*pi-a1-b1-pi/2;

m=r*d1;

b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);

d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);

a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));

b2=acos(r/b);

d2=2*pi-a2-b2-pi/2;

n=r*d2;

h=sqrt(b^2-r^2);

L3= sqrt(a^2-r^2)+ r*d1+ sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+ r*d2+ sqrt(b^2-r^2)

路径O→A第一条:

syms a b c x1 x2 x3 y1 y2 y3 a1 b1 c1 d1 r L1

x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=300;y3=300;r=10;

a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);

b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);

c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);

a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));

b1=acos(r/b);

c1=acos(r/a);

d1=2*pi-a1-b1-c1;

L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1

L1 =

471.0372

路径O→A第二条:

syms a b c x1 x2 x3 y1 y2 y3 a1 b1 c1 d1 r L1

x1=0;y1=0;x2=230;y2=60;x3=300;y3=300;r=10;

a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);

b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);

c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);

a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));

b1=acos(r/b);

c1=acos(r/a);

d1=2*pi-a1-b1-c1;

L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1

L1 =

498.4259

路径O→B第一条:

syms a b c x1 x2 x3 y1 y2 y3 a1 b1 c1 d1 r L1

x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=157.5;y3=255;r=10;

a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);

b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);

c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);

a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));

b1=acos(r/b);

c1=acos(r/a);

d1=2*pi-a1-b1-c1;

L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1

L1 =

321.9278

Syms x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 a b c d f g h m n a1 a2 b1 b2 d1 d2 L3

x1=157.5;y1=255;x2=235;y2=300;x3=220;y3=530;x4=185;y4=565;r=10;

a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);

g=sqrt(a^2-r^2);

b1=acos(r/a);

f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);

c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);

a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));

d1=2*pi-a1-b1-pi/2;

m=r*d1;

b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);

d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);

a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));

b2=acos(r/b);

d2=2*pi-a2-b2-pi/2;

n=r*d2;

h=sqrt(b^2-r^2);

L3= sqrt(a^2-r^2)+ r*d1+ sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+ r*d2+ sqrt(b^2-r^2) L3 =

389.4767

syms a b c x1 x2 x3 y1 y2 y3 a1 b1 c1 d1 r L1

x1=185;y1=565;x2=150;y2=600;x3=100;y3=700;r=10;

a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);

b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);

c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);

a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));

b1=acos(r/b);

c1=acos(r/a);

d1=2*pi-a1-b1-c1;

L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1

2012年数学建模机器人避障问题

机器人避障问题 摘要 本文主要运用直线逼近法等规律来解决机器人避障问题.对于问题一:要求最短路径运用直线逼近法证得圆弧角三角形定理,得出结论:若一大圆弧角三角形完全包括另一小圆弧角三角形,则该三角形曲线周长必大于小的三角形周长.那么可知机器人在曲线过弯时,选择最小半径可满足路径最短,即为10个单位半径,通过观察可得可能的所有曲线,通过仅考虑直线段的大致筛选选出总长较小、长度相近(之差小于100)的曲线,然后利用平面几何知识对相关切点,进而求出各直线、曲线的长度,求和可得最段路线.对于问题二:通过对机器人过弯规律2 1.0100 e 1)(ρ ρ-+= =v v v 的分析可知,当过弯 半径13ρ=时,机器人速度达最大速度为50=v 个单位/秒,再大就无变化了,那么可分两种情况考虑:1)当13ρ>时,过弯速度无变化,但由圆弧角三角形定理可知,此时随着ρ的不断变大,其路线总长不断变大,这时ρ越小O A →所用时间最短;2)当13ρ≤时,统计计算ρ分别为10、11、12、13时,过弯速度v 也不断变化,计算所用时间发现随ρ不断变大,O A →所用时间越短,此时当13ρ=时,时间最短.综合上述可知:当 13ρ=时,时间最短. 关键词: 质点机器人 安全范围 直线逼近法 圆弧角三角形定理 10单位半径

1 问题重述 在一个800×800的平面场景中,在原点O(0, 0)点处有一个机器人,它只能在该平面场景范围内活动,其中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物, 物的距离至少超过10个单位).规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成,其中圆弧是机器人转弯路径.机器人不能折线转弯,转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成,也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成,但每个圆弧的半径最小为10个单位.为了不与障碍物发生碰撞,同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位. 机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒.机器人转弯时,最大转弯速度为 2100.11 0()(1e ) v v v ρρ--==+,其中ρ是转弯半径.如果超过该速度,机器人将发 生侧翻,无法完成行走. 下面建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型.对场景图中4个点O(0, 0),A(300, 300),B(100, 700),C(700, 640),具体计算: (1) 机器人从O(0, 0)出发,O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径. (2) 机器人从O (0, 0)出发,到达A 的最短时间路径. 2 问题分析 2.1问题一: 该问题要求路径最短,即不要求速度与时间,则可认为以最小半径10的圆过弯. 如图2.1所示:由圆弧角三角形定理(简单证明见模型准备5.3)可知过弯时,只有采用10单位半径过弯时,才会使得过弯路径最短,因此解决问题一的过弯拐角问题均采用10单位半径过弯路径. 2.2问题二: 由于O→A 过程中,机器人至少要经过一

机器人避障问题的解题分析(建模集训)

机器人避障问题的解题分析 摘要:本文对2012年全国大学生数学建模竞赛D题机器人避障问题进行了全面分析,对最短路的设计进行了理论分析和证明,建立了机器人避障最短路径的几何模型,对最短时间路径问题通过建立非线性规划模型,有效地解决了转弯半径、圆弧圆心位置和行走时间等问题。 关键词:机器人避障;最短路径;Dijkstra算法;几何模型;非线性规划模型 1 引言 随着科学技术的进步和计算机技术的发展,机器人的应用越来越广泛,在机器人的应用中如何使机器人在其工作范围内为完成一项特定的任务寻找一条安全高效的行走路径,是人工智能领域的一个重要问题。本文主要针对在一个场景中的各种静态障碍物,研究机器人绕过障碍物到达指定目的地的最短路径问题和最短时间问题。 本文以2012年“高教社”杯全国大学生数学建模竞赛D题“机器人避障问题”为例进行研究。假设机器人的工作范围为800×800的平面正方形区域(如图1),其中有12个不同形状的静态障碍物,障碍物的数学描述(如表1): 图1 800×800平面场景图

表1 在原点O(0, 0)点处有一个机器人,它只能在该平面场景范围内活动,机器人不能与障碍物发生碰撞,障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成,其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯,转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成,也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成,但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞,同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位,否则将发生碰撞,若碰撞发生,则机器人无法完成行走。机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时,最大转弯速度为2 1.0100 e 1)(ρρ-+==v v v (ρ是转弯 半径)。如果超过该速度,机器人将发生侧翻,无法完成行走。 场景图中有4个目标点O(0, 0),A(300, 300),B(100, 700),C(700, 640),下面我们

机器人避障问题——国家一等奖论文 推荐

D题机器人避障问题 摘要 本文综合运用分析法、图论方法、非线性规划方法,讨论了机器人避障最短路径和最短时间路径求解问题。 针对问题一,首先,通过分析,建立了靠近障碍物顶点处转弯得到的路径最短、转弯时圆弧的半径最小时和转弯圆弧的圆心为障碍物的顶点时路径最短、转弯在中间目标点附近时,中间目标点位于弧段中点有最短路径的三个原理,基于三个原理,其次对模型进行变换,对障碍物进行加工,扩充为符合条件的新的区域并在转弯处圆角化构成障碍图,并通过扩充的跨立实验,得到切线和圆弧是否在可避障区的算法,第三,计算起点、中间目标点和最终目标点和各圆弧及圆弧之间的所有可避障切线和圆弧路径,最后给这些定点赋一个等于切线长度或弧度的权值构成一个网络图,然后利用Dijkstra算法求出了O-A、O-B,O-C的最短路径为O-A:471.0372个单位,O-B:853.7001个单位,O-C:1086.0677个单位;对于需要经中间目标点的路径,可运用启发规则分别以相邻的目标点作为起点和终点计算,确定路径的大致情况,在进一步调整可得到O-A-B-C-O的最短路径为2748.699个单位。 针对问题二,主要研究的是由出发点到达目标点A点的最短时间路径,我们在第一问的基础上考虑路径尽可能短且圆弧转弯时的圆弧尽量靠近障碍物的顶点,即确定了圆弧半径最小时的圆弧内切于要确定的圆弧时存在最小时间路径,建立以总时间最短为目标函数,采用非线性规划模型通过Matlab编程求解出最短时间路径为最短时间路程为472.4822个单位,其中圆弧的圆心坐标为(81.430,209.41),最短时间为94.3332秒。圆弧两切点的坐标分别为(70.88,212.92)、(77.66,219.87)。 关键字:Dijkstra算法跨立实验分析法非线性规划模型

机器人避障优化模型讲解

机器人避障优化模型 摘要 “机器人避障问题”是在一个规定的区域范围内,有12个位置各异、形状不同的障碍物分布,求机器人从出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点的避障最短路径及其最短时间,其中必须考虑如圆与切线的关系等问题。基于优化模型,对于题目实际情况进行研究和分析,对两个问题都用合适的数学思想做出了相应的解答和处理,以此建立符合题意的数学模型。 问题一,要求建立机器人从原点出发到达以区域中另一点为终点的最短路径模型。机器人的避障路径规划主要包括环境建模、路径搜索、路径平滑等环节,针对本题的具体情况,首先对图形进行分析,并用AutoCAD 软件进行环境建模,使其在障碍物外围延伸10个单位,然后考虑了障碍物对路径安全的影响再通过蚁群算法来求它的的最短路径,由于此时最短路径中存在转弯路径,需要用人工势场法进行路径平滑处理,从而使它的最短路径在蚁群算法算出的结果情况下,可以进一步缩短其路径,从而存在机器人以区域中一点到达另一点使其避障的路径达到最短,在最终求解时,通过matlab 软件求其最优解。 问题二,仿照问题一机器人避障路径规划的基本环节所建立的一般模型,再根据题二所提出的具体问题,建立机器人从O (0,0)出发,使达到A 的最短时间路径模型。其中已知最大速度为50=v 个单位/秒,机器人转弯时,最大转弯速度为 2 1.0100 e 1)(ρρ-+= =v v v ,其中ρ是转弯半径,并有ν为增函数。且有0νν<恒成立,则可 知行走路径应尽量减少走圆弧,且可时间由走两段直线加圆弧的时间之和。 关键词: 最短路径 蚁群算法 人工势场法 机器人避障

小车自动避障与路径规划

第3章系统总体结构及工作原理 该系统主要以超声波测距为基本测距原理,并在相应的硬件和软件的支持下,达到机器人避障的效果。 3.1机器人总体硬件设计 3.1.1传感器的分布要求 为了全方位检测障物的分布状况,并及时为机器人系统提供全面的数据,可将所需的八个传感器均匀排列在机器人周围,相邻每对传感器互成45度角。为了避免相互干扰,八个传感器以程序运行周期为周期,进行循环测距。传感器排列示意图如下: 图3.1.1 传感器分布图

图3.1.2 硬件设计总体框架图 上图为支持机器人运行实用程序的硬件部分的总体设计框架图,由负责相关任务的同学提供。在超声波信号输入单片机以后,由存储在单片机中的主程序调用避障子程序,根据输入信号执行避障指令,并使相关数据返回主程序,转而提供给电机和LED显示器的驱动程序使用,最后,由电机执行转向指令,结果则显示在LED显示器上。

图3.1.3 软件总体框架图 由上图可知,本文作者负责的超声波避障程序为软件总体设计中的子程序部分。在主程序运行过程中,若调用超声波避障程序,机器人在自行轨迹规划后,将程序处理所得数据送给电机处理成立程序,控制电机动作。具体的避障程序设计将在第4章进行。 3.2超声波测距原理 测距原理:超声波是指频率高于20KHz的机械波。为了以超声波作为检测

手段,必须产生超生波和接收超声波。完成这种功能的装置就是超声波传感器,习惯上称为超声波换能器或超声波探头。超声波传感器有发送器和接收器,但一个超声波传感器也可具有发送和接收声波的双重作用。超声波传感器是利用压电效应的原理将电能和超声波相互转化即在发射超声波的时候,将电能转换,发射超声波;而在收到回波的时候,则将超声振动转换成电信号。[8]超声波测距的原理一般采用渡越时间法TOF(time of flight)。首先测出超声波从发射到遇到障碍物返回所经历的时间,再乘以超声波的速度就得到二倍的声源与障碍物之间的距离,即:[8] D=ct/2 其中D为传感器与障碍物之间的距离,以m计,c为超声波速度,这里以340m/s计,t为超声波从发送到接收的总时间,以s计。据此原理可以用超声波传感器测得的距离为避障程序提供所需的数据。[8] 第4章轨迹规划算法的实现方案 4.1轨迹规划算法的层次化设计 根据上述材料分析,可以将机器人轨迹规划算法设计分为基础控制层、行为控制层和坐标计算层,三个层次进行。 4.1.1基础控制层设计 基础控制层可定义为基本行为层,这层算法的任务是寻找目标点,并确保机器人可以顺利到达指定目标位。在确定目的地位置的情况下,为了达到上述目的,计算机必须对机器人的方位进行时实计算。应用人工势场法原理,可以将目标点设为引力极,牵引机器人运动。对此动作建立相应的模型,可以使用建立平面坐标作为虚拟势场的方法来给机器人定义方位,将机器人关于目标点的时实偏角作为虚拟引力方向,以确定机器人下一步所需转过的角度,并时实检测,是否已到达目的地,若已到达,则可认为虚拟引力此刻为0,并发出信号控制程序终止运行总体程序。 由此,可确定基础控制层所需的各参数: (1)机器人的时实坐标x, y值,由专门的坐标计算层提供,为了提高精 确度,可以采用厘米为单位制。 (2)机器人的速度v,测量后设为定值使用。 (3)周期T,直接设置为定值使用。 (4)偏转角de,可通过机器人与横坐标之间的夹角pe,减去机器人到目 标点连线与横坐标的夹角E得到。

机器人避障问题

精心整理 机器人避障问题 摘要 本文研究了在一个800800?平面场景里,机器人通过直线和圆弧转弯,绕过障碍物,到达目标点的问题,解决了到达目标点路径最短,以及到达A 点时间最短的问题。文章将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。对于途中经过节点的再到达目标点的状况,我们采用了在拐点和节点最小转弯半径的形式. O A →O →B O →C O →A →B 10个单位为50=v 对场景图中4(1)(2)1.出发,分别做圆的切线,直到终点。对于经过路径中的目标点的问题,我们采用最小转弯模式,建立优化模型,最终求的最短路径。 2.问题二要求从起始点到达A 点所用的时间最短,从题意以及生活经验可得,拐弯半径越大,所用时间越短,拐弯半径越小,所用时间越大。半径最小不低于10,取最大值时机器人应刚好未碰到4、6三角形,可通过几何解法计算出来,并对时间进行优化处理。 三、模型假设 假设机器人可以抽象成点来处理 假设机器人的能源充足,且在整个行走过程中无故障发生 四,符号说明

】 5(为起点,,OA 圆弧的切点,角度 1OO A ∠=,11OO M ∠=,11AO N ∠=,111M O N θ∠=.设这段路程机器人的总路程为L. 解法如下: 如上图可得有以下关系: 1 AOO ?在中: 在11Rt OO M ?: 222arccos(2b c a bc α+-=

在11Rt AO N 中: 所以: 从而可得: 结果如下: 机器人行走路线 1OM =1N A 弧11M N = 224.7221; b= 237.6973 c= O 同理了解 比较可得, O 从上面绕到到目标点A 的距离最短,最短路径为471.0372。

2012年高教社杯数学建模D题--机器人避障问题论文

机器人避 障问题 摘要 本文研究了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题。主要研究了在一个区域中存在12个不同形状障碍物,由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点的多种情形,寻找出一条恰当的从给出发点到目标点的运动路径使机器人在运动中能安全、无碰撞的绕过障碍物而使用的路径和时间最短。由于规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成,其中圆弧是机器人转弯路径,机器人不能折线转弯。所以只要给定的出发点到目标点存在至少一个障碍物,我们都可以认为最短路径一定是由线和圆弧所组成,因此我们建立了切线圆结构,这样无论路径多么复杂,我们都可以将路径划分为若干个这种切线圆结构来求解。在没有危险碰撞的情况下,圆弧的半径越小,路径应该越短,因此我们尽量选择最小的圆弧半径以达到最优。对于途中经过节点的再到达目标点的状况,我们采用了两种方案,一种是在拐点和节点都采用最小转弯半径的形式,另一种是适当扩大拐点处的转弯半径,使得机器人能够沿直线通过途中的目标点。然后建立了最优化模型对两种方案分别进行求解,把可能路径的最短路径采用穷举法列举出来,用lingo 工具箱求解得出了机器人从O(0,0)出发,O→A、O→B、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径;利用matlab 中的fminbnd 函数求极值的方法求出了机器人从O(0,0)出发,到达A 的最短时间路径。本文提出一种最短切线圆路径的规划方法,其涉及的理论并不高深,只是应用了几何知识和计算机程序、数学工具计算,计算简易,便于实现,能搞提高运行效率。 问题一 O→A 最短路径为:OA L =471.0372 O→B 最短路径为:=1OB L 853.8014 O→C 最短路径为:4OC L =1054.0 O→A→B→C→O 最短路径为: 问题二机器人从O(0,0)出发,到达A 的最短时间路径: 最短时间是94.5649,圆弧的半径是11.5035,路径长4078.472=OA L 关键词最短路径;避障路径;最优化模型;解析几何;数学工具 一、问题重述 图1是一个800×800的平面场景图,在原点O(0,0)点处有一个机器人,它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物,障碍物的数学描述如下表:

机器人避障问题的最短路径分析

机器人避障问题的最短路径分析 摘要 本论文研究了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题。主要讨论了在一个区域中存在12个障碍物,由出发点到达目标点以及由出发点经过若干目标点最终到达出发点的两种情况。采用传统的避障方法——切线图法。建立了线圆结构,这样任何路径,我们都可以将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。对于途中经过节点再到达目标点的状况,我们采用在转弯点和节点都采用最小转弯半径,以节点为切点的形式。然后建立了最优化模型,利用MATLAB软件对方案进行求解。 问题一:把路径分解成若干个线圆结构来求解,然后把可能的最短路径采用穷举法列举出来,最终得出最短路径: A O→最短路径为:471.0 O→最短路径为:869.5 B O→最短路径为:1093.3 C 对于O → → →我们将A、B、C看作切点,同样采用线圆结构 C B A O→ 计算。 O→ → → →最短路径为:2827.1 A O C B 问题二:考虑避障路径和转弯速度,我们建立时间与路径之间的模型,用MATLAB软件求出最优解。当转弯半径为11.5的时候,可以得出最短时间为:T=94.3 关键词最优化模型避障路径线圆结构切线图法

一、问题重述 本文是求一个机器人在800×800的平面场景图中避开障碍物,建立从原点O(0, 0)点处出发达到终点的最短路径和最短时间路径的模型。即求:1、O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径。2、O →A 的最短时间路径。 机器人在行走时的要求是:1、它只能在该平面场景范围内活动2、图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物(障碍物的分布如图1)3、障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点(要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位)。4、规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成,其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯,转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成,也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成,但每个圆弧的半径最小为10个单位。5、为了不与障碍物发生碰撞,同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位,否则将发生碰撞。 机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时,最大转弯速 度为2 1.0100 e 1)(ρρ-+==v v v ,其中ρ是转弯半径。 已知场景图中4个点O(0, 0),A(300, 300),B(100, 700),C(700, 640)。图中各个点 的坐标见下表。 图1 编号 障碍物名称 左下顶点坐标 其它特性描述 1 正方形 (300, 400) 边长200 2 圆形 圆心坐标(550, 450),半径70 3 平行四边形 (360, 240) 底边长140,左上顶点坐标(400, 330)

数学建模机器人避障论文

承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): 我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话): 所属学校(请填写完整的全名): 参赛队员(打印并签名) :1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): 日期:年月日

编号专用页 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号): 赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用): 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号): 全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):

机器人避障问题 摘要 针对题中机器人避障最短路径问题,文章使用简化后建立的最短路径的数学模型来解决此类问题。 对于问题1,我们matlab中自带函数graphshortestpath函数求解最短路径的数学模型。其主要思想是:首先先证明出两点之间的最短路径是由两条线段和以中间点为圆心的圆的一段圆弧组成,然后证明圆弧的半径为定值10。然后对模型简化使模型化为标准的最短路径模型,最后用graphshortestpath函数对模型求解。 针对问题2,我们建立了优化模型。在问题1的基础上,我们对两种行走方案进行分析,根据转弯弧的半径变化对速度的影响我们锁定到一条路径,然后利用lingo对优化模型进行求解。 关键词:graphshortestpath函数、最短路径、避障问题

机器人避障问题论文

机器人避障问题 【摘要】 本文主要是对机器人在一个平面区域内通过不同障碍物到指定目标点进行研究,通过建立机器人与障碍物的最小安全距离的禁区模型,进而建立从区域一点到另一点的最短距离、最短时间的数学模型。在最优转弯顶点为障碍物,最优转弯半径为安全距离10的基础上,把路径概括为基本的三种数学模型。利用穷举的算法找出最短路径和最短时间。 针对区域中从一点到另一点避障的最优路径问题,把障碍物划分为有顶点和无顶点两大类。首先本文证明对于有顶点障碍物,机器人以障碍物顶点为圆心且转弯的圆弧半径为10时路径最优,我们还注意到在某些路径中适当增加圆的半径可以把曲线路线转换为直线路径,进一步优化行进路径;对于无顶点障碍物通过论证找出以障碍物圆心为转弯圆心,以障碍物半径与安全距离的和为转弯半径的最优转弯圆弧。其次本文将寻找最短路径的的问题转换为最短路径的优选问题。本文巧妙的将优化模型转变为研究不与障碍物边界相交、不与圆弧相交的路线中的最优解的问题。在这个数学模型的基础上进行相应的改善并且使用穷举的算法找出最优路径。 针对不同的目标点,我们将机器人的行进分为单目标点和多目标点两种情况针对多目标点问题,由于机器人不能直线转向,所以在经过目标点时,应该提前转向,且中间目标点应该在转弯弧上。因此先建立优化模型(模型三)对行进时中间目标点处转弯圆弧圆心搜索求解。求出中间目标点转弯圆心后,用把中间目标点的圆心看做“障碍物”的办法把问题转化为单目标点问题。然后根据模型二和模型一利用MATLAB软件编程求得了O→A、O→B、O→C、O→A→B→A→C的最短路径,最短路径长分别为 471.0372、857.6778、1094.5、2799.0121,其中O-->A的最短路径对应圆弧的圆心坐标为(80,210);O→B的最短路径对应圆弧的圆心坐标:(60,300)、(150,435)、(220、470)、(220,530)、(150,600);O→C经过的圆心:(230,60)、(410,100)、(500,200)、(720,520), (720,600);对于多目标点问题利用模型三进行分割求解得到O→A→B→C→O最短路径对应圆心坐标(80,210)、(307.7715)、(306.2932)、(220,530)、(150,600)、(109.8478,701.7379)、(270,680)、(370,680)、(430,680)、(540,730)、(670,730)、(709.7933)、(642.0227)、(720,600)、(720,520)(500,200),(410,100),(230,60)。对于最短时间路径问题,根据转弯半径和速度的关系,在问题一求出的最短路径的模型的基础上,进行路线优化,建立以最短时间为目标的非线性规划模型,利用lingo 求解最短时间获得了机器人从O点出发,到达A的最短时间路径,求得最短时间路径下转弯半径为12.9885 ,同时最短时间路径时间长为94.2283个单位,路径长为471.129个单位。相应圆弧的圆心坐标为(82.1414,207.9153)。 关键词:机器人避障覆盖法穷举法非线性规划

机器人避障问题的MATLAB解法探析

机器人避障问题的MATLAB解法探析 摘要:本文对2012年全国大学生数学建模竞赛D题“机器人行走避障问题”,给出了利用matlab这一数学软件进行求解的方法,并对该方法的优缺点进行了分析。 关键词:机器人避障matlab 2012年全国大学生数学建模竞赛D题“机器人行走避障问题”如下: 在一个800×800的平面场景图中,原点O(0,0)点处有一个机器人,它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成,其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯,转弯路径由与直线路径相切的圆弧组成,每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞,同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位。计算机器人从O(0,0)出发,O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。 一、问题的分析 为达到要求,我们按照以下原则选择路径: (1)在障碍物拐点处的圆弧半径为临界半径个单位; (2)因为直线速度大于转弯速度,所以在不转弯的地方尽可能走直线; 按照上述原则,我们选取以下步骤求最短路径: (1)穷举出起始点与目标点的所有可能直线路径,判断出最短直线路径; (2)针对上述最短直线路径,在障碍物拐点处加入弧线转弯,然后计算实际最短行走路径。 二、问题的求解 按照上述步骤,逐步求最短路径: (1)首先画出O到A允许行走所有直线路线,如图所示。 (2)计算出各节点到下一节点的距离作为权值给各条边赋权,可以求解出最优直线路径。用MATLAB软件,程序如下: sets: cities/O,B1,B2,C1,C2,A/; roads(cities,cities)/O,B1 O,B2 O,C1 B1,A B1,C2 C1,B1 C1,B2 B2,C2 B2,A C2,A /:w,x; data: w= 224.7 237.7 100 237.7 150 150 150 150 250 114; n=@size(cities); min=@sum(roads:w*x); @for(cities(i)|i #ne# 1 #and# i #ne# n: @sum(roads(i,j):x(i,j))=@sum(roads(j,i):x(j,i))); @sum(roads(i,j)|i #eq# 1:x(i,j))=1; end 计算出结果(只列出有用部分): Global optimal solution found. Total solver iterations:0 Variable Value Reduced Cost

2012全国大学生数学建模机器人避障问题优秀论文模型

承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”,可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺,严格遵守竞赛章程和参赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会,可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。 我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): D 我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):2418 所属学校(请填写完整的全名): 参赛队员(打印并签名) :1.黎仕东 2.李兆海 3.赵甜森 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): (论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对,提交后将不再允许做任何修改。如填写错误,论文可能被取消评奖资格。) 日期:年 8 月25 日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):

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行走机器人避障问题

机器人行走问题 摘要 本文研究了机器人避障最短路径的问题。主要研究了在一个区域中存在四个障碍物,由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点的两种情形。我们通过证明具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的:一部分是平面上的自然最短路径(即直线段),另一部分是限定区域的部分边界,这两部分是相切的,互相连接的。依据这个结果,我们可以认为最短路径一定是由线和圆弧做组成,因此我们建立了线圆结构,这样无论路径多么复杂,我们都可以将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。对于途中经过节点的再到达目标点的状况,我们采用了两种方案,一种是在拐点和节点都采用最小转弯半径的形式,另一种是适当扩大拐点处的转弯半径,使得机器人能够沿直线通过途中的目标点。然后建立了最优化模型对两种方案分别进行求解。 问题一,我们很容易分解成线圆结构来求解,然后把可能路径的最短路径采用穷举法列举出来,最终得出最短路径: R→A 最短路径为:70.5076 R→B 最短路径为:107.9587 R→C 最短路径为:102.0514 问题二,我们方案都进行优化,求得最终结果: 第一种方案最短路径为:156.471 第二种方案最短路径为:157.752 关键词最短路径最优化模型避障路径解析几何

一、问题重述 下图是一个100×80的平面场景图,在R(0,0)点处有一个机器人,机器人只能在该100×80的范围内活动,图中四个矩形区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物,障碍物的数学描述分别为B1(20,40;5,10)、B2(30,30;10,15)、B3(70,50;15,5)、B4(85,15;5,10),其中B1(20,40;5,10)表示一个矩形障碍物,其中心坐标为(20,40),5表示从中心沿横轴方向左右各5个单位,即矩形沿横轴方向长5×2=10个单位,10表示从中心沿纵轴方向上下各10个单位,即矩形沿纵轴方向长10×2=20个单位,所以,障碍物B1的中心在(20,40),大小为10×20个单位的矩形,其它三个障碍物的描述完全类似。 在平面场景中、障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点(要求目标点与障碍物的距离至少超过1个单位),为此,须要确定机器人的最优行走路线——由直线段和圆弧线段组成的光滑曲线,其中圆弧线段是机器人转弯路线,机器人不能折线转弯,转弯路径是与直线相切的一圆形曲线段,也可以是两个或多个相切的圆弧曲线段组成,但每个圆形路线的半径都必须大于某个最小转弯半径,假设为1个单位。另外,为了不与障碍物发生碰撞,要求机器人行走线路与障碍物间的最短距离为1个单位,越远越安全,否则将发生碰撞,若碰撞发生,则机器人无法到达目标点,行走失败。请回答如下问题: 1.场景图中有三个目标点A(50,40)、B(75,60)、C(95,20),请用数学建 模的方法给出机器人从R(0,0)出发安全到达每个目标点的最短路线。 2.求机器人从R(0,0)出发,依次安全通过A、B到达C的最短路线。

2012年高教社杯数学建模D题--机器人避障问题论文设计

机器人避障问题 摘要 本文研究了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题。主要研究了在一个区域中存在12个不同形状障碍物,由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点的多种情形,寻找出一条恰当的从给出发点到目标点的运动路径使机器人在运动中能安全、无碰撞的绕过障碍物而使用的路径和时间最短。由于规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成,其中圆弧是机器人转弯路径,机器人不能折线转弯。所以只要给定的出发点到目标点存在至少一个障碍物,我们都可以认为最短路径一定是由线和圆弧所组成,因此我们建立了切线圆结构,这样无论路径多么复杂,我们都可以将路径划分为若干个这种切线圆结构来求解。在没有危险碰撞的情况下,圆弧的半径越小,路径应该越短,因此我们尽量选择最小的圆弧半径以达到最优。对于途中经过节点的再到达目标点的状况,我们采用了两种方案,一种是在拐点和节点都采用最小转弯半径的形式,另一种是适当扩大拐点处的转弯半径,使得机器人能够沿直线通过途中的目标点。然后建立了最优化模型对两种方案分别进行求解,把可能路径的最短路径采用穷举法列举出来,用lingo 工具箱求解得出了机器人从O(0, 0)出发,O →A 、O →B 、O →C 和O →A →B →C →O 的最短路径;利用matlab 中的fminbnd 函数求极值的方法求出了机器人从O (0, 0)出发,到达A 的最短时间路径。本文提出一种最短切线圆路径的规划方法,其涉及的理论并不高深,只是应用了几何知识和计算机程序、数学工具计算,计算简易,便于实现,能搞提高运行效率。 问题一 O →A 最短路径为:OA L =471.0372 O →B 最短路径为:=1OB L 853.8014 O →C 最短路径为:4OC L =1054.0 O →A →B →C →O 最短路径为: 问题二机器人从O (0, 0)出发,到达A 的最短时间路径: 最短时间是94.5649,圆弧的半径是11.5035,路径长4078.472=OA L 关键词 最短路径;避障路径;最优化模型;解析几何;数学工具

基于弹性绳索拉伸的机器人避障问题

基于弹性绳索拉伸的机器人避障问题 摘要 本文研究了机器人避障的相关问题。在一个已知区域中存在12个障碍物,使用基于弹性绳索拉伸的方法,求解了由出发点到目标点的最短路径和最短时间路径。我们在禁区顶点以最小转弯半径转向为最优的前提下,对障碍物进行了加工,即将限定区域向外扩展并将顶点圆角化。那么最短路径就由两部分组成:一部分是平面上的直线段,另一部分是限定区域上部分弧构成。由于最短路径一定是由直线线段和圆弧做组成,而弹性绳索紧贴障碍物时,弹性绳索与直线线段和圆弧重合,并且弹性绳索有自然缩短的趋势,弹性绳处于紧绷状态,此时弹性绳长就是最短路径。 问题一,将绳索系与起点和终点,使用拉伸弹性绳索的方法,找到所有符合要求的绳索连结成的路径并计算路径长度,最终最短的绳长即为所求。由于符合要求的路径可能比较多,我们又使用了尺规作图进行简化了以及一般情况下的Dijkstra求解最短路径的方法。 最终求得: O→A最短路径长度为471.037 O→B最短路径长度为 853.13 O→C最短路径长度为1092.82 O→A→B→C→O最短路径长度为2714.31 问题二,由于机器人转弯时所行走的速度和转弯半径有关。而当转弯半径最小时相应的速度也最小。就必须平衡转弯半径和转弯时速度的这一对矛盾。本文通过极限状态的求解,计算出可能的最短时间路径。 关键字:最短路径切线长弧长

一、问题的重述 图1是一个800×800的平面场景图,在原点O(0, 0)点处有一个机器人,它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物,障碍物的数学描述如下表: 编号 障碍物名称 左下顶点坐标 其它特性描述 1 正方形 (300, 400) 边长200 2 圆形 圆心坐标(550, 450),半径70 3 平行四边形 (360, 240) 底边长140,左上顶点坐标(400, 330) 4 三角形 (280, 100) 上顶点坐标(345, 210),右下顶点坐标(410, 100) 5 正方形 (80, 60) 边长150 6 三角形 (60, 300) 上顶点坐标(150, 435),右下顶点坐标(235, 300) 7 长方形 (0, 470) 长220,宽60 8 平行四边形 (150, 600) 底边长90,左上顶点坐标(180, 680) 9 长方形 (370, 680) 长60,宽120 10 正方形 (540, 600) 边长130 11 正方形 (640, 520) 边长80 12 长方形 (500, 140) 长300,宽60 在图1的平面场景中,障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点(要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位)。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成,其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯,转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成,也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成,但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞,同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位,否则将发生碰撞,若碰撞发生,则机器人无法完成行走。 机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时,最大转弯速度为 2 1.0100 e 1)(ρρ-+==v v v ,其中ρ是转弯半径。如果超过该速度,机器人将发生侧 翻,无法完成行走。 请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中4个点O(0, 0),A(300, 300),B(100, 700),C(700, 640),具体计算: (1) 机器人从O(0, 0)出发,O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径。 (2) 机器人从O (0, 0)出发,到达A 的最短时间路径。 注:要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。

数学建模 机器人避障问题

机器人避障问题 一、摘要 本文讨论了机器人在平面场景中避障行走的问题,已知机器人的行走模式(直线与相切圆弧)以及场景障碍物的分布,计算出到平面各个给定点的最短路径,以及到A 点的最短时间。 文中,首先,考虑到机器人与障碍物之间有10个单位的碰撞距离,故用CAD 软件将平面场景图进行改进,再用CAD 设计可能的最短路径。接着,对每条具体路径进行分解,得到三种基本线圆形模型(点圆模型,双圆异侧模型,双圆同侧模型),对这三种模型进行求解,得到各个模型直线长度以及转弯圆弧圆形角的表达公式。之后,参照具体的行走路径,构造合适的行走矩阵,用以判断每段路径所属的基本模型。路径总的长度可用如下公式表达: 12 ,1,1,2 1 1 N N i i i i i i i s m r θ--+++===+?∑∑ 最后,通过计算设计的集中可能的最短路径,我们得到每段的最短路径的长度分别为: O ——A 路段:471.0372(单位); O ——B 路段: 853.7001(单位); O ——C 路段: 3100915.1?(单位); O ——A ——B ——C ——O 路段: 3 2.677810?(单位)。 对于问题二,我们在问题一的基础上分别利用直线最大速度和转弯最大速度计算出时间的表达式。为了方便计算,我们将转弯圆弧的圆心定在P (80,210)(场景中正方形5的左上角),这样得到时间T 与转弯半径ρ的函数关系式: 2 100.10 (1)(2arccos arccos ) e a b T v ρρ ρ πα-?+?---= 通过MATLAB 编程,画出其图像,求解得出:当半径ρ=11.435时,时间T 最小,其大小为94.5649(秒)。 关键词:最短路径 线圆模型 行走矩阵 MATLAB 二、问题重述 在一个800×800的平面场景图(见附录一),在原点O(0, 0)点处有一个机器人,它只能在该平

机器人避障模型毕业设计论文

毕业论文设计机器人避障模型

毕业设计(论文)原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重承诺:所呈交的毕业设计(论文),是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知,除文中特别加以标注和致谢的地方外,不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果,也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体,均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。 作者签名:日期: 指导教师签名:日期: 使用授权说明 本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计(论文)的规定,即:按照学校要求提交毕业设计(论文)的印刷本和电子版本;学校有权保存毕业设计(论文)的印刷本和电子版,并提供目录检索与阅览服务;学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文;在不以赢利为目的前提下,学校可以公布论文的部分或全部内容。 作者签名:日期:

学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名:日期:年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定,同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅。本人授权大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名:日期:年月日 导师签名:日期:年月日

机器人避障问题

机器人避障问题 摘 要 本文讨论的是机器人避障问题,运用改良的橡皮筋算法思想,对最优路径逐步探索,并进行了大胆猜想.通过分析,利用几何关系证明了猜想的正确性,以此得到判断最短路径的三个原则:一、所走路线应尽可能接近两目标点与目的地连线;二、目标点转弯半径越小越好;三、找不到两圆间的公切线时,机器人应尽可能沿障碍物边界运动. 对于问题一,依据路径最优原则,确定转弯半径为10个单位,建立了机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径的优化模型.利用MATLAB 求解得到结果如下:A O →:总时间为:96.00826秒,总路程为471.0372个单位;B O →:总时间为179.09982秒,总长度为853.7113单位;C O →:总时间为239.72602秒,总路程为1100.19单位; O C B A O →→→→:总路程:2794.512单位 ,最终总时间为598.5477秒. 对于问题二,要使机器人行走时间最短,需在尽可能保证最短路径的基础上适当增加转弯半径.利用几何知识推导出机器人行走时间与转弯半径的关系,时间对半径求导,并令导数为零,得出最短时间所对应的半径5055.11=r ,进而建立最短时间路径的优化模型.利用MATLAB 软件求解得,当机器人从)0,0(O 出发到达A 时,所用最短时间为 2130.94秒,总距离为470.8301个单位. 关键词:导数;橡皮筋算法;优化模型

一、问题的重述 图1是一个800?800的平面场景图,在原点)0,0(O 点处有一个机器人,它只能在该平面场景范围活动.图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物,障碍物单位数学描述如下表: 表1.12个不同形状区域的特性 障碍物的距离至少超过10个单位).规定机器人的行走路线有直线段和圆弧组成,其中圆弧是机器人的转弯路径.机器人不能折线转弯,转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成,也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成,但每个圆弧的半径最小为10个单位.为了不与障碍物发生碰撞,同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位,否则将发生碰撞,若发生碰撞,则机器人无法完成行走. 机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒.机器人转弯时,最大转弯速度为 2 1.01001)(ρρ-+= =e v v v ,其中ρ是转弯半径.如果超过该速度,机器人将发生侧翻,无 法完成行走. 请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型.对场景图中4个点)0,0(O ,)300,300(A ,)700,100(B ,)640,700(C ,具体计算: (1)机器人从)0,0(O 出发,A O →、B O →、C O →和O C B A O →→→→的最短路径.

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