参考文献1

参考文献

注：1、该参考文献有些部分已被删减

2、参考文献数值分析教材由于无法下载所以没被打印。

构造法与构造主义

直觉数学阶段

直觉派的先驱者是19世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能行性，主张没有能行性就不得承认它的存在性。他认为“定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。”他曾计划要把数学算术化并在数学领域中清除一切非构造性的成分及其根源。第二个强有力的倡导者是彭加勒，他主张自然数是最基本的直观，无需再作进一步的分析就可以认为是可信的，“与克隆尼克一样，他坚持所有的定义和证明都必须是构造性的。”近代构造法的系统创立者是布劳威，他完整而彻底地从哲学和数学两方面贯彻和发展了“存在必须被构造”的观点。这一学派中的主要人物还有海丁和魏尔。他们在数学工作中的基本立场是：第一，认为数学的出发点不是集合论，而是自然数论。这就是海丁所说的：“数学开始于自然数及自然数相等概念形成之后。”所以他们不允许一般集合论概念进入数学，而将全部数学都归约为自然数算术和一种利用“展形”建造起来的构造性连续统概念的假定。第二，否认传统逻辑的普遍有效性而重建直觉派逻辑。第三，批判传统数学缺乏构造性，创立具有构造性的“直觉数学”。这就开始了构造法的第一阶段——直觉数学时期。

算法数学阶段

“发现集合论悖论以后，有些数学家认定了解决这些悖论引起的问题的唯一彻底的方法就是把所有的一般集合论概念都从数学中排除掉，只限于研究那些可以能行地定义或构造的对象”这就是布劳威创立直觉数学的想法。为此，他抛弃了许多通常的数学术语，引进了各种超数学原理，从而使得直觉数学难以为人读懂。同时直觉数学绝对排斥非构造性数学和传统逻辑的错误做法，无法解释后者在一定范围内的应用上的有效性。在这一点上，遭到了绝大多数数学家的反对。所以“对数学家来说，布劳威理论一直是稀奇的古董，而主要为逻辑家们感兴趣”。因而产生了另外几种构造性倾向，不象直觉数学那么走极端，它们的方案是把可容许数学对象的范围限制到某个多少是任意选定的类，而不象直觉数学那样去向传统的证明规则挑战。其中以马尔科夫及其合作者创立的“算法数学”，尤为引人注目。算法数学是一种把数学的一切概念都归约为一个基本概念——算法的构造性方法。它以递归函数理论为基础，因此，它的概念有非常严格的定义：每个函数都用它的哥德尔数的办法来处理，每个实数是一个特定的递归函数等等。它所用的方法是标准构造性的，所采纳的逻辑是直觉派逻辑。可见，马尔科夫的理论是一种不仅限制对象的类，而且限制可容许证明方法的类的“严格有穷主义”的理

论，沙宁继续了马尔科夫的工作，研究了各种古典理论在马尔科夫算法数学中的模拟物。他甚至能够展述分析中象希尔伯特空间和勒贝格积分的构造性理论。由于马尔科夫的工作，使构造性方法进入了“算法数学”阶段。但是，因为这种构造法依赖于递归函数理论的术语，所以使这种算法数学外行人读起来十分困难，加之马尔科夫的后继者们似乎对于复杂理论及其在计算机科学上的应用比对于算法数学实践本身更有兴趣，使之算法数学由于缺乏合适的框架来进行数学实践，而处于一种冬眠的状态。

现代构造数学阶段

1967年，比肖泊的书出版以后，宣告了构造法进入“现代构造数学”阶段。比肖泊通过重建现代分析的一个重要部分，重新激发了构造法的活力。他研究的课题广及测度论、对偶理论、泛函微积。尤其是他和钦基于丹尼尔积分所创立的新的构造性的测度理论，轻易地消除了对于在实直线上构造可数可加测度的可能性的种种忧虑，并且还证明了构造的连续统在一种强的意义下是不可数的。虽然比肖泊的工作植根于布劳威的工作，但是他能从直觉数学的自我禁锢的概念中解脱出来，他避免使用直觉派的超数学原理，摆脱了算法数学对递归函数——理论方法的不必要的依赖，超脱了对于形式体系的任何束缚，从而保留了进一步创新的余地。同时比肖泊采用数学上大家熟悉的习惯术语和符号，所以为一般数学家容易看懂。

数学构造性方法的应用

大致说来，数学构造法有两类用途：1．用于对经典数学的概念、定理寻找构造性解释。在大多数情况下，猜测经典定理所对应的构造性内容，即使构造性内容确实存在的话也绝非易事。还是让我们举例来说明。例1 如何在可构造性意义下来定义实数概念？直觉数学者的具体做法是：首先引进所谓“属种”的概念以取代康托尔意义下的集合概念。进而布劳威又引进了“选择序列”的概念，并以“有理数选择序列”取代古典分析中的有理数柯西序列概念，称之为“实数生成子”。相应于古典分析中把实数定义为有理数柯西序列等价类，可构造意义下的单个实数被定义为实数生成子的一个等价属种。如上所见，建立可构造性实数概念没有实质性困难，其原因就在于柯西—魏尔斯特拉斯的整个极限论建基于潜无限观念。因而在实质上，直觉数学者在此不过是在能行性的要求下重新陈述柯西序列而已。现代构造数学者的作法是：为了构造一个实数，我们必须给出一个有限的方法，将每一个正整数n转化为一个有理数xn′，并且使得x1′，x2′，…是一个柯西序列，它收敛于所要构造的实数。我们还必须对这一序列收敛速度给出明确估计。可见，现代构造数学已经从那些似乎把直觉数学者扼杀的概念(诸如选择序列、属种概念)中超脱出来。例2 关于代数基本定理的构造性证明。代数基本定理的经典说法为：任何复系数的非常数多项式f至少有一个复根。(1) 对于(1)最著名的传统证明是，假定f不取零值，把刘维尔定理用于f的倒数，得出结论1/f是常数，因此f是常数，这一矛盾便完成了证明。但是构造数学者会争议说，这样做所证明的并不是基本定理，而是如下较弱的论断：不取零值的复数上多项式是常数。(2)同时上述证明，也没有提示替多项式找根的方法。代数基本定理的构造性说法是布劳威给出的：有一个适用于任何复系数的非常数多项式f的有限方法，我们能够用以计算f的根。(3)现在给出布劳威对于首项系数为

1的多项式的代数基本定理的证明：他首先证明了f可以假定为高斯数域Q〔i〕上的正数阶多项式，然后，再选择半径R足够大，使得f(x)被它的首项所支配，接着利用f围着以O为心，R为半径的圆周所绕的圈数等于f的阶数这一事实，他构造了一个高斯数z，使f(z)极小，而f′(z)相对地大。最后利用牛顿—拉夫森迭代，构造出f的复根。比较构造性证明与传统证明，可以看出，虽然布劳威的证明确实是比使用刘维尔定理的证明更长，但构造性证明比传统证明给出的“信息量”要多得多。比如布劳威的方法能求出复数上任何给定的正次数的首项系数为1的多项式的根。特别地，用他的证明办法，你可以为100阶多项式找到根，而传统证明根本没有涉及找根的方法。比肖泊在书中写道：每个经典的定理都提出了一个挑战：找出一个构造性的说法，并给它以一个构造性的证明。但事实上，许多经典的定理，看来不象会有任何构造性的说法与证明，例如波尔查诺—魏尔斯特拉斯定理，zorn引理等就是这样。2.用于开发构造性数学的新领域，组合数学、计算机科学中所涉及的数学，都是构造性数学的新领域，尤其是图论更是构造数学发展的典型领域之一。因为图的定义就是构造性的，同时图的许多应用问题，如计算机网络，程序的框图，分式的表达式等，也都是构造性很强的问题。例3 给出树、最小树、树形图的构造性定义。树，就是一个无向图，它的任何两个顶点间，可以由唯一的(即没有圈)的连结方法，通过一串两两有公共顶点的边的序列(即链)连结起来。图中每一条边有一个长度，使总长度最小的树，称为最小树。树形图，就是定向图上的这样一个构造：如果不考虑线段的方向，则它是一棵树；如果考虑线段的方向，则有一个顶点v0没有任何有向线段指向它，而其余各点vi有唯一的一个有向线段指向它。我们称有向线段为弧，顶点v0为树形图的根。可见它们的定义具有直观性与能行性，所以是构造性定义。例4 1965年国内发表了朱永津、刘振宏“关于求定向图上的最小树形图”的文章。他们提出关于最小树形图的算法简述如下：(1)除v0外，对每一点vi，在指向vi的弧中选取一个最短的ai，若选取的这些弧恰好构成一个树形图，则它就是最短的树形图。否则，被选取的弧构成某些互不相交的回路ci。(2)设c是一条回路，v为c上的一个点，则c上有唯一一条弧指向v，记它为a(v)，它的长度记为l〔a(v)〕，设w 为c处之顶点，且l(w，v)是图的一条弧，其长度为l(w，v)。现在把l(w，v)的长度进行修改，定义为l(w，v)=l(w，v)-l〔a(v)〕。对c上每一点v进行完这一步，将c收缩之后，这样就得到一个新的图。重复(1)、(2)两步，最后就得到收缩图上的树形图。(3)把这个树形图中的收缩点依次重新撑开为回路，这时撑开的图上，有些点有两个弧指向它，那么去掉回路上的那一条弧后，就成为树形图。重复这个步骤，直到没有收缩点为止。这时得到的树形图，就是最小树形图。可见这个算法是按固定方式经有限个步骤能够实现的方法，所以是构造性方法。应用构造性方法获益匪浅的另一个数学分支是数值分析。例 5 给数值逼近理论中居核心地位的定理：令X是实赋范空间E中的有穷维线性空间，那么，对E 中每一点a，对应X中的一点b，使得a与b的距离等于a到X的距离。(4) 找一个适当的构造性的替代命题。为此，引入如下概念：定义1 令E为距离空间，X为E的非空子集，a是E中的元素。如果对X中每一对不同的元素x，y，在X中有z，使得max{d(a，x)，d(a，y)}>d(a，z)，则称a在X中至多有一个最优逼近。定义2 如果对X中所有的x，d(a，x)≥d(a，b)成立，则称X中的一个元素b是a的在X中的最优逼近。于是，我们就找到一个适当的构造性替代命题：令X是实赋范空间E中的一个有穷维线性子空间，a为E中的元素，它在X中至多有一个最优逼近。那么，我们可以计算出a在X中的最优逼近。(5)按照经

典数学的看法(4)与(5)是等价的。但是(5)的构造性证明包含了一个应用性极为广泛的算法。①此外，拓扑学，特别是维数理论，也是可以为构造法的洞察力提供实例的数学分支，所以也是构造数学有待开发的新领域。

构造性数学与非构造性数学的差别与联系

为了充分认识构造性数学与非构造性数学之间的差别，我们有两条工作原理为准。第一条是在非构造性数学中成立而构造性数学中不能接受的原理——排中律；第二条是比肖泊称之为全能的极限原理(简称LPO)；如果(an)是{0，1}上的序列，那么，或者对所有的n，an=0，或者存在N，使得，aN=1。LPO的构造性解释是：我们有一个有限的方法，它适用于任何一个{0，1}上的序列(an)，或者证明对每一个n，an是零，或者构造一个N，使之满足aN=1。如果真是这样一种方法，那么，我们就有了统一的办法来解决(诸如：费尔马最后定理，黎曼猜想以及哥德巴赫猜想)一大批悬而未决的问题，可以断言应用如此广泛的统一解决的方法是绝对不会找到的，所以LPO不是构造数学的工作原理。故凡是经典定理在被构造性证明时需要用到LPO，或者虽不需要用到LPO，但需要用到另一些与LPO构造方式相似的原理，则它们实质上是非构造性的。构造数学与非构造数学之间的联系表现在“共生性”与“分岔性”上。至今，数学的构造性方法的进展始终是直接因袭标准的非构造数学想法而得到的。因此人们往往产生一种错觉，以为构造数学“寄生”于非构造数学而发展。其实不然，往往构造数学比非构造数学能为某些定理提供更加自然、更加简单的证明，甚至可能得出一些新的非构造数学的定理。所以，这两种类型的数学之间的关系是相辅相成的共生性关系。另一方面，一个经典定理在承认排中律的前提下，会有几个经典等价的说法，其中有些可以构造性地加以证明，这样就经常发生一个经典的定理有好几种极为不同的构造性解释。比如复分析中皮卡德大定理就是如此。这就是解释的“分岔性”。这种分岔性是构造数学的最有趣、最有成效的方面。美籍中国数学家王浩认为“构造性数学是做的数学，非构造性数学是在的数学”。数学的在是信息模式和结构的在，数学的做是信息加工。我国数学家胡世华先生认为构造性数学的倾向是用数学取得结果把结果构造出来，侧重于思维的构造实践，有限制地使用排中律；非构造性数学的倾向是数学地理解问题和规律，建立数学模型形成数学理论体系。追求科学理想，可以自由地使用排中律。构造性与非构造性数学既有上述的区别，又有一定的联系，它们是相辅相成的。数学的构造性方法的进展自觉不自觉地直接因袭非构造性数学想法而得到的；非构造性数学中又总包含有构造性数学的因素，纯粹的非构造性数学是不存在的。

常见的插值法及其应用

姜琴, 周天宏

( 郧阳师范高等专科学校计算机科学系, 湖北丹江口 442700)

[ 摘要] 插值方法在数值分析中起着非常重要的作用, 介绍了一些常见的插值方法及其应用范例.

[ 关键词] 数值分析; 插值法; 差商

[ 中图分类号] O241. 3 [ 文献标识码] A [ 文章编号] 1008－--6072( 2006) 03 ---0006 --- 03

函数插值法, 简称插值法. 在许多实际问题中, 有的函数f ( x ) 虽然有解析表达式, 但其计算复杂, 使用不便. 甚至有些函数f ( x) 只是给出了某些点上的函数值. 因此我们希望根据给定的信息, 构造一个既能反映函数特性又便于计算的简单函数. 用p ( x ) 近似, 我们可采用插值法来达到这个目的. 1 插值法的定义

插值方法是根据一组数据, 如表1 所示

表1 插值数据表

i x

1x 2x 3x … n x )(i x f )(1x f )(2x f )(3x f

… )(n x f

求函数f ( x ) 的近似表达式p ( x ) 的方法.插值方法的必要条件是误差函数或余项R( x ) =f ( x ) - p ( x )满足关系式R( x i ) = 0 ( i = 0, 2, …n)当插值函数p ( x ) 是多项式时, 称为代数插值方法. 代数插值方法有Lagr ange 插值方法, 逐次线性插值法New ton 插值方法, Hermite 插值方法, 分插值方法和样条插值方法等. 其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插函数p ( x ) 的近似表达式.

2 常见的代数插值公式及其构造

2. 1 Lagrange 插值法

表( 1) 的n 次Lagrange 插值多项式L n( x ) 的数学公

式:

∑==

n

i i i n x l x f X L 0)()()(其中)2,1,0)((n i x l i = 是插值基函数, 且

∏

≠=--=n i j j j i j i x x x x x l 0

)

()()(Lagrange 插值多项式的余项为

)()()!1(1)()()()1(x f n x L x f x R n n ωξ++=

-= , 其中)

())(()(10n x x x x x x x ---= ω Lagrange 插值多项式便于理论推导和形式地描述算法, 但不便于计算函数值, 因为用Lagrange 插值多项式L n ( x ) 计算函数近似值, 如果精度不满足, 需增加节点时,原来计算出的数据均不能利用. 为了克服该缺点, 通常采用逐次线性插值方法或New ton 插值多项式方法. 这两种方法是在Lagrange 插值的基础上组合已知的计算值, 提高计算效率, 可达到加速计算.

由表( 1) 构造的Newt on 插值多项式为

2.2 Newton 插值法

由表( 1) 构造的Newton 插值多项式为

)(),,,())(,()()(1

0100100∏-=-++-+=n i i n x x x x x f x x x x f x f x N 用它插值时, 首先

要计算各阶差商, 而各阶差商的计算可归结为一阶差商的逐次计算. 一般地 )(),,,(),,,(),,,(11102010-----=k k k k k n x x x x x f x x x f x x x f

其余项为)

(),,,()()()(10x x x x f x N x f x R n n n +=-=ω 该插值方法能节

省计算量, 且便于程序设计.

2. 4 Hermite 插值

Hermite 插值不仅要求函数值相等, 而且其导数值也相等. 由插值节点上的函数值和导数值, 如表2 所示:

表2 Hermite 插值数据表 i x 0x 1x 2x … n x

)(i x f 0y

1y 2y … n y )(i x f ' 0m

1m 2m … n m

可构造一个不高于2n+ 1 次的插值多项式, 该多项式称为Hermite 插值多项式:

∑=+=n i i

i i i x l m x h y x H 0)]()([)( 其中)(),(x l x h i i 都是2n + 1 次的插值

基函数, 其余项为

)()!22()()()()(12)12(12x n f x H x f x R n n n ++++=

-=ωξ

浅论插值法及其应用

瞿威

（无锡广播电视大学，江苏无锡214011）

摘要： 本文通过讨论插值法的地位和作用，比较各种插值法的优缺点，以

及简单说明相互间的联系。

关键词：插值法插值多项式应用

1.问题的提出

在科学研究和生产实践中遇到的函数y=f（x），虽然从原则上说它在某个区间［a，b］上存在，但是通过实验通常只知道在区间［a，b］上的一系列点的函数值，也就是说我们只知道函数的一张表。这对于研究物质的运动规律很不方便，更不能计算出未给出点的函数值。这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法。例如，某集团公司试图分析该公司的产量与生成费用之间的关系,从所属企业中随机抽选了5个样本，得到了如下数据：

如果希望由这些数据合理的估计出它在其他产量时的生成费用，这就是一个典型的插值问题。

2.数学表达

根据函数的已知数据表1求函数f（x）的近似解析表达式φ（x）的方法。插值法的必要条件是误差函数或余项R（x）=f（x）-φ（x）满足关系式R（xI）=0，I=1，2，3，…，n，由于代数多项式是简单而又便于计算的函数，因此经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值。多项式插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段插值法和样条插值法等，其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数f（x）的近似解析表达式。

微积分思想源自古希腊人的穷竭法。古希腊最接近积分的是阿基米德于公元前225年求抛物线弓形面积的工作，他在抛物线弓形与其内接最大的三角形的每一个空间中又内接一个新的三角形，这三角形与剩余空间同底同高，这样无限进行下去，最后的三角形就非常小了，他的方法实际上也是无穷级数求和最早的例子。到了16世纪以后，欧洲处于资本主义的萌芽时期，生产力得到极大发展。生产和科学技术中发生了大量的变量问题，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题等，初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、新的数学方法，突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分，给出了数列极限的描述性定义：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限。”之后，维尔斯特拉斯为了排除极限概念中的直观痕迹，建立的ε-N语言，给微积分提供了严格的理论基础。所谓an以A为极限，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|an-A<ε|恒成立。”这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。

例谈三角问题中隐性问题的显性转化

周永春

（南通市冠今中学，江苏海门226100）

常用多项式插值公式构造

（1）拉格朗日插值多项式

由数表1构造的n 次拉格朗日插值多项式

∑==

n

k k k n x l y x P 0)()(,其中

∏

≠=---n i j j y

i j x x x x x l 0

)(为插值基函数，拉格朗日插值多项式在理论分析中非常方便，

因为它的结构紧凑，利用基函数很容易推导和形象的描述算法。但是它也有一些缺点： 当插值节点增加、减少或其位置变化时，整个插值多项式的结构都会改变，这就不利于实际计算，增加了算法复杂度。此时我们通常采用牛顿插值多项式算法。

（2）牛顿插值多项式

由数表1构造的牛顿插值多项式为：

∏-=-++-+=1

02100100)(),,,,())(,()()(n i i n x x x x x x f x x x x f x f x N 用它插值时，首先要计算各阶差商，而各高阶差商可归结为一阶差商的逐次计算。一般情况讨论的插值多项式的节点都是任意分布的，但是在实际应用中出现了很多等距节点的情形，这时的插值公式可以进一步简化， 在牛顿均差插值多项式中各阶均差用相应的差分代替， 就得到了各种形式的等距节点插值公式，常用的是牛顿前插与后插公式。

（3）Hermite 插值

分段线性插值的算法简单、计算量小，然而从整体上看，逼近函数不够光滑，在节点处，逼近函数的左右导数不相等，若要求逼近函数与被逼近函数不仅在插值节点上取相同的函数值， 而且要求逼近函数与被逼近函数在插值节点上取相同的若干阶导数值，这类问题称为Hermite 插值。

4.应用

插值法除用于求函数值外，还有多种用法。

（1）数值微分方法

数值微分法就是利用等距节点上的插值多项式求函数的导数值的方法。常用的两点公式和三点公式就是用分段线性插值和分段抛物插值法导出的。值得注意的是这两种公式只适合节点处的导数值。在区间内的其他点处求导数最好用样条插值函数。

（2）数值积分法

对于积分

?=b

a

dx

x

f

I)

(

,若被积函数不清楚或其原函数不易求，通常根据f

（x）在积分区间［a，b］上的数据表，构造插值多项P（x）代替f（x），再导出积分值。

（3）数据拟合

这仍然是通过给定的一组测定的离散数据求自变量与因变量的近似表达式。鉴于插值法其近似标准是在插值点处的误差为零，考虑到在实际应用中，有时不要求具体某些点的误差为零，从而考虑整体的误差限制，因此不要求所求函数通过所有的节点，而是要求所求近似函数反映原函数整体的变化趋势，为达到此目的，我们可用数据拟合的方法。插值法由于其计算的难度不高，容易通过计算机实现，现在其在工程计算、算法理论等方面有非常重要的应用。

三种插值方法的应用与比较

张丽娟

（呼伦贝尔学院数学科学学院，内蒙古呼伦贝尔021008）

摘要：早在6 世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算.17 世纪之后，牛顿，拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式.在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的.本文详述了拉格朗日插值、分段线性插值与三次样条插值三种插值法在处理问题时的应用比较及分析策.

关键词：拉格朗日插值；分段线性插值；三次样条插值

中图分类号：O15 文献标识码：A 文章编号：1673- 260X（2010）03- 0001- 03

插值问题的提法是：已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1 个实点x0,x1,…,xn 处的函数值是f(x0)，f(x1)，…,f(xn)，这时我们简单的说f(x)有n+1 个离散数据对{(xi,yi)}ni=0.要估算f(x)在其它点x 处的函数值，最常见的一种办法就是插值，即寻找一个相对简单的函数y(x)，使其满足下列插值条件：y(xi)=f(xi)，i=0,1,…,n.并以y(x)作为f(x)的近似值.其中y(x)称为插值函数，f(x)称为被插函数.[1,2,3]

选用不同类型的插值函数，逼近的效果不同，下面给出拉格朗日多项式插值、分段线性插值及三次样条插值在处理问题时的应用比较分析.

多项式插值是最常见的一种函数插值.在一般插值问题中，由插值条件可以唯一确定一个次数不超过n 的插值多项式满足上述条件.从几何上看可以理解为：已知平面上n+1 个不同点，要寻找一条次数不超过n 的多项式曲线通过这些点.插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日（Lagrange）插值多项式，另一个是牛顿（Newton）插值多项式. 且Lagrange 插值公式恒等于Newton 插值公式.

1 拉格朗日（Lagrange）插值

已知f(x)的n+1 个离散数据对{(xi,yi)}ni=0.求作次数不超过n 的多项式y(x)，使满足条件y(xi)=f(xi)，i=0,1,…,n.这就是多项式插值问题.点x0,x1,…xn 称为插值基点.[min{xi},max{xi}]叫做插值区间.[1,2]用几何语言来表述这类插值，就是通过曲线上给定的n+1 个点，求作一条次数不超过n 的代数曲线y(x)，作为f(x)的近似.

插值法在数值分析中的教学实践

吕晓亚，张莉

（内江师范学院数学与信息科学学院，四川内江641112）

摘要：插值方法是数值分析中的最基本方法之一。在教学过程中，通过一个具有实际背景的问题对不同插值方法进行对比分析，不仅能使学生深刻理解各种插值方法，而且能培养学生的科研能力和创新能力。

关键词：数值分析；插值法；教学实践

中图分类号：G420 文献标识码： A 文章编号：

1009-9115(2011)02-0123-03

数值分析主要研究求解数学模型的算法及有关理论，是求解数学模型的不可缺少的途径和手段，并随着计算机的发展而发展。在信息科学和计算机技术飞速

发展的今天，数值分析中的数值方法更显重要。数值分析是一门注重应用的学科，特别注意方法的精确性和计算的效率之间的平衡。传统的教学模式只注重讲授数值方法的原理，算法的理论推导占据了整个教学过程的大部分时间，再加上缺乏实践环节的教学，使得学生不能很好地运用所学的理论去解决实际问题[1]。每种数值方法的讲授都应该尽量地用有一定实际背景的小问题去检验，这样使得学生在掌握数学理论的同时也可以引导学生思考如何应用理论去解决实际的问题，这种教学方法能够激发学生的学习兴趣，使学生对知识的掌握达到理论与实践并举的目的。数据插值方法是数值分析中的最基本方法之一，主要解决的问题是根据离散数据构造一个简单易于计算的函数代替原有的复杂函数。数据插值的应用非常广泛，例如在建筑工程的外观设计、物理实验中的数据分析与处理、地理信息数据的处理、根据离散数据绘制光滑曲线、图形放大算法等方面[2]。在数据插值方法的教学过程中，通过一个具有实际背景的问题对不同插值方法进行对比分析，不仅有助于学生深刻理解各种插值方法，而且能培养学生的科研能力和创新能力。

1 常用的插值方法

在插值函数中，以多项式函数应用最广。常用的多项式插值有Lagrange 插值、Newton 插值、Hermite 插值及三次样条插值[3]等。

1.1 Lagrange 插值法与Newton 插值法

设有n +1个互异的插值结点0 1 n x < x

则n 次Lagrange 插值多项式为

∑==

n

j j j n y x l x L 0

)()(

其中 )

,,2,1,0()()()(0

n j x x x x x l n j k k k j k j =--=∏

≠=

Newton 插值法是一种利用均差构造插值多项式的方法，n 次的Newton 插值多项式与n 次的Lagrange 插值多项式是恒等关系，只是表现的形式不同而已。

1.2 Hermite 插值法

Hermite 插值法是一种带导数信息的插值方法，常用的有两点三次Hermite 插值，即考虑两个插值结点的情形。设两个互异的插值结点a ≤ x 0 <

x 1 ≤ b ，函数],[)(1b a C x f ∈且)1,0()(,)(=='=j m x f y x f j j j j

则三次Hermite 插值多项式为

210011003)()()()()(m x m x y x y x x H ββαα+++=

上式记为(2)，其中

201011210100201

0101121010100)()()()(21)(21)(???? ??---=???

? ??---=???? ??--???? ??--+=???? ??--???? ?

?--+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ββαα

几种常用插值方法比较分析

王彧坤, 彭湘晖

(黑龙江省水文局, 哈尔滨150080)

摘 要: 水文分析工作中经常采用插值, 而数学中插值的计算方法有多种, 文章讨论了其中比较简单的线性插值、抛物线插值、拉格朗日插值和逐次线性插值等, 并以水文应用实例对这几种方法进行了比较, 提出了水文中适用插值方法及应用条件。

关键词: 插值; 计算方法; 关系线; 节点

中图分类号: P333 文献标识码: A

水文工作是经验与理论的结合, 生产实际中经常会遇到曲线插值的问题, 如水位~ 流量关系曲线、库水位~ 蓄水量曲线、单位线中的S 曲线等等, 初期的

插值是通过量图完成的, 随着资料的完善, 曲线的节点被摘录出来, 为采用数学方法计算插值奠定了基础, 特别是计算机技术的普及, 利用程序自动插值能够大大提高计算的速度、降低了出错率。常用的插值方法有以下几种: 线性插值、抛物线插值、拉格朗日插值、逐次线性插值。下面对这几种插值方法进行逐一对比分析。

1 几种插值方法的原理

1. 1 线性插值

函数y= f( x ) 在两个节点x0、x 1 处的函数值分别为y 0、y 1, 关系见表1。

表1 线性插值法x 与y 对应关系表

x 0x

1x )(x f y = 0

y 1y

直线插值就是做通过两点( x 0、y0 )、( x1、y1 )的直线y = L( x ), 那么可知任意点x 所对应得函数值y 为:

)(001010x x x x y y y y ---+

=

可见, 上式为满足插值条件的一次方程, 故称之为线性插值。见图1:

图1 线性插值示意图

1. 2 抛物线插值[ 1- 2]

函数y= f ( x ) 在3个节点x 0、x 1、x2 处的函数值分别为y0、y1、y2, 其关系见表。

表2 抛线线插值法x 与y 关系对应表

x 0x 1

x 2x )(x f y = 0y

1y 2y

抛物线插值就是假设有一个不超过二次的函数y = L( x ), 该函数满足以下条件: y0 = L ( x0 ) , y1 = L ( x 1 ), y2 = L( x2 ), 通过基函数构造求解, 可得到函数的公式:

212021012101200201021))(()

)(())(())(())(()

)(()(y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x L ----+----+----= 显然这是一个二次多项式, 因此称之为抛物线插值公式, 该插值方法成为抛物线插值。见图2:

图2 抛物线插值示意图

1.3拉格朗日插值[ 1- 2]

如果函数y= f ( x )在n + 1个节点处的函数关系见表3。 表3

x 0x 1x … n

x )(x f y = 0y

1y … n y 通过2.1和2.2的方法, 我们可以推广到构造一个n 次函数, 该函数满足上面插值条件:

),,2,1,0()(n i y x L i i ==

同样可以求出该函数为:

k n

k n k k k k k k n k k y x x x x x x x x x x x x x x x x x L ∑

=+----------=011010)())(()()())(()()(

该式称之为拉格朗日多项式。

参考文献格式 (1)

几种常见参考文献的著录格式 一、专著 [序号]主要责任者.文献题名[文献类型标识].出版地：出版者，出版年.起止页码. [1]刘国钧，陈绍业，王凤翥.图书馆目录[M].北京：高等教育出版社，1957:15-18. 二、期刊文章 [序号]主要责任者.文献题名[J].刊名，年，卷(期)：起止页码. [2]何龄修.读顾城《南明史》[J].中国史研究，1998(3)：167-173. [3]金显贺.一种用于数字滤波技术[J].清华大学学报：自然科学版，1993，33(4)：62-67. [4]刘超,卓馨，吴怡康，等.一种新的吲哚乙胺型夫碱的合成、表征及其晶体结构[J].宿州学学报，2012，27(5)：62-67. 三、专著或文集中析出文献 [序号]析出文献作者.析出文献题名[M]//专著或文集作者.专著或文集名.出版地：出版者，出版年：起止页码. 四、学位论文 [序号]主要责任者.文献题名[文献类型标识].存放地：大学到系部，出版者，出版年：起止页码. [5]谢博.高校教师评价体系的研究[D].重庆：西南交通大学管理科学与工程学院,2010:42-45. 五、报纸文献

[序号]主要责任者.文献题名[文献类型标识].报纸名称，年-月-日(版序) [6]江山.文艺研究要百花齐放[N].文艺时报，2009-02-18(6) 六、标准文献 [序号]标准代号.标准名称[S].出版地：出版单位，出版年 [7] GB/T 2694-2010.输电线路铁塔制造技术条件[S].北京：中国电力出版社，20009 七、网络文献 [序号]作者名.作品名[EB/OL].[访问时间,00-00-00].网址

开题报告的结尾

开题报告的结尾 篇一：开题报告写法(很全,很有用) 毕业论文开题报告范文》百度文库资料找了老半天了！（大四的用得着）：开题报告方法介绍 来源：魏帅的日志 毕业论文开题报告范文 [1]毕业论文开题报告 开题报告是指开题者对科研课题的一种文字说明材料。这是一种新的应用写作文体，这种文字体裁是随着现代科学研究活动计划性的增强和科研选题程序化管理的需要应运而生的。开题报告一般为表格式，它把要报告的每一项内容转换成相应的栏目，这样做，既便于开题报告按目填写，避免遗漏；又便于评审者一目了然，把握要点。 开题报告包括综述、关键技术、可行性分析和时间安排等四个方面。 开题报告作为毕业论文答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。 由于开题报告是用文字体现的论文总构想,因而篇幅不必过大,但要把计划研究的课题、如何研究、理论适用等主要问题。 开题报告的总述部分应首先提出选题,并简明扼要地说

明该选题的目的、目前相关课题研究情况、理论适用、研究方法。 开题报告是由选题者把自己所选的课题的概况(即"开题报告内容")，向有关专家、学者、科技人员进行陈述。然后由他们对科研课题进行评议。亦可采用"德尔菲法"评分；再由科研管理部门综合评议的意见，确定是否批准这一选题。开题报告的内容大致如下：课题名称、承担单位、课题负责人、起止年限、报名提纲。报名提纲包括： (1)课题的目的、意义、国内外研究概况和有关文献资料的主要观点与结论； (2)研究对象、研究内容、各项有关指标、主要研究方法(包括是否已进行试验性研究)； (3)大致的进度安排； (4)准备工作的情况和目前已具备的条件(包括人员、仪器、设备等)； (5)尚需增添的主要设备和仪器(用途、名称、规格、型号、数量、价格等)； (6)经费概算； (7)预期研究结果； (8)承担单位和主要协作单位、及人员分工等。 同行评议，着重是从选题的依据、意义和技术可行性上

参考文献里的字母都代表什么意思

参考文献里的字母都代表什么意思？ 参考文献的类型 根据GB3469-83《文献类型与文献载体代码》规定，以单字母标识： M——专著(含古籍中的史、志论著) C——论文集 N——报纸文章 J——期刊文章 D——学位论文 R——研究报告 S——标准 P——专利 A——专著、论文集中的析出文献 Z——其他未说明的文献类型 电子文献类型以双字母作为标识： DB——数据库 CP——计算机程序 EB——电子公告 非纸张型载体电子文献，在参考文献标识中同时标明其载体类型： DB/OL——联机网上的数据库 DB/MT——磁带数据库 M/CD——光盘图书 CP/DK——磁盘软件 J/OL——网上期刊 EB/OL——网上电子公告 一、参考文献著录格式 1 、期刊作者.题名〔J〕.刊名，出版年，卷(期)∶起止页码 2、专著作者.书名〔M〕.版本(第一版不著录).出版地∶出版者，出版年∶起止页码 3、论文集作者.题名〔C〕.编者.论文集名，出版地∶出版者，出版年∶起止页码 4 、学位论文作者.题名〔D〕.保存地点.保存单位.年份 5 、专利文献题名〔P〕.国别.专利文献种类.专利号.出版日期

6、标准您身边的论文好秘书：您的原始资料与构思,我按您的意思整理成优秀论文论著,并安排出版发表，扣1550116010 、766085044自信我会是您人生路上不可或缺的论文好秘书编号.标准名称〔S〕 7、报纸作者.题名〔N〕.报纸名.出版日期(版次) 8 、报告作者.题名〔R〕.保存地点.年份 9 、电子文献作者.题名〔电子文献及载体类型标识〕.文献出处，日期 二、文献类型及其标识 1、根据GB3469 规定，各类常用文献标识如下： ①期刊〔J〕 ②专著〔M〕 ③论文集〔C〕 ④学位论文〔D〕 ⑤专利〔P〕 ⑥标准〔S〕 ⑦报纸〔N〕 ⑧技术报告〔R〕 2、电子文献载体类型用双字母标识，具体如下： ①磁带〔MT〕 ②磁盘〔DK〕 ③光盘〔CD〕 ④联机网络〔OL〕 3、电子文献载体类型的参考文献类型标识方法为：〔文献类型标识/载体类型标识〕。例如： ①联机网上数据库〔DB/OL〕 ②磁带数据库〔DB/MT〕 ③光盘图书〔M/CD〕 ④磁盘软件〔CP/DK〕 ⑤网上期刊〔J/OL〕 ⑥网上电子公告〔EB/OL〕

参考文献汇总

【参考文献汇总（文学、翻译、语言学、英语教学、跨文化交流）【文学类】 戴维洛奇小说的艺术北京：作家出版社，1998 高奋西方现代主义文学源与流宁波：宁波出版社，2000 侯维瑞现代英国小说史上海：上海外语教育出版社，1986 胡经之，王岳川主编文艺学美学法论北京：北京出版社，1994 黄晋凯主编荒诞派戏剧北京：中国人民大学出版社，1996 霍夫曼佛洛伊德主义与文学思想王宁译北京：三联书店，1987 拉曼塞尔顿编文学批评理论刘象愚，陈永国等译北京：北京大学出版社，2000 霍纳韦勒克近代文学批评史（第4卷）上海：上海译文出版社，1997 李维屏英美现代主义文学概观上海：上海外语教育出版社，1998 柳鸣九编选新小说派研究北京中国社会科学出版社，1986 吕同六主编20世纪世界小说理论经典北京：华夏出版社，1995 罗伯特斯皮勒美国文学的周期——历史评论专集王长荣译上海：上海外语出版社，1990 罗德霍顿美国文学思想背景房炜等译北京人民出版社，1991 梅佛里德曼意识流，文学手法研究上海：华东师范大学出版社，1992 米兰昆德拉小说的艺术孟湄译北京：三联书店，1995 史志康主编美国文学背景概观上海：上海：上海外语出版社，1998 徐葆耕西方文学心灵历史北京清华大学出版社，1990 殷企平小说艺术管窥天津：百花文艺出版社，1995 【语言学】 奥马利第二语言习得的学习策略上海：上海外语出版社，2001 陈保亚20 世纪中国语言学方法论济南：山东教育出版社，1999

丁言仁英语语言学纲要上海：上海外语出版社，2001 费尔迪南德索绪尔普通语言学教程长沙：湖南教育出版社，2001 冯翠华英语修辞大全北京：商务印书馆，1996 桂诗春，宁春言主编语言学方法论北京：外语教学与研究出版社，1998 桂诗春应用语言学长沙：湖南教育出版社，1998 何兆熊新编语用学概要上海：上海外语教育出版社，2000 何自然语用学与英语学习上海：上海外语教育出版社，1997 侯维瑞英语语体上海：上海外语教育出版社，1988 胡壮麟语言学教程（修订版）北京：北京大学出版社，2001 黄国文语篇与语言的功能北京：外语教学与研究出版社，2002 黄国文语篇分析概要长沙：湖南教育出版社，1988 李延富主编英语语言学基本读本济南：山东大学出版社，1999 李运兴语篇翻译引论北京：中国对外翻译出版公司，2000 刘润清西方语言学流派北京：外语教学与研究出版社，1999 刘润清等现代语言学名著选读（上下册）北京：测绘出版社，1988 刘润清等语言学入门北京：人民教育出版社，1990 陆国强现代英语词汇学（新版）上海：上海外语教育出版社，1999 戚雨村现代语言学的特点和发展趋势上海外语教育出版社，1997 秦秀白文体学概要长沙：湖南教育出版社，1990 孙志外国语言研究论文索引（1995—1999）上海外语教育出版社，2001 索绪尔普通语言教程北京：商务印书馆，1999 王德春语言学概论上海：上海外语教育出版社，2001

毕业论文 中国平安人寿保险公司营销环境分析(4)：结论 致谢 参考文献

结论 现代营销学认为，企业经营成败的关键在于它是否能适应不断变化着的环境。市场营销环境大都是不可控制的因素，但是企业如果能够不断使其经营适应自己最佳的机会，就能创造出惊人的业绩。因此，保险企业要不断地适应变化的环境，设立早期预警系统，及时改变营销策略，去迎接营销环境中的新威胁和新机会。 中国平安人寿保险公司虽然在某些方面具有自己的独特优势，但和外资保险公司相比还有的巨大差距，中国平安人寿保险公司保险公司能否认清形势，找准定位，借鉴国外保险公司的成功经验，提高保险营销水平，将是未来中国平安人寿保险公司能否快速发展的关键。 同时，中国平安人寿保险公司面临的不仅是外资保险公司进军中国市场的竞争压力，而且也面临着跨出国门走向世界的机遇。在这个十字路口，只有勇于探索、敢于创新，走出一条属于自己的路来，中国平安人寿保险公司才能在未来的保险市场上占有一席之地。 总体来看，中国平安人寿保险公司目前还是处于比较有利的竞争地位，适宜走发展战略。金融服务集团可以使平安人寿保险公司实现渠道、客户、品牌及管理技术等多种资源的共享，因此可以使企业利润达度提高。如果公司拥有强大个人营销渠道和完备的顾客顾客服务体系，就可以利用这些能力的延展性，更加充分地发挥出横向多元化经营带来的优势，从而在激烈的市场竞争中取得长期竞争优势。 总之，中国平安人寿保险公司要向国际的综合性服务集团和金融服务业的百年老店目标迈进。就一定要认真研究、分析公司的市场营销环境，尤其是外部经营环境变化，公司管理者应该事先作好充分的准备，针对经营环境的每一项重大变化，制定出一个或多个应变方案和对策，确保公司经营的稳定性和经营目标的实现。同时，根据变化的形势，随时修正和调整经营策略，以适应公司经营活动的需要。

参考文献格式范本

参考文献格式范本 M——专著，C——论文集，N——报纸文章，J——期刊文章，D——学位论文，R——报告，S——标准，P——专利；对于不属于上述的文献类型，采用字母“Z”标识。 参考文献的格式要求很多，一般来说参考文献的格式都要符合国标GB7714－87《文后参考文献著录规则》，但实际中很多出版社和期刊对论文的要求也不尽相同。发现周围的很多人对论文参考文献的规范格式不是很清楚，所以把规范格式贴出来。 参考文献著录格式及示例 1 专著著录格式 ［序号］著者.书名［Ｍ］.版本(第一版不写).出版地：出版者，出版年.起止页码 例: ［１］孙家广，杨长青.计算机图形学［Ｍ］.北京：清华大学出版社，1995.26~28 Sun Jiaguang, Yang Changqing. Computer graphics［Ｍ］.Beijing: Tsinghua Univ ersity Press,1995.26~28(in Chinese) 例: ［2］Skolink M I. Radar handbook［Ｍ］. New York: McGraw-Hill, 1990 2 期刊著录格式 ［序号］作者.题名［J］.刊名，出版年份，卷号(期号)：起止页码 例: ［3］李旭东，宗光华，毕树生，等.生物工程微操作机器人视觉系统的研究［Ｊ］.北京航空航天大学学报，2002，28(3)：249～252 Li Xudong, Zong Guanghua, Bi Shusheng, et al. Research on global vision syste m for bioengineering-oriented micromanipulation robot system［Ｊ］. Journal of Beiji ng University of Aeronautics and Astronautics, 2002,28(3):249～252(in Chinese) 3论文集著录格式 ［序号］作者.题名［A］.见(英文用In)：主编.论文集名［C］.出版地：出版者，出版年.起止页码

论文结尾感谢词(六则)

论文结尾感谢词（六则） 论文结尾感谢词（六则） 致谢态度要端正,措词要恰如其分,致谢中可以在文尾直书其名,也可写敬称,如某 某教授、某某博士,致谢一般写在正文末与参考文献之间。致谢一般用于字数超 过数万字的硕士、博士论文 （篇一） 在论文完成之际，首先要向我的导师陈勇强副教授表示衷心的感谢和诚挚的敬意。导师在研究方向、资料收集、论文选题、研究工作的开展以及论文的最终定稿过 程中，自始至终给予我巨大的帮助。论文的字里行间无不凝结着导师的悉心指导 和谆谆教诲，导师渊博的学识和严谨的治学态度给我留下了深刻的印象，我从导 师那里学到的不仅仅是知识，更重要的是严肃认真的学风、对事业的忘我追求、 高度的使命感、责任感及和蔼热情的品质，这些将使我受益一生，并将激励我不 断向前奋进。 感谢与我同窗三年的师兄弟和师姐妹，与他们一起学习是一段令人难忘的经历。 感谢他们对我的研究所给予的诚挚建议和热情帮助。与同学的相互讨论，也为论 文的完成助益不少，在此一并表示衷心的感谢！ 感谢爱妻梁媛媛，她对我生活上的关心和照顾，理解和鼓励，使我专心于学习和 研究，感谢她为支持我的学业所做出的一切。感谢小女桑睿哲，她的孕育、出生、成长过程恰好与我MBA的录取、求学、毕业同步，带给我生命的喜悦和无尽的天 伦之乐。从男孩、丈夫到父亲，而立之年的我正一步步走向成熟，动心忍性，增 益我所不能，终将成为一个真正的男人。家庭给予了我莫大的帮助，令我无以回报。 值此之际，想到从小抚育我成长，爱护、教育、支持、理解我的父母、姐姐、姐夫，我所迈出的每一步无不蕴含着他们对我无私的关爱。感谢岳父母、妻弟夫妇 在我求学过程中所给予的真诚指导和帮助。谨以此文献给他们。 再次感谢我的导师、老师、亲人和朋友们，这是我深以为荣的宝贵财富！ （篇二） 最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢! （篇三）

语用学期末论文

2014-2015学年第一学期 语用学与英语教学课程考核 （研究报告） 题目：An analysis of Pragmatic Failure with Cross-cultural Communications 学号（准考证号）：1230100054 姓名：焦凯丽 专业：英语(教法方向) 年级：2012级 学院：外国语学院 完成日期：2015年 1 月10日

Introduction The Cross-cultural Pragmatics is a relatively young linguistic branch compared with the Traditional Linguistics and Structural Modern Linguistics. It attaches great importance to the research of cross-cultural characteristics. And the cross-cultural pragmatic failure is a common phenomenon in cross-cultural communication process. This paper focus on the analyzing of different kinds of pragmatic failures in our cross-cultural communication, at the same time, giving reflections and feedbacks on our English learning and Language teaching. Being in the rapid developed century of our human society, we should heighten the awareness of appropriating use of pragmatic language in our cross-cultural communication.

参考文献致谢

参考文献 [1]肖锋,赵红梅,孙晓娟.我国个人征信体系建设中存在的问题及对策.北方经贸 2010,(8):22. [2]张吉光.商业银行操作风险识别与管理.北京.中国人民大学出版社.2011. [3]陈钊.住房抵押贷款理论与实践[M].上海:负担大学出版社，2012（6):41-48. [4]冯晶.个人住房抵押贷款的主动违约风险分析[J].财经科学,2013:114-116. [5]贾卉.个人住房贷款的风险防范及对策[J].现代管理学,2010(6). [6]郝钰.个人住房贷款的风险分析及防范对策[J].贵州商业高等专科学校 2012(1):9-11. [7]刘萍.个人住房抵押贷款风险探析[J].金融研究,2013(8):105-110. [8]王志武,徐艳.商业银行经营管理学[M].北京:中国金融出版社.2012. [9]Elizabeth Renuart. An Overview of the Predatory Mortgage Lending Process[J]．Housing Policy Debate, 2011（3）． [10]Christopher L Cagan, Mortgage Payment Reset: The Issue and the Impact [J]．First American Corelogic, 2010（3）． 1

致谢 本论文的完成是在我的导师的细心指导下完成的，在论文撰写的过程中，陈老师认真，负责。不辞辛苦的为我的论文提出了很多问题和完善建议，当我遇到困难的时候，陈老师仔细为我分析，给了许多创新的思路，期间，陈老师一丝不苟，认真严谨的工作态度也给了我很大的励志，在此，向我的导师陈老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。 同时感谢在论文撰写期间帮助我的所有老师以及同学、朋友，有了大家的帮助和支持，我才能一次次的修改和努力后完成最后我的毕业论文，谢谢各位。 2

各种参考文献格式

各种参考文献格式

(1)期刊 [序号] 主要作者.文献题名[J].刊名，出版年份，卷号(期号)：起止页码. 例如: [1] 袁庆龙，候文义.Ni-P 合金镀层组织形貌及显微硬度研究[J].太原理工大学学报，2001，32(1)：51-53. (2)专著 [序号] 著者.书名[M].出版地：出版者，出版年：起止页码. 例如：[2] 刘国钧，王连成.图书馆史研究[M].北京：高等教育出版社，1979：15-18，31. (3)论文集 [序号] 著者.文献题名[C].编者.论文集名.出版地：出版者，出版年：起止页码. 例如：[3] 孙品一.高校学报编辑工作现代化特征[C].中国高等学校自然科学学报研究会.科技编辑学论文集(2).北京：北京师范大学出版社，1998：10-22. (4)学位论文 [序号] 作者.题名[D].保存地：保存单位，年份. 如：[4] 张和生.地质力学系统理论[D].太原：太原理工大学，1998. (5)报告 [序号] 作者.文献题名[R].报告地：报告会主办单位，年份. 例如：[5] 冯西桥.核反应堆压力容器的LBB 分析[R].北京：清华大学核能技术设计研究院，1997. (6)专利文献 [序号] 专利所有者.专利题名[P].专利国别：专利号，发布日期. 例如：[6] 姜锡洲.一种温热外敷药制备方案[P].中国专利：881056078，1983-08-12.

(7)国际、国家标准 [序号] 标准代号，标准名称[S].出版地：出版者，出版年. 例如：[7] GB/T 16159—1996，汉语拼音正词法基本规则[S].北京：中国标准出版社，1996. (8)报纸文章 [序号] 作者.文献题名[N].报纸名，出版日期(版次). 例如：[8] 谢希德.创造学习的思路[N].人民日报，1998-12-25(10). (9)电子文献 [序号] 作者.电子文献题名[文献类型/载体类型].电子文献的出版或可获得地址，发表或更新的期/引用日期(任选). 例如：[9] 王明亮.中国学术期刊标准化数据库系统工程的[EB/OL]. 参考文献的类型 根据GB3469-83《文献类型与文献载体代码》规定，以单字母标识： M——专著(含古籍中的史、志论著) C——论文集 N——报纸文章 J——期刊文章 D——学位论文 R——研究报告 S——标准 P——专利 A——专著、论文集中的析出文献 Z——其他未说明的文献类型

参考文献

参考文献 [1]国际商会.国际贸易术语解释通则2010[M].北京：中国民主法制出版社，2011 [2]杨琪.百科论坛【J】.2010 年国际贸易术语解释通则的变化及贸易术语的合理选择，2010:399-400 [3] 余昕.浅析 FO B 、 C FR 、 C IF 贸易术语的风险转移【N】.科技经济市场，2008（3）:84~85 [4]王传丽.国际贸易法[M].中国政法大学出版社，2003 [5]刘岭.论FOB、CFR和CIF贸易术语下的货物风险转移[D].复旦大学，2009 [6]冯智慧.透析国际贸易术语的选用[J].北方经贸，2000，（4） [7]石玉川．国际贸易实务[M].中国对外经济贸易出版社，2005 [8]王溶花，鲍平平.我国进出口业务中选择FOB和CIF术语的风险及防范【J】.经济论坛，2009（9）:55~57 [9]罗苏莉.浅析进出口贸易中 FOB、CIF 贸易术语的选用———基于风险规避的分析[J]．企业家天地,2008,（05）. [10]杨庆文 . D / P付款方式和 FOB价格条件下怎样控制风险 [ J].国际商报 , 2004, ( 6): 5- 6.

[11]白锐文.FOB 下无单放货有风险[J]．进出口经理人，2008,（01）. [12]杨兰波、王秀.浅谈CIF 术语在国际贸易中的运用[J].国际经贸,2007,（05）. [13]吴仁波出口方选用D组贸易术语的风险及其防范.[J]外贸业务探讨 [14]张路.贸易术语选择探讨.[J]现代商业工贸.2009(17) [15]周厚才.《国际贸易术语解释通则》的特点与使用[J].对外经贸实务，2010，（7）：40 [16]尚雅楠,李志.析常用贸易术语的选择问题及应对方法[J].语文学刊·外语教育教学,2009.7 [17]赵常华.海洋运输中装卸费用负担问题[J].对外经贸实务，2002，(9)：46 [18]徐文锋.进出口贸易实操手册[ M] .广东经济出版 社,2007. [19]CIF OR CIP--从一则案例看内陆地区产品出口中贸易术语的选择【C】.对外经贸实务,2001.7 [20]郭幸、刘卫翔.国际贸易术语的正确选择[J]. 经济论坛,1994,（15）：42~44

语用学参考文献

?1] 顾曰国. 使用者话语的语言学地位综述[J]. 当代语言学. 1999 (03)?[2] 姚小平. 索绪尔语言理论的德国根源[J]. 外语教学与研究. 1993 (03) ?[3] 许国璋. 关于索绪尔的两本书[J]. 国外语言学. 1983 (01) ?[4] 岑麒祥. 瑞士著名语言学家索绪尔和他的名著《普通语言学教程》[J]. 国外语言学. 1980 (01) ] 顾曰国. 使用者话语的语言学地位综述[J]. 当代语言学. 1999 (03) ?[2] 姚小平. 索绪尔语言理论的德国根源[J]. 外语教学与研究. 1993 (03) ?[3] 许国璋. 关于索绪尔的两本书[J]. 国外语言学. 1983 (01) ?[4] 岑麒祥. 瑞士著名语言学家索绪尔和他的名著《普通语言学教程》[J]. 国外语言学. 1980 (01) ? ?[1] . 《语言科学》稿约[J]. 语言科学. 2003 (03) ?[2] 余光武. 当代语言科学创新与发展国际学术研讨会暨《语言科学》创刊十周年庆典在徐州召开[J]. 语言文字应用. 2012 (04) ?[3] 丁邦新. 祝贺《语言科学》创刊十周年[J]. 语言科学. 2012 (06) ?[4] 余光武. 当代语言科学创新与发展国际学术研讨会暨《语言科学》创刊十周年庆典综述[J]. 语言科学. 2012 (06) ?[5] 侯精一. 贺《语言科学》杂志创刊[J]. 语言科学. 2002 (01) ?[6] 李宇明. 面向社会需求,发展语言科学[J]. 语言科学. 2002 (01) ?[7] 孙宏开. 贺《语言科学》杂志创刊[J]. 语言科学. 2002 (01) ?[8] . 《语言科学》2005年(总第14-19期)总目录[J]. 语言科学. 2006 (01) ?[9] . 《语言科学》2006年总目录[J]. 语言科学. 2006 (06) ?[10] . 《语言科学》2007年总目录[J]. 语言科学. 2007 (06)

结论参考文献和致谢

结论 结论是对整个论文主要成果的归纳，应突出论文（设计）的创新点，以简练的文字对论文的主要工作进行评价。若不可能导出应有的结论，则进行必要的讨论。可以在结论或讨论中提出建议、研究设想及尚待解决的问题等等。注意：不得在结论中发表个人的感想，比如学会了什么知识，得到了锻炼，这类情感类的文字不得在结论中出现，可放在致谢中。 附录 若只有一个附录，就不用加编号，即不用写出附录1。若附录有序号，附录中间可不加空格。附录不是必须的。只有不宜放在正文中但有重要参考价值的内容（如公式的推导、程序流程图、图纸、数据表格等）才可编入论文的附录中。附录中一般不提倡附代码。附录中的图、表要求同之前的要求。图表和公式单独编号:图附-1. 参考文献 (参考文献中文字体使用宋体，小四；西文字体使用Times New Roman，中文参考文献的逗号使用中文字体下的逗号，英文参考文献下的逗号使用西文的逗号。参考文献中的点使用后需空西文下的一空格。小括号的使用应是西文下的括号。冒号的使用根据冒号是在中文参考文献还是英文参考文献，中文使用中文的冒号，西文使用西文的冒号。英文参考文献需要至少5篇，英文参考文献中不得出现汉字。若是中文出版社出版的原版书籍，需要将中文出版社及其它汉字自行翻译为英文。英文参考文献实词首字母大写。参考文献的排序是根据在论文中引用时出现的顺序定。网上及著作图书类参考文献可不加起止页码，但要尽量少用，其他类参考文献都需要注明起止页码，包含学位论文类文献。鼓励多使用期刊类参考文献，期刊类参考文献不少于5篇，所有参考文献不少于15篇。一条参考文献占了多行，应对齐行首部，如下。常用参考文献类型标识参考：①期刊〔J〕；

参考文献的写法(全)[1]

参考文献（即引文出处）的类型以单字母方式标识： M——专著，C——论文集，N——报纸文章，J——期刊文章，D——学位论文，R——报告，S——标准，P——专利； 对于不属于上述的文献类型，采用字母“Z”标识。 参考文献一律置于文末。其格式为： （一）专著 示例 [1] 张志建.严复思想研究[M]. 桂林：广西师范大学出版社，1989. [2] 马克思恩格斯全集：第1卷[M]. 北京：人民出版社，1956. [3] [英]蔼理士.性心理学[M]. 潘光旦译注.北京：商务印书馆，1997. （二）论文集 示例[1] 伍蠡甫.西方文论选[C]. 上海：上海译文出版社，1979. [2] 别林斯基.论俄国中篇小说和果戈里君的中篇小说[A]. 伍蠡甫.西方文论选：下册[C]. 上海：上海译文出版社，1979. 凡引专著的页码，加圆括号置于文中序号之后。 （三）报纸文章 示例[1] 李大伦.经济全球化的重要性[N]. 光明日报，1998-12-27，（3）（四）期刊文章 示例[1] 郭英德.元明文学史观散论[J]. 北京师范大学学报（社会科学

版），1995（3）. （五）学位论文 示例[1] 刘伟.汉字不同视觉识别方式的理论和实证研究[D]. 北京：北京师范大学心理系，1998. （六）报告 示例[1] 白秀水，刘敢，任保平. 西安金融、人才、技术三大要素市场培育与发展研究[R]. 西安：陕西师范大学西北经济发展研究中心，1998. （七）、对论文正文中某一特定内容的进一步解释或补充说明性的注释，置于本页地脚，前面用圈码标识。 参考文献的类型 根据GB3469-83《文献类型与文献载体代码》规定，以单字母标识：M——专著（含古籍中的史、志论著） C——论文集 N——报纸文章 J——期刊文章 D——学位论文 R——研究报告 S——标准 P——专利 A——专著、论文集中的析出文献 Z——其他未说明的文献类型

论文后面的参考文献格式怎么写

论文后面的参考文献格式怎么写 J——期刊文章 M——专著（含古籍中的史、志论著） 参考文献的类型 根据GB3469-83《文献类型与文献载体代码》规定，以单字母标识： M——专著（含古籍中的史、志论著） C——论文集 N——报纸文章 J——期刊文章 D——学位论文 R——研究报告 S——标准 P——专利 A——专著、论文集中的析出文献 Z——其他未说明的文献类型 电子文献类型以双字母作为标识： DB——数据库 CP——计算机程序 EB——电子公告 非纸张型载体电子文献，在参考文献标识中同时标明其载体类型： DB/OL——联机网上的数据库 DB/MT——磁带数据库 M/CD——光盘图书 CP/DK——磁盘软件 J/OL——网上期刊 EB/OL——网上电子公告 一、参考文献著录格式 1 、期刊作者．题名〔J〕．刊名，出版年，卷(期)∶起止页码 2、专著作者．书名〔M〕．版本(第一版不著录)．出版地∶出版者，出版年∶起止页码 3、论文集作者．题名〔C〕．编者．论文集名，出版地∶出版者，出版年∶起止页码 4 、学位论文作者．题名〔D〕．保存地点．保存单位．年份 5 、专利文献题名〔P〕．国别．专利文献种类．专利号．出版日期 6、标准编号．标准名称〔S〕 7、报纸作者．题名〔N〕．报纸名．出版日期(版次) 8 、报告作者．题名〔R〕．保存地点．年份 9 、电子文献作者．题名〔电子文献及载体类型标识〕．文献出处，日期 二、文献类型及其标识 1、根据GB3469 规定，各类常用文献标识如下：

①期刊〔J〕 ②专著〔M〕 ③论文集〔C〕 ④学位论文〔D〕 ⑤专利〔P〕 ⑥标准〔S〕 ⑦报纸〔N〕 ⑧技术报告〔R〕 2、电子文献载体类型用双字母标识，具体如下： ①磁带〔MT〕 ②磁盘〔DK〕 ③光盘〔CD〕 ④联机网络〔OL〕 3、电子文献载体类型的参考文献类型标识方法为：〔文献类型标识/载体类型标识〕。例如： ①联机网上数据库〔DB/OL〕 ②磁带数据库〔DB/MT〕 ③光盘图书〔M/CD〕 ④磁盘软件〔CP/DK〕 ⑤网上期刊〔J/OL〕 ⑥网上电子公告〔EB/OL〕 三、举例 1、期刊论文 〔1〕周庆荣，张泽廷，朱美文，等．固体溶质在含夹带剂超临界流体中的溶解度〔J〕．化工学报，1995(3)：317—323 〔2〕Dobbs J M, Wong J M. Modification of supercritical fluid phasebehavior using polor coselvent〔J〕. Ind Eng Chem Res, 1987,26:56 〔3〕刘仲能，金文清.合成医药中间体4-甲基咪唑的研究〔J〕.精细化工，2002(2)：103-105 〔4〕Mesquita A C, Mori M N, Vieira J M, et al ．Vinyl acetate polymerization by ionizing radiation〔J〕．Radiation Physics and Chemistry,2002, 63:465 2、专著 〔1〕蒋挺大．亮聚糖〔M〕．北京：化学工业出版社，2001．127 〔2〕Kortun G． Reflectance Spectroscopy〔M〕． New York: Spring-Verlag,1969 3、论文集 〔1〕郭宏，王熊，刘宗林．膜分离技术在大豆分离蛋白生产中综合利用的研究〔C〕．//余立新．第三届全国膜和膜过程学术报告会议论文集．北京：高教出版社，1999．421-425 〔2〕Eiben A E, vander Hauw J K．Solving 3-SAT with adaptive genetic algorithms 〔C〕．//Proc 4th IEEE Conf Evolutionary Computation．Piscataway: IEEE Press, 1997．81-86 4、学位论文 〔1〕陈金梅．氟石膏生产早强快硬水泥的试验研究（D）．西安：西安建筑科学

参考文献中的名词解释

荧光粉(俗称夜光粉)，通常分为光致储能夜光粉和带有放射性的夜光粉两类。光致储能夜光粉是荧光粉在受到自然光、日光灯光、紫外光等照射后，把光能储存起来，在停止光照射后，在缓慢地以荧光的方式释放出来，所以在夜间或者黑暗处，仍能看到发光，持续时间长达几小时至十几小时。带有放射性的夜光粉，是在荧光粉中掺入放射性物质，利用放射性物质不断发出的射线激发荧光粉发光，这类夜光粉发光时间很长，但因为有毒有害和环境污染等，所以应用范围小。人们在实际生活中利用夜光粉长时间发光的特性，制成弱照明光源，在军事部门有特殊的用处，把这种材料涂在航空仪表、钟表、窗户、机器上各种开关标志，门的把手等处，也可用各种透光塑料一起压制成各种符号、部件、用品(如电源开关、插座、钓鱼钩等)。这些发光部件经光照射后，夜间或意外停电、闪电后起床等它仍在持续发光，使人们可辨别周围方向，为工作和生活带来方便。把夜光材料超细粒子掺入纺织品中，使颜色更鲜艳，小孩子穿上有夜光的纺织品，可减少交通事故。目前国内外夜光材料主要是以ZnS（硫化锌）,SrS（硫化锶）和CaS（硫化钙）制成的，发出绿光和黄光。不过SrS，CaS材料易潮解，给广泛应用带来困难。所以市场上主要是以ZnS为基质的夜光材料。但它的余辉时间只有1～3小时，而且在强光(如太阳光)、紫外光和潮湿空气中容易变质发黑，所以在许多领域中应用受到限制。添加钻、铜共激活的ZnS夜光粉虽然有很长的余辉时间，但它有红外淬灭现象，在电灯光(包含较多的红光)照射下，余辉很快熄灭。 钼酸钡是一种白色或浅绿色粉末或块状物。钼酸钡主要用作用作搪瓷产品的粘着剂，亦可用于除去石脑油中的硫。钼酸钡不溶于水，微溶于酸。想买钼酸钡的话，我推荐【琨蒂金属科技】他们的钼酸钡产品在国内占有相当高的钼酸钡市场份额。钼酸钡质量一直很稳定，含量也充分。 稀土就是化学元素周期表——镧(La)、钐(Sm)、铕(Eu)、钆(Gd)、铽(Tb)、镝(Dy)、钬(Ho)、铒(Er)、铥(Tm)、镱(Yb)、镥(Lu)，以及与镧系的15个元素密切相关的两个元素——钪(Sc)和钇(Y)共17种元素，称为稀土元素。 锶元素名称：锶元素原子量：87.62 元素类型：金属发现人：克劳福特、戴维发现年代：1808年发现过程：1808年，英国的克劳福特和戴维先后由铅矿和锶矿中发现了锶。元素描述：银白色软金属。密度2.6克/厘米3。熔点769℃。沸点1384℃。化合价+2。第一电离能5.695电子伏特。化学性质活泼，于空气中加热时能燃烧；易与水和酸作用而放出氢；在到熔点时即燃烧而呈红色火焰。元素来源：锶是碱土金属中丰度最小的元素。主要的矿物有天青石和碳酸锶矿。可由电解熔融的氯化锶而制得。元素用途：用于制造合金、光电管，以及分析化学、烟火等。质量数90的锶是一种放射性同位素，可作β射线放射源，半衰期为25年。元素辅助资料：钡、锶、钙和镁同是碱土金属，也是地壳中含量较多的元素。不过钡和锶在地壳中的含量与钙、镁相比，还是较少的。再加上它们的化合物的实际应用不及钙和镁的化合物广泛。因此它们的化合物比钙和镁的化合物晚些被人们认识，只是戴维把钡和锶和钙、镁同时从化合物中电解分离出来。大约在1787年间，在欧洲一些展览会上展出从英国苏格兰思特朗蒂安（strontian）地方的铅矿中采得的一种矿石。一些化学家认为它是一种萤石。大约在1791到1792年间，英国化学家、医生荷普研究了这种矿石，明确它是碳酸盐，但是与碳酸钡不同，肯定其中含有一种新土，就从它的产地Strontian 命名它为strontia（锶土）。1789年拉瓦锡发表的元素表中就没有来得及把锶土排进去。而戴维却赶上了，他在1808年利用电解法，从碳酸锶中分离出金属锶，

10论文正文、参考文献、致谢样本

1 引言 配电作为电能发变送配中的最后一个环节，在电力生产中具有非常重要的作用。由于历史原因，过去未得到足够的重视。随着经济的发展和生活水平的提高，对供电质量和可靠性提出了更高的要求。大规模的两网改造结束后，配电网的布局得到了优化，但要进一步提高配电网的可靠性，还必须全面实现高水平的配电网自动化。 2 供电区域配电网概况及配网自动化规划功能和目标 该区共10km2，区内110kV 进线2回内桥接线，分别引自上级 电阻接地。二次设备原采用常规继电保护和远动，仅有遥测、遥信送往上级调度中心，通信通道为载波和扩频，备有商用电话。 3 对原配电网改造的主要内容 3.1 由于该110kV 统具备完善的“四遥”功能和微机保护功能，并能与调度中心、上级配调中心、本级配调中心、客户端RTU/FTU 等进行通信 3.1.1 后均以2 在每个企业的降压变加装网采用手拉手环网方案，可以在线路故障时就近的断路器自动跳闸，动作时间短，不依赖主站，对系统无冲击，避免了开环系统需开关多次跳合判断故障而带来的弊端。 3.2 接地方式的改变及接地电阻值的选择 采用闭环方式运行的配电网系统必须采用断路器，具备光纤通信信道，配置具有状态差动保护功能的FTU ，才能实现秒级恢复供电的要求，几个要素缺一不可。

5.2具有状态差动保护功能的FTU 态差动保护功能的FTU 5.3 与开环运行方式的结合 由于各种因素的限制，不可能在一个供电区域内全部采用闭环运行方式，甚至有的区域主要采用开环运行。因此，配电网自动化主站系统（DMS）必须考虑兼容闭环和开环运行方式。这对DMS系统提出了更高的要求，需在系统设计时在底层考虑，否则所打补丁很难与系统有机地结合在一起。SuperDMS-2000在设计开发阶段即考虑了这些因素，故能完全满足这方面需求。 6 结束语 经济的发展对配电网自动化提出了更高的要求，配电网自动化也是电力系统现代化发展的必然趋势。实现闭环运行的配电网自动化是一个创举和突破，也是配电网发展的一个更高阶段，秒级的故障恢复时间满足了绝大多数用户对供电可靠性的要求。 技术在发展，需求也在提高。参照发达国家和地区的经验，结合我们的实际情况，综合考虑近期与远期、全局与局部、主要与次要的关系，设计开发出先进、通用、标准的配电网自动化系统，对电力市场的发展具有重要意义。

参考文献格式要求

参考文献格式要求 参考文献(此四字用黑体、三号、居中) 具体文献按在正文中引出的先后次序列出，并用数字加方括号表示。字体用宋体五号。参考文献著录格式及示例： 1 专著著录格式 [序号] 著者. 书名[M]. 版本(第一版不写). 出版地：出版者, 出版年. 起止页码 例: [1] 孙家广, 杨长青. 计算机图形学[M]. 北京：清华大学出版社, 1995. 26~28 [2] Sun Jiaguang, Yang Changqing. Computer graphics[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 1995. 26~28(in Chinese) 例: [3] Skolink M I. Radar handbook[M]. New York: McGraw-Hill, 1990 2 期刊著录格式 [序号] 作者. 题名[J]. 刊名, 出版年份, 卷号(期号): 起止页码 例: [4] 李旭东, 宗光华, 毕树生, 等. 生物工程微操作机器人视觉系统的研究[J]. 北京航空航天大学学报, 2002, 28(3): 249~252 [5] Li Xudong, Zong Guanghua, Bi Shusheng, et al. Research on global vision system for bioengineering-oriented micromanipulation robot system[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2002, 28(3): 249~252(in Chinese) 3论文集著录格式 [序号] 作者. 题名[A]. 见(英文用In): 主编. 论文集名[C]. 出版地: 出版者, 出版年. 起止页码 例: [6] 张佐光, 张晓宏, 仲伟虹, 等. 多相混杂纤维复合材料拉伸行为分析[A]. 见: 张为民编. 第九届全国复合材料学术会议论文集(下册)[C]. 北京: 世界图书出版公司, 1996. 410~416 例: [7] Odoni A R. The flow management problem in air traffic control[A]. In: Odoni A R, Szego G, eds. Flow Control of Congested Networks[C]. Berlin: Springer-Verlag, 1987. 269～298 4 学位论文著录格式 [序号] 作者. 题名[D]. 保存地点: 保存单位, 年 例: [8] 金宏. 导航系统的精度及容错性能的研究[D]. 北京: 北京航空航天大学自动控制系, 1998 5 科技报告著录格式 [序号] 作者. 题名[R]. 报告题名及编号, 出版年

毕业设计论文结束语怎么写

毕业设计论文结束语怎么写毕业论文写到最后，都需要写相应的结束语，那么具体应该怎么写呢?以下是小编整理的关于论文的相关内容，欢迎阅读和参考！ 毕业设计论文结束语怎么写经过了两个多月的学习和工作，我终于完成了《##########》的论文。从开始接到论文题目到系统的实现，再到论文文章的完成，每走一步对我来说都是新的尝试与挑战，这也是我在大学期间独立完成的最大的项目。在这段时间里，我学到了很多知识也有很多感受，从对博客一无所知，对ASP，ADO等相关技术很不了解的状态，我开始了独立的学习和试验，查看相关的资料和书籍，让自己头脑中模糊的概念逐渐清晰，使自己非常稚嫩作品一步步完善起来，每一次改进都是我学习的收获，每一次试验的成功都会让我兴奋好一段时间。从中我也充分认识到了博客这一新兴的出版方式给我们生活带来的乐趣，在属于自己的网络空间上，尽情宣泄自己的情感，表达自己的感受，并且把自己的想法与他人分享，我也有了一个属于自己的博客空间。 虽然我的论文作品不是很成熟，还有很多不足之处，但我可以自豪的说，这里面的每一段代码，都有我的劳动。当看着自己的程序，自己成天相伴的系统能够健康的运行，真

是莫大的幸福和欣慰。我相信其中的酸甜苦辣最终都会化为甜美的甘泉。 这次做论文的经历也会使我终身受益，我感受到做论文是要真真正正用心去做的一件事情，是真正的自己学习的过程和研究的过程，没有学习就不可能有研究的能力，没有自己的研究，就不会有所突破，那也就不叫论文了。希望这次的经历能让我在以后学习中激励我继续进步。 四年的大学生活就快走入尾声，我们的校园生活就要划上句号，心中是无尽的难舍与眷恋。从这里走出，对我的人生来说，将是踏上一个新的征程，要把所学的知识应用到实际工作中去。 回首四年，取得了些许成绩，生活中有快乐也有艰辛。感谢老师四年来对我孜孜不倦的教诲，对我成长的关心和爱护。 学友情深，情同兄妹。三年的风风雨雨，我们一同走过，充满着关爱，给我留下了值得珍藏的最美好的记忆。 在我的十几年求学历程里，离不开父母的鼓励和支持，是他们辛勤的劳作，无私的付出，为我创造良好的学习条件，我才能顺利完成完成学业，感激他们一直以来对我的抚养与培育。