兰州一中高二数学期末考试题及答案
集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
一、选择题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中．)
1．若抛物线y 2
=2px 的焦点与椭圆22162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．-2
B ．2
C ．-4
D ．4
2．(理)已知向量a =(3，5，-1)，b =(2，2，3)，c =(4，-1，-3)，则向量2a -3b +4c 的坐标为( )
A ．(16，0，-23)
B ．(28，0，-23)
C ．(16，-4，-1)
D ．(0，
0，9)
(文)曲线y =4x -x 2上两点A (4，0)，B (2，4)，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为( )
A ．(1，3)
B ．(3，3)
C ．(6，-12)
D ．(2，4)
3．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2
=4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
4．已知双曲线22
2112
x y a -
=的离心率2，则该双曲线的实轴长为( ) A ．2 B ．4
C ．23
D ．43
5．在极坐标系下，已知圆C 的方程为?=2cos θ，则下列各点中，在圆C 上的是( )
A ．(1，-3π)
B ．(1，6
π
) C ．(2，34π)
D ．2，54
π
)
6．将曲线y =sin3x 变为y =2sin x 的伸缩变换是( )
A ．312
x x y y '=???'=??
B ．312
x x
y y '=???'=??
C ．32x x y y '
=??'=?
D ．32x x
y y
'=??'=?
7．在方程sin cos 2x y θ
θ
=??=?(?为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( )
A ．(2，-7)
B ．(1，0)
C ．(12，12
)
D ．(13，23
)
8．极坐标方程?=2sin ?和参数方程231x t
y t =+??=--?(t 为参数)所表示的图形分别为
( )
A ．圆，圆
B ．圆，直线
C ．直线，直线
D ．直线，圆
9．(理)若向量a =(1，?，2)，b =(2，-1，2)，a 、b 夹角的余弦值为8
9
，
则?=( )
A ．2
B ．-2
C ．-2或2
55
D ．2或-2
55
(文)曲线y =e x +x 在点(0，1)处的切线方程为( ) A ．y =2x +1 B ．y =2x -1 C ．y =x +1 D ．y =-x +1
10．(理)已知点P 1的球坐标是P 1(4，2π，53π)，P 2的柱坐标是P 2(2，6
π
，1)，
则|P 1P 2|=( )
A ．21
B ．29
C ．30
D ．42
(文)已知点P 在曲线f (x )=x 4
-x 上，曲线在点P 处的切线垂直于直线x +3y =0，则点P 的坐标为( )
A ．(0，0)
B ．(1，1)
C ．(0，1)
D ．(1，0)
11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若点M 在以AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范围为( )
A ．(32，+∞)
B ．(1，32
) C ．(2，+∞)
D ．(1，2)
12．从抛物线y 2
=4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |=5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( )
A ．5
B ．10
C ．20
D 15
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在试卷的答题卡中．)
13．(理)已知空间四边形ABCD中，G是CD的中点，则
1
()
2
AG AB AC
-+=
．
(文)抛物线y=x2+bx+c在点(1，2)处的切线与其平行直线bx+y+c=0间的距离是．
14．在极坐标系中，设P是直线l：?(cosθ+sinθ)=4上任一点，Q是圆C：?2=4?cosθ-3上任一点，则|PQ|的最小值是________．
15．(理)与A(-1，2，3)，B(0，0，5)两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件为__________．
(文)函数f(x)=ax3-x在R上为减函数，则实数a的取值范围是__________．
16．如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点．若AB=4，BC=3，则此双曲线的标准方程为_____________________．
三、解答题：(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本题满分12分)
双曲线与椭圆
22
1
2736
x y
+=有相同焦点，且经过点(15，4)，求其方程．
18．(本题满分12分)
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：415
315x t y t ?=+????=--??
(t 为参数)，若
以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程
为?=2cos(θ+4
π
)，求直线l 被曲线C 所截的弦长．
19．(本题满分12分)
已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (-3，m )到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m 的值．
20．(本题满分12分)
(文)已知函数f (x )=x 2
(x -a )．
(1)若f (x )在(2，3)上单调，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )在(2，3)上不单调，求实数a 的取值范围．
(理)(本题满分12分)
如图，四棱锥P —ABCD 的底面是矩形，PA ⊥面ABCD ，
PA =219，AB =8，BC =6，点E 是PC 的中点，F 在AD 上且AF ：FD =1：2．建立适当坐标系．
(1)求EF 的长； (2)证明：EF ⊥PC ．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
( )内为文科答案
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．)
13．(理)
1
2
BD (文)
3
2
2
14．21
-
15．(理)2x-4y+4z=11 (文)a≤0 16．x2-
2
3
y
=1
三、解答题：(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本题满分12分)
解：椭圆
22
1
3627
y x
+=的焦点为(0，?3)，c=3，………………………3分设双曲线方程为
22
22
1
9
y x
a a
-=
-
，…………………………………6分
∵过点(15，4)，则
22
1615
1
9
a a
-=
-
，……………………………9分得a2=4或36，而a2<9，∴a2=4，………………………………11分
双曲线方程为
22
1
45
y x
-=．………………………………………12分18．(本题满分12分)
解：将方程
4
1
5
3
1
5
x t
y t
?
=+
??
?
?=--
??
(t为参数)化为普通方程得，3x+4y+1=0，………3分
将方程?2θ+
4
π
)化为普通方程得，x2+y2-x+y=0，……………6分它表示圆心为(
1
2
，-
1
2
)，半径为
2
2
的圆，…………………………9分则圆心到直线的距离d=
1
10
，…………………………………………10分弦长为22
117
21005
r d
-=-=．…………………………………12分
20．(文)(本题满分12分)
解：由f (x )=x 3
-ax 2
得f ′(x )=3x 2
-2ax =3x (x -
23
a
)．…………3分 (1)若f (x )在(2，3)上单调，则23a ≤0，或0<23
a
≤2，解得：a ≤3．…………6分
∴实数a 的取值范围是(-∞，3]．…………8分 (2)若f (x )在(4，6)上不单调，则有4<
23
a