高三复习二项式定理知识
点题型方法归纳
Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
绵阳市开元中学高2014级高三复
习
《二项式定理》知识
点、题型与方法归纳
制卷：王小凤学生姓名：
___________
一．知识梳理
1．二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n ∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．其中的系数C r n(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．式中的C r n a n－r b r叫二项展开式的通项，用T r＋1表示，即通项T
r＋1
＝C r n a n－r b r.
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1
n
，C n n.
3．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即
r n r
n n
C C-
=
(2)增减性与最大值：二项式系数
C k n，当k＜
n＋1
2
时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项2
n
n
C取得最大值；当n是奇数时，中间两项
11
22
n n
n n
C C
-+
=
取得最大值．
(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n ＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n；
C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n ＋…＝2n－1.
一个防范
运用二项式定理一定要牢记通项
T
r＋1
＝C r n a n－r b r，注意(a＋b)n与(b ＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．
一个定理
二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． 两种应用
(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．
(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质
(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和； 二．题型示例
【题型一】求()n
x y +展开特定项
例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( ) 解：由条件得C 5n 35＝C 6n 36
，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3， ∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选 B. 例2：(2014·大纲)? ????x
y
－y x 8的
展开式中x 2y 2的系数为________.(用数字作答) 解：? ????x
y
－y x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r
8? ????x y 8－r ?
????
－y x r
＝()33842
2
8
1r r r
r
C x
y
---，
令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r
－4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70. 【题型二】求()()m n a b x y +++展开特定项
例1：在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74 B ．121
C ．－74
D ．－121
解析 展开式中含x 3项的系数
为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 3
7(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.
【题型三】求()()m n
a b x y +?+展开特定项
例1：(2013·全国课标卷Ⅱ)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中
x 2的系数为5，则a ＝( )
A.－4
B.－3
C.－2
D.－1 解：(1＋ax )(1＋x )5的展开
式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x
2
＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.
∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D. 例2：(2014·浙江卷)在(1＋x )6(1＋y )4
的展开式中，记
x m y n 项的系数为f (m ，n )，则
f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)
＋f (0，3)＝( )
A ．45
B ．60
C ．120
D ．210 解析 在(1＋x )6的展开式
中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4
的展开式中，y n 的系数为C n 4，
故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 2
4
＝36，f (0，3)＝C 3
4＝4，所以
f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C. 例3：已知数列{}n a 是等差数列，且6710a a +=，则在
1212()()()x a x a x a ---的展开式
中，11
x 的系数为_______.
解：11x 的系数为
121267()6()60a a a a a -+++=-+=-。 【题型四】求()n x y z ++展开
特定项
例1：求? ??
??x 2＋1x ＋25(x >0)的展开式经整理后的常数项.
解法一：? ??
??x 2＋1x ＋25
在x ＞
0时可化为? ????
x 2
＋1x 10，
因而T r ＋1＝C r
10? ??
?
?1210－r
()x 10－2r ，则r ＝5时为常数项，即C 5
10·? ??
??125＝6322.
解法二：所给的式子为三项
式，采用两个计数原理求解. 分三类：①5个式子均取
2，则C 5
5()25
＝42；
②取一个x 2，一个1
x
，三个2，则C 15? ????12C 14()23＝202；
③取两个x 2，两个1
x ，一个2，则C 25? ??
??122C 232＝1522.
所以，常数项为42＋202＋1522＝632
2
.
点拨：三项式的展开式问题，通常可用解法一化为二项式问题，或用解法二化为计数问题.
例2：若将10)(z y x ++展开为
多项式，经过合并同类项后它的
项数为（ ）． A ．11 B ．33
C ．55
D ．66
解：展开后，每一项都形如
a b c x y z ，其中10a b c ++=，该方
程非负整数解的对数为210266C +=。 例3：[2015·课标全国卷Ⅰ](x 2＋x ＋y )5
的展开式中，x 5y 2的系数为( )
A ．10
B ．20
C ．30
D ．60
解析 易知T r ＋1＝C r
5(x 2＋
x )5－r y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25
(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋
x )3，由T t ＋1＝C t
3(x 2)3－t x t ＝C t 3
x 6－t ，令t ＝1，所以x 5y 2的
系数为C 25C 13＝30.
【题型五】二项式展开逆向问题
例1：(2013·广州毕业班综合测试)若
C 1n ＋3C 2n ＋32C 3n ＋…＋3n －2C n －1
n ＋3n －1＝85，则n 的值为( )
.4 C
解：由C 1n ＋3C 2n ＋…＋3
n －2C n －1
n ＋3n －1
＝13
[(1＋3)n －1]＝85，解
得n ＝4.故选B.
【题型六】赋值法求系数（和）问题
例1：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.
求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；
(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；
(4)||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7.
解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2
＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①
令x ＝－1，则a 0－a 1＋
a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②
(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.
(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3
＋a 5＋a 7＝－1－37
2
＝－1094.③
(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2
＋a 4＋a 6＝－1＋3
7
2
＝1093.④
(4)∵(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，
∴||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)，
∴所求即为④－③(亦即②)，其值为2187.
点拨：①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可
.②若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）
2
，偶数项系数
之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）
2
.
例2：设? ??
??22＋x 2n
＝a 0＋a 1x
＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n
，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n
－1)2
＝_______________________.
解：设f (x )＝? ????22＋x 2n
，
则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2
－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －a 1－a 3－a 5－…－a 2n －1)(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＋a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＝f (－1)·f (1)＝? ????22－12n ·? ??
??22＋12n ＝? ???
?－122n
＝? ??
??14n . 例3：已知(x ＋1)2(x ＋2)2014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2
＋…＋
a 2016(x ＋2)2016
，则a 12＋a 222＋a 3
2
3＋…
＋
a 2016
22016
的值为______. 解：依题意令x ＝－3
2
，得
? ????－32＋12? ????－32＋22014＝a 0＋a 1? ????－32＋2＋a 2? ????－32＋22
＋…＋a 2016? ??
??－32＋22016，令x ＝－2得
a 0＝0，则a 12
＋a 22
2＋a 32
3＋…＋a 2016
2
2016＝
? ??
??122016. 【题型七】平移后系数问题 例1：若将函数f (x )＝x 5
表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5, 其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____________.
解法一：令x ＋1＝y ，(y －1)5＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋…＋a 5y 5，故
a 3＝C 25(－1)2
＝10.
解法二：由等式两边对应项系数相等.即：???
a 5＝1，
C 45a 5＋a 4＝0，
C 35a 5
＋C 34
a 4
＋a 3
＝0，
解得a 3
＝10. 解法三：对等式：f (x )＝x 5
＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5两边连续对x 求导三次得：60x 2＝6a 3＋24a 4(1＋x )＋60a 5(1＋x )2，再运用赋值法，令
x ＝－1得：60＝6a 3，即a 3＝10.故填10.
【题型八】二项式系数、系数最大值问题
例1：? ?
???x ＋12x n 的展开式中
第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________． 解析 由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n ＝9，? ?
???x ＋12x 9展开式的第四项为
T 4＝C 3
9
·(x )6
·? ??
??12x 3＝21
2.
例2：把(1－x )9的展开式按
x 的升幂排列，系数最大的项是第________项 A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析 (1－x )9展开式中第r
＋1项的系数为C r 9(－1)r
，易知当
r ＝4时，系数最大，即第5项系数最大，选B.
例3：(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
解：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6
n
(2x )6，依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26
，
解得n ＝8.所以(1＋2x )8
的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝
C 48·(2x )4＝1 120x 4
.
设第r ＋1项系数最大，则有???C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，
解得5≤r ≤6.所以r ＝5或r ＝6，所以系数最大的项为T 6＝1 792x 5或T 7＝1 792x 6.
点拨：
(1)求二项式系数最大项：①如果n 是偶数，则中间一项? ??
??
第n 2＋1项的二项式系数最大；②如果n 是奇数，则中间两项(第n ＋12项与第n ＋1
2
＋1项)的二项式系数相等并最大.(2)求展开式系数最大项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等
式组???A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，
从而解出r ，即得
展开式系数最大的项.
【题型九】两边求导法求特定数列和
例1：若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋
a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________．
解析 原等式两边求导得5(2x －3)4·(2x －3)′＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令上式中x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝10. 【题型十】整除问题
例1：设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则
a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．11
D ．12 解析 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a
＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011
＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)
2 012＋a ， ∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)
2 011能被13整除．
且512 012＋a 能被13整除，∴
C 2 0122 012·(－1)
2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除． 因此a 可取值12.
例2：已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 除以m 所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod 4).若22015≡r (mod 7)，则r 可能等于( )
.2014 C
解：22015＝22×23×671＝4×8671
＝4(7＋1)671＝4(7671＋C 16717670
＋…＋C 6706717＋1).因此22015
除以7的余数为4.经验证，只有2013除以7所得的余数为4.故选A. 三．自我检测
1、(2013·青岛一检)“n ＝5”是
“?
?
????2x ＋13x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不
充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2、已知C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2n C n n＝729，则C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n等于( )
A．63 B．64 C．31 D．32 3、组合式C0n－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)n C n n的值等于 ( )
A．(－1)n
B．1
C．3n
D．3n－1
4、若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________．
5、已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a
2
(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝( )
A．－180
B．180
C．45
D．－45
6、(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为 ( )
A．10
B．－10
C．2
D．－2
7、(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是________．8、在
3450
(1)(1)(1)
x x x
++++++的展开式中，3x的系数为（）
A. 3
51
C B. 4
50
C C.
4
51
C D. 4
47
C
9、在(x＋1)(2x＋1)…(nx＋1)(n ∈N*)的展开式中一次项系数为( )
A．C2n B．C2n
＋1
C．C n－1
n
C3n
＋1
10、(2015·安徽合肥二检)(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为________