中国人口增长预测
摘要
本文从中国人口的实际情况和人口增长的特点出发，根据题目和中国统计年鉴中的相关数据，建立了两个关于中国人口增长的数学模型，并对中国人口做出了分析和预测。
模型一：利用中国统计年鉴中 2000—2005 年人口的数据，运用灰色理论的基本原理建立 GM(1,1) 模型。该模型利用离散数据列进行生态处理，建立动态的微分方程，对我国近5年、10年、20年的总人口分别进行了预测。又根据中国人口城乡分布不同且总趋势也不同的特点，把全国人口分为城市人口、城镇人口、乡村人口三部分分别进行灰色预测。结果表明，该模型较好的反映并预测中国人口短中期和长期的变化情况。
模型二：按人口年龄结构特征，将人口分为幼年（0—14岁）男女、中年（15—49岁）男女、老年（50岁以上）男女。各年龄段的人口变化是由出生率、死亡率和转化为其他年龄段的转化人数决定的。根据各年龄段人口数量变化特点，对各年龄段转化人数引入转化因子，改进马尔萨斯模型，附带出生率、死亡率、生育率、出生性别比率等约束条件，建立了新的具有年龄结构的人口增长模型。结合我国人口的特点，运用已知数据和利用微分方程的数值解，预测出男性和女性幼年、中年、老年的人口数量。可反映中国不同年龄结构的人口分布情况。
关键词：灰色预测；小误差频率；微分方程组；人口模型；转移因子
一．问题重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。因此人口预测的科学性、准确性是至关重要的。英国人口学家马尔萨斯的人口指数增长模型和荷兰生物学家的Logistic模型都是经典的人口预测模型。但是，影响中国人口的因素较多，人口结构较复杂，这些模型对人口预测很粗略，甚至是不准确的。因此，我们要根据我国具体的人口结构现状（如老龄化进程加速）、人口的分布现状（如乡村人口城镇化）、人口比率现状（如出生人口性别比持续升高）等特点，来较准确、较具体地对中国人口进行预测，建立人口增长的数学模型，由此对中国人口中短期和长期增长趋势做出预测。
另外，由于影响人口因素所起的作用不同，按照重要次序考虑关键部分的因素作用，我们要对模型的优缺点做出说明和评判。
二．问题分析
人口预测方法很多,主要有一元线性回归法、人口自然增长法、马尔萨斯指数增长法、指数平滑法、指数增长法、Logistic法、宋健模型法和GM(1,1) 法等。不同的方法具有不同的适用范围和特点：一元线性回归法适用于数据直线趋势较明显的预测；自然增长率等资料准确可靠时,可采用人口自然增长法或马尔萨斯法；历史数据较少时,可采用指数平滑和移动平均数法；宋健模型法用于短期预测的精度较高；数据情况复杂并暗藏指数规律时可采用GM(1,1) 模型法。
三．模型建立与求解
3.1 模型一：灰色分析与预测模型
灰色系统理论主要应用于灰色控制、灰色分析、灰色预测、灰色规划、灰色决策等方面。灰色系统的一个基本观点是: 一切随机量都看作是在一定范围内变化的灰色量。对灰色量的处置不是找概率分布, 求统计规律, 而是用数据处理即数据生成的方式来找数据间规律。灰色系统理论的核心是GM(1,1) 模型。它是利用离散数据列进行生态处理后所建立的微分方程型的动态模型。
灰色预测
GM(Gery Model) 模型是进行系统动态分析和预测的模型, 模型推理主要可归纳为:
(1) 灰色系统理论基于关联空间概念及光滑离散函数的性质, 定义了灰导数, 灰微分方程, 从而建立灰微分方程模型;
(2) GM(1,1)模型对原始数据列采用生成的数据处理方法, 获得随机弱化, 规律性
强化的生成数列,所以GM 模型是生态数据模型;
(3) GM(1,1)模型的检验方法有: 残差检验、关联度检验和后验差检验; (4) 应用GM(1,1)模型进行预测所获得的数据,需要逆生成还原后才能使用。 GM(1,1)模型预测方法
(1) 设原始时间数据序列如下：
)0(x ：),1()0(x ),2()0(x (0)(3),x 0
()x
n
(2) 作(0)k X 的一次累加，得到(1)()K X ，
(1)k X ：(1)(1)
(1)(1)(2)(){,,......}n X X X
(3)构造B 矩阵, B 为均值生成数据矩阵，
(1)(1)
(1)(2)(1)(1)(2)
(3)
(1)
(1)
(1)()1()121()
121()12
n n X X X X B X X -??-+ ?
? ?-+ ?=
?
? ?-+ ???
(4)构造数据向量 Y 。 向量 Y 为原始数据向量。
(0)(0)(0)(2)(3)()
[,,......,]T
n Y X X X = (5)辨识微分方程参数。白化形式的微分方程为:
(1)
(1)dx +ax =u dt
式中的u ，a 为待估计的参数，可由以下方法求得： 计算A 向量
1
()T
T
a A B B B Y u -??
== ???
a 和u 组成的参数向量A 可由最小二乘法进行辩识。
(6) 建立GM(1,1)模型
(1)(0)(1)()(1)??a k k u u X X e a a --??=-+????
其中 2k ≥。
(7) 模型精度的检验
a. 后验差检验
预测(拟合) 的精度用后验差方法检验。 设原始数据的均值为(0)
X
(0)
(0)()1
1n K k X
X n ==∑ 则方差为21S
2
(0)2
(0)1()11n K k S X X N =??=-???
?∑ 又设拟合的残差为()k e
(0)(0)()()()?k K K e X X =-；
其残差的均值为e
()1
1n
k k e e n ==∑；
则残差的方差为2
2S
2
2
2
()1
1n
k k S e e n =??=-??∑； 后验差比例C 为：
2
1
S C S =
小误差频率P 为：
()
()0.67451k P P e e S =-<
检验标准见表1。
——————————————————————模型精度 P C
——————————————————————好 >0.95 <0.35合格 >0.80 <0.50勉强 >0.70 <0.65不合格 ≤≥ 0.70 0.65 ——————————————————————
表1 模型检验标准
b. 残差大小检验：对模型值和实际值的误差进行逐点检验,是一种直观的逐点进行比较的算术检验。
定义残差(0)(0)()()()k x k X k ε=- ,则残差序列(0)[(1),(2),......()]n εεεε= ,定义
(0)()
||()k k x k ε?=，平均模型相对误差为1
1n
k k n =?=?∑，给定α,当△<α成立时，称模型为残
差合格模型。
c. 关联度检验：通过考察模型曲线与建模序列曲线的相似程度进行检验,属几何检验。(0)x 的关联度为:
(0)(0)(0)(0)21
|||[()(1)][()(1)]|2n
k s x k x x n x ==-+-∑
关联度1||||
1||||||
s S s S S s ε++=+++-，若对于给定的0ε ,有0>εε ,则称模型为关联度合
格模型。
(8) 预测。设需要预测的时段为T ，用GM 求出 X (1)(T)和 X (1)(T-1)，则 X X X =-(0)(1)(1)
(T)(T)(T-1)。
3.2 模型一求解
3.2.1 用灰色理论对中国一定时期的总人口数进行分析并作预测。
(1)首先选择2001年——2005年的数据
(0)()K X ={ 127627, 128453, 129227, 129988, 130756}
(2)作(0)()K X 的一次累加得到(1)
()K X
(1)()K X ={ 127627，256080，385307，515295，646051}
(3)构造矩阵B
B=1.0e+005 * -1.9185 0.0000 -3.2069 0.0000 -4.5030 0.0000 -5.8067 0.0000??
??????????????
, (4)构造向量Y
Y={128453, 129227, 129988, 130756}
(5)识别微分方程参数，计算向量A
1()T T a A B B B Y u -??== ???= 1.0e+005 * -0.0000 1.2732??
?
? ?
??
(6) 建立GM(1,1)模型,利用
(1)(0)(1)()(1)a k k u u X X e a a --??=-+???
? 得 (1)()k X =1.0e+005 * 1.2763 2.5608 3.8530 5.1529 6.4605?? ???
利用
(0)(1)(1)()()(1)k k k X X X -=-求得
(0)()k X =1.0e+005 * 1.2763 1.2846 1.2922 1.2999 1.3076?? ???
(7)选用后验差检验进行模型精度检验。得
1.0000000.003558P C ????
= ? ?????
参照表1，该结果符合模型检验标准，精确度好，用该模型对选择数据进行分析处理是可行的。
(8)作预测。设需要预测的时段为T ，用GM 求出 X (1)(T)和 X (1)(T-1)，则
X X X =-(0)(1)(1)
(T)(T)(T-1)。
用 X X X =-(0)(1)(1)
(T)(T)(T-1)直接求出的值偏差会增大，我们将预测得到的结果加到实际值
中，通过比较这样做预测的结果更好。
选择2001年～2005年人口总量数据, 模型精度P =1.000000, C=0.003558。
2001
200220032004
200520062007200820092010
5
原始数据与预测数据
时间(年)
人口(万)
图1 2001～2005年的人口和预测值比较
通过图像及所得数据可以看出，预测效果很好。但数据比较少，用来做长期预测将因缺少参照使预测无意义。为此选用1978-2005年的数据做分析和预测。
选择1978年-2005年人口数据, 模型精度P=0.950000，C=0.298935，参照模型精度标准，该结果是合理的。预测5年，10年，20年的结果见图2，图3，图4。
1985
19901995
200020052010
1.11.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
5
原始数据与预测数据
时间(年)
人口(万)
图2 预测5年时间的人口和实际数据比较
1985
19901995
2000200520102015
5
原始数据与预测数据
时间(年)
人口(万)
图3 预测10年内的人口和实际数据比较
1985
1990
1995
2000
200520102015
2020
2025
5
原始数据与预测数据
时间(年)
人口(万)
图4 预测20年的人口数和实际数据比较
分析数据来自《中国统计年鉴——2006》，从历史数据及预测数据图可以看出，中国总人口有螺旋型盘旋向上发展的趋势，该模型的预测值正好处在螺旋的中心线处，并且该螺旋线的中心线距离并不大，因此用该模型做中短期预测是可行的，做长期预测的结果也可以供参考。
3.2.2 用灰色理论对中国一定时期的城镇人口数进行分析并作预测。
选用2001年-2005年，1989年-2005年两个时期的人口做5年期预测，其预测精度分别为：
第一个时期：P=1.000000, C=0.031286 第二个时期：P=1.000000, C=0.140279 两个精度都满足灰色预测精度标准。 其结果分别如图5，图6所示
4
原始数据与预测数据
时间(年)
人口(万)
图5 用2001年-2005年数据对城镇人口做5年预测
1985
1990
1995
2000
2005
2010
4
原始数据与预测数据
时间(年)
人口(万)
图6 用1989年-2005年数据对城镇人口做5年预测
3.2.3 对中国一定时期的乡村人口数进行分析并作预测。
选用与城镇人口一样的两个时期对乡村人口做分析预测，预测精度分别为： 第一个时期：P=1.000000, C= 0.027923 第二个时期：P=0.550000, C=0.777750
从精度上就可以做判断，第二个时期是不满足要求的，综合较长的时期对农村人口已经不能起指导作用了。但通过图象可以发现存在的问题，分别如图7，图8所示：
2001
200220032004
200520062007200820092010
4
原始数据与预测数据
时间(年)
人口(万)
图7 用2001年-2005年数据对乡村人口做5年预测
1985
19901995
200020052010
4
原始数据与预测数据
时间(年)
人口(万)
图8 用1989年-2005年数据对乡村人口做5年预测
从两图可看出，中国乡村人口是呈现下降趋势的，这与中国的城镇化建设有很大关系，同时随着GDP 的增长，人民生活水平的提高以及近几年新农村建设的推进都将直接或一定程度上影响乡村人口总数。图8所示在1990中国乡村出现了大转变，用该模型直接分析预测1989年以来的人口数据是不合适的，观察发现，如果将1990年前后分为
两段，而由灰色预测的特点，只选取近期的人口数据（即90年以后数据）即可。1990年-2005年中国乡村人口分析灰色分析的精度为：
P=1.000000, C=0.076164
结果符合模型精度标准，做中短期预测效果相当好，根据图象分析，在较短的一端时间内，尽管农村的生育率相对高些，由于在农村人口城市化的过程中，农村人数会有减少的趋势。根据流动人口的政策当农村城市一体化之后，农村的人口会达到稳定，或者减少的幅度会适当的缩小。原始数据预测数据图象如图9。
1995
2000
20052010
4
原始数据与预测数据
时间(年)
人口(万)
图9 用1995年-2005年数据对乡村人口做5年预测
预测人口的结果数据列表：
表2
总人口(2001-2005年)预测5年
原始值
127627 128453 129227 129988 130756
预测值
127627 1.284574e+005 1.292199e+005 1.299868e+005 1.307584e+005 1.315345e+005
1.323144e+005
1.330988e+005
1.338875e+005
1.346806e+005
表3
总人口1989-2005年预测5年
原始值112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756
预测值112704 1.154836e+005 1.165101e+005 1.175457e+005 1.185904e+005
1.196445e+005 1.207080e+005 1.217809e+005 1.228633e+005 1.239554e+005
1.250571e+005 1.261687e+005 1.272901e+005 1.284216e+005 1.295630e+005
1.307146e+005 1.318765e+005 1.330486e+005 1.342302e+005 1.354220e+005
1.366242e+005 1.378368e+005
表4
总人口1989-2005年预测10年
原始值112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756
预测值112704 1.154836e+005 1.165101e+005 1.175457e+005 1.185904e+005 1.196445e+005 1.207080e+005 1.217809e+005 1.228633e+005 1.239554e+005 1.250571e+005 1.261687e+005 1.272901e+005 1.284216e+005 1.295630e+005 1.307146e+005 1.318765e+005 1.330486e+005 1.342302e+005 1.354220e+005 1.366242e+005 1.378368e+005 1.390601e+005 1.402940e+005 1.415386e+005 1.427941e+005 1.440606e+005
3.3模型一结果分析
3.3.1 用灰色理论对中国一定时期的总人口数进行分析并作预测。
选择2001年-2005年人口总量数据, 预测效果很好。但数据太少，用来做长期预测
将因缺少参照使预测无意义。由图一，经分析未来5年我国人口总数呈上升趋势。由灰色理论根据中国年鉴统计人口数据预测到2010年中国人口总数达到13.468亿。这个值是符合实际的。
选择1989年-2005年人口总量数据,参照模型精度标准，该组数据精度是很好的。同样方法预测5年（2006年-2010年）的中国人口总数。到2010年中国人口总数达到13.690亿。这个值也是符合实际的。
10年（2006年-2016年）、20年（2006年—2026年）总人口数预测结果都较符合实际。
分析数据来自《中国统计年鉴—2006》是比较权威的，从历史数据的实际及预测数据图可以看出，中国总人口有螺旋型盘旋向上发展的趋势，该模型的预测值正好处在螺旋的中心线处，并且该螺旋线的中心线距离并不大，因此用该模型做中短期预测是可行的，做长期预测的结果也可以供参考。
3.3.2 用灰色理论对中国一定时期的城镇人口数进行分析并作预测。
选用2001年-2005年统计年鉴中城镇人口数据，其精度达到灰色预测较好值，做5年（2006年-2010年）城镇人口数据预测精度较好，
选用1978年-2005年统计年鉴中城镇人口数据，其精度达到灰色预测较好值，做5年期（2006年-2010年）城镇人口数据预测精度较好，
3.3.3 对中国一定时期的乡村人口数进行分析并作预测。
选用2001年-2005年统计年鉴中乡村人口数据时，通过灰色预测值与实际值吻合较好，且总人口呈下降趋势，其中的因素可以认为是有农村往城镇的流动人口造成的。预测了5年（2006年-2010年）乡村人口数据。乡村人口数据预测精度较好。
考虑了出生率、人口结构、人口分布，建立模型二对今后人口进行详细预测。
3.4 模型二分析
人口增长的速度受到出生率、死亡率的影响，随着生活水平的提高死亡率大大减小，又因为中国的人口基数大，所以增长的人数是在不断增大，由于中国占世界四分之一的人口，所以中国的人口对世界影响是巨大的，有限的环境、空间和资源都要求我们对人口的数量控制，人口素质和质量的问题在对整体的把握上我们在以下的分析中会有所涉及。
我们着重对人口数量的各个因素考虑综合解决人口问题的预测和控制问题，由于男女出生比例，出生率和死亡率对人口的增长规模都有影响，老龄化的增长对人口的稳定发展起消极作用，人口的年龄结构对人口和经济发展以及资源利用甚至可持续发展起到不同的作用，这些因素综合考虑在内对人口数量建立以下的模型：
3.5模型二假设
1．假设农村人口、城市人口和城镇人口之间的出生率不影响所统计的数据。
2．假设育龄期男女比例对出生率影响不大。
3.6模型二建立
Malthus 人口增长模型
dp
kp dt
= 在描述人口增长方面，仅考虑了出生率和死亡率两个因素。它预测人口数量随时间按照指数增长。当人口数量不大时，马氏模型在一定程度上反应了人口增长规律，但当人口数量较大时，马氏模型出现了较大偏差。
后来，逻辑斯蒂发现了改进的人口增长模型
(),0dp
r M p p r dt
=-> Logistic 人口增长模型是具有广泛应用的生物种群模型，可以用于物种竞争，产品销售，及未来人口的预测。事实上，人口增长受到多种因素的影响。就出生率和死亡率来讲，都受到很多因素如：婴儿死亡率，具有生育能力人群的比例及他们的死亡率，婴儿出生性别比，还包括人们对生育的态度卫生环境条件等等。因此，试着建立一个能比较综合反应人口增长的数学模型，来描述中国的人口增长并根据模型的实用性做出中短期长期的预测。
为简便，先建立增长率为线性的增长模型，
12dp
k A k B dt
=+ 其中a 为男性人口，b 为女性人口，1k ，2k 分别为男性人口，女性人口的比例因子。
123A A A A =++； 123B B B B =++；
由于处在育龄期的人群比重对人口总数影响较大。我们将人口分幼年、中年和老年。划分标准：按照0—14岁为幼年期，15—64岁为劳动年龄，65岁以上作为老龄化的三个结构。（说明：按照生育率这个影响因素，在15—49岁的女性处在育龄期，刚好处在劳动年龄这一区间中。在讨论老龄化问题的时候年龄界定在65岁以上，如果在模型中将中年年龄限制在15—49岁，会有50—64岁这个年龄区间的空缺，但如果把这一年龄段单独拿出来讨论会增加模型的复杂性，所以把50—64岁人群的年龄划到中年年龄段里作为劳动年龄来分析，这样设对模型的求解和整体预测做到宏观的指导作用。
年龄动态变化的因素,时刻都有新生儿的出现，不停地从幼年到劳动年龄的转化以及从劳动年龄转化为老年人群的改变,在各个年龄组都会有死亡现象的发生,威胁着全中国的人口数量。
幼年期的男孩人口数跟男婴的出生率、男女出生比例、向中年男性转化率以及幼年
的死亡率有关；劳动年龄的男性是由幼年男性转化来还有劳动年龄死亡率影响，还有一部分向老年过渡；老年时期的人群在理想假设的条件下，只有去世的和劳动年龄的人群转化来的，构成这样的动态变化的年龄体系。女性的年龄结构可以类似地推理分析。对各个年龄段内的男女比例都考虑在内，尤其是15～49岁年龄男女比例对生育率的作用是非常敏感的，这样就比较能精确地分析。
针对人口总数问题,我们建立以下六个微分方程:
1111121132()
()()()dA t a A t a A t b xbB t dt
=--+； （1） 2212121222()
()()()dA t a A t a A t a A t dt
=-+-； （2） 3313222()
()()dA t a A t a A t dt
=-+；
（3） 1111121132()
()()(1)()dB t b B t b B t b xb B t dt
=--+-； （4） 2212121222()
()()()dB t b B t b B t b B t dt
=-+-； （5） 3313222()
()()dB t b B t b B t dt
=-+。
（6）
方程式中的符号说明：
A ：男性人口总数；
B ：女性人口总数；
1A ：男性幼年的人口数，即男性0~14岁的人口数； 1B ：女性幼年的人口数，即女性0~14岁的人口数； 2A ：男性劳动年龄的人口数，即男性15~64岁的人口数； 2B ：女性劳动能力的人口数，几女性15~64岁的人口数；
3A ：男性老年人口数，即男性65岁以上的人口数； 3B ：女性老年人口数，即女性65岁以上的人口数； 13b ：生育率；
bx ：性别比例；
11a ：男性幼年时期的死亡率； 21a ：男性劳动年领时期的死亡率； 31a ：男性老年人的死亡率；
12a ：男性从幼年时期到劳动年龄的转化率； 22a ：男性从劳动年龄到老年时期的转化率； 11b ：女性幼年时期的死亡率；
交巡警服务平台的设置与调度 摘要 由于警务资源有限，需要根据城市的实际情况与需求建立数学模型来合理地确定交巡警服务平台数目与位置、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。设置平台的基本原则是尽量使平台出警次数均衡，缩短出警时间。用出警次数标准差衡量其均衡性，平台与节点的最短路衡量出警时间。 对问题一，首先以出警时间最短和出警次数尽量均衡为约束条件，利用无向图上任意两点最短路径模型得到平台管辖范围，并运用上下界网络流模型优化解,得到A区平台管辖范围分配方案。发现有6个路口不能在3分钟内被任意平台到达，最长出警时间为5.7分钟。 其次，利用二分图的完美匹配模型得出20个平台封锁13个路口的最佳调度方案，要完全封锁13个路口最快需要8.0分钟。 最后，以平台出警次数均衡和出警时间长短为指标对方案优劣进行评价。建立基于不同权重的平台调整评价模型，以对出警次数均衡的权重u和对最远出警距离的权重v 为参数，得到最优的增加平台方案。此模型可根据实际需求任意设定权重参数和平台增数，由此得到增加的平台位置，权重参数可反映不同的实际情况和需求。如确定增加4个平台，令u=0.6，v=0.4，则增加的平台位置位于21、27、46、64号节点处。 对问题二，首先利用各区平台出警次数的标准差和各区节点的超距比例分析评价六区现有方案的合理性，利用模糊加权分析模型以城区的面积、人口、总发案次数为因素来确定平台增加或改变数目。得出B、C区各需改变2个平台的位置，新方案与现状比较，表明新方案比现状更合理。D、E、F区分别需新增4、2、2个平台。利用问题一的基于不同权重的平台调整评价模型确定改变或新增平台的位置。 其次，先利用二分图的完美匹配模型给出80个平台对17个出入口的最优围堵方案，最长出警时间12.7分钟。在保证能够成功围堵的前提下，若考虑节省警力资源，分析全市六区交通网络与平台设置的特点，我们给出了分阶段围堵方案，方案由三阶段构成。最多需调动三组警力，前后总共需要29.2分钟可将全市路口完全封锁。此方案在保证成功围堵嫌疑人的前提下，若在前面阶段堵到罪犯，则可以减少警力资源调度，节省资源。 【关键字】：不同权重的平台调整评价模糊加权分析最短路二分图匹配
中国人口增长预测 摘要: 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。对此，我们建立了短期与长期两种预测人口增长的模型，并对附录中城镇乡的人口演变趋势做拟合与分析。 本文的建模过程选用了1996年到2005年的人口数据。短期人口预测用曲线的直接拟合，分析出人口的增长趋势。人口的出生率与死亡率均符合指数函数bt =+，利 y ae c 用logistic模型求出人口最大上限 x，据此拟合人口增长的指数函数x（t），预测 m 2006-2011年的人口数量。长期预测中，建立灰色动态模型GM（1,1）预测中国人口长期增长趋势。在解系数的过程中运用了最小二乘法，得出预测人口数据的方程)0(?x，并预测2011年到2015年的人口数量。在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。 关键词: 曲线拟合、灰色动态模型、最小二乘法、自然增长率
一、问题的重述 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。 二、符号说明 nianfen 年份 chusheng 出生率 bata0 估计的参数值 nlinfit 非线性拟合函数 1 y出生率函数 2 y死亡率函数 m x人口上限 t 时间 x（t）人口增长函数 X(0)中国各年人口总数 X(1) X(0)的一次累加序列 Z(1) X(1)的紧邻均值生成数列 -a 发展系数 b 灰色作用量 )0(?x人口预测值 c 均方差 k ?相对误差 三、模型的假设 1.假设人口迁入迁出对问题产生的影响可以忽略； 2.忽略社会环境、自然、经济、文化水平的对人口的影响； 3.长期预测中，不考虑出生率、死亡率等因素的影响。 四、模型的建立与求解 4.1中国人口短期预测的模型建立与求解 根据查找资料得到，人口死亡率，出生率与人口增长符合指数增长的模型bt y ae c =+。模型选取了1996年到2005年的全国人口进行nlinfit拟合。（代码见附录一） 处理人口增长函数时，考虑到人口数量受资源等因素的约束，中国人口将有一个上限。定义函数时，用“人口上限与指数函数相减”模式。死亡率、出生率等客观因素很大程度上影响着中国人口的变化趋势。而且随着环境等的因素，中国的总人口最终会趋 向一个固定值，即最大容纳量x m，由logistic模型求出。假设x m 在短时间内不会改变， 则可利用逐年的历史数据来计算出人口增长率的变化情况。 设x(t)为第t年中国总人口数，r为人口的增长率，x m 为中国人口的最大容纳量。
摘要 以2010年11月1日零时为标准时点，中国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共13.397亿。13亿是一个忧虑的数字。13亿人要吃饭、要穿衣、要上学、要就业、要住房……，消费的需求乘以13亿，就是一个庞大的数目，而我国的耕地、水资源、森林以及矿产资源本来就稀缺，再除以13亿，就少得可怜。平均每人耕地面积只有1.4亩，水资源只相当于世界人均水平的1/4…….、 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。当前中国的人口存在着最为明显的三大特点：（1）人口基数大，人口数量的控制难度仍很大。（2）人口整体素质不高，特别是县域及以下农村人口素质普遍偏低。（3）人口结构不合理，城乡差别、地区差别和人口素质差别很大。 人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表： 有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。 长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。 我国人口问题已积重难返，对我国人口进行准确的预测是制定合理的社会经济发展规划
中国人口预测模型 摘要 本文对人口预测的数学模型进行了研究。首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下： 其次，建立Leslie人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为 负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。 最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性 关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie人口模型BP神经网络
一、问题重述 1. 背景 人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。 2. 问题 人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。 二、问题的基本假设及符号说明 问题假设 1． 假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。 2． 假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的人口迁移问题。 3． 不考虑战争 瘟疫等突发事件的影响 4． 在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。 5． 假设各年龄段的育龄妇女生育率呈正态分布 6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法。 7.中国各地各民族的人口政策相同。 符号说明 ()i a t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数 ()i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数占总人口的比例 ()k i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段中第k 年龄值人口总数占总人口 的比例 ()A t --------------------第t 时间区间内各年龄段人口总数的向量 ()P t --------------------第t 时间区间各年龄段人口总数向量转移矩阵
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全 名）：参赛队员（打印并签名）：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
眼科病床的合理安排 摘要 病床是医院的重要卫生资源，其使用情况是反映医院工作效率的重要指标，合理分配床位、提高病床使用率对于充分利用医疗资源、提高医院的两个效益有着十分重要的意义。 本题针对某医院眼科病床分配中存在的不合理现象，让我们建立一个合理的病床安排模型，以解决病床的最优分配问题，从而提高对医院资源的有效利用。 针对问题一，本文制定的指标评价体系包括门诊相关指标集（病人平均等待时间、门诊等待平均队长、病人平均满意度）和病床相关指标集（出院者平均住院日数、病床平均工作日、病床平均周转率、实际病床利用率）。为了能够全面地评价出模型的优劣，本文采用目前普遍使用的密切值法、TOPSIS法和RSR法等综合评价方法，并对应建立了三个评价模型，以得出更为科学合理的结论。 针对问题二，本文建立了以病床需求数为状态转移变量、以各类病人的病床安排数为决策变量的动态规划模型。模型中，充分考虑了观测期内病人平均等待时间、病床平均周转率、病床利用率和潜在流失率等指标，且在制定寻优策略时，引入了病人满意度量化函数和优先级函数，使得模型更加合理。通过Matlab 对该模型求解，得出了次日病床安排方案（结果见表4）。 综合评价模型时，以该医院目前的病床安排方案和我国医院通用的病床安排方法为比较对象，借助上述三种评价方法和模型，进行了综合评价比较，从综合评价结果来看，本文的模型相对较优（评价结果见表9）。 针对问题三，本文既充分考虑了如何缩短病人平均等待时间和提高病床利用率，又兼顾了公平原则，根据病症的不同和就诊病人到院的顺序制订了优先服务策略，给出了每个病人相应的入住时间区间（见P18）。 针对问题四，由于住院部周六和周日不安排手术，对某些类型病人的病床安排产生了一定的影响，因此我们对问题二中模型的优先级函数进行了相应的调整，并利用Matlab进行了求解（结果见表10）。 为了判断手术安排时间是否改变，本文根据问题一的评价方法和模型对修改后的模型进行了综合评价，从评价结果得知，手术安排时间应该做相应的调整。 针对问题五，为了使所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短，本文建立了以其为目标函数且带约束条件的非线性规划模型，并利用了Lingo 软件对其进行求解，得出的结论是：分配给外伤、白内障（双眼）、白内障（单眼）、青光眼、视网膜疾病等各类型病人的床位数依次为：8、16、12、21、22，分别占总床数的比例为：10.13%、20.25%、15.19%、26.58%、27.85%。 最后，本文对所建模型的优点和缺点进行了客观的评价，认为本文研究的结果在实际医院病床安排中有一定的参考价值。 关键词：病人平均等待时间；实际病床利用率；RSR 法；满意度量化函数；动态规划模型；非线性规划 1.问题重述 医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，
数学建模l o g i s t i c人口 增长模型 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测的效果好并结合中国实情分析原因。 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再 增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为 )1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ? ??=-=0 )0()1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')
中国人口增长趋势预测 摘要 人口总数的预测对未来资源分配，划分有着重要的意义，本文根据人口预测模型结合所给数据进行人口预测，并进行模型改进结合最小二乘法拟合出较理想的人口变化趋势。 第一问中，采用Logistic模型描述了人口的增长规律，通过简要的假设设置相应的预测系数 第二问中，根据表中所给的数据，运用Matlab以及Excel得出人口随时间变化的曲线 第三问中，通过运用非线性最小二乘法拟合，Matlab编程得到相关的系数x =r 万人，并判断模型的可用性。 .0 248205= 0253 m 第四问中，根据所得的模型，带入相关数值得到2030年人口数量将达到144210万人 第五问中，通过改进求解拟合参数的方法，将非线性最小二乘法改为线性最小二乘法估计模型参数，通过分析可知2030年可能会达到我国人口数量的峰值近似为145168万人，与国家人口预测结果基本相符合。 关键词：Logistic模型；最小二乘估计；Matlab；线性拟合
一. 问题提出 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料，对于表中所给出的数据，研究人口增长的规律。 问题一，作出适当的简化假设，在此基础上建立中国大陆人口群体增长的数学模型。 问题二，对表中所给出的数据，画出1949~2017年中国大陆人口总数随时间变化的曲线； 问题三，对第1问模型中的参数进行估计 问题四，预测2030年中国大陆的人口总数。 问题五，模型的评价与改进。 二．问题分析 由于人口的增长受到自然资源，环境条件等因素的影响，因此第一问的模型选取应该选用能够反映阻滞作用对人口增长率的影响，使增长率r能够随着人口数量的增长而下降，基于此选择了典型的人口增长模型logistic函数，并对相应的参数进行设置。 第二问中由Matlab能够得到表中数据的变化趋势。 第三问中对于大数据处理要得到模型中的相应参数需要用最小二乘法进行系数估计，通过分析曲线的特点评价模型的可用性。 在第四问，根据模型带入相应的时间预测对应的人口总数。 第五问中，由分析可知，线性最小二乘法估计参数要比非线性最小二乘法估计参数的精度要更高，因此通过观察人口增长率的曲线可以近似拟合成一次函数的现象，将估计参数的方法改为线性最小二乘法估计参数，并结合数据实际曲线，确定相应的模型参数。 三．模型的基本假设 （1）生育模式相对不变 （2）所用数据真实可靠 （3）不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影 （4）较短的时期内的死亡率是稳定的
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测 表1 各年份全国总人口数（单位：千万） 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： )0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当 m x x =时人口不再增长，即增 长率 )(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为
)1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ???=-=0 )0() 1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')
中国人口预测模型 天津师范大学数学科学学院 1003班 刘瑶（10505135）周丽（10505110） 2013年6月17日星期一
中 国 人 口 预 测 模 型 摘 要 为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观，按照构建社会主义和谐社会的要求，实现人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展。我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题。 本文是以《中国人口统计年鉴》公布的部分人口数据为基准（其他部分数据通过网站查询得到），通过合理的假设和数学模型得到了对于中国人口增长预测的统计模型。对Leslie 人口模型改进，构建了反映生育率和死亡率变化率负指数函数。基于leslie 的改 进模型： (t)X B B B +(t)X A A A =t)▽n +X(t 22) -(n 3 2112) -(n 3 21 此模型考虑到了生育率的变化，并是针对总人口分布处理的，克服了leslie 模型的不足，很适合做长期预测。得到结论：人口数量先增大后减小，峰值出现在2040年，届时人口数量将达到最大，为15.869亿。 关键词: 人口预测, Leslie 人口模型改进 , 长期预测 一 问题的背景 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。新中国成立50多年来，我国人口发展经历了前30年高速增长和后20年低速增长两大阶段：从建国初期到上世纪70年代初，中国人口再生产由旧中国的高出生、高死亡率进入高出生、低死亡率的人口高增长时期，1950-1975年人口出生率始终保持在30‰以上, 最高达到37‰（附录1）。70年代以后，人口过快增长的势头得到迅速扭转，人口出生率、自然增长率、妇女总和生育率有了明显下降，人口出生率由70年代初的33‰大幅度下降到80年代的21‰, 妇女总和生育率也由6下降到2.3左右。90年代以来，随着我国经济高速发展，人民文化和健康水平逐步提高，计划生育工作的不断深入，在20-29岁生育旺盛人数年均超过1亿的情况下, 人口出生率依然呈现大幅下降的趋势，到2000年底人口出生率从1990年的21.06‰下降到14.03‰，自然增长率由1990年的14.39‰下降到7.58‰, 妇女总和生育率也下降到2以下。进入90年代末期, 我国人口再生产实现了低出生、低死亡、低增长的历史性转变，我国用20多年时间完成了国外近200年的历程。到2000年底全国总人口为12.6743亿, 成功实现了“九五”计划将人口控制在13亿的奋斗目标。 中国政府自1980年在全国城乡实行计划生育基本国策以来成果卓著，据国家计生委“计划生育投入与效益研究”课题组的研究成果，20年共少生2.5亿个孩子。若从70年代算起，至今至少少生3亿人口，这有效地控制了人口的快速增长，为中国现代化建设、全面实现小康打下坚实的基础, 这同时也是对世界人口的增长和控制做出了杰出贡献。但是由于中国人口基数大，人口增长问题依然十分严峻，1990-1999年每年平均净增人口约1300万，这仍然对我国社会和经济产生巨大的压力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。
关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究 【摘要】 本文着重于讨论两个问题:1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了 Logistic 、灰色预测、等方法进行建模预测。 首先，本文建立了 Logistic 阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历 史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合， 对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测， 得出在 2040 年时，中国人口有 14.32 亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、 出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理 论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后， 为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响， 本文建立了 GM(1,1) 灰色预测模型，对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测，同时还用 2002 至 2013 年的 人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测， 得出 2040 年时，中国人口有 14.22 亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄 一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab 对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性方程。同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。并做出了拟合函数 0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ?+=?-。 对于新政策的实施，我们做出了两个假设。在假设只有出生率改变的情况，人口呈现一次函数线性增加。并拟合出一次函数0.032735617965.017372.5t Y e ?=?-；在假设人口增长率增长20%时，做出了预测如果单独二胎政策实施，到2021年，深圳市常住人口数将会到达1137.98千万人。 关键词:GM(1,1)灰色模型 Logistic 阻滞增长模型 线性拟合 非线性拟合
人口增长的预测 关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口 一题目： 请在人口增长的简单模型的基础上。 " （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型； " （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证； " （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测； " （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。 二摘要： 本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设，。用参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。 做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。当初始人口<时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。 用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。 三问题的提出 1．Malthus模型 英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。根据这个假设有： , (1.1) 这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为：如果人口的增长符合Malthus的模型，则意味着人口数量呈指数级数增长，最终结果是人口爆炸。 2．Logistic模型 1938年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设（1.1）式可改为： ，（2.1） 上述方程为可分离变量方程，可直接求解。也可用符号微分方程解题器求它的解： N=dsolve（’DN=r*(1-N/Nm)*N’,’N(t0)=N0’） N=Nm/(1+exp(-r*t)*exp(t0*r)*(Nm-N0)/N0) 化简后得： 四利用数学模型对中国人口的预测
2007全国数学建模中国人口增长预测 摘要： 针对题目所提要求，我们建立了两个中国人口预测模型，分别用于对中国人口的发展趋势做短期和中长期的预测。 为了对中国人口发展做短期的预测，考虑到题目所给的数据资料的不全面，我们由马尔萨斯的人口指数增长模型得到启发，针对中国人口发展的特点，把出生率和死亡率函数这两大对人口增长起主要作用的因素作为建模的关键参数，在附件中没有给出中国近年总人口数的情况下，建立了短期内预测中国人口增长的微分方程模型。在该模型中，为了得到出生率和死亡率函数这两个重要参数，我们通过分析题目所给数据，提取出有效信息，计算归纳出2001年到2005年的出生率和死亡率，并在此基础上引入灰色模型，用于对出生率和死亡率进行预测，得出了出生率和死亡率关于时间的函数。较准确的估计出了人口增长的关键参数，使得建立的人口增长短期预测模型不仅符合中国人口的发展特点，而且简单易用，能在未知总人口数的情况下预测人口的相对发展变化，这一优点使得可以方便且准确的用于预测中国人口短期内的发展趋势。 为了对中国人口发展做中长期的预测，考虑到短期模型在预测人口中长期发展中的局限性以及影响人口发展的众多因素的不确定性和它们之间关系的复杂性，我们利用灰色动态模型的特点，从《中国统计年鉴》中查到了中国近年的人口总数（见附表一），把人口数做为灰色量，对原始各年人口序列进行分段建模，对各分段模型进行定性分析比较，根据各阶段宏观指标的相关确定一组适当的权数，进行预测模型的最优组合，以确定最优预测模型，从而建立了中长期预测中国人口增长的灰色动态系统人口模型，对中国人口进行了中长期的预测。 在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。 关键词：出生率、死亡率、指数增长模型、灰色动态模型、性别比、老龄化、生育率。
软件学院 人口增长模型数学建模报告 专业：软件工程 班级：卓越131班 学号：201370044120 学生姓名：郭俊成 指导教师：于志云 2015 年11 月12 日 题目：计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究
摘要 本论文针对2007年国家人口发展战略研究课题组发布的《国家人口发展战略研究报告》中关于“计划生育实施以来，全国少生了4亿多人，使世界60亿人口日推迟4年”的论述做了研究。论文根据计划生育实施之前1949-1980年的人口普查数据，使用最小二乘法拟合并建立灰色预测模型，利用数学软件，预测出了如果未实行计划生育现今中国人口的数量，从而对研究报告中“少生4亿”的结论产生质疑。 同时，本论文针对2006年全国老龄工作委员会发布的《中国人口老龄化发展趋势预测研究报告》中关于“2051年，中国老年人口规模将达到峰值4.37亿，老龄化水平基本稳定在31%左右”的论述做了研究，根据近几年的人口老龄化程度、老龄人口比重、老龄人口数量、死亡率的变化等诸多因素，建立阻滞增长模型(Logistic模型)，预测40年到70年的老龄人口数量和老龄化率，验证了报告中的关于老龄人口数目持续增加、数目庞大、老龄化严重的预测。 论文基于近期的计划生育调整、“单独二孩”政策的逐步实施、城镇化所导致的人口迁移等现象，结合江苏省的实际情况，利用差分方程模型、LESLIE矩阵，分析新政策对江苏人口数量的影响。论文从出生率着手，重点研究了新政策对江苏省14岁以下儿童、60岁以上老人的影响，分析了儿童和老人数量的变化对人口结构、教育改革、养老的直接影响作用。 关键字 单独二孩、人口老龄化、Logistic 模型、差分方程模型、LESLIE模型 一、问题描述
中国人口增长预测模型 张孟琦、王光昭、陈阔 指导教师：杨亚莉 （空军工程大学，西安 L25） 摘要：本文从中国60年代开始出现的回声婴儿潮现象，以及如今中国城乡人口生育差异和男女比例失调等特点出发，将市、镇、乡中不同性别人口按年龄段分别处理，并引入农村人口向城镇迁移的因素，建立起一个关于中国人口增长的常微分方程组初值问题的数学模型和Leslie矩阵迭代模型。还利用该模型对中国未来人口的增长变化进行了预测。并通过MATLAB软件编程分别建立长、短期男女人口比例模型，针对男女比例失调问题，就中国男女比例变化趋势对未来中国人口的增长变化的影响进行了预测与讨论。 关键词：回声婴儿潮；男女比例；老龄化；城镇化
1、引言： 近年来中国出生人口性别比持续升高，第五次全国人口普查为117，2003年抽样调查为119，个别省份超过130。2005年1%抽样调查为118.58。城乡均出现异常，农村失调程度更为严重。预计到2020年，20－45岁男性将比女性多3000万人左右。同时，中国也是目前世界上唯一一个采取干涉生育措施的国家，因此我们想就此对我国未来男女比例的影响做出分析。 在这里我们要引入回声婴儿潮（Echo baby boom）的概念来分析我国的人口情况。下图（底图来源：世界银行）是中国1962年以来40多年间的人口自然增长率曲线(蓝色)： 因为1962年之前有过5年左右的非自然增长，所以我们把50年代的数据不计入分析过程。进入60年代，随着“三年困难时期”结束，生产在一定程度上恢复稳定，又加上鼓励生育，所以在1962
年-1971年期间第一个稳定的婴儿潮B，其峰值发生在1966年（红线1）。70年代中期开始调整了生育政策，并且随着生产生活的模式的变化，之后人口增长率陡降。80年代以后，婴儿潮B的大多数女性开始进入生育年龄（当时全国平均是22岁），开始迎来了第二批稳定生育高峰，婴儿潮C，这个C的形状是B的复制，就像回声一样一波一波的，所以称为（第一）回声婴儿潮，发生在1982年-1991其峰值出现在1988年（红线2，即1966+22，完全符合生育年龄均值）。现阶段是平均生育年龄是27岁，随着回声婴儿潮C中出生的人口逐渐进入生育年龄，理论上潮D的峰值应该出现在2015年，但是尽管现在全国已经放开二孩政策，近几年的曲线却较为平缓，回声婴儿潮D并没有如期而至。通过分析，我们认为这主要是由于人们生育观念改变导致的，因而我们可以认为在未来如果不考虑世界大战、重大灾害等重大事件，总人口自然增长率将不会有较大波动，我们将在这个条件下建立模型推算未来的男女比例。 2.模型的预备知识 2.1模型假设 1）不考虑国境间人口流动对人口统计的影响； 2）不考虑所统计的数字中的人口漏报的现象； 3）不考虑各地方生育法规的灵活性政策对全国人口政策影响； 4）不考虑针对少数民族的特殊政策；