等比数列知识点总结与典型例题
1、等比数列的定义：()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：
()11110,0n n
n n a a a q q A B a q A B q
-==
=??≠?≠，首项：1a ；公比：q
推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项：
（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =
或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式：
（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q
S q
q
--=
=
-- 11''11n n n a a
q A A B A B A q q
=
-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的n ，都有1
1(0){}n n n n n n
a a qa q q a a a ++==≠?或为常数，为等比数列
（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法：
依据定义：若
()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质：
（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。
（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=???
等差和等比数列比较：
经典例题透析
类型一：等比数列的通项公式
例1．等比数列{}n a 中，1964a a ?=, 3720a a +=,求11a .
思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出3a 、7a ，再求11a .
解析：
法一：设此数列公比为q ，则8
191126
371164
(1)20
(2)
a a a a q a a a q a q ??=?=??+=+=??
由(2)得：241(1)20a q q +=..........(3) ∴10a >.
由(1)得：421()64a q = , ∴418a q = (4)
(3)÷(4)得：42
1205
82
q q +==，
∴422520q q -+=,解得22q =或2
12
q =
当22q =时，12a =，1011164a a q =?=；
当2
12
q =时，132a =，101111a a q =?=.
法二：∵193764a a a a ?=?=,又3720a a +=,
∴3a 、7a 为方程2
20640x x -+=的两实数根， ∴??
?==41673a a 或 ???==16
4
73a a
∵2
3117a a a ?=, ∴27113
1a a a ==或1164a =.
总结升华：
①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；
②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.
举一反三：
【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。 【答案】±96
法一：设公比为q ，则768=a 1q 8，q 8
=256，∴q=±2，∴a 6=±96；
法二：a 52
=a 1a 9?a 5=±48?q=±2，∴a 6=±96。
【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。 【答案】64；
∵2
1894516a a a ==，又a n ＞0，∴a 45=4 ∴34445464564a a a a ==。
【变式3】已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。 【答案】12n n a -=或32n n a -=；
法一：∵2132a a a =，∴312328a a a a ==，∴22a =
从而13135
,4
a a a a +=??
=?解之得11a =，34a =或14a =，31a = 当11a =时，2q =；当14a =时，1
2
q =。 故12n n a -=或32n n a -=。
法二：由等比数列的定义知21a a q =，231a a q =
代入已知得2
1112
1117
8
a a q a q a a q a q ?++=????=??
2
1331(1)7,
8
a q q a q ?++=???=??211(1)7,(1)2(2)a q q a q ?++=??=?
将12
a q
=
代入（1）得22520q q -+=， 解得2q =或12
q =
由（2）得112a q =??=?或1
4
12
a q =???=
?? ，以下同方法一。
类型二：等比数列的前n 项和公式
例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q. 解析：若q=1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1.
因a 1≠0，得S 3+S 6≠2S 9，显然q=1与题设矛盾，故q ≠1.
由3692S S S +=得，369111(1)(1)2(1)
111a q a q a q q q q
---+=
---， 整理得q 3
(2q 6
-q 3
-1)=0，
由q ≠0，得2q 6-q 3-1=0，从而(2q 3+1)(q 3
-1)=0，
因q 3
≠1，故3
12q =-
，所以2
q =-。
举一反三：
【变式1】求等比数列11
1,,,39
的前6项和。
【答案】
364
243
； ∵11a =，1
3q =，6n =
∴66
6111331364112324313
S ?????-?? ???????????==?-=?? ???????-。 【变式2】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5. 【答案】121
1219
或
； ∵32
2273a a =?=，31(1)1
13313
a q q q q -=?==-或，则a 1=1或a 1=9
∴5555191131213121S 113913
S ??? ?-??==-－或＝＝
－.
【变式3】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -?=，126n S =，求n 和q 。 【答案】1
2
q =
或2，6n =； ∵211n n a a a a -?=?，∴1128n a a =
解方程组11128
66n n
a a a a =??+=?，得1642n a a =??=? 或1264n a a =??=?
①将1642
n a a =??
=?代入11n n a a q S q -=-，得1
2q =，
由11n n a a q -=，解得6n =；
②将1264n
a a =??=?代入11n n a a q
S q -=-，得2q =，
由11n n a a q -=，解得6n =。 ∴1
2
q =
或2，6n =。 类型三：等比数列的性质
例3. 等比数列{}n a 中，若569a a ?=,求3132310log log ...log a a a +++. 解析：
∵{}n a 是等比数列，∴110293847569a a a a a a a a a a ?=?=?=?=?=
∴1032313log log log a a a +++ 553123103563log ()log ()log 910a a a a a a =??=?== 举一反三：
【变式1】正项等比数列{}n a 中，若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_____________. 【答案】100；
∵lga 1+lga 2+lga 3+……+lga 100=lg(a 1·a 2·a 3·……·a 100) 而a 1·a 100=a 2·a 99=a 3·a 98=……=a 50·a 51
∴原式=lg(a 1·a 100)50=50lg(a 1·a 100)=50×lg100=100。 【变式2】在
83和272
之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。 【答案】216；
法一：设这个等比数列为{}n a ，其公比为q ， ∵183
a =
，445127823a a q q ===?，∴48116q =，29
4q = ∴2
3
362341111
a a a a q a q a q a q ??=??=?3
3
389621634??
??
=?== ?
???
??
。 法二：设这个等比数列为{}n a ，公比为q ，则183
a =
，5272a =，
加入的三项分别为2a ，3a ，4a ， 由题意1a ，3a ，5a 也成等比数列，∴2
3827
3632
a =
?=，故36a =， ∴23
234333216a a a a a a ??=?==。
类型四：等比数列前n 项和公式的性质
例4．在等比数列{}n a 中，已知48n S =，260n S =，求3n S 。
思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k 项和，第2个k 项和，第3个k 项和，……，第n 个k 项和仍然成等比数列。
解析：
法一：令b 1=S n =48, b 2=S 2n -S n =60-48=12，b 3=S 3n -S 2n 观察b 1=a 1+a 2+……+a n ,
b 2=a n+1+a n+2+……+a 2n =q n
(a 1+a 2+……+a n )，
b 3=a 2n+1+a 2n+2+……+a 3n =q 2n
(a 1+a 2+……+a n )
易知b 1,b 2,b 3成等比数列，∴22
23112348
b b b ===，
∴S 3n =b 3+S 2n =3+60=63.
法二：∵22n n S S ≠，∴1q ≠，
由已知得121(1)
481(1)601n n
a q q a q q
?-=?-?
?-?=?-?①② ②÷①得514n q +=，即14
n
q = ③
③代入①得
1
641a q
=-， ∴3133(1)1
64(1)6314
n n a q S q -==-=-。
法三：∵{}n a 为等比数列，∴n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比数列， ∴2232()()n n n n n S S S S S -=-，
∴22
232()(6048)606348
n n n n n S S S S S --=+=+=。
举一反三：
【变式1】等比数列{}n a 中，公比q=2, S 4=1,则S 8=___________.
【答案】17；
S 8=S 4+a 5+a 6+a 7+a 8=S 4+a 1q 4+a 2q 4+a 3q 4+a 4q 4=S 4+q 4(a 1+a 2+a 3+a 4)=S 4+q 4S 4=S 4(1+q 4)=1×(1+24
)=17 【变式2】已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n , 且S 10=10, S 20=40,求：S 30=？
【答案】130；
法一：S 10，S 20-S 10，S 30-S 20构成等比数列，∴(S 20-S 10)2
=S 10·(S 30-S 20)
即302
=10(S 30-40),∴S 30=130. 法二：∵2S 10≠S 20，∴1q ≠,
∵101)1(10110=--=q
q a S ,20120(1)
401a q S q -=
=-, ∴1020
11,14
q q -=-∴10
3q =,∴511-=-q a ∴ 130)31)(5(1)
1(330130=--=--=q
q a S .
【变式3】等比数列{}n a 的项都是正数，若S n =80, S 2n =6560，前n 项中最大的一项为54，求n.
【答案】∵ 6560802=n n S S ，∴1q ≠(否则21
2=n n S S )
∴1(1)
1n n a q S q -=-=80 (1)
212(1)
1n n a q S q
-=
-=6560.........(2)， (2)÷(1)得：1+q n
=82,∴q n
=81......(3) ∵该数列各项为正数，∴由(3)知q>1 ∴{a n }为递增数列，∴a n 为最大项54.
∴a n =a 1q n-1=54,∴a 1q n
=54q, ∴81a 1=54q..........(4) ∴1542813a q q =
=代入(1)得2
(181)80(1)3
q q -=-， ∴q=3,∴n=4.
【变式4】等比数列{}n a 中，若a 1+a 2=324, a 3+a 4=36, 则a 5+a 6=_____________. 【答案】4；
令b 1=a 1+a 2=a 1(1+q)，b 2=a 3+a 4=a 1q 2(1+q),b 3=a 5+a 6=a 1q 4
(1+q),
易知：b 1, b 2, b 3成等比数列，∴b 3=122b b =324
362
=4,即a 5+a 6=4.
【变式5】等比数列{}n a 中，若a 1+a 2+a 3=7,a 4+a 5+a 6=56, 求a 7+a 8+a 9的值。
【答案】448；
∵{a n }是等比数列，∴(a 4+a 5+a 6)=(a 1+a 2+a 3)q 3,∴q 3=8,
∴a 7+a 8+a 9=(a 4+a 5+a 6)q 3
=56×8=448. 类型五：等差等比数列的综合应用
例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.
思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.
解析：
法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.
则a-d, a, a+d+32成等比数列，a-d, a-4, a+d 成等比数列.
∴?????+-=-++-=)2.().........
)(()4()1.().........32)((2
2d a d a a d a d a a
由(2)得a=8
16
2+d (3)
由(1)得32a=d 2
+32d ..........(4) (3)代(4)消a ，解得8
3
d =或d=8. ∴当83d =
时,269
a =；当d=8时,a=10 ∴原来三个数为92,926,9
338
或2,10,50.
法二：设原来三个数为a, aq, aq 2
，则a, aq,aq 2
-32成等差数列，a, aq-4, aq 2
-32成等比数列
∴?????-=--+=)2)......(
32()4()1........(3222
22
aq a aq aq a aq 由(2)得2
4
a q =-，代入(1)解得q=5或q=13
当q=5时a=2；当q=13时2
9
a =.
∴原来三个数为2，10，50或92，926,9
338
.
总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d ；若三数成等比数列，可设此三数为
y
x
，x, xy 。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a ，公比q 来解决问题反而简便。
举一反三：
【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.
【答案】为2，6，18或
21050,,999
-； 设所求的等比数列为a ，aq ，aq 2
； 则 2(aq+4)=a+aq 2，且(aq+4)2=a(aq 2
+32)；
解得a=2，q=3或2
9
a =
，q=-5； 故所求的等比数列为2，6，18或21050
,,999
-.
【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。
【答案】1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1 设这三个数分别为
,,a
a aq q
， 由已知得22222
27
91a
a aq q a a a q q
???=??
??++=??22
231(1)91a a q q =????++=?? 得4298290q q -+=，所以2
9q =或219
q =，
即3q =±或13
q =±
故所求三个数为：1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1。
【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.
【答案】0，4，8，16或15，9，3，1； 设四个数分别是x,y,12-y,16-x
∴???-=--+=)2).......(
16()12()1.......(
1222
x y y y x y 由(1)得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y 2
=y(16-3y+12)
∴144-24y+y 2=-3y 2+28y, ∴4y 2
-52y+144=0, ∴y 2
-13y+36=0, ∴ y=4或9， ∴ x=0或15，
∴四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 类型六：等比数列的判断与证明
例6．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：log 5(S n +1)=n(n ∈N +),求出数列{a n }的通项公式，并判断{a n }是何种数列？
思路点拨：由数列{a n }的前n 项和S n 可求数列的通项公式，通过通项公式判断{a n }类型.
解析：∵log 5(S n +1)=n,∴S n +1=5n ,∴S n =5n
-1 (n ∈N +),
∴a 1=S 1=51
-1=4,
当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(5n -1)-(5n-1-1)=5n -5n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1
而n=1时，4×5n-1=4×51-1
=4=a 1,
∴n ∈N +时，a n =4×5n-1
由上述通项公式，可知{a n }为首项为4，公比为5的等比数列. 举一反三：
【变式1】已知数列{C n }，其中C n =2n +3n
，且数列{C n+1-pC n }为等比数列，求常数p 。 【答案】p=2或p=3； ∵{C n+1-pC n }是等比数列，
∴对任意n ∈N 且n ≥2，有(C n+1-pC n )2
=(C n+2-pC n+1)(C n -pC n-1)
∵C n =2n +3n ,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n +3n )]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·[(2n +3n )-p(2n-1+3n-1
)]
即[(2-p)·2n +(3-p)·3n ]2=[(2-p)·2n+1+(3-p)·3n+1]·[(2-p)·2n-1+(3-p)·3n-1
]
整理得：
1
(2)(3)2306
n n p p --??=,解得：p=2或p=3, 显然C n+1-pC n ≠0，故p=2或p=3为所求.
【变式2】设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，C n =a n +b n ,证明数列{C n }不是等比数列. 【证明】设数列{a n }、{b n }的公比分别为p, q ，且p ≠q
为证{C n }不是等比数列，只需证2
132C C C ?≠.
∵222222
2111111()2C a p b q a p b q a b pq =+=++,
222222221311111111()()()C C a b a p b q a p b q a b p q ?=++=+++
∴2213211()C C C a b p q ?-=-,
又∵ p ≠q, a 1≠0, b 1≠0,
∴21320C C C ?-≠即2132
C C C ?≠ ∴数列{C n }不是等比数列. 【答案】
(1)错；a 7=a 1q 6，a 3a 4=a 1q 2·a 1q 3=a 12q 5
，等比数列的下标和性质要求项数相同；
(2)错；反例：02
=0×0，不能说0，0，0成等比；
(3)对；{a n b n }首项为a 1b 1，公比为q 1q 2；
(4)对；221
12
11,1n n n
n
a a q a q a ++==；
(5)错；反例：-2，-4，-8成等比，但log m (-2)无意义. 类型七：S n 与a n 的关系
例7．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足2
1056n n n S a a =++，且a 1，a 3，a 15成等比数列，求数列
{a n }的通项a n .
解析：∵21056n n n S a a =++， ① ∴21111056a a a =++，解之得a 1=2或a 1=3. 又21111056(2)n n n S a a n ---=++≥， ②
由①-②得221110()5()n n n n n a a a a a --=-+-，即11()(5)0n n n n a a a a --+--=
∵a n +a n-1＞0，∴a n -a n-1=5(n ≥2).
当a 1=3时，a 3=13，a 15=73，a 1，a 3，a 15不成等比数列 ∴a 1≠3；
当a 1=2时，a 3=12，a 15=72，有a 32
=a 1a 15， ∴a 1=2，∴a n =5n-3.
总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是1
1(1)(2)
n n n a n a S S n -=?=?
-≥?，尤其注意
首项与其他各项的关系.
举一反三：
【变式】命题1：若数列{a n }的前n 项和S n =a n
+b(a ≠1)，则数列{a n }是等比数列；命题2：若数列{a n }的前n 项和S n =na-n ，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为 个.
【答案】0；
由命题1得，a 1=a+b ，当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(a-1)·a n-1
.
若{a n }是等比数列，则
2
1
a a a =，即
(1)a a a a b -=+， 所以只有当b=-1且a ≠0时，此数列才是等比数列.
由命题2得，a 1=a-1，当n ≥2时，a n =S n -S n-1=a-1， 显然{a n }是一个常数列，即公差为0的等差数列，
因此只有当a-1≠0，即a ≠1时数列{a n }才又是等比数列.
等比数列练习（含答案） 一、选择题 1.(广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ?=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为 正数，所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n Λ则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析： 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S Θ 5.（四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.()(),01,-∞+∞U C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞U 答案 D 6.（福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.（重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ． 10.(湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．111 22 - 答案 B 11.（湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且 310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D 解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 12.（浙江）已知{}n a 是等比数列，4 1 252= =a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（ ） A.16（n --41） B.6（n --21） ,,a b c ,,c a b
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和 例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?
例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和：()11113242n S n n =+++??+
例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠
等比数列知识点总结及题型归纳 1、等比数列的定义： ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -===??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?= ?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab = 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= =-- 11''11n n n a a q A A B A B A q q =-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。 （3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? （4）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}n k a ，{}n k a ?，{}k n a ，{}n n k a b ??，{}n n a b （k 为非零常数）均为等比数列。 （5）数列{}n a 为等比数列，每隔*()k k N ∈项取出一项23(,,,,)m m k m k m k a a a a +++???仍为等比数列 （6）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列 （7）若{}n a 为等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -???，成等比数列 （8）若{}n a 为等比数列，则数列12n a a a ??????，122n n n a a a ++??????，21223n n n a a a ++???????成等比数列
等比数列·例题解析 【例1】已知S n是数列{a n}的前n项和，S n＝p n(p∈R，n∈N*)，那么数列{a n}． [ ] A．是等比数列 B．当p≠0时是等比数列 C．当p≠0，p≠1时是等比数列 D．不是等比数列 分析由S n＝p n(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且当n≥2时， a n=S n－S n-1＝p n－p n-1＝(p－1)p n-1 但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D． 说明数列{a n}成等比数列的必要条件是a n≠0(n∈N*)，还要注 【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．解∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q2n+1 x1x2x3...x2n＝q.q2.q3...q2n=q1+2+3+ (2) 式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值． ∴a4＝2 【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，x n，使得a，x1，x2，…，x n，b成等比数列，求 证明设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aq n+1 【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2． 证法一∵a、b、c、d成等比数列 ∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc
∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2 =2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2) ＝a2－2ad＋d2 ＝(a－d)2＝右边 证毕． 证法二∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则： b＝aq，c＝aq2，d=aq3 ∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2 ＝a2－2a2q3＋a2q6 =(a－aq3)2 ＝(a－d)2=右边 证毕． 说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性． 【例6】求数列的通项公式： (1){a n}中，a1＝2，a n+1＝3a n＋2 (2){a n}中，a1=2，a2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n＝0 思路：转化为等比数列． ∴{a n＋1}是等比数列 ∴a n＋1=3·3n-1∴a n=3n－1 ∴{a n+1－a n}是等比数列，即 a n+1－a n=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1 再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，a n－a n-1=3·2n-2，
等差等比数列综合应用 【典型例题】 [例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。 解：等差数列为d a a d a +-,, ∴ ?????=++--=+?-2 2 )32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ?????=-+-+-=-) 2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 2 23232168a d a a =-++- 0432=-+d a 代入（1） 16)24(3 1 82+-?-=-d d 0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38=d 9 26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、9 50 [例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，)1,0(∈q ，21=b ，}{n b 所有项和为20，求： （1）求n n b a , （2）解不等式 2211601 b m a a m m -≤++++Λ 解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 10 9 =q ∴ 1 )10 9( 2-?=n n b 不等式10 921601) (21 21??-≤++?+m a a m m m
)1(1816)399123936(2 1 +??-≤-+-? m m m m 0)1(181639692≤+??+-m m m 032122≤+-m m 0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m [例3] }{n a 等差，}{n b 等比，011>=b a ，022>=b a ，21a a ≠，求证：)3(≥
精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()25 2123n n n b a n n += ++，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 2.已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有 n a ++ += ． （Ⅰ）求2a ，3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； n n a a ++∈n N *）． 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ （1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ； （3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4．设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公 式；（2）证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ． 5： 已知数列{}n a 是等差数列，() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 （1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}n c 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在，求出k 的取值范围；
知识框架 111111(2)(2)(1)( 1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??? ???????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积 归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112a = ，121 41 n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） 2 43 4)1211(211--= --+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代 入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数） 例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . 解法一： 由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2 ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1 -1 解法二： 上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2 ， 把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） )(3211-+-= -n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n n n n b a )31(2)21(32-== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+
数列综合练习题 一．选择题（共23小题） 1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（） A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4） 2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞） 3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（） A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负 4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（） A．2 B．lg50 C．10 D．5 5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（） A．B．C．D． 7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（） A．B．C．D．
8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（） A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，） 9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|， 则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（） A．①②③④B．①④C．①②④D．②③ 10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（） A．③④B．①②④C．①③④D．①③ 11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（） A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2 12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 13．如果数列{a n}是等比数列，那么（） A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列 14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D． 15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（） A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C） 16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）
等比数列知识点总结与典型例题 2、通项公式: 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1)当 q 1 时，S n na i n ⑵当q 1时，5罟 5、等比数列的判定方法: 等比数列 等比中项：a n 2 a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0) {a n }为等比数列 通项公式：a n A B n A B 0 {a n }为等比数列 1、等比数列的定义: a n 1 a n 2,且n N * ， q 称为公比 n 1 a n ag a i B n a i 0,A B 0，首项：a 1;公比：q 推广：a n a m q a n a m a n m — \ a m 3、等比中项： （1）如果a, A, b 成等比数 那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或 A ab 注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（ （2）数列a n 是等比数列 2 a n a n 1 a q q A'B n A' ( A, B,A',B'为常数) (1) 用定义：对任意的 都有a n 1 qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0） {a n }为 a n
6、等比数列的证明方法: 依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 1 7、等比数列的性质： (2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。 (3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。特别的，当m n 2k 时，得 2 a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2 等差和等比数列比较: 经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式
强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2 －2x ＋m )(x 2 －2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为4 1 的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ． 4 3 C ． 2 1 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝9 5 ，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则2 1 2b a a 的值是( )． A ． 2 1 B ．－ 2 1 C ．－ 21或2 1 D ． 4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2 n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9
等比数列及其前n 项和 教学目标： 1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。 2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关的简单问题。 知识回顾： 1．定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。用递推公式 表示为)2(1≥=-n q a a n n 或q a a n n =+1。注意：等比数列的公比和首项都不为零。（证明数列是 等比数列的关键） 2．通项公式： 等比数列的通项为：11-=n n q a a 。推广：m n m n q a a -= 3．中项： 如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项；其中ab G =2。 4．等比数列的前n 项和公式 ?? ? ??≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n 5．等比数列项的性质 （1）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则q p n m a a a a =；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a =2 。 （2）除特殊情况外，,...,,232n n n n n S S S S S --也成等比数列。n q q ='。 （其中特殊情况是当q=-1且n 为偶数时候此时n S =0，但是当n 为奇数是是成立的）。 4、证明等比数列的方法 （1）证： q a a n n =+1（常数）；（2）证：112 ·+-=n n n a a a （2≥n ）. 考点分析
1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= ===
等比数列与等差数列概念及性质对比 1．数列的定义 顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列． 数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的． 数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．2．等差数列的定义 顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列． 这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质． 3．等差数列的通项公式 等差数列的通项公式是：a n= a1＋（n－1）d ．① 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将a n看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具． 从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系． 4．等差中项 A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是： 2b a A + =，或2 A=a＋b． 显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或 2b a A + =）是判断三数a，A，b成等差数列 的一个依据，并且，2 A=a＋b（或 2b a A + =）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项． 值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或 2b a A + =）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b 与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a不是同一个数列． 5．等差数列前n项的和
等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______． 16．已知 n n a ??? ???=312，把数列}{n a 的各项排成三角形状:Λ Λ9 87654321 ,,,,,,a a a a a a a a a
累加累积 归纳猜想证明 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了 典型 题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 (1)观察法。(2)由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 ⑴递推式为a n+i =3+d 及a n+i =qa n (d ，q 为常数) 例1、 已知｛a n ｝满足a n+i =a n +2，而且a i =1。求a n 。 例1、解 ■/ a n+i -a n =2为常数 ??? ｛a n ｝是首项为1，公差为2的等差数列 /? a n =1+2 (n-1 ) 即 a n =2n-1 1 例2、已知｛a n ｝满足a n 1 a n ，而a 1 2，求a n =? 佥 1 2 解■/^ = +是常数 .■-傀｝是以2为首顶，公比为扌的等比数 把n-1个等式累加得： .' ? an=2 ? 3n-1-1 ji i ? / ] — 3 ⑷ 递推式为a n+1=p a n +q n (p ，q 为常数) s 1 1 【例即己知何沖.衍二右札+ 吧求％ 略解在如十冷)*的两边乘以丹得 2 严‘ *珞1 = ~〔2怙血)+1.令亠=2n 召 则也€%乜于是可得 2 2 n b n 1 n 1 n b n 1 b n (b n b n 1)由上题的解法，得：b n 3 2(—) ? a . n 3(—) 2(—) 3 3 2 2 3 ★说明对于递推式辺曲=+屮，可两边除以中叫得蹲= Q 計/斗引辅助财如(%=芒.徼十氣+护用 (5) 递推式为 a n 2 pa n 1 qa n 知识框架 数列 的概念 数列的分类 数列的通项公式 数列的递推关系 函数角度理解 (2)递推式为 a n+1=a n +f (n ) 1 2 例3、已知｛a n ｝中 a 1 a n 1 a n 1 ，求 a n . 4n 2 1 等差数列的疋义 a n a n 1 d(n 2) 等差数列的通项公式 a n a 1 (n 1)d 等差数列 等差数列的求和公式 S n (a 1 a n ) na 1 n(n 1)d 2 2 等差数列的性质 a n a m a p a q (m n p q) 两个基 本数列 等比数列的定义 a n 1 q(n 2) 等比数列的通项公式 a n n 1 a 1q 数列 等比数列 a 1 a n q 3(1 q ) (q 1) 等比数列的求和公式 S n 1 q 1 q / n a 1(q 1) 等比数列的性质 S n S m a p a q (m n p q) 公式法 分组求和 错位相减求和 裂项求和 倒序相加求和 解：由已知可知a n 1 a n (2n 1)(2n 1)夕2n 1 2n 令n=1，2，…，(n-1 )，代入得(n-1 )个等式累加，即(a 2-a 1) + 1广 K z 1】、 =-[(1-" + J J 5 _■ 冷(一 Jr ★ 说明 只要和f ( 1) +f (2) 入，可得n-1个等式累加而求a n 。 ⑶ 递推式为a n+1=ps n +q (p , q 为常数) 1 a n a 1 (1 2 +?…+f 例 4、｛a n ｝中，ai 1，对于 n > 1 (n € N) 有a n (a 3-a 2) + ? + (a n -a n-1) L )也 2n 1 4n 2 (n-1 )是可求的，就可以由 a n+1=a n +f (n )以n=1，2，…， 3a n 1 2 ，求 a n ? 数列 求和 解法一： 由已知递推式得 a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3 (a n -a n-1) 因此数列｛a n+1-a n ｝是公比为3的等比数列，其首项为 a 2-a 1= (3X 1+2) -1=4 --a n+1 -a n =4 ? 3 - a n+1 =3a n +2 - - 3a n +2-a n =4 ? 3 即 a n =2 ? 3 -1 解法_ : 上法得｛a n+1-a n ｝是公比为 3 的等比数列，于是有： a 2-a 1=4， a 3-a 2=4 ? 3， a 4-a 3=4 ? 3 ? 3 ， 数列的应用 分期付款 其他