英语初中组
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※“新华书店杯”寒假读书征文※
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Believe in ourselves and keep growing ——读《忽然青春，一别经年》有感
单位班级：化龙初中九年级四班
作者姓名：赵传慧
辅导教师：张秀霞
Believe in ourselves and keep growing
------After reading sudden youth a different year
This book is about the youth growth. Through the fresh and vivid foreign language story，the readers fall in love with this book, and also fall in love with English. The whole article is a series of independent stories, through which we can feel the breath of youth, and feel the growth process of learning and confidence.
In the first chapter, the author writes that there is a scar his father’s face, he would attract many people's attention when he is out. But his father never cares about it, because he doesn't care about other people's eyes, no matter what they think of him, he will still be confident to do whatever he wants to do. Similarly, when the author writes "what about acne?", it also shows that the author does not feel inferior about his appearance, but lives a good life bravely and confidently. I especially like the sentence in the article, "if you want to be beautiful, then be happy, that is the real beauty". Only when you are full of confidence will you be happier, and then your real beauty will be revealed.
When the author writes about"loneliness on the road to growth", he says that many times it is difficult to find those who choose to go the same way as us. Yes, most of life is lonely, but as the author writes, don't be afraid of the loneliness of knowing. There is no need to force others to appreciate you. Be yourself and affirm your own growth. On the road of youth, we have been learning and growing, constantly in the lonely transformation on their own.
In fourth chapter, the author tells us the truth of life by describing the story. Life is long, who will have frustrated. No matter how big the setback, how big the blow, we must try to forget the past pain, brave forward, because if we don't try, we will never fly.
After reading the book, I not only gain some interesting stories that the author experienced, but also learn a lot. We should move forward bravely on the road of youth, believe in ourselves and keep growing!
有理数的乘法教学设计(二) 教学目标: 1．知识与技能 体会有理数乘法的实际意义； 掌握有理数乘法的运算法则和乘法法则，灵活地运用运算律简化运算。 2．过程与方法 经历有理数乘法的推导过程，用分类讨论的思想归纳出两数相乘的法则，感悟中、小学数学中的乘法运算的重要区别。 通过体验有理数的乘法运算，感悟和归纳出进行乘法运算的一般步骤。 3．情感、态度与价值观 通过类比和分类的思想归纳乘法法则，发展举一反三的能力。 教学重点和难点： 重点：乘法的符号法则和乘法的运算律。 难点：积的符号的确定。 教学用具： 多媒体。 教学过程： 一、从学生原有认知结构提出问题 1．叙述有理数乘法法则。 2．计算(五分钟训练)： (1)(－2)×3； (2)(－2)×(－3)； (3)4×(－1.5)； (4)(－5)×(－2.4)； (5)29×(－21)； (6)(－2.5)×16； (7) 97×0×(－6)； (8)(－9.3)×(－7.8)×0； (9)－35×2； (10)(－84)×(－86)； (11)0.2×3×(－5)； (12)24×(－0.125)； (13)(－0.6)×(－1.5)； (14)1×2×3×4×(－5)； (15)1×2×3×(－4)×(－5)； (16)1×2×(－3)×(－4)×(－5)； (17)1×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)； (18)(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)。 二、讲授新课 ．几个有理数相乘的积的符号法则1 引导学生观察上面各题的计算结果，找一找积的符号与什么有关？ (17)等题积为正数，负因数个数是偶数个。(15)(16)，(18)等题积为负数，负因数的个数是奇数个；，(14)，是不是规律？再做几题试试： 5)； (1)3×(－；2) (2)3×(－5)×(－； (3)3×(－5)×(－2)×(－4) (4) 3×(－5)×(－2)×(－4)×(－3)； 。(5) 3×(－5)×(－2)×(－4)×(－3)×(－6) 同样的结论：当负因数个数是奇数时，积为负；当负因数个数是偶数时，积为正。再看两题：4)； (1)(－2)×(－3)×0×(－。 (2) 2×0×(－3)×(－4) 。结果都是0 引导学生由以上计算归纳出几个有理数相乘时积的符号法则：的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负
14．2乘法公式 第1课时平方差公式 教学目标 1．经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．2．理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式． 教学重点 平方差公式的推导和应用． 教学难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉种植，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加5米，另一边减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得好像没有吃亏，就答应了，回到家中，把这事和邻居们一讲，都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊．同学们，你知道张老汉为什么吃亏吗？ 通过本节课的学习，你将能解释这其中的原因！ 二、自主学习，指向目标 自学教材第107页至108页，思考下列问题： 1．根据条件列式： (1)a、b两数的平方差可以表示为________； (2) a、b两数差的平方可以表示为________； 2．平方差公式的推导依据是________________________________________________________________________．3．平方差公式(乘法)的特征是：左边是__________________，右边是__________________． 三、合作探究，达成目标 探究点一探索平方差公式 活动一：1.填写教材P107三个计算结果，
展示点评： (1)二项式乘以二项式，合并前结果应该是几项式？(四项)合并后都是几项式？(二项) (2)观察上列算式的左边的两个二项式，有什么异同？运算出结果后的二项式与等式左边的二项式有什么关系？ (等号的左边是两数的和乘以这两数的差，等号的右边是这两数的平方差．) 2．归纳：两个数的________与这两个数的差的积，等于这两数的________． 用公式表示上述规律为：(a＋b)(a－b) ＝________这就是平方差公式． 3．观察教材图14.2－1，请你用两种方法计算图形中阴影部分的面积，得到什么结果？(a＋b)(a－b)＝a2－b2 4．观察教材P108例1中的两个算式，能否用平方差公式进行计算？若能用，公式中a，b分别代表什么？ 例1运用平方差公式计算 (1)(3x＋2)(3x－2)； (2)(－x＋2y)(－x－2y)． 思考：确定能否应用平方差公式进行运算的关键是什么？ 展示点评：观察算式：①是不是两个二项式相乘；②是不是两数的和乘以两数的差；③若作为因式的二项式的首项是负号的，可以连同符号一起看作为一项，也可以把一个因式里的两项颠倒位置观察思考．关键就是确定是不是两数的和乘以两数的差． 解答过程见课本P108例1 小组讨论：能运用平方差公式计算的式子有何特征？ 【反思小结】能运用平方差公式进行计算的式子特征：①二项式与二项式的积；②把两个二项式进行对比：有一项相同，另一项互为相反数． 针对训练： 1．计算(2a＋5)(2a－5)等于( A ) A．4a2－25 B．4a2－5 C．2a2－25 D．2a2－5 2．计算(1－m)(－m－1)，结果正确的是( B ) A．m2－2m－1 B．m2－1 C．1－m2 D．m2－2m＋1 探究点二平方差公式的综合应用 活动二：计算： (1)102×98； (2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)． 展示点评：(1)例1是数的计算，观察其特征，把两个因数如何变形能够运用平方差公式进行计算？ (2)例2中有整式的简单的混合运算，在进行运算时要注意什么？ 展示点评：第1题可以变为100与2的和乘以100与2的差；第(2)题中多项式的乘法，能运用平方差公式的一定要运用平方差公式进行运算． 解答过程见课本P108例2 小组讨论：平方差公式与整式乘法有什么关系？在运用时应注意什么问题？ 【反思小结】(1)可运用平方差公式运算的式子，也属于我们前面所学的多项式乘以多项式的运算，所以说平方差公式适用于特殊形式的该类运算． (2)有些不能直接用平方差公式的题目可向公式形式转化，写成两数和与两数差乘积的形式，再运用公式． (3)在运用平方差公式运算时，一要注意确定好公式中的“a”项，“b”项；二要注意对两个数整体平方，而不是部分平方．
学科教师辅导讲义
【例2】判断下列各式能否用平方差公式计算，如果不能，应怎样改变才能使平方差公式适用？ （1）?? ? ??--??? ??-b a b a 231312； （2）()()a b b a 3232++- ； （3）()()2323-+-m m . 【借题发挥】 1．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的正方形()a b >，（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙）根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以证（ ） A. ()2 2 2 2a b a ab b +=++； B. ()2 2 2 2a b a ab b -=-+； C. ()()2 2 a b a b a b -+=-； D.()()2 2 22a b a b a ab b +-=+-. 2．下列计算中可以用平方差公式的是（ ） A.()()22--+a a ； B.??? ? ? -??? ??+a b b a 2121； C.()()y x y x -+-； D.()( )2 2 y x y x +-. 3.如图，在边长为a 的正方形内减去边长为b 的正方形后，剩下的形状可以分割成两个大小相等的直角梯形，请你用 ,a b 表示梯形的上底，下底，高和面积，并由此理解()()22a b a b a b -=-+的几何意义。
4.如图，边长为,a b 的两个正方形的中心重合，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的等腰梯形，请你用,a b 表示出梯形的上底，下底，高和面积，并由此理解()()22a b a b a b -=-+的几何意义。 题型二：平方差公式的计算及简单应用 【例3】类型1：()()2 2 b a b a b a -=-+ （1）()()a a 2121+- ； （2）??? ??-??? ? ?+3121312122x x . 【例4】类型2：()()2 2 a b a b b a -=-+ （1）（2xy+1）（1-2xy ）； （2）（3x-4a ）（4a+3x ）.
乘法公式 王渝杰 摘要 在我们的日常生活中会遇到大量的多项式乘法运算，如： 实验中学计划将一个边长为a米的正方形花坛改造成长为（a+b）米的长方形花坛，你会计算改造后花坛的面积吗？ 某住宅小区要建造一个边长为a米的正方形绿化区，绿化区内有两条纵横交错且宽都为b米的小路，其余的地方都是草坪，求草坪的面积。 面对这种问题，乍一看似乎并无头绪，其实，我们完全可以通过建立数学模型的方法去求取。所谓数学建模，就是从定量的角度分析和研究一个实际问题，在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。 对于需要应用多项式乘法解决的问题，我们可以将其归纳出一种模型——乘法公式，在今后遇到适合乘法公式的乘式或图形，我们不必再按多项式乘多项式的法则来做，而是直接用乘法公式写出结果。关键词：多项式乘法公式 一、模型的创建 模型1： （a+b）(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2
从而得到平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。 特征： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算。 相乘的两个二项式，只要它们有一项完全相同，另一项互为相反数，就符合平方差公式。相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方。 比如：美丽壮观的长方形城市广场，长为803米，宽为797米，用简便方法计算它的面积。 [分析]将803写成800+3，797写成800-3，用平方差公式口算即可得结果，即803×797=（800+3）（800-3）=8002-32=640000-9=639991，所以，这个城市广场的面积为639991平方米。 模型2： （a+b）2=（a+b）(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2. 由此得到下面的完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2.
两个数相加，交换加数的位置，和不变。这叫做加法交换律。用字母表示为a+b=b+a 拓展提高： 1.若干个数相加，任意交换加数的位置，和不变。用字母表示为a+b+c=a+c+b, 如37+25+43=37+43+25=105 2.在加减混合运算中，带有数前面的运算符号交换加数、减数的位置再进行 计算，其结果不变。用字母表示为a+b-c=a-c+b(a>c),如 57+78-37=57-37+78=98 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。这叫做加法结合律。用字母表示为（a+b）+c=a+（b+c） 拓展提高： 在加减混合运算中，有时为了计算简便，可以把加数、减数用括号结合起来。在加号后面添括号时，原来的加数、减数都不变；在减号后面添括号时，原来的减数变加数，加数变减数。用字母表示为a+b-c=a+（b-c）(b>c),如 71+56-26=71+（56-26）=101；a-b+c=a-(b-c)(b>c)如 71-56+26=71-(56-26)=41。 运用拆分凑整法解决复杂的简算问题199999+19998+1997+196+10 分析：观察此题发现，前四个数分别加上1、2、3、4就可以凑成整十、整万、整千、整百的数，而最后一个加数10又可以分解成功+2+3+4的形式，能与前面的四个数分别相加，这样计算比较简便。 199999+19998+1997+196+10 =（199999+1）+（19998+2）+（1997+3）+（196+4） =200000+20000+2000+200 =222200 加法交换律与加法结合律最大的区别是：交换律改变的是数的位置，结合律改变的是运算顺序。加法结合律的重要标志是小括号的应用。
乘除法运算定律 1.乘法交换律。 交换两个因数的位置，积不变。这叫做乘法交换律。 用字母表示：a×b=b×a 2.乘法结合律 先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。这叫做乘法结合律。 用字母表示：(a×b)×c=a×(b×c) 3.乘法分配律。 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，这叫做乘法分配律。 (a＋b)×c＝a×c＋b×c 练习 1.（5×25）×4 8×（125×5）（37×25）×4 （33×125）×8 2.乘法分配律练习题 类型一：（注意：一定要括号外的数分别乘括号里的两个数，再把积相加） （40＋8）×25 125×（8+80）36×（100+50） 类型二：（注意：两个积中相同的因数只能写一次） 36×34＋36×66 75×23＋25×23 63×43＋57×63类型三：（提示：把102看作100＋2；81看作80＋1，再用乘法分配律） 78×102 56×101 125×81 25×41 4.除法分配率 （1）两个数的和除以一个数，可以用这两个数先分别除以这个数，再把两个商相加，这就是除法分配律。公式：（a＋b）÷c＝a÷c＋b÷c 应用要领：a与b都是c的倍数，否则免谈。 两个数分别除以一个相同的数，再把商相加，可以先把这两个数相加，再用和除以这个数，这就是除法分配律的逆解运算。 公式：a÷c＋b÷c＝（a＋b）÷c 练习 （63＋54）÷9 （52+65）÷13 96÷24＋24÷24 （2）两个数的差除以一个数，可以用这两个数（被减数和减数）先分别除以这个数，再把两个商相减。这就是除法分配律。（可以和上面的定律合并）公式：（a－b）÷c ＝a÷c－b÷c 应用要领：a与b都是c的倍数，否则免谈。 两个数分别除以一个相同的数，再把商相减，可以先把这两个数相减，再用差除以这个数，这就是除法分配律的逆解运算。（可以和上面的定律合并）公式：a÷c－b÷c ＝（a－b）÷c 应用要领：a与b的差必须是c的倍数，否则免谈。 （1600－96）÷16 （4000－96）÷8 782÷17－422÷17
乘法公式专项过关训练 一计算 (1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1) (1) (x+6)2 （3） (y-5)2 (4) (-2x+5)2 (5) ( 34x-23y)2 (6) (y+3x)(3x-y) (7) (-2+ab)(2+ab) (8) (2x-3)2 (9) (-2x+3y)(-2x-3y) (10) (12m-3)(12 m+3) (11) (13 x+6y)2 (12)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) (13) (x+1)(x-3)-(x+2)2+(x+2)(x-2) (14) (a+2b-1)2 (15) (2x+y+z)(2x-y-z) （16）22)2()2()2)(12(+---+-x x x x (17)1241221232?- （18）(2x ＋3)(2x －3)－(2x-1)2 (19）、(2x ＋y ＋1)(2x ＋y －1) （20）)3)(12(--x x
二、判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)(a-b)(a+b)=a 2-b 2； （ ） (2)(b+a)(a-b)=a 2-b 2； （ ） (3)(b+a)(-b+a)=a 2-b 2； （ ） (4)(b-a)(a+b)=a 2-b 2； （ ） (5)(a-b)(a-b)=a 2-b 2. （ ） (6)(a+b)2=a 2+b 2； （ ） (7)(a-b)2=a 2-b 2； （ ） (8)(a+b)2=(-a-b)2； （ ） (9)(a-b)2=(b-a)2. （ ） 三、填空题 6、______________)3)(32(=-+y x y x ； 7、_______________)52(2=+y x ； 8、______________)23)(32(=--y x y x ； 9、______________)32)(64(=-+y x y x ； 10、________________)22 1(2=-y x 11、____________)9)(3)(3(2=++-x x x ； 12、___________1)12)(12(=+-+x x ； 13、4))(________2(2-=+x x ； 14、_____________)3)(3()2)(1(=+---+x x x x ； 15、____________)2()12(22=+--x x ； 16、224)__________)(__2(y x y x -=-+； 17、______________))(1)(1)(1(42=++-+x a x x x 18、 如果多项式92+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是 。 19、如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是 。 20、()()_________22=--+b a b a ()__________2 22-+=+b a b a 四、1、已知12,3-==+ab b a ，求下列各式的值．（1）22b ab a +- （2） 2)(b a -． 2、．已知________,60,172=+==+y x xy y x 2则 五、计算 1、______________12()12)(12)(12(242=++++）n
乘法公式（基础） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘 法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查
三位数乘两位数练习题300道(立竖式计算) 286 × 25 = 463 × 30 = 856 × 49 = 524 × 36= 275 × 55 = 702 × 36 = 183 × 33 = 300 × 29 = 645 × 91 = 164 × 55 = 106 × 54 = 737 × 64 = 604 × 38 = 464 × 14 = 571 × 13 = 660 × 93 = 205 × 63 = 902 × 93 = 423 × 95 = 152 × 42 = 120 × 24 = 449 × 64 = 454 × 45 = 634 × 34 = 138 × 76 = 135 × 13 = 381 × 13 = 234 × 81 = 754 × 89 = 717 × 51 = 464 × 32 = 177 × 22 =
582 × 35 = 169 × 48 = 645 × 11 = 850 × 65 = 911 × 13 = 166 × 73 = 809 × 52 = 905 × 90 = 262 × 76 = 145 × 11 = 928 × 40 = 168 × 92 = 562 × 75 = 709 × 92 = 984 × 22 = 244 × 87 = 901 × 12 = 180 × 71 = 967 × 39 = 304 × 33 = 967 × 63 = 149 × 83 = 519 × 49 = 740 × 65 = 556 × 60 = 195 × 61 = 347 × 58 = 501 × 36 = 431 × 22 = 995 × 16 = 810 × 31 = 125 × 25 =
乘法公式 一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 要注意等式的特点： （1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数； （2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方． 值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具． 例１下列各式中不能用平方差公式计算的是（）． A．（a－b）（－a－b）B．（a2－b2）（a2＋b2） C．（a＋b）（－a－b）D．（b2－a2）（－a2－b2） 解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b是相同的项，a与－a 是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中a2是相同项，－b2与b2是互为相反数符合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式计算． 例２运用平方差公式计算： （１）（x2－y）（－y－x2）； （２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）． 解：（１）（x2－y）（－y－x2）
＝（－y ＋x2）（－y－x2） ＝(－y)2－（x2）2 ＝y2－x4； （２）（a－3）（a2＋9）（a＋3） ＝（a－3）（a＋3）（a2＋9） ＝（a2－32）（a 2＋9） ＝（a2－9）（a2＋9） ＝a4－81 ． 例３计算： （１）54.52－45.52； （２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)． 分析：（１）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；（２）虽然没有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式，我们可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能够利用公式．正如前文所述，利用平方差可以简化整式的计算． 解：（１）54.52－45.52 ＝（54.5＋45.5）(54.5－45.5)
乘法公式练习题 1.(2004·青海)下列各式中，相等关系一定成立的是( ) A.(x-y)2=(y-x)2 B.(x+6)(x-6)=x2-6 C.(x+y)2=x2+y2 D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6) 2.(2003·泰州)下列运算正确的是( ) A.x2+x2=2x4 B.a2·a3= a5 C.(-2x2)4=16x6 D.(x+3y)(x-3y)=x2-3y2 3.(2003·河南)下列计算正确的是( ) A.(-4x)·(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x B.(x+y)(x2+y2)=x3+y3 C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2 D.(x-2y)2=x2-2xy+4y2 4.(x+2)(x-2)(x2+4)的计算结果是( ) A.x4+16 B.-x4-16 C.x4-16 D.16-x4 5.19922-1991×1993的计算结果是( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 6.对于任意的整数n，能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是( ) A.4 B.3 C.5 D.2 7.( )(5a+1)=1-25a2，(2x-3) =4x2-9，(-2a2-5b)( )=4a4-25b2 8.99×101=( )( )= . 9.(x-y+z)(-x+y+z)=[z+( )][ ]=z2-( )2. 10.多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方，则k= . 11.(a+b)2=(a-b)2+ ，a2+b2=[(a+b)2+(a-b)2]( )， a2+b2=(a+b)2+ ，a2+b2=(a-b)2+ . 12.计算. (1)(a+b)2-(a-b)2； (2)(3x-4y)2-(3x+y)2；
乘法公式的几何背景 1、如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为． 第2题 2、如图所示，用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是． 3、如图，图①是边长为a的正方形中有一个边长是b的小正方形，图②是将图①中的阴影部分剪拼成的一个等腰梯形，比较图①和图②阴影部分的面积，可验证的是． 第4题图 4、用该几何图形的面积可以表示的等量关系是． 5、如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形．请你计算出两个阴影部分的面积，同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义． 6、如图1，A、B、C是三种不同型号的卡片，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为 b、宽为a的长方形，C是边长是b的正方形． 7、小杰同学用1张A型、2张B型和1张C型卡片拼出了一个新的图形（如图2）．请根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的公式是．8、图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．
（1）你认为图1的长方形面积等于； （2）将四块小长方形拼成一个图2的正方形．请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1： 方法2： （3）观察图2直接写出代数式（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系； （4）把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部（如图3），未被覆盖的部分用阴影表示．求两块阴影部分的周长和（用含m、n的代数式表示）． 9、如图，ABCD是正方形，P是对角线BD上一点，过P点作直线EF、GH分别平行于AB、BC，交两组对边于E、F、G、H，则四边形PEDG，四边形PHBF都是正方形，四边形PEAH、四边形PGCF都是矩形，设正方形PEDG的边长是a，正方形PHBF的边长是b．请动手实践并得出结论： （1）请你动手测量一些线段的长后，计算正方形PEDG与正方形PHBF的面积之和以及矩形PEAH与矩形PGCF的面积之和． （2）你能根据（1）的结果判断a2+b2与2ab的大小吗？ （3）当点P在什么位置时，有a2+b2=2ab？
第 1 页 共 16 页 乘法公式 概念总汇 1、平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即 （a +b ）（a -b ）=a 2 -b 2 说明： （1）几何解释平方差公式 如右图所示：边长a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。 第一种：用正方形的面积公式计算：a 2－b 2； 第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（a ＋b ），宽为（a －b ）， 它的面积是：（a ＋b ）（a －b ） 结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。 所以：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）。 （2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。平方差公式的a 和b ，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算 2、完全平方公式 完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即 （a +b ）2 =a 2 +2ab +b 2 ，（a -b ）2 =a 2 -2ab +b 2 这两个公式叫做完全平方公式。平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式 说明： （1）几何解释完全平方（和）公式 如图用多种形式计算右图的面积 第一种：把图形当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：（a ＋b ）2 第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的
第 2 页 共 16 页 长方形来看，其中大正方形的的边长是a ，小正方形 的边长是b ，长方形的长是a ，宽是b ，所以 它的面积就是：a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2 结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积 所以：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2 （2）几何解释完全平方（差）公式 如图用多种形式计算阴影部分的面积 第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：（a -b ）2 第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的 长方形来看，长方形小正方形大正方形阴影S S S S ?=2-- 其中大正方形的的边长是a ，小正方形的边长是b ，长方形的长是（a -b ），宽是b ，所以 它的面积就是：()2 2 2 2 22b ab a b b a b a +-=?-?-- 结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积 所以：()222 2b ab a b a +-=- （3）在进行运算时，防止出现以下错误：（a +b ）2=a 2+b 2，（a -b ）2=a 2-b 2 。要注意符号的处理，不同的处理方法就有不同的解法，注意完全平方公式的变形的运用。完全平方公式的a 和b ，可以表示任意的数或代数式，因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘，而可以扩大到两个多项式相乘，但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式，完全平方公式有着广泛的应用，尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用 方法引导 1、乘法公式的基本计算 例1 利用平方差公式计算： （1）（3x ＋5y ）（3x －5y ）； （2）（0.5b ＋a ）（-0.5b ＋a ） （3）（-m ＋n ）（-m －n ） 难度等级：A
乘法公式的拓展及常见题型整理 例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---222 2)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=2 2 713，，则a b 22 +=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++2 2 ，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+- ，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2 =m ，(a —b)2 =n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-2 2)32()32(， 则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ 例题：已知(a+b)2 =7,(a-b)2 =3, 求值: (1)a 2 +b 2 (2)ab 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1 x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422 +-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值 是 ． （四）步步为营 例题：3?(22 +1)?(24 +1)?(28 +1)?(162+1) 6?)17(+?(72+1)?(74+1)?(78+1)+1 ()( )()()()224 4 8 8 a b a b a b a b a b -+ +++ 1)12()12()12()12()12()12(3216842++?+?+?+?+?+
八年级上册14.2乘法公式练习题 一、选择题 1. 下列算式能用平方差公式计算的是() A.(x?2)(x+1) B.(2x+y)(2y?x) C.(?2x+y)(2x?y) D.(x+1)(x?1) 2. 下列二次三项式是完全平方式的是() A.x2?8x?16 B.x2+8x+16 C.x2?4x?16 D.x2+4x+16 3. 已知(x?3)2=x2+ax+b，则ab的值为（） A.18 B.?18 C.54 D.?54 4. 一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加57cm2，则这个正方形的边长是（） A.10cm B.5cm C.6cm D.8cm 5. 下列运算正确的是() A.(x+3y)(x?3y)=x2?3y2 B.(x?3y)(x?3y)=x2?9y2 C.(?x+3y)(x?3y)=?x2?9y2 D.(?x+3y)(?x?3y)=x2?9y2 6. 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a+ b)2?(a?b)2＝4ab．那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒
等式，此等式是（） A.a2?b2＝(a+b)(a?b) B.(a?b)(a+2b)＝a2+ab?b2 C.(a?b)2＝a2?2ab+b2 D.(a+b)2＝a2+2ab+b2 7. 下列各式中，不能运用平方差公式进行计算的是() A. B. C. D. 8. 下列各多项式相乘：①(?2ab+5x)(5x+2ab);②(ax? y)(?ax?y);③(?ab?c)(ab?c);④(m+n)(?m?n).其中可以用平方差公式的有（） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 9. 图中，阴影部分面积等于（） A.a2+b2 B.a2?b2 C.ab D.2ab 二、填空题 10. 三个连续偶数，若中间一个是n，则它们的积为________．
乘法公式（提高） 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：()()a b a b +-=22b a -. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，a ，b 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+； （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232 ()()m n m n +-； （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+； （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：=+2)(b a 222b ab a ++ ()2a b -=222b ab a +- 两数和 （差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+；ab b a b a 4)()(22+-=+. 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式 2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±； 33223()33a b a a b ab b ±=±+±； 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.
乘法公式 知识点：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 立方公式：(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3 例1．计算 （1）)3121)(312 1(b a b a +- （2）(2x+3)（3-2x ） （3）(-y+2x)(-y-2x) （4）)3)(3(22-+m m 例2．计算 （1）2)(b a - （2） 2)2(y x + （3）2)3221(y x +- （4） 2)(c b a ++ 例3．计算22)2()2)(2(2)2(n m n m n m n m -+-+-+ 例4．计算 （1）(3x+4y-2z)(3x-4y+2z) （2）)23)(32()1(42 x x x x x -++-
例5．计算 （1）)12)(12)(12)(12)(12(16842+++++ （2）298.99 例6．已知a+b=1， 21-=ab 、求（1）22b a + （2）2)(b a - 基础练习 1．计算 （1）49.8×50.2 （2）89×91 （3） 31493250? （4）2995 2．运用乘法公式计算 （1）2 )]12)(21[(+-a a （2）))((z y x z y x +-++ （3）)2131)(3121(x y y x +-
（4）)4)(2)(2(2--+x x x （5）22)12()12(--+x x 3．计算 （1）(x-1)(x+2)-(x+3)(x-3) （2）(3x+4y)(-4y-3x)+9x(x+y) （3）)(8)2(22b a b b a +-- （4）22)221()221)(221(2)22 1(b a b a b a b a ++-++- 4．解方程 )1)(1()12(2)31(22y y y y +-=--- 5．已知5)( , 4)(22=-=+b a b a 、求22b a +及ab 。 提高题 1. （一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082． （1）一变：利用平方差公式计算： 22007200720082006 -?．
乘法公式教案3 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
学习目标 1. 使学生进一步熟练掌握乘法公式，能灵活运用进行混合运算和化简、求值． 2.在应用公式的过程中，提高变形应用公式的能力 【课前准备】： 一、回忆上节课所学的乘法公式： 1.完全平方公式：2)(b a += ； 2)(b a -= 平方差公式：))((b a b a -+= 2.用乘法公式计算 ①2)35(p + ②2)72(y - ③2)52(--a ④)5)(5(b a b a -+ 【探索新知】 例1、计算： ⑴)9)(3)(3(2++-x x x ⑵ 22)32()32(-+x x ⑶ )4)(4(++-+y x y x ⑷()()()() 1121212126442+++++ 课堂练习：计算： ①()()()n m n m n m +--22 ②(xy +1)2(xy -1)2 ③(a +b +3)(a - b -3) ④()()c b a c b a --+--
例3、计算：⑴2)(c b a -+ ⑵2)132(+-y x 达标检测 1．填空： ①4 1)(91)2131(22++=-m m ； ②；若1222=-y x ，x ＋y ＝6，则x －y ＝ ，x ＝ ，y ＝ ． ③观察下列各式(x-1)(x+1) =x 2-1，(x-1)(x 2+x+1)=x 3-1，(x-1) (x 3+x 2+x+1)=x 4-1，根据规律可得(x-1)(x n +x n –1+…+x+1)= ． 2.选择： ①如果1212++ax x 是两个数的和的平方的形式，那么a 的值是（ ） A ．22 B ．11 C ．±22 D ．±11 ②若()()A y x y x +-=+2 22323，则代数式A=（ ） A ．xy 12- B ．12xy C ．24xy D ．-24xy 3.利用乘法公式进行计算： (1))1)(1)(1)(1(42++-+x x x x (2) (3x+2)2 - (3x-5)2 (3) (x-2y+1)(x+2y-1) (4) (2x+3y)2(2x-3y)2
乘法公式 同学们,大家好: 今天和大家一起来复习乘法公式.在初中我们学过这两组乘法公式: ⑴平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－b2. ⑵完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 今天我们再来学习几个乘法公式,在高中会经常用到它们. ⑶三数和平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 证明:(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 注:①大家要总结公式的规律,方便记忆和运用:三数和平方,等于这三个数的平方和,加上每两个数积的2倍; ②如果括号里有负号,把它看作加“负数”,仍用这个公式计算. 例1 计算⑴(x+2y+z)2; ⑵(m－n－3)2. 解:⑴原式=x2+(2y)2+z2+2x·2y+2xz+2·2yz=x2+4y2+z2+4xy+2xz+4yz. ⑵原式=m2+(－n)2+(－3)2+2m·(－n)+2m(－3)+2(－n)(－3)=m2+n2+9－2mn－6m+6n. 例2 已知长方体的对角线长8,全面积为132,求所有棱长的和. 解:设长方体的长,宽,高分别为a,b,c,则对角线长a2+b2+c2=8,即a2+b2+c2=64, 全面积S=2ab+2ac+2bc=132,求所有棱长的和,即求4(a+b+c),先求a+b+c. ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=64+132=196=142, ∴a+b+c=14,所有棱长的和为4(a+b+c)=4×14=56 ⑷立方和公式:(a+b)(a2－ab+b2)=a3+b3. 立方差公式:(a－b)(a2+ab+b2)=a3－b3 证明:(a+b)(a2－ab+b2)=a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3 (a－b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2－a2b－ab2－b3=a3－b3. 注:③这两个公式左边是两个数的和(或者差),与一个二次三项式相乘,其首末两项是这 两个数的平方和,中间减去(或加上)它们的积,不是积的2倍,所以它不是完全平方式 ．．．．．．．．．．. 右边是这两个数的立方和(或者立方差).