复合函数求导练习题
一．选择题（共26小题）
1．设，则f′（2）=（）
A．B．C．D．
2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）
A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D．
3．下列式子不正确的是（）
A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2
C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=
4．设f（x）=sin2x，则=（）
A．B．C．1 D．﹣1
5．函数y=cos（2x+1）的导数是（）
A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）
C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）
6．下列导数运算正确的是（）
A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1
7．下列式子不正确的是（）
A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2x
C．D．
8．已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（）
A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3
9．函数的导数是（）
A． B．
C．D．
10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）
A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x
11．y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
12．下列求导运算正确的是（）
A． B．
C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x
13．若，则函数f（x）可以是（）
A．B．C．D．lnx
14．设
，则f2013（x）=（）
A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x）
C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x）
15．设f（x）=cos22x，则=（）
A．2 B．C．﹣1 D．﹣2
16．函数的导数为（）
A．B．
C．D．
17．函数y=cos（1+x2）的导数是（）
A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2）
18．函数y=sin（﹣x）的导数为（）
A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+）
19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）
A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）20．函数y=sin（2x2+x）导数是（）
A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）
C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）
21．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）
A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x
22．函数的导函数是（）
A．f'（x）=2e2x B．
C．D．
23．函数的导数为（）
A．B．
C．D．
24．y=sin（3﹣4x），则y′=（）
A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）25．下列结论正确的是（）
A．若，B．若y=cos5x，则y′=﹣sin5x
C．若y=sinx2，则y′=2xcosx2D．若y=xsin2x，则y′=﹣2xsin2x
26．函数y=的导数是（）
A．B．
C．D．
二．填空题（共4小题）
27．设y=f（x）是可导函数，则y=f（）的导数为．
28．函数y=cos（2x2+x）的导数是．
29．函数y=ln的导数为．
30．若函数，则的值为．
参考答案与试题解析
一．选择题（共26小题）
1．（2015春?拉萨校级期中）设，则f′（2）=（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵f（x）=ln，令u（x）=，则f（u）=lnu，
∵f′（u）=，u′（x）=?=，
由复合函数的导数公式得：
f′（x）=?=，
∴f′（2）=．
故选B．
2．（2014?怀远县校级模拟）设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）
A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D．
【解答】解：由已知g′（1）=2，而，
所以f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，
又g（1）=3，
故f（1）=g（1）+1+ln1=4，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，
故选A．
3．（2014春?永寿县校级期中）下列式子不正确的是（）
A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2
C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=
【解答】解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′=6x﹣sinx成立，故A正确
对于选项B，成立，故B正确
对于选项C，（2sin2x）′=4cos2x≠2cos2x，故C不正确
对于选项D，成立，故D正确
故选C
4．（2014春?晋江市校级期中）设f（x）=sin2x，则=（）A．B．C．1 D．﹣1
【解答】解：因为f（x）=sin2x，所以f′（x）=（2x）′cos2x=2cos2x．
则=2cos（2×）=﹣1．
故选D．
5．（2014秋?阜城县校级月考）函数y=cos（2x+1）的导数是（）
A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）
C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）
【解答】解：函数的导数y′=﹣sin（2x+1）（2x+1）′=﹣2sin（2x+1），
故选：C
6．（2014春?福建月考）下列导数运算正确的是（）
A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1 【解答】解：根据导数的运算公式可得：
A，（x+）′=1﹣，故A错误．
B，（2x）′=lnx2x，故B错误．
C，（cosx）′=﹣sinx，故C错误．
D．（xlnx）′=lnx+1，正确．
故选：D
7．（2013春?海曙区校级期末）下列式子不正确的是（）
A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2x
C．D．
【解答】解：因为（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx，所以选项A正确；
（sin2x）′=2cos2x，所以选项B正确；
，所以C正确；
，所以D不正确．
故选D．
8．（2013春?江西期中）已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（）
A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3
【解答】解：∵f′（x）=2e2x+1﹣3，∴f′（0）=2e﹣3．
故选C．
9．（2013春?黔西南州校级月考）函数的导数是（）A． B．
C．D．
【解答】解：∵函数，
∴y′=3cos（3x+）×3=，
故选B．
10．（2013春?东莞市校级月考）已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x
【解答】解：由f（x）=sin2x，则f′（x）=（sin2x）′=（cos2x）?（2x）′=2cos2x．所以f′（x）=2cos2x．
故选D．
11．（2013秋?惠农区校级月考）y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【解答】解：∵y=e sinx cosx（sinx），
∴y′=（e sinx）′cosx（sinx）+e sinx（cosx）′（sinx）+e sinx（cosx）（sinx）′
=e sinx cos2x（sinx）+e sinx（﹣sin2x）+e sinx（cos2x）
∴y′（0）=0+0+1=1
故选B
12．（2012秋?珠海期末）下列求导运算正确的是（）
A． B．
C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x
【解答】解：因为，所以选项A不正确；
，所以选项B正确；
（（2x+3）2）′=2（2x+3）?（2x+3）′=4（2x+3），所以选项C不正确；
（e2x）′=e2x?（2x）′=2e2x，所以选项D不正确．
故选B．
13．（2012秋?朝阳区期末）若，则函数f（x）可以是（）A．B．C．D．lnx
【解答】解：；
；
；
．
所以满足的f（x）为．
故选A．
14．（2012秋?庐阳区校级月考）设
，则f2013（x）=（）
A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x）
C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x）
【解答】解：∵f0（x）=sin2x+cos2x，∴f1（x）==2（cos2x﹣sin2x），f2（x）==22（﹣sin2x﹣cos2x），
f3（x）==23（﹣cos2x+sin2x），f4（x）==24（sin2x+cos2x），…
通过以上可以看出：f n（x）满足以下规律，对任意n∈N，．
∴f2013（x）=f503×4+1（x）=22012f1（x）=22013（cos2x﹣sin2x）．
故选：B．
15．（2011?潜江校级模拟）设f（x）=cos22x，则=（）
A．2 B．C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：∵f（x）=cos22x=
∴=﹣2sin4x
∴
故选D．
16．（2011秋?平遥县校级期末）函数的导数为（）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵
∴
∴=
故选D
17．（2011春?南湖区校级月考）函数y=cos（1+x2）的导数是（）
A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2）
【解答】解：y′=﹣sin（1+x2）?（1+x2）′=﹣2xsin（1+x2）
故选C
18．（2011春?瑞安市校级月考）函数y=sin（﹣x）的导数为（）
A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+）【解答】解：∵函数y=sin（﹣x）可看成y=sinu，u=﹣x复合而成且y u′=（sinu）′=cosu，
∴函数y=sin（﹣x）的导数为y′=y u′u x′=﹣cos（﹣x）=﹣sin[﹣（﹣x）]=﹣sin （+x）
故答案选D
19．（2011春?龙港区校级月考）已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）
A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）【解答】解：∵对任意实数x，f′（x）＞f（x），
令f（x）=﹣1，则f′（x）=0，满足题意
显然选项A成立
故选A．
20．（2010?永州校级模拟）函数y=sin（2x2+x）导数是（）
A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）
C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）
【解答】解：设y=sinu，u=2x2+x，
则y′=cosu，u′=4x+1，
∴y′=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），
故选C．
21．（2010?祁阳县校级模拟）函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）
A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x
【解答】解：
将y=sin2x写成，
y=u2，u=sinx的形式．
对外函数求导为y′=2u，
对内函数求导为u′=cosx，
故可以得到y=sin2x的导数为
y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x
故选D
22．（2010春?朝阳区期末）函数的导函数是（）
A．f'（x）=2e2x B．
C．D．
【解答】解：对于函数，
对其求导可得：f′（x）===；故选C．
23．（2009春?房山区期中）函数的导数为（）
A．B．
C．D．
【解答】解：令y=3sint，t=2x﹣，则y′=（3sint）′?（2x﹣）′=3cos（2x﹣）?2=，
故选A．
24．（2009春?瑞安市校级期中）y=sin（3﹣4x），则y′=（）
A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）【解答】解：由于y=sin（3﹣4x），
则y′=cos（3﹣4x）×（3﹣4x）′=﹣4cos（3﹣4x）
故选D
25．（2006春?珠海期末）下列结论正确的是（）
A．若，B．若y=cos5x，则y′=﹣sin5x
C．若y=sinx2，则y′=2xcosx2D．若y=xsin2x，则y′=﹣2xsin2x
【解答】解：函数的导数为，，∴A错误
函数y=cos5x的导数为：y′=﹣5sin5x，∴B错误
函数y=sinx2的导数为：y′=2xcosx，，∴C正确
函数y=xsin2x的导数为：y′=sin2x+2xcos2x，∴D错误
故选C
26．函数y=的导数是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由复合函数的求导法则可得，?[ln（x2+1）]′ln2
=（1+x2）′ln2
=?ln2
故选A
二．填空题（共4小题）
27．（2013春?巨野县校级期中）设y=f（x）是可导函数，则y=f（）的导数为
y′=f′（）．
【解答】解：设y=f（u），u=，
则y′=f'（u），u′=，
∴y′=f′（）
故答案为：y′=f′（）．
28．（2013春?吴兴区校级月考）函数y=cos（2x2+x）的导数是﹣（4x+1）sin（2x2+x）．
【解答】解：y′=﹣（4x+1）sin（2x2+x），
故答案为﹣（4x+1）sin（2x2+x）．
29．（2012?洞口县校级模拟）函数y=ln的导数为．
【解答】解：y′=（）′=?
（）′=?.
=?=
故答案为：
30．（2009春?雁塔区校级期中）若函数，则的值为
．
【解答】解：由
故
=故答案为：．
简单复合函数的导数 一、基础知识梳理： （一）常用的求导公式 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1 7.()log ,'()(0,1); ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则 （二）复合函数的求导数公式 若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' =''+'='?'±'='± （三）复合函数求导法则 1、二重复合：若)(u f y =， )(x u φ= 且)(x u φ=在点x 处可导。 则)()('?'='x u f y φ 2、多次复合函数求导法则类推 二、典型例题分析： 例1、求下列函数的导数； 1）、3 (23)y x =- 2）、ln(51)y x =+
练习：求下列函数的导数 1）、2 (23)y x =+ 2）、3 (13)y x =- 例2、求下列函数的导数； 1）、1 31 y x = - 2)、cos(12)y x =- 练习：求导数； 1）、1ln y x = 2）、2x y e = 3）、求曲线sin 2y x =在点P （,0π）处的切线方程。 例题3 已知(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1f f g g ==== ，根据下列条件 求(5)h 及'(5)h 1）、()3()2()h x f x g x =+ 2）、 ()()()1h x f x g x =+ 3）、()2 ()() f x h x g x +=
复合函数求导练习题 一．选择题（共26小题） 1．设，则f′（2）=（） A．B．C．D． 2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（） A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D． 3．下列式子不正确的是（） A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2 C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′= 4．设f（x）=sin2x，则=（） A．B．C．1 D．﹣1 5．函数y=cos（2x+1）的导数是（） A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1） C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1） 6．下列导数运算正确的是（） A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1 7．下列式子不正确的是（） A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2x C．D． 8．已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（） A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3 9．函数的导数是（） A． B． C．D． 10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（） A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x 11．y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（） A．0 B．1 C．﹣1 D．2
12．下列求导运算正确的是（） A． B． C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x 13．若，则函数f（x）可以是（） A．B．C．D．lnx 14．设 ，则f2013（x）=（） A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x） C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x） 15．设f（x）=cos22x，则=（） A．2 B．C．﹣1 D．﹣2 16．函数的导数为（） A．B． C．D． 17．函数y=cos（1+x2）的导数是（） A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2） 18．函数y=sin（﹣x）的导数为（） A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+） 19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（） A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）20．函数y=sin（2x2+x）导数是（） A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x） C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x） 21．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（） A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x 22．函数的导函数是（） A．f'（x）=2e2x B． C．D．
当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）4 x x y = ； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。 （2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。 （4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+
复合函数求导及应用 求y ＝(3x ＋2)2，f (u )＝u 2，g (x )＝3x ＋2的导数． 1．复合函数的概念 对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))． 2．复合函数的求导法则 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 题型一 简单的复合函数求导问题 [例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e sin x ；(3)??? ? ?+=32sin πx y ；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)． [解] (1)设21u y =，u ＝1－2x 2，则y ′＝(21u )′(1－2x 2 )′＝2121-u ·(－4x ) ＝()21 2 2-121-x (－4x )＝－2x 1－2x 2 . (2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin x cos x . (3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos （2x+3 π）. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝ 102x ＋1ln 2 . 复合函数的求导步骤
反思感悟： 1.2.3 简单复合函数的导数 （文科：补充） 教师版 班级：高二（ ）班 姓名： 时间： 月 日 一、学习目标 1. 了解复合函数的概念； 2. 理解简单复合函数的求导法则； 3. 会求简单的复合函数的导数. 教学重、难点：简单复合函数的求导法则的理解与应用. 本课内容简析：本课从两个实例入手，归纳、总结出了简单复合函数的求导 法则. 在学习中，要注意对简单复合函数的求导法则的准确理解和应用. 二、自学内容 阅读选修2-2 P23（文科 见导学案附），然后尽可能．．．用多．．种．方法．． 完成下列练习. 1. 已知sin 2y x =，求y '. （教材P23） 解：法一：[](sin 2)2(sin cos )2(sin )cos sin (cos )y x x x x x x x '''''===+ 222(cos sin )2cos2x x x =-=. 法二：sin 2y x =可由sin y u =及2u x =复合而成，从而cos 22cos2x y u x '=?=. 2. 已知2x y e =，求y '. 解：法一：22()()()()2x x x x x x x x y e e e e e e e e '''''==?=?+?=. 法二：2x y e =可由u y e =及2u x =复合而成， 从而2()222u u x x u x y y u e e e ''''=?=?==. 3. 已知2(23)y x =+，求y '. 解：法一：∵24129y x x =++，∴812y x '=+. 法二：[](23)(23)(23)(23)(23)(23)812y x x x x x x x ''''=++=+++++=+. 法三：2(23)y x =+可由2y u =及23u x =+复合而成，从而22812x y u x '=?=+. 三、问题探究 例1 求下列函数的导数： （1）3(23)y x =-； （2）ln(51)y x =+； 解：（1）3(23)y x =-可由3y u =及23u x =-复合而成， 从而322()266(23)x u x y y u u u x ''''=?=?==-. （2）ln(51)y x =+可由ln y u =及51u x =+复合而成， 从而55(ln )551x u x y y u u u x ''''=?=?==+.
复合函数求导方法和技巧 毛涛 （理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班， 723000） 指导老师：延军 [摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的 定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现 的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的 有效学习。 [关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用 1引言 复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向层逐层求导（或者也可以由层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。 2复合函数的定义 如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数[]()y f g x =叫做函数()y f x =和()a g x =的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。 3导数的四则运算
复合函数求导公式函数求导法则有哪些 对于高中生来说，想要学好数学，就要了解公式。函数是高中数学的一 个难点，那幺，符合函数公式有哪些呢？下面和小编一起来看看吧！ 1 复合函数求导公式有哪些1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)； 2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)； 拓展： 1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。 2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数 y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。 3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则 y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+). 4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。 1 复合函数怎幺求导复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中 间变量对自变量的导数。 举个例子来说：F(x)=In(2x+5),这个函数就是个复合函数，设u=2x+5，则u
复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则 复合函数如何求导？大学符合函数求导公式有哪些？下文小编给大家整 理了复合函数的求导公式及法则，供参考！ ?复合函数求导公式 ? ? ?复合函数求导法则证法一：先证明个引理 ?f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0 连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) ?证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0 ?因lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) ?所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) ?反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0), x∈U(x0) ?因存在极限lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->;x0) f'(x)=H(x0) ?所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) ?引理证毕。 ?设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) ?证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)
简单复合函数求导 教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则． 教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积． 教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 一．创设情景 （一）基本初等函数的导数公式表 （二）导数的运算法则 导数运算法则 1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]''' ()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] '''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可函数 导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =?> ()x y f x e == 'x y e = ()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =
以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。 复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 三．典例分析 例1求y ＝sin （tan x 2）的导数． 【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x a x 22--的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－ 21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步． 例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离． 【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0． 显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2 |1271431|++-＝22716． 四．课堂练习 1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）1 22sin -= x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数
习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ??? ? ?-=221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解 （1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。 （2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。 （3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。 （4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。 （5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。 （6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。
（7 ）1'2y = 。 （8 ）2 2 'x x y --= = 1 22 2--x e x 。 （9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。 （10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。 （11 ）'y == 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。 （12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。 （13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。 （14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。
复合函数求导练习题及解答 1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f； ?yf?f?。 ?x?x f?f 取极限求导数f’?lim ?x?0?x 求平均变化率 2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点f’的导数就是导函数f，当x?x0时的函数值。．常用的导数公式及求导法则：公式 ①C?0，③’??sinx ‘ ②’?cosx ④’?nxn?1 ⑥’?ex ⑤’?axlna ⑦? ‘ 11’ ⑧? xlnax11’’ cotx)??⑨? ⑩法则：[f?g]?[f]?[g]， [fg]’?f’g?g’f f’f’g?g’f [ ]?2 gg 例：
32 y?xx?4y? ?? sinx x y?3cosx?4sinx y??2x?3? y?ln?x?2? 2 复合函数的导数 如果函数?在点x处可导，函数f 在点u=?处可导，则复合函数y= f =f [?]在点x处也可导，并且 ])ˊ= 或记作熟记链式法则 若y= f ，u=?? y= f [?]，则 f?????? ??u?y?x=yux y?x=f??? 若y= f ，u=?，v=? ? y= f [?)]，则 ?? y?x=f??? 复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成 的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四
则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。 例1函数y? 1 的导数. 4 解：y? 1?4 ． ?4 ，u?1?3x，则 设y?u ?4 y’x?y’u?u’x?’u?’x ??4u ?5 ??12u?5?12?5? 12 ． 例2求y?x 的导数． 1?x 15
函数求导 1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限） （1）求函数的增量)()(00x f x x f y -?+=?； （2）求平均变化率 x x f x x f x y ?-?+=??)()(00。 （3）取极限求导数=)(0'x f x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 000 2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点)(0'x f 的导数就是导函数)(x f ，当0x x =时的函数值。 3．常用的导数公式及求导法则： （1）公式 ①0' =C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-= ④1')(-=n n nx x ⑤a a a x x ln )('= ⑥x x e e =')( ⑦a x x a ln 1)(log ' = ⑧x x 1)(ln ' = ⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（x x 2' sin 1)cot -= （2）法则：' '')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±， )()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f += ) ()()()()(])()([2 '''x g x f x g x g x f x g x f -= 例： （1）() 32 4y x x =- （2）sin x y x = （3）3cos 4sin y x x =- （4）()2 23y x =+ （5）()ln 2y x =+
复合函数的导数 如果函数)(x ?在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ?处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ?]在点x 处也可导，并且 (f [)(x ?])ˊ= [])(x f ?')(x ?' 或记作 x y '=u y '?x u ' 熟记链式法则 若y= f (u )，u=)(x ?? y= f [)(x ?]，则 x y '=)()(x u f ?'' 若y= f (u )，u=)(v ?，v=)(x ψ? y= f [))((x ψ?]，则 x y '=)() ()(x v u f ψ?''' （2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成 的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。 例1函数4 )31(1 x y -= 的导数. 解：4 ) 31(1x y -= 4 )31(--=x ． 设4 -=u y ，x u 31-=，则 x u x u y y '''?=x u x u )'31()'(4-?=- )3(45 -?-=-u 55)31(1212---==x u 5 ) 31(12 x -= ．
§1.2.3简单的复合函数求导法则 【学习目标】 1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则； 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。 【重点、难点】 重点：简单复合函数的求导法则； 难点：复合函数的导数。 一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1 )'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= 2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x ). 4.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 【思考】下列函数（1）用基本初等函数求导公式如何求导？（2）（3）能用学过的公式求 导吗？（1）2)32(+=x y （2）)2ln(-=x y （3）1005+-=x e y 二．新知探究 复合函数的导数求解法则： 复合函数))((x g f y =的导数和函数)(u f y =，)(x g u =的导数间的关系为： x u x u y y '''?= 三．典例分析 例1：写出函数10)34(+-=x y 的中间变量，并利用复合导数的求导法则求出此函数的导数。 例2：求下列函数的导数 （1）)2ln(-=x y （2）1005+-=x e y （3）)4sin(+=x y π （4）1 2-= x y 【说明】①求复合函数的导数的关键，在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量； ②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆； ③在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤．
简单复合函数的导数 一、基础知识梳理： （一）常用的求导公式 （二）复合函数的求导数公式 若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 （三）复合函数求导法则 1、二重复合：若)(u f y =， )(x u φ= 且)(x u φ=在点x 处可导。 则)()('?'='x u f y φ 2、多次复合函数求导法则类推 二、典型例题分析： 例1、求下列函数的导数； 1）、3(23)y x =- 2）、ln(51)y x =+ 练习：求下列函数的导数 1）、2(23)y x =+ 2）、3(13)y x =- 例2、求下列函数的导数； 1）、131 y x =- 2)、cos(12)y x =- 练习：求导数； 1）、1ln y x = 2）、2x y e = 3）、求曲线sin 2y x =在点P （,0π）处的切线方程。 例题3 已知(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1f f g g ==== ，根据下列条件 求(5)h 及'(5)h 1）、()3()2()h x f x g x =+ 2）、 ()()()1h x f x g x =+ 3）、()2()()f x h x g x += 巩固练习 1.函数y =2) 13(1-x 的导数是 A.3)13(6-x B.2)13(6-x C.－3 )13(6-x D.－2)13(6-x 2.已知y =2 1sin2x +sin x ,那么y ′是 A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值，又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 3.函数y =sin 3(3x +4 π)的导数为
A.3sin 2(3x + 4π)cos(3x +4π) B.9sin 2(3x +4π)cos(3x +4 π) C.9sin 2(3x +4π) D.－9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) 4.函数y =cos(sin x )的导数为 A.－［sin(sin x )］cos x B.－sin(sin x ) C.［sin(sin x )］cos x D.sin(cos x ) 5.函数y =cos2x +sin x 的导数为 A.－2sin2x +x x 2cos B.2sin2x +x x 2cos C.－2sin2x +x x 2sin D.2sin2x －x x 2cos 6.过曲线y =1 1+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为 A.2y －8x +7=0 B.2y +8x +7=0 C.2y +8x －9=0 D.2y －8x +9=0 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.函数y =(1+sin3x )3是由___________两个函数复合而成. 8.曲线y =sin3x 在点P （3 π,0）处切线的斜率为___________. 9.函数y =x sin(2x －2π)cos(2x +2 π)的导数是 . 10.函数y =)32cos(π- x 的导数为 . 11.函数y =cos 3x 1的导数是___________. 复合函数的导数 1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.A 7.y =u 3,u =1+sin3x 8.－3 9.y ′=21sin4x +2x cos4x 10.)32cos()32sin(ππ---x x 11.x x x 1sin 1cos 122?
2)()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'=''=''+'='?'±'='±1 0; 2.(),'(); 3.()sin ,'()cos ; 4.()cos ,'()sin ; 5.(),'()ln (0); 6.(),'(); 17.()log ,'()(0,1);ln 8.n n x x x x a f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -======-==>==== >≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则 二、复合函数的导数 若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 三、基础运用举例 1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1 D 2 2 经过原点且与曲线y =5 9++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25 x +y =0 C x +y =0或25x －y =0 D x －y =0或25 x －y =0 3 若f ′(x 0)=2,k x f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________ 4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________ 5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程 6 求函数的导数 (1)y =(x 2－2x +3)e 2x ; (2)y =3 1x x -
§5 简单复合函数的求导法则 一、教学目标：1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。 二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用 教学难点：简单复合函数的求导法则的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。 1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= 2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '= 法则3 ' 2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ??? （二）、引入新课 海上一艘油轮发生了泄漏事故。泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S (单位：m 2)是油膜半径r (单位：m)的函数：2)(r r f S π==。 油膜的半径r 随着时间t （单位：s ）的增加而扩大，假设r 关于t 的函数为12)(+==t t r ?。 油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率是多少？ 分析：由题意可得S 关于t 的新的函数：2)12())((+==t t f S π?。 油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率就是函数))((t f S ?=的导函数。 ∵ )144()12())((22++=+=t t t t f ππ?， ∴ )12(4)48(]))(([+=+='t t t f ππ?。 又 r r f π2)(='， 2)(='t ?， 可以观察到 22)12(4?=+r t ππ，
复合函数的求导 【教材分析】我校选用的人教A版教材，在新课标中对于这节内容的要求是掌握运用，在实际教学中要注意对学生的练习训练。这节内容分散在函数的教学任务当中，与函数的综合运用紧密联系在一起，注重考查学生对于函数知识的理解和运用。复合函数求导的重要内容既涉及常见函数的求导法则，同时要求学生能准确理解复合函数的求导法则，熟练掌握复合函数的求导方法，这是教材导数部分的重点也是难点。在教学设计的整体思路上采用由特殊到一般，由简单到复杂的思想，以教师精讲，学生多练，结合启发式教学法、比较法等方法发挥学生主体作用。 【学情分析】我带两个文科班级，学生的数学底子薄弱，尤其在函数方面的知识应用的能力需要提高。在高一阶段的函数知识的学习上，可以感觉到学生在这一方面的学习上还有不少缺陷，但限于课时的安排，只能暂时割弃。这样，学生在函数的理解上就处于半懂半不懂的状态，还需要进行一定量的强化练习才能在函数的有关习题中获得自己的一些体会。在涉及到复合函数的知识中，学生容易不理解其概念意义，从而在学习上遇到很大的困难。在前面的学习当中，一些学生已经暴露出一些迷惑，再加上在函数内容的学习中有了一些短处，在研究复合函数的相关性质上，难度就进一步加大了。在不影响教学进度的情况下，对于这类内容的讲解会适当放慢，加大学生课堂思考的时间，争取可以在课堂上解决一些疑问。再配合课下的一些相关练习，让学生可以理解清晰，掌握明白。 【教学目标】 1、知识与技能 理解掌握复合函数的求导法则，能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导。 2、过程与方法 回顾函数的求导法则以及复合函数的相关概念，在学习当中，采用由特殊到一般、由简单到复杂的思想方法，在教师的引导下，思考学习复合函数的求导知识。 3、情感、态度和价值观 培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律的态度。在学习当中，体验由特殊到一般、由简单到复杂的数学思想，进一步培养
§复合函数的求导法则 基本初等函数的导数公式表 导数的运算法则 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作 ()()y f g x =。 复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为
x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 例1求y ＝sin （tan x 2）的导数． 【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ ax x a x 22 --的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－2 1 sin 22 x ＝1－ 41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1 cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步． 例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离． 【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－3 1 或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14 ），