2012-2013学年第一学期第一次阶段考试数学试卷
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案直接写在答题纸上) 1.对于命题p :x R,?∈使得2
10x x .++<则p ?为____________
2.已知全集{}123456U ,,,,,,=集合{}{}13512A ,,,B ,,==则U (C A )B ?=_________
3.命题{
}
2
0p :a M x x x ;∈=-<命题{}
2q :a N x x ,∈=
4.已知α是第二象限角，且3
5
sin(),πα+=-则2tan α=_____________
5.已知平面向量a =(-1,1),b =(x -3,1)，且a ⊥b
，则x =
6.设53075
3
8
01615
625.a .,b .,c .,===则a,b,c 从小到大的关系为___________
7.已知a b 、为常数，若22()43,()1024f x x x f ax b x x =+++=++，则52a b -=__________ 8. 已知幂函数)(x f y =的图象过点33??
?
??
，
，则1()4f ＝ 9.已知三次函数32
1()32
b f x x x x =
++在R 上有极值，则实数b 的范围为__________ 10. 设函数122,1
()1log ,1x x f x x x -?≤=?
->?，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______
11.若函数log (3)a y ax =-在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是 12若函数()2x
f x e x a =--在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是_______ 13. 若二次函数2
2
42221f (x )x (p )x p p =----+在区间[]11,-内至少存在一点c,
使得0f (c ),>则实数p 的取值范围是__________
14.定义在R 上的函数()f x 满足0)()23
(=++x f x f 且)43(-=x f y 为奇函数．给出下列命
题：
⑴函数()f x 的最小正周期为32
；
⑵函数()y f x =的图象关于点)0,4
3(对称；
⑶函数()y f x =的图象关于y 轴对称．其中真命题有 ．（填序号）
二、解答题(本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.设α为锐角，31
cos ,tan()53
ααβ=
-=，求tan tan αβ和的值.
16. (1) 用定义法证明函数)(x f =x
x 4
+
在),2[+∞∈x 上是增函数； ⑵求)(x f 在]8,4[上的值域.
17.设函数3
2
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2
()f x c <成立，求c 的取值范围．
18. 已知函数()42
x x
n g x -=是奇函数，()()4log 41x
f x mx =++是偶函数。 （1）求m n +的值； （2）设()()1
,2
h x f x
x =+
若()()4log 21g x h a >+????对任意1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。
19. 如图，现有一个以AOB ∠为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB .现欲在弧AB 上取不同于B A ,的点C ，用渔网沿着弧AC （弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上）、半径OC 和线段CD （其中OA CD //），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ. 若cm OA 1=，3
π
=∠AOB ，θ=∠AOC .
（1）用θ表示CD 的长度；
（2）求所需渔网长度（即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和）的取值范围.
20.已知：函数b ax ax x g ++-=12)(2
)1,0(<≠b a ，在区间]3,2[上有最大值4，最
小值1，设函数x
x g x f )
()(=．
（1）求a 、b 的值及函数)(x f 的解析式；
（2）若不等式02)2(≥?-x
x
k f 在]1,1[-∈x 时恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）如果关于x 的方程0)31
24(
)12(=--?+-x
x
t f 有三个相异的实数根，求实数
t 的取值范围．
高三数学第一次阶段考试答案解析
一、填空题
1．x R ?∈，均有2
1x x ++≥0； 2．{2} 3．充分不必切； 4．24
7
-
； 5．4； 6．a b c << 7．19-或 8．2 9．(,2)(2,)-∞-+∞
10．[0,)+∞ 11．13a << 12．（2-2ln2，+∞） 13． 3
(3,)2
- 14．(2)(3) 二、解答题
15．(本小题满分14分) 解：由α为锐角，3cos 5α=
得4sin 5α=，∴4
tan 3
α=-----（8分）
又1
tan()3
αβ-=
，∴tan tan(())
tan tan()1tan tan()419
334113133
βααβααβααβ=----=
+--
==
+?-------（6分）
16. (本小题满分14分)
证明：⑴、设122x x ≤<，则1212121212
444()()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=+
-+=-- 121212
4
()(
)x x x x x x -=-,------------（2分） 121220x x x x ≤<∴-< ,124x x >,1240x x ∴->-----（4分）
∴12121212
4
()()()(
)0x x f x f x x x x x --=-< ∴12()()f x f x <,又12x x <
∴()f x 在),2[+∞∈x 上是增函数.------(2分)
(2)由（1）知：()f x 在]8,4[上是增函数.-------（1分）
max 17
()(8)2f x f ∴==
，min ,()(4)5f x f ==--------（4分） 17
()]2f x ∴的值域为[5,---------（1分）
17. (本小题满分15分)
解：（1）2
'()663,f x x ax b =++由'(1)0,'(2)0f f ==-------3分
解得3,4a b =-=.--------2分
（2）由（1）可知，32
()29128,f x x x x c =-++
2'()618126(1)(2),f x x x x x =-+=--------------2分
当(0,1)'()0;(1,2)'()0;(2,3)'()0,x f x x f x x f x ∈>∈<∈>时，时，时， 即()f x 在[0,1]上递增，[1,2]上递减，[2,3]上递增--------3分
1()x f x ∴=时，取得极大值为(1)58f c =+，又(3)98f c =+，-----------2分
故当[0,3]x ∈时，()f x 的最大值为(3)98f c =+，-------1分
于是有2
98c c +<，解得 19c c <->或,因此c 的取值范围是(,1)(9,)-∞-+∞ ----2分
18. (本小题满分15分)
解：（1）由于()g x 为奇函数，且定义域为R ，
()00g ∴=，即004012
n
n -=?=，………………………………………3分
由于()()
4log 41x
f x mx =++，
()()()()44log 41log 411x x f x mx m x -∴-=+-=+-+，
()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，得到1
2
m =-，
所以：1
2
m n +=；………………………………………………………………4分
（2）()()()41log 412
x
h x f x x =+=+ ，()()44log 21log 22h a a ∴+=+????，
………………………………………………………………………………………2分
又()41
222
x x x x
g x --==-在区间[1,)+∞上是增函数，所以当1x ≥时，()()m i n 3
12
g x g ==
……………………………………………3分
由题意得到3
2224
121032220
a a a a ?+
+>?-<??
，
即a 的取值范围是：1
{|3}2
a a -<<。…………………………………………3分
19. (本小题满分16分)
解：(1) 由CD ∥OA ，∠AOB ＝π
3，∠AOC ＝θ，得∠OCD ＝θ，
∠ODC ＝2π3，∠COD ＝π
3－θ.--------------2分
在△OCD 中，由正弦定理， 得CD ＝
2
3sin ???
?π3－θ，θ∈????0，π3-----------(4分) (2) 设渔网的长度为f(θ)．由(1)可知， f(θ)＝θ＋1＋
2
3sin ??
?
?π3－θ.---------(2分) 所以f′(θ)＝1－
23cos ???
?π3－θ，因为θ∈????0，π3，所以π
3－θ∈????0，π3，------2分 令f′(θ)＝0，得cos ????π3－θ＝32，所以π3－θ＝π6，所以θ＝π
6
.-----------2分
所以f(θ)∈? ??
??
2，π＋6＋236.
故所需渔网长度的取值范围是? ??
??
2，π＋6＋236.----------------(4分)
20. 解：（1）b ax ax x g ++-=12)(2
，由题意得：
?1 ???
??=++==+=>413)3(1
1)2(0
b a g b g a 得???==01b a 或 ?2 ??
?
??=++==+=<113)3(41)2(0
b a g b g a 得??
?>=-=131b a
（舍）
∴1=a ，0=b
12)(2+-=x x x g ，21
)(-+
=x
x x f …………4分 （2）不等式02)2(≥?-x
x k f ，即x x x k 222
12?≥-+，
∴1)21
(2)21(2+?-≤x x k
设]2,21[21∈=x t ，∴2)1(-≤t k ， 0)1(m in 2
=-t ，∴0≤k …………6分
（3）0)31
24(
)12(=--?+-x
x
t f ，即0231
241
2112=---+
-+
-t t x
x
x ．
令012>-=x
u ，则 0)14()23(2
=+++-t u t u )(*
记方程)(*的根为1u 、2u ，当2110u u ≤<<时，原方程有三个相异实根， 记)14()23()(2
+++-=t u t u u ?，由题可知，
??
?<=>+=0)1(014)0(t t ??或???
?
???
<+<==>+=1
22
300)1(0
14)0(t t t ??．…………4分 ∴04
1
<<-
t 时满足题设．…………2分