一元二次方程
专题一:一元二次方程的定义
典例分析:
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )
A ()()12132
+=+x x B 02112=-+x x
C 02=++c bx ax
D 1222+=+x x x
2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则( )
A .2±=m
B .m=2
C .2-≠m
D .2±≠m
3、关于x 的一元二次方程(a -1)x 2+x+a 2-l=0的一个根是0。则a 的值为( )
A 、 1
B 、-l
C 、 1 或-1
D 、 1
2
4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。
5、关于x 的方程0)2(2
2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是( )
A 、a ≠1
B 、a ≠-2
C 、a ≠1且a ≠-2
D 、a ≠1或a ≠-2
专题二:一元二次方程的解
典例分析:
1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。
2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。
3、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。
4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。
5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( )
A 1-
B 1
C c b -
D a -
课堂练习:
1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1,则另一个根为
2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解,求b 的值及方程的另一个根.
3、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。
4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。
专题三:一元二次方程的求解方法
典例分析:
一、直接开平方法
();0912=--x
二、配方法
.
难度训练:
1、如果二次三项式16)122++-x m x (
是一个完全平方式,那么m 的值是_______________.
2、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
3、已知,x、y y x y x 0136422=+-++为实数,求y x 的值。
4、已知x 、y 为实数,求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
三、公式法
1、0822=--x x
2、01522=+-x x
四、因式分解法
1、x x 22=
2、0)32()1(22=--+x x
3、0862=+-x x
五、整体思维法
例:()()
=+=-+-+2222
2
2
2,06b 则a b a
b a 。
变式1:若()()032=+--+y x y x ,则x+y 的值为 。
变式2:若142=++y xy x ,282=++x xy y ,则x+y 的值为 。 变式3:已知5)3)(1(2222=-+++y x y x ,则22y x +的值等于 。
专题四:一元二次方程中的代换思想(降次)
典例分析:
1、已知0232
=+-x x ,求代数式
()1
1
123-+--x x x 的值。
2、如果012=-+x x ,那么代数式7223-+x x 的值。
3、已知βα,是方程012=--x x 的两个根,那么=+βα34 .
4、已知a 是一元二次方程0132
=+-x x 的一根,求1
1
522
23++--a a a a 的值。 专题五:根的判别式
典例分析:
1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 。
2、关于X 的方程0162
=+-x kx 有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )
A 、k >9
B 、k <9且k ≠0
C 、k <9
D 、k ≤9且k ≠0 3、关于x 的一元二次方程()0212=++-m mx x m 有实数根,则m 的取值范围是( )
A.10≠≥且m m
B.0≥m
C.1≠m
D.1>m 4、对于任意实数m ,关于x 的方程
一定( )
A. 有两个正的实数根
B. 有两个负的实数根
C. 有一个正实数根、一个负实数根
D. 没有实数根
课堂练习:
1、已知关于x 的方程02)12(22=++++m x m x 有两个不等实根,试判断直线x m y )32(-=74+-m 能否通过A (-2,4)
,并说明理由。 2、若关于x 的方程0342=+-x kx 有实数根,则k 的非负整数值是 。
3、已知关于x 的方程有两个相等的正实数根,则k 的值是( ) A.
B.
C. 2或
D.
4、已知a 、b 、c 为ABC ?的三边,且关于x 的一元二次方程()()()04
3
22=---++c a x c a x b c 有两个相等的实数根,那么这个三角形是 。
5、如果关于x 的方程()05222=+++-m x m mx 没有实数根,那么关于x 的方程
()()02252=++--m x m x m 的实根个数是 。
6、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x
(1)求证:无论k 取何值时,方程总有实数根;
(2)若等腰?ABC 的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求?ABC 的周长。
专题六:根与系数的关系(韦达定理)
典例分析:
一、常见变形
1、若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根,试求下列各式的值: (1) 2212x x +; (2) 12
11
x x +; (3) 12(5)(5)x x --; (4) 12||x x -.
2、以71+与71-为根的一元二次方程是()
A .0622=--x x
B .0622=+-x x
C .0622=-+y y
D .0622=++y y
3、甲、乙两人同解一个一元二次方程,甲看错常数项,解得两根为8和2,乙看错一次项系数,解得两根为-9和-1,则这个方程是
4、已知m 、n 是方程0719992=++x x 的两个根,则=++++)82000)(61998(22n n m m ( ) A 、1990 B 、1992 C 、-1992 D 、1999
5、方程02x 5x 2=+-与方程06x 2x 2=++的所有实数根的和为___________.
6、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根,c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根,则m 的值为 。
7、设方程0m x 5x 32=+-的两根分别为21x ,x ,且0x x 621=+,那么m 的值等于( ) A.3
2-
B.—2
C.92
D.—92
8、设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根,121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根,则p = _____ ,q = _____ .
9、若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1,则k 的值是 _____ .
10、已知菱形ABCD 的边长为5,两条对角线交于O 点,且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程
22(21)30x m x m +-++=的根,则m 等于( )
A .3-
B .5
C .53-或
D .53-或
特殊技巧:
1、已知b a ≠,0122=--a a ,0122=--b b ,求=+b a
变式:若0122=--a a ,0122=--b b ,则
a
b
b a +的值为 。 变式:已知实数a 、b 满足b b a a 22,2222-=-=,且a ≠b ,求a
b
b a +的值。
变式:若ab ≠1,且有0520119092011522=++=++b b a a ,求b
a 的值。
变式:若实数a 、b 满足0582=+-a a ,0582
=+-b b ,则11
11--+--b a a b 的值是( )
A 、-20
B 、2
C 、2或-20
D 、21
大题突破:
1、已知一元二次方程
(1)当m 取何值时,方程有两个不相等的实数根? (2)设
是方程的两个实数根,且满足
,求m 的值。
2、已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x , (1)求k 的取值范围;
(2)是否存在实数k ,使方程的两实数根互为相反数?若存在,求出k 的值;若不 存在,请说明理由。
3、已知关于x 的方程221
(1)104x k x k -+++=,根据下列条件,分别求出k 的值.
(1) 方程两实根的积为5; (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =. 4、已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=.
(1) 求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2) 若方程的两根为12,x x ,且满足
121112
x x +=-,求m 的值. 5、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.
(1) 是否存在实数k ,使12123
(2)(2)2
x x x x --=-成立?若存在,求出k 的值;若不存在,
请您说明理由.
(2) 求使
12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.
6、已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11.求证:关于x 的方程
22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根.
巩固提高:
1、(2010?南充)关于x 的一元二次方程230x x k --=有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围.
(2)请选择一个k 的负整数值,并求出方程的根. 2、(2011?南充)关于的一元二次方程x 2+2x +k +1=0的实数解是x 1和x 2. (1)求k 的取值范围;
(2)如果x 1+x 2-x 1x 2<-1且k 为整数,求k 的值。 3、(2012?南充)关于x 的一元二次方程x 2+3x+m ﹣1=0的两个实数根分别为x 1,x 2. (1)求m 的取值范围;
(2)若2(x 1+x 2)+x 1x 2+10=0,求m 的值.
4、(2013四川南充,20,8分)关于x 的一元二次方程为(m-1)x 2-2mx +m+1=0 (1)求出方程的根;
(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数?
根.
(1)求实数m 的最大整数值;
(2)在(1)的条下,方程的实数根是x 1,x 2,求代数式x 12+x 22-x 1x 2的值.
6、已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ,且满足
12123320x x x x ---=.求242(1)4a a a
++
?-的值。
7、已知关于x 的方程()0132=++-kx x k 。 (1)求证:不论k 取何值,方程总有实数根;
(2)当k=4时,设该方程的两个实数根为α、β,求作以1122++βα和1
1
22++αβ为根的一元二
次方程。
一元二次方程知识点总结 考点一、一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式: )04(242 2≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤:就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a ,一次项的系数为b ,常数项的系数为c 。 4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤:把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式 5、韦达定理 利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中,二根之和等于-a b ,二根之积等于 a c ,也可以表示为x 1+x 2=-a b ,x 1 x 2=a c 。利用韦达定理,可以求出一元二次方程中的各系数,在题目中很常用。 考点三、一元二次方程根的判别式 根的判别式: 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中, ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“?”来表示,即ac b 42-=? I 当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根; II 当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根; III 当△<0时,一元二次方程没有实数根。 考点四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ,,那么a b x x -=+21,a c x x =21。也就是 说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 考点五、一元二次方程的二次函数的关系 二次函数(即抛物线)了,对他也有很深的了解,好像解法,在图象中表示等等,其实一元二次方程也可以用二次函数来表示,其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况,就是当Y 的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来,一元二次方程就是二次函数中,图象与X 轴的交点。也就是该方程的解了 二次函数知识点 一、二次函数概念:
. . . 一元二次方程测试题 考试范围:一元二次方程;考试时间:120分钟;命题人:瀚博教育 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题(共12小题,每题3分,共36分) 1.方程x(x﹣2)=3x的解为() A.x=5 B.x1=0,x2=5 C.x1=2,x2=0 D.x1=0,x2=﹣5 2.下列方程是一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.3x2﹣2x=3(x2﹣2)C.x3﹣2x﹣4=0 D.(x﹣ 1)2+1=0 3.关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值为() A.﹣1 B.1 C.1或﹣1 D.3 4.某旅游景点的游客人数逐年增加,据有关部门统计,2015年约为12万人次,若2017年约为17万人次,设游客人数年平均增长率为x,则下列方程中正确的是() A.12(1+x)=17 B.17(1﹣x)=12 C.12(1+x)2=17 D.12+12(1+x)+12(1+x)2=17 5.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm.动点P,Q分别从点A,B同时开始移动,点P的速度为1cm/秒,点Q的速度为2cm/秒,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动.下列时间瞬间中,能使△PBQ的面积为15cm2的是() A.2秒钟B.3秒钟C.4秒钟D.5秒钟 6.某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地,它的长比宽多12米,设场地的长为x 米,可列方程为() A.x(x+12)=210 B.x(x﹣12)=210 C.2x+2(x+12)=210 D.2x+2(x﹣12)=210 7.一元二次方程x2+bx﹣2=0中,若b<0,则这个方程根的情况是() A .有两个正根B.有一正根一负根且正根的绝对值大 C.有两个负根D.有一正根一负根且负根的绝对值大 8.x1,x2是方程x2+x+k=0的两个实根,若恰x12+x1x2+x22=2k2成立,k的值为() A.﹣1 B.或﹣1 C.D.﹣或1 9.一元二次方程ax2+bx+c=0中,若a>0,b<0,c<0,则这个方程根的情况是() A.有两个正根B.有两个负根 C.有一正根一负根且正根绝对值大D.有一正根一负根且负根绝对值大 10.有两个一元二次方程:M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中a﹣c≠0,以下列四个结论中,错误的是() A.如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根 B.如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同 C.如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根 D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1 11.已知m,n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根,则(m+2)(n+2)的最小值是() A.7 B.11 C.12 D.16
z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6,即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350-10a=350-10×25=100(件). 答需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.
例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗? 解设渠道的深度为x m,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为(x+0.1+1.4)m. 则根据题意,得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0. 解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1. 所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5. 答渠道的上口宽2.5m,渠深1m. 说明求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解.
一元二次方程各种题型总结 (一)一元二次方程的概念 1.一元二次方程的项与各项系数 把下列方程化为一元二次方程的一般形式,再写出二次项,一次项,常数项: (1)x x 3252 =- (2)015622 =--x x (3)5)2(7)1(3-+=+y y y (4)2 2)3(4)15(-=-a a (5)m m m m m m 57)2())((2-=-+-+ 2.应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值 (1)m 为何值时,关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2 =+--是一元二次方程? (2)若分式01 8 72=---x x x ,则=x . 3.由方程的根的定义求字母或代数式值 (1)关于x 的一元二次方程01)1(2 2=-++-a x x a 有一个根为0,则=a . (2)已知关于x 的一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 有一个根为1,一个根为1-,则=++c b a , =+-c b a . (3)已知c 为实数,并且关于x 的一元二次方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程0 32 =-+c x x 的一个根,求方程032 =-+c x x 的根及c 的值. (二)一元二次方程的解法 1.用直接开平方法解下列方程: (1)012552 =-x (2)2 169(3)289t -= (3)03612 =+y (4)0)31(2=-m (5) 2 2(31)85 n +=
2.用配方法解方程: (1)0522 =-+x x (2)0152 =++y y (3)3422 -=-y y 3.用公式法解下列方程: (1)2632 -=x x (2)p p 3232=+ (3)y y 1172 = (4)2592 -=n n (5)2(2)(21)3m m m +=--- 4.用因式分解法解下列方程: (1)094 12 =-x (2)04542=-+y y (3)2 81030m m +-= (42 0= (5)2 6t -=- (6)2 (5)2(5)1y y -=-- (7)2 2 2 (3)2(3)80t t t +-+-= 5.解法的灵活运用(用适当方法解下列方程): (1)128)72(22=-x (2)222)2(212m m m m -=+- (3)6(2)(2)(3)y y y y -=-+ (4)3 ) 13(2)23(332-+-=+y y y y y (5)2 2 81(25)144(3)m m -=-
龙文教育学科辅导学案 教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析 课 题 一元二次方程章节复习及典型例题解析 学习目标与 考点分析 学习目标:1、通过对典型例题、自身错题的整理,抓住本章的重点、突破学习的难点; 2、通过灵活运用解方程的方法,体会四种解法之间的联系与区别,进一步熟练根据方程特征找出最优解法; 3、通过实际问题的解决,进一步熟练运用方程解决实际问题,体会方程思想在解决 问题中的作用 考点分析:1一元二次方程的定义 、解法、及根与系数的关系 学习重点 理解并掌握一元二次方程的概念及解法 学习方法 讲练说相结合 学习内容与过程 一 回顾梳理旧的知识点(这些知识点必须牢牢掌握) 一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典 型题目,举例说明. 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6,即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?
解根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350-10a=350-10×25=100(件). 答需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点. 三、储蓄问题 例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一:直接开平方法(依据平方根的定义) 平方根的定义:如果一个数 的平方等于a ( ),那么这个数 叫做a 的平方根 即:如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4..25)1(412=+x 5.(2x +1)2=(x -1)2. 6.(5-2x )2=9(x +3)2. 7..063)4(22 =--x 方法二:配方法解一元二次方程 1. 定义:把一个一元二次方程的左边配成一个 ,右边为一个 ,然后利用开平方数求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤:(1) (2) (3) 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三:公式法 1.定义:利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导:用配方法解方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0) 解:二次项系数化为1,得 , 移项 ,得 , 配方, 得 , 方程左边写成平方式 , ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况: (1)当b 2-4ac>0时,=1x , =2x (2)当b 2-4ac=0时,==21x x 。 (3)b 2-4ac<0时,方程根的情况为 。 3.由上可知,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定,因 (1)式子ac b 42-叫做方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)根的 ,通常用字母 “△” 表示。当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根; 当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根; 当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 (2)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c = 0,当ac b 42-≥0时,?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根.这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. 4.公式法解一元二次方程的步骤:(1) (2) (3) (4) (5) 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+
实际问题与一元二次方程题型归纳总结 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤:与列一元一次方程解应用题的步骤类似,列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为:“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。 (1)审:审清题意,弄清已知量与未知量; (2)找:找出等量关系; (3)设:设未知数,有直接和间接两种设法,因题而异; (4)列:列出一元二次方程; (5)解:求出所列方程的解; (6)验:检验方程的解是否正确,是否符合题意; (7)答:作答。 二、典型题型 1. 数字问题 例1、有两个连续整数,它们的平方和为25,求这两个数。 例2、有一个两位数,它的个位上的数字与十位上的数字的和是6,如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置,所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008,求调换位置后得到的两位数。 练习:1、两个连续的整数的积是156,求这两个数。 2、一个两位数等于它个位上数字的平方,个位上的数字比十位上的数字大3,则这个两位数为() A. 25 B. 36 C. 25 或36 D. -25 或-36 2. 传播问题:公式:(a+x)n=M 其中a 为传染源(一般a=1),n 为传染轮数,M 为最后得病总人数 例3 、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121 人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 8. 有一人患了流感,经过两轮传染后共有100 人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染的人数为() A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
练习:有一个人患了流感,经过两轮传染后共有196人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感? 3. 相互问题(循环、握手、互赠礼品等)问题循环问题:又可分为单循环问题1 n(n-1),双循环问题n(n-1). 2 例4、(1)参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45 场比赛,共有多少个队参加比赛? (2)参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90 场比赛,共有多少个队参加比赛? 66,请问参加例5 、一次会上,每两个参加会议的人都相互握手一次,一共握 手会议的人数共有多少人? 例6 、生物兴趣小组的同学,将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1 件,全组共互赠了182件,设全组有x 个同学,则根据题意列出的方程是() A. x x 1 182 B. x x 1 182 C. 2x x 1 182 D. x x 1 182 2 练习:1、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛,若某一赛季共比赛110 场,则联赛中共有多少个队参加比赛? 2、参加一次聚会的每两人都握了一次手, 所有人共握手15 次, 有多少人参加聚会? 3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?
一元二次方程题型分类总结 一、知识结构:一元二次方程考点类型一概念(1)定义:①只含有一个未知数,并且②未知数的最高次数是2,这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式: ⑶难点:如何理解“未知数的最高次数是2”:①该项系数不为“0”;②未知数指数为“2”;③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题:例 1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A B C D 变式:当k 时,关于x的方程是一元二次方程。例 2、方程是关于x的一元二次方程,则m的值为。针对练习:★ 1、方程的一次项系数是,常数项是。★ 2、若方程是关于x的一元一次方程,⑴求m的值;⑵写出关于x的一元一次方程。★★ 3、若方程是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是。★★★ 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是() A、m=n=2
B、m=3,n=1 C、n=2,m=1 D、m=n=1考点类型二方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题:例 1、已知的值为2,则的值为。例 2、关于x的一元二次方程的一个根为0,则a的值为。例 3、已知关于x的一元二次方程的系数满足,则此方程必有一根为。例 4、已知是方程的两个根,是方程的两个根,则m的值为。针对练习:★ 1、已知方程的一根是2,则k为,另一根是。★ 2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。⑴求k的值;⑵方程的另一个解。★ 3、已知m是方程的一个根,则代数式。★★ 4、已知是的根,则。★★ 5、方程的一个根为()A B1 C D ★★★ 6、若。考点类型三解法⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法⑵关键点:降次类型 一、直接开方法:※※对于,等形式均适用直接开方法典型例题:例 1、解方程:
一元二次方程 专题一:一元二次方程的定义 典例分析: 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则( ) A .2±=m B .m=2 C .2-≠m D .2±≠m 3、关于x 的一元二次方程(a -1)x 2+x+a 2-l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、-l C 、 1 或-1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是( ) A 、a ≠1 B 、a ≠-2 C 、a ≠1且a ≠-2 D 、a ≠1或a ≠-2 专题二:一元二次方程的解 典例分析: 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。
4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( ) A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习: 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1,则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解,求b 的值及方程的另一个根. 3、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。 专题三:一元二次方程的求解方法 典例分析: 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法 . 难度训练: 1、如果二次三项式16)122++-x m x ( 是一个完全平方式,那么m 的值是_______________.
一元二次方程应用题典型题型归纳 (一)传播与握手问题 1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一 个人传染了个人。 2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支, 主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有 个队参加比赛。 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有 个队参加比赛。 5.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组 共互赠了182件,这个小组共有多少名同学? 6.一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,这个小组共有 多少人? 7.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? (二)平均增长率问题 变化前数量×(1 x)n=变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤,2003年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90元降到了40元,求平均 每次降价率是。 3.某种商品,原价50元,受金融危机影响,1月份降价10%,从2月份开始 涨价,3月份的售价为64.8元,求2、3月份价格的平均增长率。 4.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同, 求每次降价的百分率?
5.恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. (三)商品销售问题 售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额 1.某商店购进一种商品,进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量P(件) 与每件的销售价X(元)满足关系:P=100-2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售出这种商品多少件? 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产 品全部售出,已知生产ⅹ只熊猫的成本为R(元),售价每只为P(元),且R、P与x的关系式分别为R=500+30X,P=170—2X。 (1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元? (2)若可获得的最大利润为1950元,问日产量应为多少? 3.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500 千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元? 4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元。 为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存。经市场调查发现,如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
一元二次方程经典考题难题 用适当的方法解下列方程 16)5(42=-x 0)12(532=++x x 04222=-+x x 22)3(4)12(+=-x x 9)32(4)32(122++=+x x 11.02.02=+x x 0)2(2)2)(1(3)1(222=---+++x x x x 6)53)(43(22=++++x x x x x x x 9)1(22=- 20)7)(5)(3)(1(=++++x x x x
1、若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac 4b 2 -=△和完全平方式2)2(b at M +=的关系式() A △=M B △>M C △<M D 大小关系不能确定 2、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中a,b,c 满足9a-3b+c=0,则该方程有一根是______ 3、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ,则c bx x ++2分解因式的结果是______ 4、在实数范围内因式分解:=--742x x __________________ 5、已知03442=+--x x ,则=-+31232x x __________________ 6、m mx x ++24是一个完全平方式,则m=________________________ 7、已知,)2 1(822m x a x ax ++=++则a 和m 的值分别是__________________ 8、当k=_________时,方程012)3(2=++--k x x k 是关于x 的一元二次方程? 9、关于x 的方程032)4()16(2 2=++++-m x m x m 当m______时,是一元一次方程:当m______时,是一元一次方程。 10、已知012=--x x ,则2009223++-x x 的值为__________ 11、已知012)()(22222=-+++y x y x ,则22y x +=_______ 12、试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a ,无论a 取何值,该方程都是一元二次方程
一元二次方程应用题总结分类及经典例题 1、列一元二次方程解应用题的特点 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展,从列方程解应用题的方法来讲,列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的,由于一元一次方程未知数是一次,因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决.如果未知数出现二次,用算术方法就很困难了,正由于未知数是二次的,所以可以用一元二次方程解决有关面积问题,经过两次增长的平均增长率问题,数学问题中涉及积的一些问题,经营决策问题等等. 2、列一元二次方程解应用题的一般步骤 和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的一般步骤是: “审、设、列、解、答”. (1)“审”指读懂题目、审清题意,明确已知和未知,以及它们之间的数量关系.这一步是解决问 题的基础; (2)“设”是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设什么,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要.恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易; (3)“列”是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系,再根据这个相 等关系列出含有未知数的等式,即方程.找出相等关系列方程是解决问题的关键; (4)“解”就是求出所列方程的解; (5)“答”就是书写答案,应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意,如线段的长度 不能为负数,降低率不能大于100%等等.因此,解出方程的根后,一定要进行检验. 3、数与数字的关系 两位数=(十位数字)×10+个位数字 三位数=(百位数字)×100+(十位数字)×10+个位数字 4、翻一番 翻一番即表示为原量的2倍,翻两番即表示为原量的4倍.
一元二次方程及解法经典习题及解析 知识技能: 一、填空题: 1.下列方程中是一元二次方程的序号是 . 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2.已知,关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程,则a 3.当=k 时,方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程. 4.解一元二次方程的一般方法有 , , , · 5.一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为: . 6.(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 . 7.不解方程,判断一元二次方程022632 =+--x x x 的根的情况是 . 8.(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根,则k 的取值范围是 . 9.已知:当m 时,方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根. 10.关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 . 二、选择题: 11.(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42 2-+=++x a x x 成立,则a 的值为( ) A .5 8.4 C .3 D .2 12.把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后,a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D 13.方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D
一元二次方程应用题经典题型汇总 (一)传播问题 1. 市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续 两次降价后,由每盒200 元下调至128 元,则这种药品平均每次降价的百分率为 2. 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121 人患了流感,每轮传染中平均一个 人传染了个人。 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主 干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45 场比赛,共有 个队参加比赛。 5. 生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共 互赠了182 件,这个小组共有多少名同学? 6. 一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72 张,这个小组共有多 少人? 7. 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑?若病毒得不到有效控制, 3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过700 台?
(二)平均增长率问题 变化前数量×(1x)n=变化后数量 1. 青山村种的水稻2001 年平均每公顷产7200 公斤,2003 年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2. 某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90 元降到了40 元,求平均每 次降价率是。 3. 某种商品,原价50 元,受金融危机影响, 1 月份降价10%,从2 月份开始涨价, 3 月份的售价为64.8 元,求2、3 月份价格的平均增长率。 4. 某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同,求 每次降价的百分率? 5. 为了绿化校园,某中学在2007 年植树400 棵,计划到2009 年底使这三年的植 树总数达到1324 棵,求该校植树平均每年增长的百分数。
一元二次方程经典例题集锦 一、一元二次方程的解法 1.开平方法解下列方程: (1)012552=-x (2)289)3(1692=-x (3)03612=+y (5,521-==x x ) (13 22,135621== x x ) (5)(4)0)31(2 =-m (6) 85 )13(22 =+x (021==m m ) (3521±-=x ) 2.配方法解方程: (3)(1)0522=-+x x (2)0152=++y y (3)3422-=-y y (61±-=x ) (2215±-= x ) (2101±=y ) 3.公式法解下列方程: (1)2632-=x x (2)p p 3232=+ (3)y y 1172= (333±= x ) (321==p p ) (0,71121==y y ) (4)2592-=n n (5)3)12)(2(2---=+x x x (2 153±= x ) 4.因式分解法解下列方程:
(1)094 12=-x (2)04542=-+y y (3)031082=-+x x (6±=x ) (5,921=-=y y ) (23,4121-== x x ) (4)02172=-x x (5)6223362-=-x x x (3,021==x x ) (32,2321== x x ) (6)1)5(2)5(2--=-x x (7)08)3(2)3(222=-+-+x x x (621==x x ) (1,4,1,24321=-=-=-=x x x x ) 5.解法的灵活运用(用适当方法解下列方程): (1)128)72(22=-x (2)222)2(212m m m m -=+- (3))3)(2()2(6+-=-x x x x (227±=x ) (262±=m ) (5 3,221==x x ) (4)3 )13(2)23(332-+-=+y y y y y (5)22)3(144)52(81-=-x x (2,2321==y y ) (2 3,102721==x x ) 6.解含有字母系数的方程(解关于x 的方程): (1)02222=-+-n m mx x (2)124322+-=+a ax a x
一元二次方程测试题 一、填空题:(每题2分共50分) 1.一元二次方程(1-3x )(x +3)=2x 2 +1 化为一般形式为: ,二次项系数 为: ,一次项系数为: ,常数项为: 。 2.若m 是方程x 2 +x -1=0的一个根,试求代数式m 3 +2m 2 +2013的值为 。 3.方程 ()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。 4.关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 5.若代数式5242 --x x 与122 +x 的值互为相反数,则x 的值是 。 6.已知322-+y y 的值为2,则1242 ++y y 的值为 。 7.若方程()112 =?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 8.已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程 必有一根为 。 9.已知关于x 的一元二次方程x 2 +bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根,则b 的值是 。 10.设x 1,x 2是方程x 2 ﹣x ﹣2013=0的两实数根,则 = 。 11.已知x=﹣2是方程x 2 +mx ﹣6=0的一个根,则方程的另一个根是 。 12.若 ,且一元二次方程kx 2 +ax+b=0有两个实数根,则k 的取值范 围是 。 13.设m 、n 是一元二次方程x 2 +3x -7=0的两个根,则m 2 +4m +n = 。 14.一元二次方程(a+1)x 2 -ax+a 2 -1=0的一个根为0,则a= 。 15.若关于x 的方程x 2 +(a ﹣1)x+a 2 =0的两根互为倒数,则a = 。 16.关于x 的两个方程x 2 ﹣x ﹣2=0与有一个解相同,则a = 。 17.已知关于x 的方程x 2 ﹣(a+b )x+ab ﹣1=0,x 1、x 2是此方程的两个实数根,现 给出三个结论:①x 1≠x 2;②x 1x 2<ab ;③.则正确结论的序号 是 .(填上你认为正确结论的所有序号) 18.a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项,且满足1-a +(b -2)2 +|a+b+c|=0,
一元二次方程典型例题整理版 专题一:一元二次方程的定义 典例分析: 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则( ) A .2±=m B .m=2 C .2-≠m D .2±≠m 3、关于x 的一元二次方程(a -1)x 2+x+a 2-l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、-l C 、 1 或-1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是( ) A 、a ≠1 B 、a ≠-2 C 、a ≠1且a ≠-2 D 、a ≠1或a ≠-2 专题二:一元二次方程的解 典例分析: 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。
4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( ) A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习: 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1,则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解,求b 的值及方程的另一个根. 3、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。 专题三:一元二次方程的求解方法 典例分析: 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法