关于导数的29个典型习题
习题1设函数在0=x 的某邻域内1
C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在
0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。
解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0
=-+=-+→f b a f h f b h f a h .
.01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知
).0()2(1
)
2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可
解出.1,2-==b a
习题2 设,0,00,)()(?????=≠-=-x x x
e x g x
f x
其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论
)(x f '在),(+∞-∞上的连续性.
解 (1) 当0≠x 时，用公式有
,)1()()()(])([)(2
2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x
x x ---++-'=+-+'='
当0=x 时，用定义求导数，有
.21)0()(lim
)0(2
0-''=-='-→g x e x g f x
x 二次洛 ????
?=-''≠++-'='∴-.0,2
1)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x
(2) 因在0=x 处有
).0(2
1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x
e x e x g x g x x g x
f x
x x
x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛
而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f
习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+x
d y d dx dy
222
3
2])(1[定数。
证 求导，,022='++'+y b a y y x 即.22b y a x y ++-=' 再导一次，,02222
=''+'+''+y b y y y 即 .2)1(22b
y y y +'--='' )(.42
1...1)2(21...)1(22
22
3
2定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴
注
c b a 42
122
-+恰是圆022=++++c y b x a y x 的半径. 习题4 证明：若)(x f 在),(+∞a 内可导，且,0)]()([lim ='++∞
→x f x f x 则.0)(lim =+∞
→x f x 证 作辅助函数,)(,)()(x x e x G e x f x F ==应Cauchy 中值定理.
.
)()(,0,0,0)]()([lim εε<'+?>?>?>?∴='++∞
→x f x f A x A x f x f x x >
?,由Cauchy 中值定理有
x A G F A G x G A F x F <<''=--ξξξ,)
()
()()()()(（显然0)(≠'ξG ）或 )()()()(1)()(ξξf f e e e A f e x f e e A f x f A
x A x x A x A '+=--=---- 或 (*)......)1()()()()(x A x A e f f e A f x f --+?'++?≤ξξ 因 ,0lim =-+∞
→x
A x e
即 .1,,11<?>?--x A x A e e A x A A 与ε
于是，εε2)()(1+??A f x f A x .即.0)(lim =+∞
→x f x 习题5 设)(x f 在),[+∞a 上有二阶导数，且,)(0M x f ≤
).()(02+∞<≤≤'' 证 ),[+∞∈?a x 以及任意),(,0+∞∈+>a h x h ，则有 ].,[,)(! 21 )()()(2h x x h f h x f x f h x f +∈''+ '+=+ξξ即 ].,[),(2 )]()([1)(h x x f h x f h x f h x f +∈''--+= 'ξξ 由题设知.0),,[,2 2)(20>+∞∈+≤ 'h a x M h h M x f 下面求,h 使 2022)(M h h M h g += 为最小。为此令,0212)(2 20=+-='M h M h g 解出,2200M M h =而,04)(3 >=''h M h g 故知)(h g 在0h 处为最小. .2)(200M M h g = 从而可知 ))()(),()(,0().,[,2)(020h g x f h g x f h a x M M x f ≤'≤'>?+∞∈≤'故 习题 6 设函数].1,0[)(C x f ∈在)1,0(内可导，且.1)1(,0)0(==f f 试证),1,0(,,,∈??ηξb a 正数使得 .) ()(b a f b f a +='+'ηξ 证 取数).1,0(∈μ由介值定理知),1,0(∈?c 使.)(μ=c f 在区间]1[c ],0[，与c 上分别应用微分中值定理有 .0)(,0)(.01,0),1,0(,1,111)()1()(, 0,0)0()()(≠'≠'≠-≠∴∈≠<<--=--='<<=--= 'ηξμμμξηημ ηξμ ξf f c c c c f f f c c c f c f f 即 从而 .)1() (11)()(μμμμμμμηξ---+=--+='+'a b a c b c b c a f b f a 显然,当取 ,b a a +=μ 则,1b a b +=-μ 且).1,0(1,∈-μμ 代入得 .) ()(b a f b f a +='+'ηξ 习题7 求)1ln()(2x x x f +=在0=x 处的100 阶导数值。 解 由Taylor 公式有)(98 ...32)(100100 543 x o x x x x x f +--+-=.故 ).!97(99098! 100)0(.98 1)0(!1001)100()100(?-=- =∴ -=f f 习题8 设,2e b a e <<<证明 ).(4ln ln 22 2a b e a b ->- 证 设,ln )(2 x x f =应用Lagrange 中值定理有 .),(ln 2ln ln 22b a a b a b <<-= -ξξ ξ 又设,ln )(t t t = ? 则,ln 1)(2 t t t -= '?当e t >时,,0)(<'t ? 此时 )(t ? 单减.从而 ),()(2 e ?ξ?>即).(4 ln ln .2ln ln 222222a b e a b e e e ->-∴=>ξξ 习题10 设)(),(x g x f 在),(+∞-∞内有定义，)(),(x f x f '''存在，且满足.0)()()()(=-'+''x f x g x f x f 如果 ),(0)()(b a b f a f <==求证 .,0)(b x a x f ≤≤= 证 ],,[)(b a C x f ∈ 故 ],,[,b a ∈?ηξ 使 )}.({min )()},({max )(] ,[] ,[x f m f x f M f b a b a ====ηξ欲证 .,0)(b x a x f ≤≤=只需证明.0==m M 反证法，若,0>M 则,0)(),(='?∈ξξf b a 又)(ξf 为极大，故.0)(≤''ξf 但另一方面 ,0)()()()()(>==+'-=''M f f g f f ξξξξξ矛盾。故知.0=M 若,0 .0)(,0)(≥''='ξηf f 另一方面,0)()()()(<=+'-=''m f g f f ηηηη矛盾。故.0=m 命题得证。 习题11设],,[)(b a C x f ∈在),(b a 内二阶可导，又设联结两点))(,()),(,(b f b a f a 的直线与曲线)(x f y =相交于点 ))(,(c f c ，求证：在),(b a 内至少存在一点,ξ使.0)(=''ξf 证 对 )(x f 在],[],,[b c c a 上分别应用 Lagrange 中值定理，),,(),,(21b c c a ∈∈?ξξ使 )() ()(),()()(21ξξf c b c f b f f a c a f c f '=--'=-- 由于三点))(,()),(,()),(,(b f b c f c a f a 在同一直线上，所以 ).()(,) ()()()(21ξξf f c b c f b f a c a f c f '='∴--=--再对 )(x f y '=在],[21ξξ上应用Rolle 定理可得：),,(21ξξξ∈?使.0)(=''ξf 习题 12 设)(,x f c b a <<在],[c a 上有二阶导数 ),(x f ''试证 ),,(c a ∈?ξ使得 )(2 1 ))(()())(()())(()(ξf b c a c c f c b a b b f c a b a a f ''=--+--+-- 证 令 )() )(() ())(())(()())(())(()())(()(x f b c a c c f b x a x c b a b b f c x a x c a b a a f c x b x x F -----+----+----= 则)(x F 在],[c a 上二阶可导，且.0)()()(===c F b F a F 对)(x F 在],[],,[c b b a 上分别应用Rolle 定理， ),,(),,(21c b b a ∈∈?ξξ使.0)(,0)(21='='ξξF F 对),(x F '由于)(x F '在],[21ξξ上可导，再用Rolle 定理，),,(],[21c a ?∈?ξξξ使得.0)(=''ξF 而 )() )(() (2))(()(2))(()(2)(x f b c a c c f c b a b b f c a b a a f x F ''---+--+--= '' 令,ξ=x 即得所求证的等式。 习题13 设)(x f 二阶可导，且.1)(min ,0)1()0(] 1,0[-===∈x f f f x 求证 .8)(max ] 1,0[≥''∈x f x 证 )(x f 二阶可导，],1,0[)(C x f ∈∴且可导，由闭区间上连续函数的性质，),1,0(∈?c 使1)(-=c f 为最小值，且.0)(='c f 再由Taylor 公式有 ,))((2 1 1))((21))(()()(22c x f c x f c x c f c f x f -''+-=-''+ -'+=ξξ 其中ξ介于c 与x 之间，分别取,1,0==x x 得 .0)1)((211)1(,0)(211)0(2120=-+-==''+ -=c f f c f f ξξ当]21,0(∈c 时，由前式推出;82 )(20≥=''c f ξ当)1,21[∈c 时，由后式推出,8)1(2 )(2 1≥-=''c f ξ由此即得 .8)(max ]1,0[≥''∈x f x 习题14 设.1,10>≤≤p x 试证 .1)1(21≤-+≤-p p p x x 证 令].1,0[,)1()(∈-+=x x x x f p p 则)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且].)1([)(1 1----='p p x x p x f 由 0)(='x f 得唯一驻点.21=x 由于)().1(2)2 1 (,1)1(,1)0(1x f f f f p ∴<===-在]1,0[上的最大值为1，最小值为 .21p -于是.1)1(21≤-+≤-p p p x x 习题15 设)(x f 在],[b a 上二阶可导，,0)(,0)(='='b f a f 则在),(b a 内必存在一点,ξ使 .)()()(4 )(2 a f b f a b f --≥ ''ξ 证 将)(x f 在a x =处展开，令,2 b a x += 即 )2 ,(,)2(2)()2)(()()2( 121b a a a b a f a b a a f a f b a f +∈-+''+-+'+=+ξξ类似)(x f 在b x =处展开，令,2b a x += 则有 ) ,2 (,)2(2)()2)(()()2(222b b a b b a f b b a b f b f b a f +∈-+''+-+'+=+ξξ. )2 (2)()()2(,)2(2)()()2(,0)()(2221a b f b f b a f a b f a f b a f b f a f -''+=+-''+=+∴='='ξξ 相减得 = -)()(a f b f ,4 )(2)()(2 21a b f f -?''-''ξξ 所以 ,4)()(4)(2)()()()(2 221a b f a b f f a f b f -''≤-?''+''≤-ξξξ其中 ???''≤''''≥''=)()(,) ()(212 211ξξξξξξξf f f f 当，当 ，即在),(b a 内存在一点ξ，使 .)()() (4 )(2 a f b f a b f --≥ ''ξ 习题16设)(x f 在]2,0[上二阶可导，且,1)(,1)(≤''≤x f x f 证明.2)(≤'x f 证 将)(x f 在x 点展开，求出),2(f )0(f 的值： )2,0(,)2(2) ()2)(()()2(121∈-''+ -'+=ξξx f x x f x f f )2,0(,)0(2 ) ()0)(()()0(222∈-''+-'+=ξξx f x x f x f f 相减 ],)()2)(([21 )(2)0()2(2121x f x f x f f f ξξ''--''+'=-因此 ],)()2()([2 1 )2()0()(22121x f x f f f x f ξξ''+-''++≤'因为 , 1)(,1)(≤''≤x f x f 故有,3)1(])2[(21 2)(2222+-=+-+≤'x x x x f 当20≤≤x 时，,4)(2,43)1(2≤'∴≤+-x f x 即.2)(≤'x f 习题17 设)(x f 在]1,0[上二阶可导，且其最大值在)1,0(内达到：.1)(,4 1 )(m a x ] ,[≤''= ∈x f x f b a x 试证.1)1()0(<+f f 证(类似方法处理，先将)(x f 在某点展开，再将0,1分别代入x ) 设)1(<=a x 是)(x f 的最大值点，则有0)(='a f 且.4 1 )(= a f 应用Taylor 公式有 1,)1(2 )(41)1(2 ) ()1)(()()1(,2)(41)0(2 ) ()0)(()()0(2222 212 12 1<<-''+=-''+-'+=<<''+= -''+ -'+=ξξξξξξa a f a f a a f a f f a o a f a f a a f a f f 因此 , )1(2 1 41)1(2)(41)1(, 21412)(41)0(2222 21a a f f a a f f -+≤-''+≤+≤''+≤ξξ 于是 10,11])1([2 121)1()0(222 <<<-+=-++≤ +a a a a a f f 习题22 设],1,0[)(3 C x f ∈且.0)21(,2)1(,1)0(='==f f f 证明),1,0(∈?ξ使.24)(≥'''ξf （提示：用三阶Taylor 公式，将)(x f 在2 1 =x 处展开，然后分别用0,1代x ,相减，利用条件便有 .1)()(48 1 21='''+'''ξξf f 即.48)()(21≥'''+'''ξξf f 于是 {}48)()()(,)(max 22121≥'''+'''≥ ''''''ξξξξf f f f ，即 {}∴≥''''''.24) (,)(max 21ξξf f 在(0,1)内至少存在一点,ξ使 .24)(≥'''ξf ） 第七节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ?=0x x -趋向于零时， 对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当0x x →时的极限存在，即 )()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0 x f x x →存 在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 00 x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-） 。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 00 x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+） 。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连续。 (3)、函数y ＝)(x f 在点0x 处连续是)(lim 0 x f x x →存在的充分条件，而非必要条件。 3、函数在区间上连续的定义 定义4：如果函数y ＝)(x f 在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数y ＝)(x f 在该区间上是连续的。 例1：讨论下列函数在区间),(+∞-∞内的连续性 （1）2)(x x f = （2）x x f cos )(= （3）x e x f =)( 例2：设??? ??≥+<=0 02sin )(2x a x x x x x f ，试确定b 的值，使函数)(x f 在0=x 处连续。 二、函数的间断点 （一）．间断点概念：设函数)(x f 在),(0δ∧ x U 内有定义（在点0x 处可以无定义），如果函数)(x f 在点0x 处不连续，则称点0x 为函数)(x f 的一个间断点（或不连续点）。 函数)(x f 在点0x 连续： 函数)(x f 在点0x 不连续： （1）函数)(x f 在点0x 有定义， （1*） 函数y ＝)(x f 在点0x 没有定义 （2） )(lim 0 x f x x →存在； （2*）)(lim 0x f x x →不存在 （3）)()(lim 00 x f x f x x =→ （3*）)(lim 0 x f x x →存在，但)(x f 在点0x 没有定义， 或)()(lim 00 x f x f x x ≠→ （二）.间断点的分类 设0x 为函数)(x f 的一个间断点， 1、第一类间断点 )0(0-x f ，)0(0+x f 都存在， （1）若)0(0-x f =)0(0+x f ，即)(lim 0 x f x x →存在，此类间断点称为可去间断点。 函数)(x f 在点0x 无定义，函数)(x f 在点0x 有定义，但)()(lim 00 x f x f x x ≠→。 （2）若)0(0-x f ≠)0(0+x f ，即)(lim 0 x f x x →不存在，此类间断点称为跳跃间断点。 2. 第二类间断点 )0(0-x f 与)0(0+x f 中至少有一个不存在。其中有两类特殊的间断点：无穷 间断点和振荡间断点。 例3：讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型 （1）x x x f 2sin )(= （2）x x f 1 arctan )(= （3）231 )(22---=x x x x f （4）x x f 1 sin )(= 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）极值的求法与极值的性质 （2）由导数求最值 （3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 （2）草图——讨论 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=． （1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明：3()2 f x ≥． 解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：讨论点x=1/e 1/e 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x 导数典型例题 数作 考 内容的考 力度逐年增大 .考点涉及到了 数的所有内容，如 数的定 ， 数的几何意 、物理意 ，用 数研究函数的 性，求函数的最（极） 等等，考 的 型有客 （ 、填空 ） 、主 （解答 ） 、考 的形式具有 合性和多 性的特 点 .并且， 数与 内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的 合考 成 新的 点 . 一、与导数概念有关的问题 【例 1】函数 f(x)=x(x-1) ( x-2)? (x-100) 在 x=0 的 数 .100 2 C ！ f ( 0 x) f ( 0) x( x 1)( x 2) (100 ) 解法一 f ＇ (0)= lim x = lim x x 0 x 0 = lim ( x-1)( x-2)? ( x-100)= （ -1 ）（ -2）?（ -100 ） =100 ！ ∴ D. x 0 解法二 f(x)=a 101 x 101 + a 100 x 100 +? + a 1x+a 0， f ＇(0)= a 1，而 a 1 =（ -1）（ -2 ）?（ -100 ） =100 ！ . ∴ D. 点 解法一是 用 数的定 直接求解，函数在某点的 数就是函数在 点平均 化 率的极限 .解法二是根据 数的四 运算求 法 使 解 . 【例 2】 已知函数 f (x)= c n 0 c 1 n x 1 c n 2 x 2 1 c n k x k 1 c n n x n ， n ∈ N * ， 2 k n f ( 2 2 x ) f ( 2x) lim x = . x 0 f (2 2 x) f ( 2 x) f ( 2 2 x) f (2) 解 ∵ lim x =2 lim 2 x + x x 0 f 2 ( x) f ( 2) lim x =2f ＇ (2)+ f ＇(2)=3 f ＇ (2)， x 0 又∵ f ＇(x)= c n 1 c n 2 x c n k x k 1 c n n x n 1 ， ∴ f ＇(2)= 1 （ 2 c n 1 22 c n 2 2k c n k 2 n c n n ） = 1 [(1+2) n -1]= 1 ( 3 n -1). 2 2 2 点 数定 中的“增量 x ”有多种形式，可以 正也可以 ，如 f ( x 0 m x) f ( x 0 ) ， 且 其 定形 式 可 以 是 lim f ( x 0 m x) f ( x 0 ) lim m x m x ， 也 可 以 是 x 0 x 0 f (x) f (x 0 ) （令 x=x-x 得到），本 是 数的定 与多 式函数求 及二 式定理有关 lim x x x 0 知 的 合 ， 接交 、自然，背景新 . 【例 3】 如 的半径以 2 cm/s 的等速度增加， 半径 R=10 cm ， 面 增加的速 度是 . 导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限:(１）1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →= . 两个重要的极限 ：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? （ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=,则 (１)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;（2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;（3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞?=?（3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?（ c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -=' (4） x x 1 )(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='． 导数的运算法则 (1）' ' ' ()u v u v ±=±．（2)' ' ' ()uv u v uv =+.（3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力． 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 .1002 C ！ 解法一 f ＇(0)=x f x f x ?-?+→?) 0()0(lim = x x x x x ?--?-?-??→?0 )100()2)(1(lim 0 Λ =lim 0 →?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210 ++++++ΛΛ，n ∈N *，则 x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 = . 解 ∵ x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 =2x f x f x ?-?+→?2) 2()22(lim + []x f x f x ?--?-+→?-) 2()(2lim 0 =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1 1 2 1 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ΛΛ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ΛΛ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ?--?-→?) ()(000 lim ，也可以是 00 ) ()(lim x x x f x f x --→?（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关 知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 . 经典例题导讲 [例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y . 错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='. 正解：设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'?-?='+=''='x x u x u u y y x u x )2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=?-?=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='. [例2]已知函数???????>+≤+=)1)(1(2 1)1)(1(2 1)(2 x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导？ 错解：1)1(,1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim 2 2 ='∴=?+- +?+→?f x x x 。 分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解： 1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim lim 2 2 =?+- +?+=??- - →?→?x x x y x x ∴ f(x)在x=1处不可导. 注：+→?0x ，指x ?逐渐减小趋近于0；-→?0x ，指x ?逐渐增大趋近于0。 点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 000 ，△x →0，包括△x →0＋，与△x →0－ ，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. [例3]求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。 错因：直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值； 点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线． 解：4.4,3212= ' ∴='∴+==x y x y x y 即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ． 高中导数经典知识点及 例题讲解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN § 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 自学引导 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义． 2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身 1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为Δy Δx ＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy Δx ＝________，表示函数 y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率. 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 答 案 2. f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 名师讲解 1.如何理解Δx ，Δy 的含义 Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 2．求平均变化率的步骤 求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在 [0，π2]上的平均变化率为sin π 2－sin0 π2－0 ＝2π. 在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0. § 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 自学引导 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义． 2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身 1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为 Δy Δx ＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy Δx ＝________，表示函 数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率. 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 答 案 2. f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 名师讲解 1.如何理解Δx ，Δy 的含义 Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 2．求平均变化率的步骤 求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在 [0，π2]上的平均变化率为sin π 2－sin0 π2 －0＝2 π . 在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0. 典例剖析 题型一求函数的平均变化率 例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求t＝0到t＝1的平均速度． 分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1) －S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔS Δt 就可以得到平均速度． 解(1)由于v＝S t ＝ 3t－t2 t ＝3－t. ∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1 ∴v＝ΔS Δt ＝ 2 1 ＝2. ∴从t＝0到t＝1的平均速度为2. 误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零. 变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点 (－1＋Δx，－2＋Δy)，则Δy Δx ＝( ) A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2D．3－Δx 解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx. ∴Δy Δx ＝ －Δx2＋3Δx Δx ＝－Δx＋3 答案D 题型二平均变化率的快慢比较 例2 求正弦函数y＝sin x在0到π 6 之间及 π 3 到 π 2 之间的平均变化率．并比 较大小． 分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小． 解设y＝sin x在0到π 6 之间的变化率为k1，则 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义： 拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系： 【典型例题】 题型一 求平均变化率： 例1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x ??=_______. 变式训练： 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率，并比较他们的大小. 题型二 实际问题中的瞬时速度 例 2 已知质点M 按规律2 23s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ） （1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t ??； （3）求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三 求函数的导数及导函数的值 例 3求函数1 y x x =-在1x =处的导数. 题型四 曲线的切线问题 例 4（1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程. （3）求曲线321 ()53f x x x =-+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标. 培优导数专题 1、（本大题满分12分） 设函数f （x ）= .cos 2sin x x + （Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）如果对任何,0≥x 都有f （x ）ax ≤，求a 的取值范围. 2．（本小题满分12分） 已知.)2()(,02 x e ax x x f a -=≥函数 （Ⅰ）当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设)(x f 在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围. 3、已知函数2 1()ln (1)(0).2 f x x ax a x a R a =-+-∈≠且 （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线C 上的不同两点． 如果在曲线C 上存在点M （x 0，y 0），使得：①12 02 x x x += ；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数F （x ）夺在“中值相依切线”， 试问：函数f （x ）是否存在“中值相依切线”，请说明理由． 4、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点。如果函数 2()(,*)x a f x b c N bx c +=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1(2)2 f -<-。 （1）试求函数()f x 的单调区间； （2）已知各项均为负的数列{}n a 满足1)1 ( 4=n n a f s ，求证：1111ln n n n a n a ++-<<-； （3）设1 n n b a =- ，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：201120101ln 2011T T -<<。 5、（12分）设函数f （x ） ＝ x 2＋bln （x ＋1）, （1）若对定义域的任意x ，都有f （x ）≥f （1）成立，求实数b 的值； （2）若函数f （x ）在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （3）若b ＝－1，证明对任意的正整数n ，不等式3331 1 ......31211)1(n k f n k ++++∑ = 都成立； 6、（12分）已知函数)()(R x kx e x f x ∈-= （1）若e k =，试确定函数)(x f 的单调区间； （2）若0>k 且对任意R x ∈，0|)(|>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：)()2()()2()1(2 1 *+∈+>?N n e n F F F n n 资料一 ：导数.知识点 1．导数的概念 例1．已知曲线y P (0, 0)，求过点P 的 切线方程· 解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线 PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0. 例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程· 解析：∵ y =x 2, ∴ ?y =(x 0＋?x )2－x 02＝2x 0?x ＋(?x )2 =4?x ＋(?x )2 ∴ k ＝0 lim lim (4)4x x y x x ?→?→?=+?=?. ∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4)处切线方程为y －4＝4(x －2)即4x －y －4＝0. 例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋?t ]内相应的平均速度． 解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ?S =1+(t +?t )+(t +?t )2－(1+t +t 2)=2t ·?t +?t +(?t )2 , ∴ 21S t t t ?=++??, 即()21v t t t =++?, ∴ (5)11v t =?+, 即在[5，5＋?t ]的一段时间内平均速度为(?t ＋11)米／秒 ∴ v (t )=S ’＝0 lim lim (21)21t t S t t t t ?→?→?=++?=+? 即v (5)＝2×5＋1＝11. ∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数y 在x =1处的导数。 解析：?y 1-= , ∴ y x ?? ∴ 0 lim x y x ?→?? =0 1 lim 2 x ?→=- . 例5．已知函数 f (x )=2 1sin 000 x x x x ?≠???=? , 求函数f (x )在点x ＝0处的导数 解析：由已知f (x )=0，即f (x )在x =0处有定义，?y =f (0+?x )－f (0)=2 1()sin x x ??, y x ??=1sin x x ???, 0 lim x y x ?→??=0 1lim sin x x x ?→???=0, 即 f ’(0)＝0. ∴ 函数f (x )在x ＝0处导数为 0. 导数典型例题 高中数学导数的定义,公式及应用总结 导数的定义: 当自变量的增量Δx＝x－x0，Δx→0时函数增量Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率). 函数y＝f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0［x0，f（x0）］点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。 一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则：设y＝f(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a，b）内，f'（x）<0,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，y＝f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值 求导数的步骤: 求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： ①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ②求平均变化率③取极限，得导数。 导数公式： ① C'=0(C为常数函数)；② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数③ (sinx)' = cosx；(cosx)' = - sinx；(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 ⑤ (e^x)' = e^x；(a^x)' = a^xlna （ln为自然对数）(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）(logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) 导数的应用: 1．函数的单调性 (1)利用导数的符号判断函数的增减性利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)＞０，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)＜０，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数．注意：在某个区间内，f'(x)＞０是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。(2)求函数单调区间的步骤（不要按图索骥缘木求鱼这样创新何言？1.定义最基础求法2.复合函数单调性) ①确定f(x)的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)＞0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数． 2．函数的极值 (1)函数的极值的判定①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点；②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值. 3．求函数极值的步骤 三、经典例题导讲 ［例１]已知2) 2 cos 1(x y+ =,则='y． 错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了，导致错解为： ) 2 cos 1( 2 sin 2x x y+ - ='. 正解：设2 u y=,x u2 cos 1+ =，则) 2( ) 2 sin ( 2 ) 2 cos 1( 2' ? - ? =' + = ' ' = 'x x u x u u y y x u x ) 2 cos 1( 2 sin 4 2 ) 2 sin ( 2x x x u+ - = ? - ? =∴) 2 cos 1( 2 sin 4x x y+ - ='. [例2]已知函数 ? ? ? ?? ? ? > + ≤ + = )1 )(1 ( 2 1 )1 )(1 ( 2 1 ) ( 2 x x x x x f判断f(x)在ｘ=1处是否可导? 错解:1 )1( ,1 )1 1( 2 1 ]1 ) 1 [( 2 1 lim 2 2 = ' ∴ = ? + - + ? + → ? f x x x 。 分析: 分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导． 解:1 )1 1( 2 1 ]1 ) 1 [( 2 1 lim lim 2 2 = ? + - + ? + = ? ? - -→ ? → ?x x x y x x ∴f(x)在ｘ=1处不可导. 注:+ → ?0 x，指x?逐渐减小趋近于0;- → ?0 x,指x?逐渐增大趋近于０。 点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即 x x f x x f x? - ? + → ? ) ( ) ( lim0 ,△x→0,包括△x→０+,与△x→0-，因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等,如果都存在且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数. [例３］求3 22+ =x y在点)5,1(P和)9,2( Q处的切线方程。 错因:直接将P，Q看作曲线上的点用导数求解。 分析:点P在函数的曲线上,因此过点P的切线的斜率就是y'在1 = x处的函数值； 点Q不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线. 解:4 . 4 ,3 2 1 2= ' ∴ =' ∴ + ==x y x y x y 即过点P的切线的斜率为４，故切线为:1 4+ =x y． 设过点Q的切线的切点为) , ( y x T，则切线的斜率为0 4x，又 2 9 - - = x y k PQ, 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f ＇(0)=x f x f x ?-?+→?)0()0(lim 0= x x x x x ?--?-?-??→?0)100()2)(1(lim 0 =lim 0 →?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210++++++ ，n ∈N *，则 x x f x f x ??--?+→?)2()22(lim 0= . 解 ∵ x x f x f x ??--?+→?)2()22(lim 0=2x f x f x ?-?+→?2) 2()22(lim 0 + []x f x f x ?--?-+→?-)2()(2lim 0=2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1121--+++++n n n k k n n n x c x c x c c ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000lim ，且其定义形式可以是x m x f x m x f x ?--?-→?)()(000lim ，也可以是 高中数学典型例题大全第三章导数符合函数的导 数 例 求函数?????=≠=0 ,00,1sin )(2x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，因此应当用导数定义求)0(f '，当0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1sin 2，能够按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1sin lim )0()(lim )0(0200===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当0 ≠x 时，x x x x x x x x x x x x x x x f 1cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 讲明：假如一个函数)(x g 在点0x 连续，那么有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但假如我们不能确信)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为)(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出以下函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是差不多函数的结构，解决这类咨询题的关键是正确分析函数的复合层次，一样是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成假设干个常见的差不多函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分不是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 讲明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量差不多上差不多函数的结构 导数典型例题讲解 Prepared on 22 November 2020 资料一 ：导数.知识点 1．导数的概念 例1．已知曲线y =3x 上的一点P (0, 0)，求过点P 的切线方程· 解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0. 例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程· 解析：∵ y =x 2, ∴ ?y =(x 0＋?x )2－x 02＝2x 0?x ＋(?x )2 =4?x ＋(?x )2 ∴ k ＝00 lim lim(4)4x x y x x ?→?→?=+?=?. ∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4)处切线方程为y －4＝4(x －2)即4x －y －4＝0. 例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋?t ]内相应的平均速度． 解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ?S =1+(t +?t )+(t +?t )2－(1+t +t 2)=2t ·?t +?t +(?t )2, ∴ 21S t t t ?=++??, 即()21v t t t =++?, ∴ (5)11v t =?+, 即在[5，5＋?t ]的一段时间内平均速度为(?t ＋11)米／秒 ∴ v (t )=S ’＝00 lim lim(21)21t t S t t t t ?→?→?=++?=+? 即v (5)＝2×5＋1＝11. ∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数y = x 在x =1处的导数。导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
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