§10 怎样计算电场强度？
静电场的电场强度计算，一般有三种方法： 1、 从点电荷场强公式出发进行叠加； 2、 用高斯定理求解；
3、 从电场强度和电势的微分关系求解。 这三种方法各有优点：
从点电荷的场强公式出发，通过叠加原理来计算，在原则上，是没有不可应用的。但是，叠加是矢量的叠加，因此计算往往十分麻烦。
用高斯定理求电场强度，方法简单，演算方便，它有较大的局限性，只适宜于某些电荷对称分布的场强的计算，或者场强不是对称的，但为几种能用高斯定理求解折场的合成。 用场电势的微分关系求场强也有普遍性，而且叠加是代数叠加。这一种方法也简便，不过还比不上高斯定理。
所以求场强时，一般首先考虑是琐能用高斯定理，其次考虑是否能用场强与电势的微分关系去求。下面分别加以讨论。
一、从点电荷的场强公式出发通过叠加原理进行计算 点电荷的场强公式：
301
(1)4i i
i q E r r πε=
∑r
r
当电荷连续分布时：
()()
303
0301(2)
4134144r E dl r
r
E ds
r r
E d r
λπεσπερτπε===???r r r r r r 式中
λ－电荷的线密度；
σ－电荷的面密度；
ρ－电荷的体密度。
式（2）、（3）、（4）中，积分应普遍一切有电荷分布的地方。计算时，还必须注意这是矢量和。
1、 善于积分变量的统一问题
如果积分上包含有几个相关的变量，只有将它们用同一变量来表示，积分才能积得结果。
这在应用点电荷的场强公式求带电体的场强时，或者应用毕－沙－拉定律求B r
时，常常遇到。
因此，要积分必须先解决积分变量的统一问题。
积分上包含有几个变量，相互之间存在一定的关系。因此，任一变量都可选作自变量，而将其他变量用该变量来统一表示。必须指出，不但可以将积分号中包含的变量选作自变量，而且也可选择不包含在积分号中但与积分号中的变量都有关的量作为自变量，要根据具体情况而定。
现以图2－10－1所示均匀带电直线的场强计算为例来讨论积分变量的统一问题。 由图可知：
2
0cos 4x dl
dE r λθπε=
2
0sin 4y dl
dE r λθπε=
202
0cos (5)
4sin (6)
4x x y y dl
E dE r dl
E dE r
λθπελθπε∴====??
??
上述三个变量中，共有三个相关变量：θ、l 、r 。为了把积分计算出来，必须把三个变量统一用某一个变量，可以θ、l 、r 中的任一个，或者用它的相关变量来表示。究竟选哪 一个好呢？
如果选择θ为自变量，则应把l 、r 都化作θ的函数来表示。由图示几何关系可得：
2222cot l a dl acse d r a cse θθθθ
=-== 于是得：
()()2
12
1
21002100cos sin sin 44sin cos cos 44x y E a a
E a a
θθθθλλ
θθθπεπελλ
θθθπεπε==-==-?
?
x
图2－10－1
好可把l 或r 作为自变量，把其他变量用l 或r 统一来表示。实用中，一般用θ作为自变量是比较方便的。 2、 基本例题
对于已知电荷线分布而求场强的习题，应该掌握其基本题。 单位圆弧的弧元dl ，电荷线密度λ，在圆心产生的场强为：
22000444dl rd dE r r r
λλθλ
πεπεπε=
==
当0λ>。dE r
指向圆心；当0λ<，背离圆心。如均匀带电圆弧所张的圆心角为θ，则
在圆心处所产生的场强为：
/2
/20
000sin
22cos cos (7)22E dE d r r
θθθ
λλθθθπεπε==
=?
?
E r 的方向，沿着2
θ
径向，当0λ>时指向圆
心，反之，背离圆心。
一段电荷的线密度为λ，长为l 的直线，求其延长线上离开直线近端的距离为a 的P 点之场强（图2－10－2）。 该点的场强为：
()2200
(8)444a l
a l
a
a
dx dx l
E dE x x a a l λλ
λπεπεπε++??===
=-??+??
??
?
负号表示E r
的方向与x 的方轴的正方向相反。
电荷的线密度为λ，长为l 的直线，线外有一点P ，它与直线的距离为a 。P 点的场强可由式（5）、（6）求得。
掌握了上述三个基本例题后，遇到以它们为基础的组合题，应用叠加原理就可以方便地算出结果。 3、 组合题例
［例1］一细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，沿着其上半部均匀地分布着电荷有＋Q ，沿其下半均匀地分布着电荷－Q （图2－10－3）。求半圆中心O 处的电场强度。 ［解法一］上半部圆弧电荷在O 处产生的场强如应用式（7）得：
122
00090sin
222242Q E R R R λλπεπεπε===
方向如图。
下半部圆弧电荷在O 点产生的场强2E ，应用式（7）得：
0200090sin
2222Q E R λλπε=-=-=-
1E 与2E 的合矢量指向x 的正方向，其值为：
22220022452Q Q E cos R R πεπε??== ? ???
［解法二］在上半部圆弧上取一弧元dl Rd θ=，其上电荷为2Qd dl θ
λπ
=
，故有：
12
012
02cos 42sin ()
42
x y Q
dE d R Q
dE d R θθ
ππεπ
θθ
θππε=?=
<
?
积分后得：
/2
122
22
00/2
122
22
00cos 22sin 22x y Q Q E d R R Q Q E d R R ππθθπεπεθθπεπε===
=
?
?
对下半部圆弧而言有：
222
0222
0cos 2sin 2x y Q dE R Q dE R θ
πεθ
πε=-=-
积分以后得：
2222
02222
022x x y y Q E dE R Q E dE R πεπε==
==-
??
因此有：
122201
220
x x x y y y Q
E E E R E E E πε=+=
=+=
［例2］一半径为R 、电荷线密度为λ的细圆环，在环上有一个l ?的的小缺口。求圆环中心O 处的电场强度。（图2－10－4）
［分析］有小缺口的、细的带电圆环，可以看成为两个对称的小半圆环和一个l ?长的弧段合成。两个对称的小半圆环在O 点产生的场强等值反向。故而抵消了。于是剩下l ?长的弧段电荷，而它在O 点的场强用点电荷场强公式求得：
2
04l
E R
λπε?=
场强的方向从荷电弧元指向圆心。
还可将有小缺口的带电圆环，看成一个完整的电荷线密度为λ的圆环和一段长为l ?荷电荷密度为λ-的小弧段叠加而成。这样一来，又变成了一个带负电()l λ?的点电荷场强计算了。
当然还可将环上各元段在O 点场强加以叠加计算而得。显然这太麻烦了。
由此可见，将复杂形状的带电体看成为简单形状的带电体叠加以及对称性的分析，这二点，在场强计算中是十分重要的。
［例3］一形状如图1－10－5所示的绝缘细线，其上均匀分布着正电荷。已知电荷的线密度为λ，两段直线长均为a ，半圆环的半径为R ，试求环心处的电场强度。
［分析］由于左右两段荷电直线对O 点的场强等值反向，因此互相抵消了。于是只留下半圆环了。
［解］荷电半圆在O 点的场强，根据（7）式得：
00sin
222E R R
π
λλπεπε=
=
方向如图所示。
如果图2－10－5a 改为图2－10－5b ，则O 点的场强如何计算？请读者自习。 二、高斯定理 真空中的高斯定理为：
i
S
q E ds ε?=
∑?r r ? 电荷连续分布时，用d ρτ???或ds σ??或dl λ?代i q ∑。该式表；电场强度E r
穿过封闭
曲面（俗称高斯面），S 的通量s
E ds ??r r
?是由高斯面中所包围的电量代数和i q ∑决定的。
高斯定理说的是i q ∑和s
E ds ??r r ?之间的相互关系，它不表明i q ∑与封闭曲面S 上E r 之
直接关系。然而这不等于说，在任何情况下都不可以用来求高斯面上的电场强度。 场强的分布是由电荷决定的，因而场强的分布具有对称性时，就可用高斯定理来求高斯面上的场强。我们的回答是：并非一切带有对称性的场强都可用高斯定理来求，而只能说某些具有对称性的场强才可以用高斯定理来求。那么是否非对称性场强就一定不可以用高斯定理来求场强呢？我们的回答是不一定。 1、 怎样合理选择高斯面
这是用高斯定理求场强的一个重要的问题。 让我们从简单的情况－求点电荷＋q 的场强开始谈起：
现在假设所要求的是P 点的场强。过P 点作
的高斯面有图2－10－6所示的几种情况，哪一种合理？
图2－10－6a ：0S
E ds ?=?r r ?（点电荷未包围在高斯面中）所以不能求出E r 和q 之间的关
系。
不包含点电荷作高斯面是不行的。那么是否包含了点电荷的高斯面（图2－10－6c 、b 、
d ）就是合理吗？对图2－10－6b 、d 两种情况，高斯定理是成立的：0
s
q E ds ε?=?r r ?，但是
这两个高斯面上各点的场强大小不等，积分号中E 不能从中提出，因此这样作高斯面的作法
是不合理的。我们知道，点电荷的场强具有球对称性，因此，如果以点电荷为中心过点P 作一球面。则该 高斯布各点的场强方向沿半径向外，且大小相等，这时积分号中的E 即可从中提出，即：
E E E 00E E E E2s E ds ds ds ds
ds
ds ds rh
π?=++??
?????r r r r r r r r r r
r
?上底下底侧面
侧面
侧面
侧面
＝＋＋＝＝＝ 据高斯定理得：
2i
q
h
E rh τπεε=
=
∑ 02E r
τ
πε=
对于同一题，有时高斯面的选取不只有一种。例如，本题选取扇形柱体OO AA BB '''的表面作高斯面，同样是可以的，因为只有通过曲面AA BB ''的电通量不为零。设∠AOB ＝θ，高斯面中包围的电量为2h
θ
τπ
。故由高斯面可得： 0
2s AA BB AA BB AA BB h E ds Eds Eds E ds Er h τθ
θπε''
''
''
?=====
??
?
?
r r r r
? 于是
02E r
τ
πε=
结果与上一种高斯面的的取法相同。
前面讲的例子，都具有对称性，一个是球对称，一个是轴对称的，那么，是否因此得出结论凡是具有对称性的场强都 可由高斯定理来求呢？不行，能否说，凡是非对称
场强都 一定不可以用高斯定理求场强呢？回答同样是否定的，请看图2－10－7。
左图中，电荷及场强的分布都具有对称性，但是作不出一个高斯面能使所求的E 从积分号中提出来。
右图中，一带电导体（面密度为ρ）的表面附近的场强可以用高斯定理来求。作一圆柱体表面为高斯面，由于该圆柱体的底面积ds 很小，且圆柱体的高度甚小，因此，穿过底面之E 与底面垂直须大小处处相同，而导体中的E 为零，因此据高斯定理可得：
0ds
Eds σε=
E σε=
这一例子充分而有力地证明了带电导体表面内外的场强虽然不对称，但仍可用高斯定理求出场强。关键并不在于场强是否对称性，而在于所求之E 能否从积分号中提出来。高斯面的选取必须保证E 能从积分号中提出来。
还必须指出：不能应用高斯定理求场强，不等于高斯定理不成立。高斯定理是描述静电场性质的一条重要定理。它是具有普遍性的。 3、基本题例
应用高斯定理来求场强，常常是由几个基本题组合而得。因此，掌握基本题的结果是十分重要的。这几个基本题及其结果如下：
一均匀带电体（线密度为λ）的无限长直导线，与导线相距为a 的点上之场强为 。 一均匀带电体（线密度为λ）的无限长薄圆筒，筒 的半径为R ，离轴线距离为r 的点之场强 。在圆外与无限长均匀带电导线一样，为 。 一均匀带电球面（电荷面密度为σ）半径为R ，离圆心距离为r 的点，在圆内为零；在圆外，与点电荷电场强度计算一样，为 。
一均匀带电球，电荷体密度为ρ，半径为R ，则圆外距球心为r 之点的场强，与点电荷场强一样为
201
4q r πε（q-为球上的总电荷）；在圆内为
03r ρ
ε。 无限大的均匀带电（面密度为σ）的平面，离平面距离为a 的点之场强为0
σ
ε。 上述结果，应该记住。如果忘记了可用高斯定理方便地推导而得出。 2、 组合题
［例4］无限长的直线和无限长的半径为R 的圆筒，同轴旋放置，其上电荷线密度，分别
为λ、－λ，求场强。
在圆筒外，带电圆筒场强的计算与电荷集中到轴线一样。又由于直线和圆筒的线密度等值反向，故在圆筒外的合场强为零。
在圆筒内，带电圆筒产生的场强为零，故无限长带电直线对场强有作用，场强为
02E r
λ
πε=
。 ［例5］已知如图2－10－8。求P 点的场强。 ［解］先设体密度为－ρ的球单独存在时，P 点的场强1
10
3r E ρε=-。 总
的
场
强
()1212120000
3333r r l
E E E r r ρρρρεεεε=+=+=+=r r r r r r r r
因为2r r 、1r r
的方向与2E r 、1E r 相同，所以
1r r +r r
的合矢量应该是l r ，l r 的方向是与x 轴的正方向相反的。
上述解法，起都是利用基本题的结果并应用叠加原理来解的。这种作法，即谓叠加基础上的叠加。 仿效此法，请读者自作。
电荷体密度为ρ，半径为R ，其中挖去了半径为2
R
的一个小球（图2－10－9）。求小球球心2O 的场强。 三、从场强和电势的微分关系求场强
场强()E r r
和电势()V r 是从不同侧面描述同一电场性质的两个物理量。场强或电势一确
定，就意味着确定了一个电场。故两者间必然存在一定的联系。此联系即为电势梯度的负值
V -?等于E r
，即： E V =-?r
在直角坐标系中：
V V V E V i j k x
y z ?????=-?=-++ ??????r r r r
在柱坐标系中：
z V V V E V e e e z ρ?ρ
ρ??????=-?=-++ ??????r r r r
在球坐标中：
11sin r V V V E V e e e r r r θ?θθ???
???=-?=-++ ??????
r r r r
式中i r 、j r 、k r %
、e ?r 、e θr 、e ρr 、z e r 、r e r
等分别是各坐标方向的单位向量。
［例6］电量Q 均匀地分布在长为2l 的细线上（图1－10－10）。利用场强和电势的微分关系求空间任一点(),P x y 的场强分量x E 、y E 。 ［解］将细线分成无限多个线元dX '，带电量为2Q dX l ??'
???
某线元所产生的电势为： ()
2
2
042dV l
X X Y
πε=
'-+
()
()()()()2
22
22
2
0ln
88l
l
X l X l Y Q
Q
V l l X X Y
X l X l Y πεπε+-++++'
=
='-+-+-+?
取绝对值是为了保证X 为任何值时V 都大于零，下面利用场强和电势的微分关系求场强。
()()22
2208x dV Q E dX l X l Y X l Y πε?
???=-=
-
?
?-+++??
()
()()
()
()()
2
2
22
02
2
22
[8y dV Q
E dY l
X l Y X l X l Y X l Y X l X l Y πε=-
=-++--+-
++++++
当X=0时，即在细线的中垂直线上时，0x E =
()
2
22
041Y E l
l Y
πε=
-+
当Y ＝0时，即在细线的延长线时：
22
01
04X Y Q
E E X l πε=
=-