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马克维茨资产组合理论

本科学生毕业论文（设计）

题目（中文）：Markowitz资产组合理论在我国A股市场

的运用

（英文）：The Application of Markowitz Asset Portfolio

Theory to A Share Market in China

姓名孙先哲

学号200805001221

院（系）数学与计算科学系

专业、年级数学与应用数学专业2008级

指导教师杨建奇

2012年4月30日

摘要.............................................................. I Abstract .......................................................... I I 1 绪论.. (1)

1.1 Markowitz资产组合理论介绍 (1)

1.1.1 Markowitz资产组合理论的研究对象 (1)

1.1.2 Markowitz资产组合理论的意义 (1)

1.1.3 Markowitz经典资产组合理论模型 (2)

1.1.4对Markowitz资产组合理论的评价 (3)

1.2 国内外研究状况 (3)

1.3 本文结构及内容 (4)

2 Markowitz资产组合理论与中国证券市场 (4)

2.1 Markowitz资产组合理论运用于中国证券市场的可能性 (4)

2.2实例研究 (4)

2.2.1数据采集 (4)

2.2.2 求解有效组合 (6)

2.2.3 研究结论 (9)

3 简化Markowitz资产组合理论用于我国普通股民投资 (9)

3.1 简化的前提 (9)

3.2 举例分析 (10)

3.2.1数据的采集 (10)

3.2.2 在风险已确定的情况下求收益率最高的组合 (11)

3.2.3 在确定收益率的情况下求最低风险的组合 (12)

4 结束语 (13)

参考文献 (14)

附录 (15)

致谢 (17)

Markowitz资产组合理论在我国A股市场的运用

摘要

Markowitz资产组合理论研究的是多种资产的组合问题。根据这个理论，我们可以在方差一定的情况下研究预期收益最大的投资组合问题；也可以研究预期收益一定情况下方差最小的投资组合问题。本文首先从Markowitz资产组合理论入手，介绍它的研究对象、理论意义、经典模型及其相关评价。其次用几何分析方法来具体研究我国A股市场沪市和深市能源、医药、金融三个行业指数的风险、收益率情况。最后运用MATLAB软件将求解有效组合的几何分析方法简化，在方差一定情况下求得预期收益最高的投资组合，在预期收益一定的情况下求得方差最小的投资组合。

【关键字】：Markowitz资产组合理论等均值线临界线有效组合

The use of Markowitz asset portfolio theory in China A

market share

Abstract

Markowitz portfolio theory is to study the combination problems of various assets. According to this theory, we can choose the portfolio with the same variance and the biggest expected outcome, and also can choose the portfolio with the same expected outcome and the minimum variance. Based on Markowitz asset portfolio theory, this thesis first introduces its studying object, theoretical meaning, typical model and relative evaluation. Then it specifically discusses the risk and income rate index of the field of energy, medic and finance using geometric analysis in shanghai stock market and Shenzhen stock market. Last, working with MATLAB software we simplify the geometric method that computes the effective portfolio, and get the portfolio with maximum expected outcome for the given risk or the portfolio with the minimum risk for the given expected outcome.

【Key words】: Markowitz asset portfolio theory average line critical line effective portfolio

1 绪论

从1611年在阿姆斯特丹成立的第一个股票交易所开始，到今天控制世界经济的美国华尔街。股票的产生和发展对于推动整个世界的发展和整个人类文明的进步起到了中流砥柱的作用。今天，股票已经走进了千家万户，据统计，到2011年底已经在沪市和深市开户的数量达到了七千万。如何在拥有两千支股票的股市中获利不单只依赖于技术分析而且还要考虑在多支股票中应该按怎样的比例进行投资。其实这一问题早就有了答案。1952年3月Markowitz在《金融杂志》发表了题为《资产组合的选择》的论文，将概率论和线性代数的方法应用于证券投资组合的研究，探讨了不同类别的、运动方向各异的证券之间的内在相关性，并于1959年出版了《证券组合选择》一书，详细论述了证券组合的基本原理，从而为现代西方证券投资理论奠定了基础。

1.1 Markowitz资产组合理论介绍

1.1.1 Markowitz资产组合理论的研究对象

Markowitz资产组合理论研究的是有关对多种资产进行选择和组合的问题。所谓资产组合，是指投资者把投资资金分配给若干种资产（比如：股票、债券、外汇、不动产和实业投资等），对各类资产的投资额占总投资额的某一比例，目的是使投资者持有的资产的总体收益尽可能高，同时使风险又尽可能的低。

Markowitz资产组合理论有时也被称作现代证券组合理论，因为：第一，证券是各种风险资产的最典型代表；第二，由于公开交易的证券特别是普通股票的收益和风险数据最容易获得；第三，在英文中，portfolio一词既是指证券，也是资产组合。所以，现代资产组合理论最主要的研究对象是股票投资。本文也将以Markowitz资产组合理论为理论基础以我国A股市场为研究对象。

1.1.2Markowitz资产组合理论的意义

Markowitz资产组合理论是现代投资理论的一个重要组成部分。传统的投资理论强调的是投资项目的期望收益与投资成本的比较。如果期望收益大于成本，就接受这一项目；反之，如果期望收益小于成本，就拒绝这一项目。但是，这种传统的投资理论无法用来指导证券股票风险资产的投资决策。其原因与证券投资收益的特点有关。证券投资收益的第一个突出特征就是不确定性。证券收益要受到一系列因素的强烈影响，其中包括市场的活跃水平、政治事件、国际关系、政策变动、气候状况以及上市企业经营管理的成功与失误等。各种经济因素的影响不可能事先被预测的非常准确；即使经济因素的结果被预测的完美无缺，各种非经济影响也可能改变降级运行的进程，从而影响一种或多种证券的股利和资本收益。我们不可能准确地预测某一种证券的价值在未来是上升还是下降，即使我们能够将所有的相关信息结合在一起，也只能得出一些附加条件的结论。证券投资

收益的第二个突出特征就是各种证券收益之间的相关关系。与绝大多数经济变量一样，证券收益倾向于同时上升或同时下降。但是，各种证券的收益之间并不存在完全的正相关关系，这是因为各种证券收益的影响因素总是有些差异的。有时单个证券甚至整个行业与整个商业周期逆向而动。如果证券收益之间是完全负相关，那么通过分散化的组合投资就完全可以消除风险。概率理论告诉我们，只要证券收益之间不存在完全的正相关，那么通过组合投资就可以使风险有所降低。而且，正相关的程度越低，分散化投资组合可以降低的投资风险的潜力也就越大。所以，为了降低投资风险，投资者应该避免在彼此之间高度相关的证券中进行投资。马克维茨指出，一个合意的资产组合绝不仅仅是一系列优秀的股票和债券的罗列，而是一个能够在各种可能的情况下为投资者提供保护和机遇的平衡整体。

综上所述，由于证券投资收益的不确定性和各种证券收益之间的相关关系；传统的投资理论已经失效，故而产生了证券组合投资理论。而Markowitz 资产组合理论是其中比较早比较经典的理论，在证券投资走向多元化的过程中有着重要的指导意义和实用意义。

1.1.3 Markowitz 经典资产组合理论模型

假设市场上仅有n 种风险资产（即无风险资产不存在），其收益率向量记为12(,,,)T n X X X X = ,投资者投资此n 种风险资产的资产组合向量记为12(,,,)T n w w w w = 。两种资产收益率的协方差记为 cov(,)ij i j X X σ=,,1,2,,i j n = ，其对应的协方差矩阵记为()ij n n σ?∑。特别地，记向量1(1,1,,1)T = ，并假定∑为非退化矩阵，()1E X k ≠。

相应地，该资产组合的收益率记为1n

p i i i X w X ==∑，

总风险记为2T p w w σ=∑。

记12()((),(),,())T n E X E X E X E X =

总收益率1n

i i i S w X w X ===∑。则通过计算可以得到：

()()T E S w E X =，

2var()((()))T S E S E S w w =-=∑

在建立模型之前，Markowitz 对市场做了下面的假设：

（1） X 服从联合正态分布；

（2）信息成本为零，投资者都接受市场的价格，获得相同的信息；

（3）所有的投资者都是理性的投资者，或在一定收益水平下使风险最小化，或

在风险一定的水平上使收益最大化；

（4）市场无摩擦，无交易费用，无代理费和税收；

（5）市场是完全可分和充分流动的；

（6）投资者有无限信用额度，可以无限制向银行借贷，且存贷利率相同；

（7）投资者允许卖空。

基于上述记号和假设而建立如下的模型：

min 12

T w w ∑ s.t. ()T p w E X r ≥

1T w =1

该模型是一个优化问题，其含义是在给定的预期收益水平下，风险最小的投资策略为最优策略，其中的p r 表示预期收益，约束条件1T w =1表示所有的财富都用来投资证券，且无卖空限制。

1.1.4对Markowitz 资产组合理论的评价

Markowitz 资产组合理论的思路是：第一，力求在风险一定情况下收益率达到最高或者收益率确定情况下使风险降为最低。第二，让投资者认真选取最能够满足他需要的期望收益和不确定性的组合；第三，确定提供这种最佳收益和风险组合的资产构成。Markowitz 资产组合理论为投资者、股东及金融专家们提供了衡量不同的金融资产投资的风险和收益的工具，以估计预测股票、债券等证券的价格。对金融活动具有重要的指导意义，他个人也因此与夏普、米勒三位美国经济学家同时荣获了1990年的诺贝尔经济学奖。

但是，需要明确的是，这一理论是在一系列假设的前提下建立起来的，这些假设与现实经济情况有一定的差异。因此我们在使用Markowitz 资产组合理论作为投资实践的理论指导时，需要清醒地认识到这一理论本身所隐藏的不足，认识到理论模型与现实的差距。只有这样，我们才能在正确的基础上进行投资决策。

1.2 国内外研究状况

威廉·夏普（Sharpe ）在Markowitz 资产组合理论的基础上提出的单指数模型，并提出以对角线模式来简化方差－协方差矩阵中的非对角线元素。他据此建立了资本资产定价模型(CAPM)，指出无风险资产收益率与有效率风险资产组合收益率之间的连线代表了各种风险偏好的投资者组合。Young(1998)提出投资组合收益的最小顺序统计量作为风险度量的极大极小模型。近年来，我国的经济学界先后出版了几种介绍现代资产组合理论的著作，发表了不少讨论现在资产组合理论中构造有效资产组合理论方法的文章。徐绪松、杨小青和陈彦斌（2002）、赵贞玉和欧阳令南（2004）等将MAD 模型如同

均值—下半方差模型那样发展成为MSAD （均值—下半绝对离差）模型。张喜彬等人提出了E-SV测度，即风险测度是用下方方差减去上方方差，该测度很好的解决了偏向性的问题。

1.3 本文结构及内容

本文将从数学在股票中的经典运用——Markowitz资产组合理论谈起，结合中国股市的特点，研究Markowitz资产组合理论在A股市场的可行性。最后将考虑中小股民的知识和时间限制问题，给出Markowitz资产组合理论在A股市场运用的方法。正文内容大致如下：第一节，介绍Markowitz资产组合理论。主要介绍Markowitz资产组合理论的研究对象和研究意义并给出标准的Markowitz资产组合理论模型及其评价。第二节，研究Markowitz资产组合理论与中国证券市场。首先通过Markowitz资产组合理论研究我国沪市和深市能源、医药、金融三个行业的指数，运用几何方法计算出各自的有效组合。然后说明我国沪市和深市两个证券市场的投资机会有效边界各自具有什么样的特点和差异，我们应该采取怎样的投资策略。第三节，用实际例子说明我国普通股民在知识和时间有限的情况如何快速简单地运用Markowitz资产组合理论进行投资。

2 Markowitz资产组合理论与中国证券市场

2.1 Markowitz资产组合理论运用于中国证券市场的可能性

Markowitz资产组合理论在我国证券市场的实证研究目前基本上还是处于起步阶段。出现这种现象的一个重要原因是很多人认为我国目前的证券市场起步较晚，现在体制还不规范，存在着过度炒作和投机问题，各种股票收益率之间的相关程度比较高，因此运用投资组合理论来降低投资风险的潜力比较有限。但是，我们需要结合实际数据来检验这一假设；而且，发达国家的证券市场上的各种股票收益率之间的相关程度也是有一定水平的，我们没有必要也不可能等到我国证券市场上各种股票的相关程度降低到发达国家证券市场的水平时再来开始研究现代资产组合理论在我国的实际应用问题。何况根据证券市场的效率理论，应用现代资产组合理论的努力也是提高我国证券市场的定价效率，降低各种证券收益率之间的相关系数的一个重要前提。而且自从郭树清于2011年10月任中国证券监督管理委员会主席以来到今天的一百多天里，分别对分红机制、IPO定价制度、退市制度方面做出了明显的成绩，可以说中国证券市场正在朝着正确的方向前进。Markowitz资产组合理论运用于中国股市的条件是满足的。

2.2实例研究

2.2.1数据采集

为了研究Markowitz资产组合理论在我国证券市场上的作用空间，我们选取从11年7月到今年4月总共10个月时间的上证和深证在能源、医药和金融三方

面的指数月收益率进行实证研究。原因是：第一，Markowitz 资产组合理论演算复杂，计算量大，我们只选取三个行业进行举例研究；第二，这三个行业已经包含了我国A 股市场不少比例的股票，能够在一定程度上分别指示出上证和深证股市的运行情况；第三，由于各方面原因，A 股市场去年表现一直不佳，从7月份到过年期间都是熊市下跌，而从年后经过盘整后到今天有了小幅的反弹。研究的这段时间区间中既有上涨又有下跌和调整。故选择这个时间段拿来研究是比较合理的。我们通过方正证券泉友通软件中可以获得每个月的收盘值，导入Excel 软件可以算出月收益率。如表一所示：

表一沪深两市能源、医药、金融三个行业的月收益率

其中市场指数收益率的计算公式为：11

t t it t I I R I ---= 式子中，it R 为i 指数在t 周期的收益率；t I 为指数在第t 年的收盘点数；1t I -为指数在第（t-1）年的收盘点数。在这里，我们设1t R 为上证指数的收益率，2t R 为深证综指的收益率。

设上证能源、上证医药、上证金融、深证能源、深证医药、深证金融的平均收益

率分别为：1μ、2μ、3μ、4μ、5μ、6μ。则通过平均收益率1

i it t R n μ==∑的计算公式可以算得：1μ=-0.012、2μ=-0.021、3μ=0.001；

4μ=-0.020、5μ=-0.02、6μ=0.005。

然后计算个自的方差，即风险，计算公式为：21

1()1n

t it t t R n σμ==--∑

通过计算得到：1σ=0.004、2σ=0.007、3σ=0.004；

4σ=0.007、5σ=0.007、6σ=0.006。

用ij σ表示股票i 与股票j 之间的协方差，则其计算公式为：

1cov(,)()()n ij i j it i jt j t R R R R n σμμ===--∑ 通过计算可得：12σ=0.002、 13σ=0.003、 23σ=0.002；

45σ=0.005、 46σ=0.005、 56σ=0.004。

2.2.2 求解有效组合

我们先研究上证系列三个行业的有效组合，我们令1X 、2X 、3X 分别表示为投资于上证能源、上证医药、上证金融的比例。其中，1X +2X +3X =1，且X1、X2、X3都不小于零，即不允许卖空。

投资组合整体的预期收益E =1X 1μ+2X 2μ+3X 3μ，

因为1X +2X +3X =1，故E =1X 1μ+2X 2μ+（1-2X -3X ）3μ

=1X （1μ-3μ）+2X （2μ-3μ）+3μ。

代入数据可得：12(0.0120.001)(0.0210.001)0.001E X X =--+--+

120.0130.0220.001X X =--+

这里我们引入等均值线的概念，所谓等均值线就是具有相同的期望收益的资产组合的点的轨迹。

利用MATLAB 软件编程可以得到如下的图形（编程代码见附录1.1）：

图一中的箭头指示资产组合期望收益增加的方向。当我们沿着这一方向移动时，我们就可以得到不断上升的组合期望收益的等均值线。只要不存在123μμμ==，这些等均值线就是平行的。如果当123μμμ==时，说明所有资产组合都是有相同的期望收益，唯一有效的资产组合就是具有最小方差的组合，即哪个行业的风险最低就全部投入哪个行业。投资组合整体的方差设为V 。

则222111222333121213132323222V X X X X X X X X X σσσσσσ=+++++

因为1X +2X +3X =1，所以投资组合整体的方差V 可以整理为：

22111133322223331212132333(2)(2)2()V X X X X σσσσσσσσσσ=-++-++--+

11333223332()2()X X σσσσσ+-+-+。

代入数据得：221212120.0020.0070.0020.0020.0040.004V X X X X X X =++--+。

所有满足上述方程的点的轨迹我们称之为等方差曲线。

利用MATLAB 软件编程可得到如下图形（程序代码见附录1.2）：

很明显，每个等方差曲线都是椭圆，而且每个椭圆都具有相同的形状、倾斜方向和中心。中心点的方差最小，随着椭圆向外膨胀，方差逐渐增大。当且仅当以下一个或多个条件成立时，等方差曲线不会呈现出椭圆：

（1）11133320σσσ-+=时，随机变量13()r r -具有零方差；

（2）22233320σσσ-+=时，随机变量23()r r -具有零方差；

（3）随机变量13()r r -与23()r r -的相关系数等于1或-1时。

我们把等均值线和等方差线同时描述在一个图中，并找出直线和椭圆相切的线。

如下图所示（程序代码见附录1.3）：

假定从直线b的上端出发向下端移动，将依次与V=0.0042、V=0.0040、V=0.0038、V=0.0036、V=0.0034、V=0.0036、V=0.0038的方差曲线相交，即方差是先减少，再增加，当到达A点时达到最小值0.0034，同样的，在其他等均值线上具有最小方差的点一定也是该线与等方差曲线的切点。明显，直线e也与V=0.0034的椭圆相切，切点是D，其预期收益明显大于A点预期收益，所以在A 和D点中我们肯定选择D点代表投资组合。D点的资产组合是一个有效的资产组合。在MATLAB软件中我们可以轻松、准确地读出D点坐标的范围是（0.178-0.186,0.102-0.109），不妨取作（0.18,0.10），也就是投资于能源行业18%，投资于医药行业10%，投资于金融行业72%，此投资组合的预期收益是-0.354%，风险为0.34%。在这里，我们称等方差曲线与等均值线的切点的连线为临界线，如图三中的直线a。临界线a上的各点代表着各种水平的期望收益的资产组合中组合方差最小的资产组合。换言之，如果某一点能够使某一水平的期望收益的资产组合的方差最小化，它就一定处于临界线上。

同理分析可知C点，O点的资产组合也是有效组合。在MATLAB中读出C点坐标范围是（0.291-0.299,0.176-0.181），不妨取（0.30,0.18）。则C点对应的组合方式是：投资于能源行业30%，投资于医药行业18%，投资于金融行业52%，此种投资策略的预期收益是-0.69%，风险是0.32%；O点的组合方式是：100%的比例投资于金融行业，此种投资组合的预期收益是0.1%，冒的风险为0.4%。

同样的方法，深证三个行业中找出三组有效资产组合：

23%投资于深证能源行业、37%投资于深证医药行业、40%投资于深证金融行业；此投资组合的预期收益为：-0.78%，风险为0.3%。

17%投资于深证能源行业、29%投资于深证医药行业、54%投资于深证金融行业；此投资组合的预期收益为：-0.16%，风险为0.42%。

100%投资于深证金融行业，预期收益是：0.5%，风险是：0.6%。

2.2.3 研究结论

通过上面研究，可以得到以下结论：股市是存在风险，在行情不好的情况，即使是为不要亏损太多都要承受一定风险，但总体而言，上海股市的风险水平比深圳股市的风险水平要低。上海股市最小风险组合的标准差约为0.32%，而深圳股市的最小风险组合的标准差约为0.3%；上海股市最高风险组合的标准差约为0.4%，深圳股市的最高风险组合的标准差约为0.6%。说明在熊市中，沪市的股票比深市的股票更能抵抗风险，当然，其程度也是有限的。而深市的股票的高风险也代表着高收益，那些追求高收益又能承担住一定风险的投资者应该进入深市操作。而稍微谨慎型的投资者买沪市的股票理论上会比深市的好点，但程度是非常微小的。

3 简化Markowitz资产组合理论用于我国普通股民投资

由上一节的实例研究我们可以看到用Markowitz资产组合理论求解有效资产组合的复杂性和计算量的繁重性。尽管也有人用了其他方法求解，比如动态规划法、蒙特卡洛法、梯度法等。但这些同样复杂繁琐，而且建立在了更高水平的数学知识上。普通投资者由于知识和时间的限制因素，不可能按照标准的方法解出所有的有效组合进行选择后再去买入。在此，我们把模型的计算进行有条件的简化。

3.1 简化的前提

在股市这个不见硝烟的战场中，有的人失败，有的人成功。在中国的A股市场中，由于制度等各方面原因，上市公司给股民创造的投资回报有限，真正意义上的价值投资不复存在，基本上都是属于投机行为。所以你赚钱的同时必然有人亏欠，而你亏钱的同时也必然有人得到了你亏损的钱。要想在股市中多打胜仗，我们就需要看清股市、认识自己、了解对手。所谓知己知彼，百战不殆。在此，我们首先要认识自己，从性格上看，你是属于谨慎型还是风险型；从收入、支出方面看你自己的经济状况最大能承受多大的风险。也就是我们可以先根据自己的情况确定风险，这样我们只需算出满足你风险的一条等方差曲线，然后找到与该方差曲线相交的等均值线中预期收益最大的交点即可。当然，在此，我们也只是从三支股票中进行选择，因为对于我们普通投资者投资的范围不可能很广，投资的行业有限。我们肯定是投资于自己熟悉的行业，而每一行业中我们只需选出一

支自己熟悉的股票即可，因为同一行业的股票相关性强，其基本走势是基本相同的。即使是专业的投资的团队，他们从股票池中选出的股票也就是那么三四支。因此，我们只从选出的三支股票中进行组合投资是恰当的。

另外一种简单运用资产组合理论的方法就是先确定预期收益，也就是只画出一条等值均线，然后从与这条等值均线相交的等方差曲线中选择方差最小的点。我们普通投资者在进行一项投资买入前都应该设立一个目标价位和止损价，因为我们用来研究股票的知识和时间有限，对低位与高位的判断一般都来自于自己的主观判断，其正确与否都取决于运气。不可能每次都能在绝对低位抄底，在绝对高位卖出。所以应该在股价到达目标价位后果断卖出，而股价下跌到止损价说明我们买入前的判断失效，就应该忍痛割卖。对于理性的投资者都有事先设立预期收益和止损价的习惯，而只要设立了预期收益，我们就可以运用Markowitz 资产组合理论简单、快速的计算出投资组合的比例。

3.2 举例分析

我们首先应从自己熟悉的几支股票中选出三支。以我自己为例，通过各种技术指标分析，我将决定买入：万科A 、浦发银行、桂冠电力。然后运用Markowitz 资产组合理论求出符合自己预期收益或风险程度的最佳组合。在这里，我们将以年为周期计算收益率。一是因为一年为周期可以消除一些庄家的炒作行为，股票的收益率更加稳定；二是再次告诉投资者，不要频繁操作，判断股票长期的走势比较容易，进行中长期投资才是投资的王道。

3.2.1数据的采集

从方正证券泉友通软件中我们可以得到如下的收益率数据：

表二万科A 、浦发银行、桂冠电力年收益率

设万科A 、浦发银行、桂冠电力的平均收益率分别记为：7μ、8μ、9μ；

方差分别记为：7σ、8σ、9σ。

通过计算得：7μ=0.494、8μ=0.343、9μ=0.087。

7σ=1.0569、8σ=0.7083、9σ=0.2256。 78σ=0.7899、79σ=0.4318、89σ=0.3513。

3.2.2 在风险已确定的情况下求收益率最高的组合

我们进入股市前都应该根据自己的性格、年龄、经济状况确定下自己能够接受的风险。在这里，我们假设组合方差V=0.3。将已知数据代入等方差曲线公式：

22177799928889991278798999(2)(2)2()V X X X X σσσσσσσσσσ=-++-++--+

17999289992()2()X X σσσσσ+-+-+。

得到：221212120.41890.23130.46480.41240.25140.2256V X X X X X X =+++++。

即画出了一个等方差曲线。

再将已知数据代入等均值线公式：

E =1X 1μ+2X 2μ+（1-2X -3X ）3μ=1X （1μ-3μ）+2X （2μ-3μ）+3μ。得到：120.4070.2560.087E X X =++

不妨令E =0.3，即得到一条等均值线，然后利用MATLAB 的作图功能将其平行移动到与V=0.3的等方差曲线相切的位置。如图四所示(相关MATLAB 程序见附录

1.3)：

因为投资于万科和浦发的数额不能是负数，故由图四知，图中的交点即为

收益率最高的组合，虽然看上去不能准确读出交点的坐标，但在MATLAB的原图中用鼠标点在该处读出数据是：x：0.0921-0.0998；y：0.1025-0.1102。所以可以确定投资于万科A和浦发银行各占10%，投资于桂冠电力占80%，该投资组合的收益率是：15.33。

3.2.3 在确定收益率的情况下求最低风险的组合

我们永远不要因为不是在最高点卖出卖出股票而后悔，因为高收益的背后是高风险。每次买入股票前都应该确立一个目标价和止损价。现在假设我们的预期收益是0.15，也就是只要股价升了15%，不管什么原因都卖出股票，记住，巴菲特投资的平均年收益率也就20%多。

在此条件下运用Markowitz资产组合理论，我们先画出E=0.15的等均值曲线。然后不妨令V=0.2和0.4。也就得到了两个等方差曲线和一条等均值曲线，再将等均值线E=0.15分别平行移动到与等方差曲线V=0.2和V=0.4想切的位置。利用MATLAB编程在MATLAB作图窗口中进行相应操作就可以的如下的图形（相关MATLAB程序见附录1.4)：

由上一节介绍的等均值线知，每条等均值线都是平行的，故将等均值线E=0.15平行后还是等均值线，将它们与等方差线V=0.2和V=0.4的相切的交点B,C连接后得到的直线a。由上一章介绍的临界线知，直线a即为临界线，所以它与等均值线E=0.15的交点A即为风险最小的组合。在MATLAB的原图中用鼠标

点在该处读出数据是：x ：0.0869-0.0906；y ：0.0972-0.1042。分别取0.09和0.1。即在收益率为15%的情况下，9%投资万科A,10%投资于浦发银行，81%投资于桂冠电力，组合投资的方差最低，约为0.098。现另外选择一个投资组合以便比较，比如：投资于万科、浦发银行、桂冠电力各三分之一。则预期收益、方差分别为：

12110.4070.2560.0870.4070.2560.0870.30833

E X X =++=++= 111110.41890.23130.46480.41240.25140.22560.570899933

V =+++++= 虽然这种组合的收益率是上一种投资组合的两倍，但是这种投资组合的方差是上一种投资组合的5.8倍。理性的投资当然不会冒将近6倍的风险去追求只有两倍的利润。

4 结束语

Markowitz 资产组合理论虽然求解有效组合的过程复杂，但是在分散投资、降低风险或提高收益率方面的优势是非常明显的。，随着计算机技术的发展，我相信在未来Markowitz 资产组合理论会得到更广的应用。本文在引用了Markowitz 经典资产组合理论，运用了几何分析法并结合MATLAB 软件把理论简化，使普通股民也能理解、运用Markowitz 资产组合理论进行组合投资。

参考文献

[1] 哈里·马克维茨，刘军霞，张一驰.资产选择——投资的有效分散化[M].北

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[2] 胡海鸥，宣羽畅，马骏.证券投资分析（第三版）[M].上海：复旦大学出版

社,2003:257-265.

[3] 刘卫国.MATLAB程序设计教程[M].北京：中国水利水电出版社，

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[4] 陈许红.Markowitz均值-方差模型的推广及应用[D].上海：上海交通大学，

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[7] Bawa V.S.EltonE.J.andGruber.Simple Rules for Optimal Portfolio

Selectionina Stable[J].Journal of Finance,1979,18(3A): 1041-1047.

附录

附录1.1：

>> axis([0 1 0 1]);

>> x1=0:0.001:1;

>> x2=0:0.001:1;

>> x2=-13/22*x1+6/22;

>> plot(x1,x2);

>> hold on

>> x2=-13/22*x1+12/22;

>> plot(x1,x2);

>> x2=-13/22*x1+9/22;

>> plot(x1,x2);

>> x2=-13/22*x1+15/22;

>> plot(x1,x2);

>> x2=-13/22*x1+18/22;

>> plot(x1,x2);

>> x2=-13/22*x1+21/22;

>> plot(x1,x2);

>>title('图一上证系列行业指数的等均值线')

>> xlabel('投资于上证能源的比例X1')

>> ylabel('投资于上证医药的比例X1')

附录1.2：

>> axis([0 1 0 1]);

>> hold on

>>ezplot('0.002*x1^2+0.007*x2^2+0.002*x1*x2-0.002*x1-0.004*x2+0.004=0.0032') >> gtext('V=0.0032')