习题7.7
3.指出下列方程所表示的曲线.
(1)???==++;3,
25222x z y x (2)???==++;1,3694222y z y x
(3)???-==+-;3,
254222x z y x (4)???==+-+.4,08422y x z y
【解】
(1)表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ;
(2)表示平面1=y 上的椭圆19
32322
2=+z
x ;
(3)表示平面3-=x 上的双曲线14
162
2=-y z ; (4)表示平面4=y 上的抛物线642-=x z .
4.求()
()
?????=++=++Γ2,
21,
:2
22
2
222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 (一)(1)、(2)联立消去z 得 2224
3R y x =
+ 所以,Γ在xoy 面上的投影曲线为
?????==+.0,
4
322
2z R y x (二)(1)、(2)联立消去y 得
R z 2
1
=
所以,Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤
??
?
??==
(三)(1)、(2)联立消去x 得
R z 21
=
所以,Γ在yoz 面上的投影曲线为
.23.0,
21R y x R z ≤
?????
==
6.求由球面224y x z --= ①和锥面()
223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域.
【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为
?
??==+.0,
122z y x
所以,球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D .
习题7.8
2.设空间曲线C 的向量函数为(){}
t t t t t r 62,34,122--+=,R t ∈.求曲线C 在与
20=t 相应的点处的单位切向量.
【解】因(){}64,4,2-=t t t r ,故C 相应20=t 的点处的切向量为
(){}2,4,42='r .
C 相应20=t 的点处的单位切向量为
(){}.31,32,322,4,4612?
?????±=±
=' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为
()()(){}|
1
,,='''=t t z t y t x {
}{}3,2,13,2,1|
1
2
===t t t .
所以,Γ在0M 点处的切线方程为 3
1
2111-=
-=-z y x . 法平面为
()()()01.31.21.1=-+-+-z y x ,即 0632=-++z y x .
4.在曲线32,,:t z t y t x ===Γ上求一点,使在该点处的切线平行于平面y x 2:+π
4=+z .
【解】平面y x 2+4=+z 的法向量为{}1,2,1=n .
在Γ上任取一点()0000,,z y x M ,并设0M 对应参数0t t =.Γ在0M 点处的切
线方向为
()()(){}000,,t z t y t x '''={}{}2
0023,2,13,2,1|0
t t t t t
t ===. 由题意,欲使0M 点处的切线与平面π平行,只须与垂直,为此令
2
00341.0t t n s ++==,即
03412
00=++t t .
解之得, 10-=t 或 3
1
0-=t .
所以,所求点为()1,1,10---M 或??
?
??-271,91,310M .
5.求曲线?=t
u udu e x C 0
cos :,t t y cos sin 2+=,t e z 31+=在0=t 处的切线方程和
法平面方程.
【解】参数0=t 对应曲线C 上的点()2,1,00M .
C 在0M 点处的切线方向为
()()(){}|
,,='''=t t z t y t x s {
}{}3,2,13,s i n c o s 2,c o s |
3=-==t t
t e t t t e .
所以,Γ在0M 点处的切线方程为
3
2
2110-=
-=-z y x . 法平面为
()()()02.31.20.1=-+-+-z y x ,即 0832=-++z y x .
习题8.1
1.求下列函数的的定义域,并画出定义域的图形. (3)2
2
1y
x z w --=
;(4)1
92
2
2
222-++---=
z y x z y x u .
【解】
(3)要使函数表达式有意义,必须满足 0122>--y x 即 122<+y x 故所求函数的定义域为
(){}1|,22<+=y x y x D . (4)要使函数表达式有意义,必须满足
?????>-++≥---.
01,
092
222
22z y x z y x 即 ?????>++≤++.
1,
92
222
22z y x z y x 故所求函数的定义域为
(){}91|,,222≤++<=z y x z y x D .
3.求下列各极限. (1)
()()???? ??++→z y x z y x 111lim
3,2,1,,; (2)()()???? ??+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0,; (3)
()()
()xy
y x xy tan 1
0,0,1lim
+→; (4)()()()
2
22
20,0,lim y x y x xy y x +-→;
(5)()()
y x y x y x +-++→11lim
220,0,; (6)()()2220,0,lim y
x y
x y x +→. 【解】(1)因为函数()z
y x z y x f 1
11,,++=
是三元初等函数,其定义域为
(){}0,0,0|,,≠≠≠=z y x z y x D ,且()D ∈3,2,1,所以三元函数
()z
y x z y x f 1
11,,++=
在()3,2,1处连续,从而有 ()()611312111111lim
3,2,1,,=++=???? ??++→z y x z y x . (2)
()()????
?
?+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0, ()()
y x y x 1sin
lim
0,0,→=
()()0001
sin lim 0,0,=+=+→x
y y x . 【其中
()()
y x y x 1sin
lim 0,0,→()()01
sin lim 0,0,==→x
y y x 均是利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. (3)
()()
()xy
y x xy tan 1
0,0,1lim
+→()()()e e xy xy
xy
xy
y x ==??????+=
→1tan 1
0,0,1lim
.
(4)()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→()()()
0.lim 2
22
20,0,=+-=→xy y x y x y x .
【上述结论中用到122
2
2≤+-y x y x 及()()0lim 0,0,=→xy y x ,即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. (5)
()()
y x y x y x +-++→11lim
220,0,()()()()
1
1lim 222
20,0,+++++=→y x y x y x y x
()()()
.lim 2
20,0,y x y x y x ++=→()()
.02
1
01
11lim
220,0,=?
=+++→y x y x 【上述结论中用到()y x y
x y x y x y x +=++≤++≤
2
220,()()()0lim 0,0,=+→y x y x 及夹逼准则】.
(6)()()2220,0,lim y x y x y x +→()()0.lim 2
22
0,0,=+=→y y x x y x .
【上述结论中用到122
2
≤+y
x x 及()()0lim 0,0,=→y y x ,即利用有界量乘以无穷小量还是
无穷小量】.
4.证明极限()()4
22
0,0,lim y x xy y x +→不存在.
【证】(一)让动点()y x P ,沿直线0=y 趋于点()0,0O 时,
()4
2
2
0lim y x xy y x +=→000.lim 4220=+=→x x x . (二)让动点()y x P ,沿抛物线x y =2趋于点()0,0O 时,
()42202lim y x xy x
y x +=→21
.l i m 220=
+=→x x x x x .
习题8.2
1.证明:函数()444,y x y x f +=在原点()0,0处连续,但不存在偏导数()0,0x f ',
()0,0y f '.
【证明】 (一)因为
()()
()()0,00,lim
0,0,f y x f y x ==→,所以,()y x f ,在()0,0处连续.
(二)因为()()x f x f x ?-?+→?0,00,0lim 0()x
x x ?-+?=→?00lim
4
44
0 x
x x ??=→?0
l i m
不存在,所以不存在偏导数()0,0x f ';
由轮换对称性知,也不存在偏导数()0,0y f '. 2.求下列函数对各自变量的一阶偏导数.
(1)x y y x z 33-=; (2)xy z ln =;
(3)xy e z x sin =; (4)x
y
z arctan =;
(5)()y
xy z +=1; (6)2y
xe z y
=.
【解】
(1)
323y y x x
z
-=??;x y x y z 233-=?? . (2)因y x z ln ln +=,故
x x z 1
=??;
y
y z 1=??. (3)
xy ye xy e x
z
x x cos sin +=??; xy xe y z x cos =?? (4)x x y x y x
z '
??
?
????
? ??+=??2112
22222y x y x y y x x +-=??
?
??-+=; y
x y x y x
z
'
??
? ????
? ??+=??211
2
22
2
2
1y x x x y x x +=??
?
??+=. (5)()()xy y y
e xy z +=+=1ln 1;
()
()[]x xy y xy y e x z '+=??+1ln 1ln ()?????????? ??+=+y xy y e xy y .111ln ()1211-++=y xy xy y ;
()()[]y xy y xy y e y z '
+=??+1ln 1ln ()?????
????? ??+++=+x xy y xy e xy y .11)1ln(1ln ()??
????++++=xy xy xy xy y 1)1ln(1()()[]xy xy xy xy y ++++=-)1ln(111. (6)2y e x z y =??;422.y y e y e x y z y y -=??()
422y y y xe y -=()3
2y
y xe y -=. 3.求曲线?????=+=
Γ,4,4
:2
2y y x z 在点()5,4,20M 处的切线方程及切线对于x 轴的倾角的度数. 【解】
(一)Γ的参数方程为
???
????
+=
==Γ416,4,:2
x z y x x (x 为参数).
点0M 对应参数2=x ,故切向量为
{}1,0,12,0,1|2=????
??
==x x s 切. 所以,点()5,4,20M 处的切线方程为
1
5
0412-=
--=-z y x . (二)因为()()1244,2||4,2)4,2(22=='
???? ??+='x
y x f x x ,所以切线对于x 轴的倾角的度
数为4
1arctan π
α=
=. 4.求下列函数的所有二阶偏导数.
(1)()y x z 32sin +=; (2)42244y y x x z +-=; (3)xy z 2=; (4)y
x
y x y x z arctan arctan 22-=. 【解】 (1)
()y x x
z
32cos 2+=??; ()y x y z 32cos 3+=??;
()y x x z 32sin 422+-=??;()y x y x z 32sin 62+-=???;()y x y
z
32sin 922+-=??. (2)
2384xy x x
z
-=??; 3248y y x y z +-=??; 2
22
2812y x x z -=??;xy y x z 162-=???;2222128y x y
z +-=??. (3)
()x xy xy x z '
=??2.2121()x y
y xy 2
12.2121==
;
()y xy xy y z '
=??2.2121()y
x x xy 2
12.2121==
. xy
x y x y x y x z 42.121212
22-=?
????
?????????? ??-=??;
xy
x x y y x z 421.121212=
?
????
?
????????? ??=???; xy
y x
y x y x y z 42.12121222-=??
???
????????????? ??-=??. (4)y
x y x y x z arctan arctan
22-=. x x y x
y x y x x z '???
? ??-'
??? ??=??arctan arctan 22 ??????
???????????? ??+-???????
?????
????????? ????? ??-??? ??++=y y x y x y x y x x y x 1.11.11a r c t a n 222222 2
2
3
222a r c t a n 2y
x y y x y x x y x +-+-= ()
22
22a r c t a n 2y x y
y x x y x ++-=y x y x -=a r c t a n 2; y y y x y x y x y z '???? ?
?-'
??? ??=??arctan arctan 2
2 ?????????????
???????? ?????? ?
?-???? ??++-????????????????? ??+=222
22.11a r c t a n 21.11y x y x y y x y x x y x 2
2
2
223a r c t a n 2y
x xy y x y y x x ++-+= ()
y x
y y
x x y x
a r c t a n 22
222
-++=
y x y x a r c t a n 2-=.
??
????
???????????
??-??? ??++='
??
? ??-=??2222.112arctan 2arctan 2x y x y x x y y x y x x z x 2
22a r c t a n 2y
x xy
x y +-=. 11.112a r c t a n 222-????
??
??????????
? ????? ??+='
??? ??-=???x x y x y x y x y x z y 12222-+=y x x 2
2
2
2y
x y x +-=; y y x y x y z '
???
? ?
?
-=??arctan 222 ?????
??
???
?????????????????????? ??-???? ??++-=22.112a r c t a n 20y x y x y y x 2
22a r c t a n 2y
x xy
y x ++-=. 5.验证下列等式.
(1)设x
y xe z =,证明: z y
z y x z x
=??+??; (2)证明函数r u 1=,2
22z y x r ++=满足0222222=??+??+??z
u y u x u ;
(3)证明()bx e t x T t
ab sin ,2-=满足热传导方程22x
T
a t T ??=??,其中a 为正常数,
b 为任意常数.
【证】
(1)因??? ??-=????????? ??-+=??x y e x y e x e x z x y x y x y 12;x y
x y e x e x y z =??
???????
??=??1.
所以,z xe ye x y e x y z y x z x x y x y x y ==+????????? ?
?
-=??+??1.
(2)
()
x z y x z y x x r '++++=??22222221()r x
x z y x =++=2212
22;①
x r dr du x u ??=??.【因为①】32.1r
x r x r -=-=. 6
23
322
.3..1r
x r r x r r x x x u ??? ????--=??? ??-??=??【因为①】 5
226233.3..1r
x r r r x r x r --=?
?? ??
--=; ② 同理可得
5
2
2223r
y r y u --=??; ③ 5
2
2223r z r z u --=?? ④
所以,222222z
u
y u x u ??+??+??【因为②,③,④】
()
5222233r z y x r ++--=0335
2
2=--=r
r r . (3)由()bx e t x T t ab sin ,2
-=,得
()[]
bx e ab bx ab e t
T
t ab t ab sin sin 2222---=-=??. ① []bx be b bx e x
T
t ab t ab cos .cos 22--==??.
[]b bx be x T t
ab .sin 22
2-=??-bx e b t ab sin 22--=. ② 所以有
22x
T
a t T ??=??bx e a
b t ab sin 22--=.
6.设()()
?
??
??=+≠+++=,0,
0,0,1cos ,2222222
2y x y x y x y x y x f 求()0,0x f ',()0,0y f '.
【解】
因为()()x
f x f x ?-?+→?0,00,0lim 0 ()
[]
()
x
x x x ?-+?+?=→?00
1
cos
0lim
2
2
22
01cos
lim 0
=??=→?x x x 【上述结论中用到11
cos ≤?x
及0lim 0=?→?x x ,即利用有界量乘
以无穷小量还是无穷小量】,所以,()00,0='x f . 同理,()00,0=''y f .
习题8.3
1.求下列函数的全微分.
(1)y
x
y x z +=2
4;(2)3
2y x e
z +=;(3)xyz u =;(4)z xy u =.
【解】 (1)因为
y xy x z 1
8+=??,
224y
x x y z -=??,所以 dy y z
dx x z dz ??+??=
dy y x x dx y xy ???
? ??-+???? ??+=22418. (2)因为
(
)
x
y
x y x e x
z
'
+=??+2
22
2
???
? ??+=+x y x e
y
x 2.21222
22222y x xe y x +=+; 由轮换对称性知,222
2
y
x ye y z y
x +=??+.所以
dy y z
dx x z dz ??+??=
()ydy xdx y
x e y x ++=+222
2. (3)因为
yz x u =??,xz y u =??,xy z
u
=??,所以,
x y d z x z d y y z d x dz z
u dy y u dx x u du ++=??+??+??=
. (4)z xy u =. 因为
z y x u =??,1-=??z xzy y u ,y xy z
u
z ln =??,所以, ydz xy dy xzy dx y dz z
u dy y u dx x u du z z z ln 1++=??+??+??=
-. 2.求下列函数在指定点的全微分.
(2)z
y x u 1
????
??=,()1,1,1|du .
【解】(2)z
y x u 1????
??=,()1,1,1|du .
因为
x z
y x y x z x u '
???
? ?????
?
??=??-111????
?????? ??=-y y x z z
1111; y
z y x y x z y u '???
?
?????? ??=??-11
1???? ??-???? ??=-2111y x y x z z ; ??? ??-???? ?????? ??=??21
1.ln z y x y x z u z
??? ?
?-???? ?????
?
??=-2111ln 1z y x y x z z
.
所以
dz z
u dy y u dx x u du ??+??+??=
+???
? ??????
??=-dx y y x z z
1111
dy y x y x z z
???
? ??-????
??-211
1dz z y x y x z z
??? ?
?-???? ?????? ??+-211
1ln 1.
从而 ()dy dx du -=1,1,1|.
4.求曲面22:y x z S +=在点()2,1,10M 处的切平面方程和法线方程.
【解】令()z y x z y x F -+=22,,. 则曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 ()()(){}000,,M F M F M F z y x '''= {}()
{}1,2,21,2,2|
2,1,1-=-=y x .
所以S 在点0M 处的切平面方程为
()()()02.1121.2=---+-z y x . 化简得
0222=--+z y x . 法线方程为
1
2
2121--=
-=-z y x . 6.利用全微分求近似值. (1)
()()3397.102.1+;
【解】(1)令(),,33y x y x f z +==则
()()3
3
21
3
3
22
3
,,2
3
,y
x y y x f yx
y
x x y x f y y x +=
'+=
'-.
取03.0,02.0,2,100-=?=?==y x y x ,则有
()()()()()03.02,102.02,12,103.02,02.01-?'+?'+≈-+y x f f f f ,
即:
()()().95.203.0202.02
1
397.102.13
3=-?+?+≈+
8.已知函数()?
????=+≠++=,0,
0,0,1sin ,222
22
2y x y x y x xy y x f
证明: (1)()y x f ,在点()0,0处连续且偏导数存在; (2)()y x f ,在点()0,0处可微. 【证】
(1)因为()y x f y x ,lim 0
→→01sin
lim 2
2
0=+=→→y
x xy y x 【无穷小乘以有界量还是无穷小量】
()0,0f =,所以()y x f ,在点()0,0处连续. 又因为()()x
f x f x ?-?+→?0,00,0lim
00
0lim 0=?-=→?x x ,所以()00,0='x f ;同理()00,0='y f ,所以()y x f ,在点()0,0处偏导数存在.
(2)()y x f ,在点()0,0处的全增量为
()
()()()
()
2
2
0,01
s i n
0,00,0|
y x y x f y x f z ?+???=-?+?+=?.
因为 ()()[
]()()2
20
00,00,0lim
y x y
f x f z y x y x ?+??'+?'-?→?→?
()
()
()
()
01sin
lim
2
2
2
2
0=?+??+???=→?→?y x y x y
x y x ,
所以,()y x f ,在点()0,0处可微. 【上述结论用到了()()
()()2
2
2
2
1
sin
0y x y x y
x ?+??+???≤
()
()
()
()
2
2
2
2
1
s i n
.y x y x y x ?+??+???=
()()[]
()()()[]()()()0,0,02
121
222
222→??→?+?=
?+??+?≤y x y x y x y x
及夹逼准则 . 】
习题8.4
1.求下列复合函数的偏导数或全导数. (1)设uv e z =,而2,sin x v x u ==,求dx
dz ; (2)设()xy
x z ln =,求
x
z
??,y z ??; (3)设()xy y x yf x z ,222+=,求x
z
??,y z ??. 【解】
(1)因为
uv ve u z =??,uv ue v z =??;x dx du cos =,x dx
dv
2=.所以由全导数公式,有 ()
x x x x e x ue x ve dx
dv
v z dx du u z dx dz x x uv uv cos sin 22.cos ..2sin 2+=+=??+??=. 【另解:因为x x e z sin 2=,故 ()'=x x e dx dz x x sin 2sin 2()
x x x x e x x c o s s i n 22s i n
2+=.】 (2)
()[]
x x xy e x z '=??ln ln ()[]x x xy x xy e '
=ln(ln ln ()?????
???? ??+=x x xy x y e x xy 1.ln 1)ln(ln ln
()?????
?
+=x y x y x xy ln )ln(ln ln ()()()x x y x y xy xy ln ln ln ln 1+=-; ()()()y xy xy x x y
z '
=??ln ln .ln ()()x x x xy ln ln .ln =. (3)
()()()[]
x x xy y x f y x xy y x f y x x
z
'+++'=??,.,.222222 ()[]y f x f y x xy y x f xy .2..,.221222'+'++=;
()()()[]
y y xy y x f y x xy y x f y x y
z
'+++'=??,.,.222222 ()[]x f y f y x xy y x f x .2..,.212222'+'++=.
2.设??
?
??+=x y x xy z ?,其中()u ?是可微函数,证明: +??x z x xy z y z y +=??. 5.设()2
2
1
,,z y
x e z y x f u ++==,而y x z sin 2=,求
x
u
??,y u ??. 6.求下列函数的22x
z ??,y x z ???2和22y z
??.
(1)()y xy f z ,=;(2)()y x e y x f z +=,cos ,sin . 【解】
(1)由()y xy f z ,=得
1f y x
z
'=??,21f f x y z '+'=??; []()11211
122f y f y y f y x
z x ''=''=''=??;
[]()1211112111112f y f xy f f f x y f f y f y
x z y ''+''+'=''+''+'=''+'=???; [][]()()2212112
22211211212
22f f x f x f f x f f x x f f x y z y y ''+''+''=''+''+''+''=''+''=??. 【注意:书中有关22y
z
??的答案有误】.
(2)由()y x e y x f z +=,cos ,sin 得
31.c o s f e f x x
z
y x '+'=??+;32.sin f e f y y z y x '+'-=??+; [][]
x y x x f e f x x
z ''+'
'=??+3122.c o s
()[]
1311
1cos cos .sin f e f x x f x y x ''+''+'-=+ ()[]
3331
3.cos f e f x e f e y x y x y x ''+''+'++++
[][]
y y x y f e f x y
x z ''+'
'=???+312.c o s ()[]
333231312
sin sin cos f e f y e f e f e f y x y x y x y x y x ''+''-+'+''+''-=++++; 33223231312
sin cos sin cos f e f ye f e f xe f y x y x y x y x y x ''+''-'+''+''-=++++; [][]
y y
x y f e f y y z ''+''-=??+322
2.s i n
()[]
2322
2sin sin .cos f e f y y f y y x ''+''-+'-=+ ()3332
3sin f e f y e f e y x y x y x ''+''-+'++++ 332232322
22sin 2sin .cos f e f e f ye f y f y y x y x y x ''+'+'''-''+'-=+++. 【注意:书中有关22y
z
??的答案有误】.
8.设()[]z x f z ?+= ①,其中?,f 可导,求
dx
dz . 【解】①式两端对x 求导并注意到z 是关于x 的函数,得 ()[]()[]x z x z x f dx dz '
++'=??()[]()?????
?'++'=dx dz z z x f .1??
()[]()()[]dx
dz
z x f z z x f ..???+''++'=. ② 由②式解得
()[]()()[]
z x f z z x f dx dz ???+'-+'=1.
9.设()y x z z ,=由方程0ln 2
=-+?-dt e z z x
y t ①得到,求x z
??,y
z ??,y x z ???2.
【解】(一)①式两端对x 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得
012=-??+??-x e x
z
z x z ,即 211x e x z
z -=????? ?
?+ . ②
由②式解得
2
1x e z
z x z -+=??. ③ (二)①式两端对y 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得
012=+??+??-y e y
z
z y z ,即 2
11y e y z z --=????
? ??+ . ④ 由④ 式解得 2
1y e z
z y z -+-=??. ⑤ (三)由③式得
212x y e z z y x z -'
??????+=???()2.11
2x e y z z -??
??????+=【代入④】 ()2
2.1.11
2x y e e z z z --??
????+-+=
()
2
2
.13
y x e z z
--+-
=.
10.设f 可微,试验证: (1)()
22y
x f y z -=
① 满足方程2
11y z
y z y x z x =??+??; 【证】()x y x f y x z '??????-=??221(
)
()[]
x y x f y x f y '
?
?????---=2
22
221
()()()
??
????'--'--
=x
y x y x f y
x f
y
22222
2
2
.
(
)
()
222
22
2y x f y
x f
xy
-'--
=; ()
y
y x f y y z '
?
?
????-=??221
.()
()
y y x f y y x f '
??
????-+-=
222
211 ()()()()????????????'--'--+-=
y y x y x f y x f y y x f 22222222
2.1
1
()(
)(
)
222
222
2221y x f y
x f y y x f -'---=. 所以
y
z y x z x ??+??11
()()??????-'--=2222221y x f y x f xy x ()()()??
????-'---+22222222211y x f y x f y y x f y ()
221.1y x f y -=
【由①式】..12
y z y z y == (2)()y x f z ,=满足方程t z s z y z x z ????=???
?
????-??? ????.2
2
,其中t s y t s x -=+=,. 【证】
y z
x z s y y z s x x z s z ??+??=????+????=??..; y
z x z t y y z t x x z t z ??-??=????+????=??... 故 t z s z ????.???? ????+??=y z x z ???? ????-??y z x z .2
2
???
?
????-??? ????=y z x z . 14.设函数()y x f ,具有二阶连续偏导数,且满足等式
0512422222=??+???+??y
u
y x u x u . ①
试确定b a ,的值,使等式在变换by x ay x +=+=ηξ,下化为
02=???η
ξu
. 【解】因为
η
ξηξηηξξ??+
??=??+??=????+????=??u
u u u x u x u x u
1.1...;
η
ξηξηηξξ??+??=??+??=????+????=??u b u a b u a u y u y u y u ..... 故有
???
?
??????+?????+???? ???????+????='
???
?
????+'???? ????=??x u x u x u x u u u x u x
x ηηξξηηηξξξηξ (2222222)
2 2
22222ηηξξ
??+???+??=u
u u . ② ???
?
??????+?????+???? ???????+????='
???
?
????+'???? ????=???y u y u y u y u u u y x u y
y ηηξξηηηξξξηξ....2222222 ()22222..ηηξξ??+???++??=u
b u b a u a . ③
???
?
??????+?????+???? ???????+????='
???
? ????+'???? ????=??y u y u b y u y u a u b u a y u
y
y ηηξξηηηξξξηξ (2222222)
2
2
2
22222
2η
ηξξ??+???+??=u b u ab u a . ④ 将②、③、④代入①式左边,得
①左???? ????+???+??=2222224ηηξξu u u ()???
?
????+???++??+22222.12ηηξξu b u b a u a
???
? ????+???+??+22
2222225ηηξξu b u ab u a (
)()()
2
2
22222
512410121285124η
ηξξ??+++???++++??++=u b b u ab b a u a a 因此方程①化为
(
)()()
05124101212851242
2
22222
=??+++???++++??++η
ηξξu b b u ab b a u a a . ⑤
高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数: (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: 2(1)2,5xy y y x '==; 解:由2 5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?= 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解:3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解:22 2 2e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+ 解:12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++= 故是方程的解. 3. 在下列各题中,验证所给二元方程为所给微分方程的解: 22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+= 证:方程2 2 x xy y C -+=两端对x 求导:
A 组 1.用洛必达法则求下列极限: (1)02lim 1cos x x x e e x -→+-- (2)arctan 2lim 1 x x x π →+∞- (3)0cos lim sin x x e x x x →- (4)011 limcot ( )sin x x x x →- (5)1 0(1)lim x x x e x →+- (6)21 0sin lim ()x x x x +→ (7)011lim()sin x x x →- (8)sin 0lim x x x +→ (9)lim(1)x x a x →∞+ (10 )n 其中n 为正整数 解析:考查洛必达法则的应用,洛必达法则主要应用于00,∞ ∞型极限的求解,当然对于一 些能够化简为00,∞ ∞ 型极限的同样适用,例如00010?∞==∞ 等等,在求解的过程中,同样可以利用前面已经学到的极限的求解方法,例如等价无穷小、两个重要极限 解:(1)本题为 型极限的求解,利用洛必达法则求解得 0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x x x x x e e e e e e x x x ---→→→+--+===- (2)本题为 型极限的求解,利用洛必达法则求解得 2222 1arctan 12lim lim lim 111 1x x x x x x x x x π →+∞→+∞→+∞--+===+- (3)本题为0 型极限的求解,利用洛必达法则求解得 000cos sin 1lim lim lim sin sin cos 0x x x x x e x e x x x x x x →→→-+===∞+ (4)先化简,得 23 00011cos sin sin sin limcot ( )lim lim lim sin sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→----=?== 型极限的求解,利用洛必达法则求解得
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是 等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .
习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. (1)???==++;3, 25222x z y x (2)???==++;1,3694222y z y x (3)???-==+-;3, 254222x z y x (4)???==+-+.4,08422y x z y 【解】 (1)表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ; (2)表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ; (3)表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ; (4)表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 (一)(1)、(2)联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以,Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x (二)(1)、(2)联立消去y 得 R z 2 1 = 所以,Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==
(三)(1)、(2)联立消去x 得 R z 21 = 所以,Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以,球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=,R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ,故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为
习题1-5 A 组 1.求参数a 的值,使得函数24 ,2()2,2x x f x x a x ?-≠? =-??=? 在点2x =处连续 解析:考查分段函数的连续性,函数在某一点连续的充要条件可以总结为0 0lim ()()x x f x f x →= 解:本题中2222 4 lim ()lim lim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=- 则4a = 2.若函数(sin cos ),0 ()2,0x e x x x f x x a x ?+>=?+≤? 是(,)-∞+∞上的连续函数,求a 解析:考查函数在定义域内的连续性,本题中,当0x >和0x ≤时,函数()f x 都是初等函数的复合,因此都在连续的,则判断函数在上连续只需判断函数在点0x =处连续,即使 00 lim ()lim ()(0)x x f x f x f - + →→== 解:已知(0)f a = lim ()lim(2)x x f x x a a -- →→=+=,00 lim ()lim (sin cos )1x x x f x e x x ++→→=+= 则1a = 3.若函数2,0()sin 0a bx x f x bx x x ?+≤? =?>? ?在0x =点处连续,求a 与b 的关系 解析:考查分段函数在某点上的连续性,和上题类似,只需使0 lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+ →→== 解:已知(0)f a = 20 lim ()lim()x x f x a bx a -- →→=+=,0 0sin sin lim ()lim lim x x x bx bx f x b b x bx +++→→→=== 则a b = 4.求下列函数的间断点,并指出其类型 (1)2 sin ()1x f x x = - (2)1 ()1x f x x -=-
北京理工大学珠海学院 2010 ~ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A (答案) 适用年级专业:2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一.选择填空题(每小题3分,共18分) 1.设向量 a =(2,0,-2),b = (3,-4,0),则a ?b = 分析:a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = (-8,-6,-8) 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析:u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点(1,-1,,2)处的切平面方程为 分析:由方程可得,2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ,则可知法向量n =( Fx, Fy, Fz ); 则有 Fx = 2x , Fy = 4y , Fz = 6z ,则过点(1,-1,,2)处的法向量为 n =(2,-4,,12) 因此,其切平面方程为:2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ,即 26150x y z -+-= 4.设D :y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析:画出平面区域D (图自画),观图可得, 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L :点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析:依题意可知:L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧,则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示:级数 1 n n u ∞ =∑发散,则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题(每小题6分,共36分)
高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中
重庆大学《高等数学(工学类)》课程试卷 第1页 共1页 重庆大学《高等数学(工学类)》课程试卷 20 — 20 学年 第 学期 开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期: 考试方式: 考试时间: 120 分 一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 设向量a 与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos 0β=时有(). (A) a ⊥xoy 面 (B) a //xoz 面 (C) a ⊥yoz 面 (D) a xoz ⊥面 知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1. 答案: (B) 分析:cos 0,β=,2 πβ=a 垂直于y 轴,a //xoz 面. 2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 212323,y C C x C x =++其中123,,C C C 为独立的任意常数,则该方程 为(). (A)0y y '''+= (B) 30y y '''+'= (C)0y y '''-= (D) 0y '''= 知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2. 答案: (D) 分析:由通解中的三个独立解21,,x x 知,方程对应的特征方 程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y '''=故应选(D). 3. 设D 由 14122≤+≤y x 确定.若1221,D I d x y σ=+??222(),D I x y d σ=+??223ln(),D I x y d σ=+??则1,I 2,I 3I 之间的大小顺序为( ). (A)321I I I << (B)231I I I << (C)132I I I << (D)123I I I << 知识点:二重积分比较大小,难度等级:1. 答案:(D) 分析:积分区域D 由 221 14 x y ≤+≤确定.在D 内,222222 1 ln(),x y x y x y +<+< +故321.I I I <<只有D 符合. 4.设曲线L 是由(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周22,x y ax +=则曲线积分 命 题人 : 组题人 : 审题人: 命 题时间: 教务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密
普通专科教育考试 《数学(二)》 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20题。在每小题给出的四个备选项中, 选出一个正确的答案,并将所选项前面的字母填写在答题纸的相应位置上,填写在其他位置上无效。) 1.极限=+--+→2 32 lim 2 21x x x x x ( ) A.—3 B. —2 2.若函数()??? ? ???>=<+=?0 ,1 sin 0,00,sin 1 x x x x x a x x x 在0=x 处连续,则=a ( ) D.—1 3.函数()x f 在()+∞∞-,上有定义,则下列函数中为奇函数的是( ) A.() x f B.()x f C.()()x f x f -+ D.()()x f x f -- 4.设函数()x f 在闭区间[]b a , 上连续,在开区间()b a ,内可导,且()()b f a f =,则曲线()x f y =在()b a ,内平行于x 轴的切线( ) A.不存在 B.只有一条 C.至少有一条 D.有两条以上 5.已知某产品的总成本函数C 与产量x 的函数关系为C (),2000102.02 ++=x x x C 则当产 量10=x ,其边际成本是( ) A.—14 C.—20 6.设二元函数,xy y e x z +=则=??x z ( ) A. xy y e yx +-1 B.xy y ye yx +-1 C.xy y e x x +ln D.xy y ye x x +ln 7.微分方程y x e dx dy -=2的通解为( ) A.C e e y x =-2 B.C e e y x =-212 C.C e e y x =-22 1 D.C e e y x =+2 8.下列级数中收敛发散的是( ) A.∑∞ =1!1n n B.∑∞=123n n n C.∑∞ =+1 1n n n D.∑∞=13sin n n π
高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c,v=-a+3b-c.试用a,b,c 表示2u-3v. 解2u-3v=2(a-b+2c)-3(-a+3b-c) =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ,设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ,已知AM = MC ,DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ,因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分,设分点依次为D1,D2,D3,D4,再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ,根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- (AB BD1)=- a- c 5
D 2 A =- ( AB D A =- ( AB BD 2 BD )=- )=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- ( AB 3 BD 4 )=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1(0,1,2)和 M 2(1,-1,0) .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =(1-0, -1-1, 0-2)=( 1, -2, -2) . -2 M 1M 2 =-2( 1,-2,-2) =(-2, 4,4). 5. 求平行于向量 a =(6, 7, -6)的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ,故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = ( 6,7, -6)= 6 , 7 , 6 , a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? A (1,-2,3), B ( 2, 3,-4), C (2,-3,-4), D (-2, -3, 1). 解 A 点在第四卦限, B 点在第五卦限, C 点在第八卦限, D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征?指出下列各点的位置: A ( 3, 4, 0), B ( 0, 4,3), C ( 3,0,0), D ( 0, D A 4
大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题(每题3分,共30分) 1、设函数3()1f x x =-,则()f x -=() 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A .3x < B .3x ≤ C .4x < D .4x ≤ 3、()中的两个函数相同. A .()f x x =,()g t =.2()lg f x x =,()2lg g x x = C .21()1x f x x -=+,()1g x x =- D .sin 2()cos x f x x =,()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A .3sin()4x x - B .1010x x -+ C .2cos x x - D . sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=() A .1 B .2e C .1e - D .∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是() 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?,则在0=x 处,)(x f () A .连续 B .左、右极限不存在 C .极限存在但不连续 D .左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=,则0()f x '=() A .2 B .3 C . 23D .23 - 9、设()x f x e =,则[(sin )]f x '=()。 A .x e B .sin x e C .sin cos x x e D .sin sin x x e
A 组 1.利用导数的四则运算法则求下列函数的导数: (1)(2)tan sin 3 y x x π =+ (3)sinx y x = (4 )y = (5)3cot ln x x y x += (6)223sin 1x x y x x =-+ 解析:考查导数的求解,四则法则就是导数的四种运算法则,包括加减乘除,同时要对初等函数的导数公式非常了解,详细见91P 解:(1)92y x '=- (2)2()tan (tan )(sin )tan sec 3 y x x x x x x x π ''''=++=+ (3)22 (sin )()sin cos sin x x x x x x x y x x ''--'= = (4 )化简y == 已知'= ,则 y '''= == (5) 2 33322 2321(3csc )ln (cot ) (cot )ln (ln )(cot )ln ln (3csc )ln cot )ln x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x --?+''+-+'==---=
(6)222222 2 22222 222 ()(1)(1)(sin )()sin 3(1)2(1)2cos sin 3(1)23(cos sin )(1)x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x ''''+-+-'=-++-?-=-+-=-+ 2.求下列函数的导数: (1)1 ()21 f x x = -,求(0)f ',(2)f '-; (2)23 51 ()t t f t t -+=,求(1)f '-,(1)f ' 解析:考查函数导数的求解,上面两题都是由基本初等函数构成的,直接利用导数四则法则求解 解:(1)22 (1)(21)(21)2 ()(21)(21)x x f x x x ''----'= =-- 则(0)2f '=-,2 (2)25 f '-=- (2)233232266 4322 64 (51)()(51)(25)3(51)()103103t t t t t t t t t t t f t t t t t t t t t t ''-+--+---+'== -+--+-== 则(1)14f '-=-,(1)6f '= 3.求曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线方程和法线方程 解析:考查导数的应用,从上节可知,曲线在某点的切线斜率等于该点上导数的值,由此可 以利用点斜式求切线方程,法线与切线垂直,则其斜率相乘为1 解:已知14 x y π == ,21 1 y x '= + 则曲线在点(1, )4 π 上的斜率为1112 x k y ='== 则切线方程为1(1)42y x π - =-,即11242 y x π=+- 设法线方程的斜率为2k ,则121k k ?=-,得22k =-
A 组 一、填空题: 1.函数lnsin y x =在5[ , ]66ππ 上满足罗尔定理中的____ξ= 解析:考查罗尔定理的应用,要求解ξ,即在区间5(, )66ππ 内,求=0y '的解 解:cos = sin x y x ',令=0y ',则2 x π = 2.函数4()f x x =,2 ()F x x =在[1,2]上满足柯西中值定理中的____ξ= 解析:考查柯西定理的应用,要求解ξ,即在区间(1,2)内,求 (2)(1)() (2)(1)() F F F x f f f x '-='-的解 解:已知 (2)(1)1 (2)(1)5 F F f f -=-,()2F x x '=,3()4f x x = 则即求 321 45 x x =,解得2x =,2x =-(舍去) 则ξ= 3.设函数3 x y e -=,[5,5]x ∈-,则该函数的最大值_____M =,最小值_____m = 解析:考查函数最值的求解,由于函数中存在绝对值,则可以化为分段函数,然后在区间内的最值 解:化为分段函数33,53 35x x e x y e x --?≥>=?≥≥-? 已知x e 和3x +都为恒增函数,则3 x e -也为恒增函数 即当53x ≥>时,最大值为25 x y e ==,3 1x y == 因为3x -为恒减函数,则3 x e -也为恒减函数 当35x ≥≥-时,最大值为8 5 x y e =-=,3 1x y == 综上可知,最大值8 M e =,最小值1m = 4.曲线1ln()y x e x =+(0x >)的渐近线方程为_____ 解析:考查函数渐近线的求解,渐近线包括垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线,前面已经 介绍过各类渐近线的定义,则只需一一验证各类渐近线是 否存在
第一学期高等数学期末考试试卷答案 一.计算题(本题满分35分,共有5道小题,每道小题7分), 1.求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→. 解: ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x . 2.设0→x 时,()x f 与2 2 x 是等价无穷小, ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小,求常数k 与A . 解: 由于当0→x 时, ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小,所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f .而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以,161lim 10=-→k x Akx .因此,6 1 ,1==A k . 3.如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数,求常数a 与b 应满足的条件. 解:
A 组 1.验证拉格朗日中值定理对函数3 2 452y x x x =-+-在区间[0,1]上的正确性 解析:考查拉格朗日中值定理的应用,只需在[0,1]内找出一点使得=0y ', 证明:已知函数在[0,1]内连续,在(0,1)内可导,则其满足拉格朗日中值定理的两个条件 令()y y x =,则(1)2y =-,(0)2y =- 又因为2 ()12101y x x x '=-+,令[(1)(0)]()(10)y y y x '-=-,即()0y x '=,解得 1,21052412 x ±= = 则存在(0,1)ξ∈,使得(1)(0)()(10)y y y ξ'-=- 2.证明方程32 20x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根,其中C 为任意常数 解析:考查罗尔定理的应用,本题可以利用反证法来证明 证明:设3 2 ()2f x x x C =-+,假设存在两点1x ,2x (12x x >),使得12()()0f x f x == 则在12[,]x x 内,满足罗尔定理,即存在12(,)x x ξ∈,使得()0f ξ'= 2()34f x x x '=-,令()0f x '=,解得0x =, x =(不在所设区间内,舍去) 若0ξ=,则1x ,2x 中必有一个不存在,与所设假设不符 则方程32 20x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根 3.若方程1 0110n n n a x a x a x --+++=L 有一个正根0x x =,证明:方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根 解析:考查罗尔定理的应用,判断利用哪个中值定理可以通过所得条件得出,设 1011()n n n f x a x a x a x --=+++L ,则由已知条件可得0()(0)0f x f ==,这样满足罗尔定 理的第三个条件 证明:设1 011()n n n f x a x a x a x --=+++L ,0()(0)0f x f == 且12 011()(1)n n n f x a nx a n x a ---'=+-++L 根据罗尔定理可知,存在一点0(0,)x ξ∈,使得()0f ξ'=
一、填空题(共21分 每小题3分) 1.曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z . 2.直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π. 3.设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=,则= )1,1,1(grad f }6,4,2{. 4.设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛,则=∞ →n n u lim 0 . 5.设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+. 6.全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =. 7.写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*. 二、解答题(共18分 每小题6分) 1.求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 20 32z y x z y x 的平面方程. 解:设所求平面的法向量为n ,则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2.将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分,其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z += 所围成的区域. 解: πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分)
第五章不定积分1(直接积分法、换元积分法) 一、单选题 1.设)(x f 是可导函数,则?' ))((dx x f 为(A ). A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 2.函数)(x f 的(B )原函数,称为)(x f 的不定积分. A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个 3.? = +=)(,2cos )(x f C x e dx x f x 则(A ). A.)2sin 22(cos x x e x - B.C x x e x +-)2sin 22(cos C.x e x 2cos D.x e x 2sin 4.函数x e x f =)(的不定积分是(B ). A.x e B.c e x + C.x ln D.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是(A ). A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 6.函数2 11)(x x f -=的原函数是(A ). A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++1 2 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[] =' ?dx x f )((B ) A.x 2 B.2 C.2 x D.-2 8.若c e dx e x x +=? ,则? x d e x 22=(A ) A.c e x +2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-2 9.函数x x f sin )(=的原函数是(D ) A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数,则均为、=(B ) A.)(x f B.0 C.)(x F D.)(x f ' 11.函数21 1)(x x f + =的原函数是(A ) A.c x x +-1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12 12.函数2 1 1)(x x f - =的原函数是(A ) A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++ 12
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()() x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
大学数学A (1)课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….( ) A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….( ). A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….( ) A .0 B .1 C .2 1 D .∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….( ) A .0 B .1 C .2 D .∞ 5.当0→x 时,下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….( ) A .)1(3-x e x B .x cos 1- C .x x sin tan - D .)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ,则当0→x 时,有…………………………………………………………………………..…….( ). A .)(x f 与x 是等价无穷小 B .)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C .)(x f 是比x 高阶的无穷小 D .)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..( ) A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ,则下述结论正确的是……………………………………….( )
第3次作业 一、填空题(本大题共40分,共 10 小题,每小题 4 分) 1. 写出级数的通项为: ______ 。 2. 级数的敛散性为 ______ 。 3. 函数的定义域为 ______ 。 4. 设平面通过点(1,3,-2),且垂直于向量 ,求该平面的方程。 5. 由曲线绕y轴一周所得的旋转面方程为 ______ 。 6. 设,且函数f可微,则 ______ 7. 已知D由及x轴围成,则
______ 。 8. 过点(3,0,-1)且与平面平行的平面方程为 ______ 。 9. 一平面通过两点和且垂直于平面,求它的方程。 10. 设,其中 具有连续的二阶偏导数, ____________。 二、计算题(本大题共40分,共 8 小题,每小题 5 分) 1. 判断级数的敛散性。 2. 利用二重积分的性质估计 (其中是
矩形区域 )的值。 3. 求曲面在点(1,1,2)处的切平面和法线方程。 4. 求两平面, 的夹角。 5. 已知三角形ABC的顶点是A(1,2,3),B(3,4,5), C(2,4,7),求三角形的面积。 6. 求微分方程满足的 特解。 7. 求的所有二阶偏导数。 8. 把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分,其中L为 (1)在 xOy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1); (2)沿抛物线 从点(0,0)到点(1,1); (3)沿上半圆周 从点(0,0)到点(1,1)。
三、证明题(本大题共20分,共 2 小题,每小题 10 分) 1. 证明:若数列收敛于a,则级数 。 2. 设级数和收敛, 证明级数 收敛。 答案: 一、填空题(40分,共 10 题,每小题 4 分) 1. 参考答案: 解题方案: 评分标准: 2. 参考答案: 发散 解题方案: