例析向量在解题中的作用

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１６㊀例析构造法在高中数学解题中的应用例析构造法在高中数学解题中的应用Һ张文琴１㊀许零筝２㊀（１．台州市第一中学，浙江㊀台州㊀３１８０００；２．三门第二高级中学，浙江㊀台州㊀３１７１９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ构造法是指依据题设条件㊁结论特征和性质，构造辅助内容，使其成为全新的方程㊁函数㊁图像㊁代数式等．构造法在数学解题中的应用，彻底打破了定向思维的束缚，开辟了全新的解题视角，有效提升了学生的数学解题能力．基于此，文章分析了构造法在高中数学解题中的应用价值，并针对构造法在高中数学解题中的具体应用进行了详细探究．ʌ关键词ɔ高中数学；解题能力；构造法；核心素养常规的解题思路基本上都是从已知条件向所求结论展开定向思考．但针对部分题目来说，常规的解题思路已经无法满足解题要求．此时，学生可以借助创造性的思维，根据题目中所给出的已知条件㊁结论特征等，构造辅助内容，使其成为全新的方程㊁函数㊁图像㊁代数式等，进而将已知条件和结论联系起来，形成解题思路．从构造法的内涵上来说，其中也蕴含了大量的数学思想，如：类比㊁归纳㊁转化．学生在创造性解答问题的过程中，不仅促进了数学知识的内化㊁迁移，也实现了数学思维的发展，这与数学核心素养的要求不谋而合．鉴于此，强化学生利用构造法解题，已经成为当前高中数学教学的重中之重．一㊁构造法与高中数学解题教学（一）构造法的内涵构造法在高中数学解题中尤为常见，主要思路是运用所学数学知识，以题目中的已知条件㊁所求结论作为解题出发点，通过综合性分析，构造出能够满足题目已知条件和所求结论的新形式，进而促进原有数学问题转化，使原本繁杂的数学问题变得简单㊁清晰，以便于学生迅速形成新的解题思路．鉴于构造法的内涵，其在解题中呈现出五个显著的特点：其一，构造性，主要是借助创新思维构造模型，立足于数学问题的本质，促进数学问题的简单化；其二，直观性，主要是借助已有数学知识，结合数学题目构建新的模型，形成解题思路；其三，可行性，构造法在高中数学解题中应用范围比较广，具备极强的实用性；其四，灵活性，在运用构造法解答数学问题时，学生必须具备丰厚的知识储备量，并结合自身的解题习惯，自行选择构造数学模型的类型；其五，多样性，构造法在应用时没有定式，学生可结合具体的题目要求，构造不同的解题模型．（二）构造法的应用价值首先，提高了学生的数学解题能力．构造法作为一种创造性解决问题的方法，可以使得题目中的隐藏条件变得可视化．因此，构造法的应用有效地消除了学生在解题过程中的畏难情绪，有助于强化学生的数学解题思路，使其逐渐强化解题能力．其次，提高了学生的数学思维能力．数学学科对学生的思维能力要求比较高，而学生的思维能力和解题能力之间息息相关．构造法的应用不仅促进了学生归纳㊁类比㊁转化数学思想的发展，也促进了学生数学思维能力的发展，这为学生更好地解决数学问题奠定了坚实的基础．最后，提高了学生的知识转化能力．高中数学题目极具综合性，学生在解题时，只有将各个部分的数学知识点整合起来，通过数学知识的迁移和转化，才能完成数学题目的解答．构造法的应用将代数㊁几何㊁函数等知识点整合起来，促进了数学知识的转化，使学生能灵活运用数学知识，从不同的角度思考问题㊁解决问题．二㊁构造法在高中数学解题中的具体应用（一）构造方程，解答数学问题构造方程在高中数学解题中尤为常见，主要是立足于方程与函数之间的关系，结合题目已知条件，构造方程，解答相关的数学问题．例１㊀已知（ｍ－ｎ）ｘ２－４（ｎ－ｘ）（ｘ－ｍ）＝０，求证：参数ｍ，ｘ，ｎ所构成的数列为等差数列．解析㊀这一数学题目与数列相关．如果按照传统的解题思路，那么学生所面临的求解难度比较大，甚㊀㊀㊀解题技巧与方法１１７㊀㊀至还需要大量的运算，极易出现错解的现象．鉴于此，可通过构造方程，从题目中所求结论出发，将其与题目中的已知条件结合起来，进而形成明确的证明思路：构造二次方程（ｎ－ｘ）ｔ２－（ｍ－ｎ）ｔ＋（ｘ－ｍ）＝０．观察其各项系数特点，可发现各项系数之和为零，故方程必有一根为１．又恰好该二次方程的根的判别式Δ＝０，故该二次方程有两个等根，即由根与系数的关系，得ｔ１ｔ２＝ｘ－ｍｎ－ｘ＝１，即２ｘ＝ｍ＋ｎ，所以得证．由此可见，借助构造方程的思想，从新的角度思考和分析问题，使得原本复杂的数学问题简单化，真正提升了学生的数学解题效率．（二）构造数列，解答数学问题在高中数学教学中，数列知识尤为重要．解答这一类型数学问题时，可灵活运用构造数列的方式，结合题目中相关信息和条件要求，通过替换等方式，构建新的数列，旨在简化数学问题，提升解题效率．例２㊀已知ｎ为正整数，求证：１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋１ｎ＋３＋ ＋１３ｎ＋１＞１．解析㊀在这一题目中，已知条件非常简单，只有ｎ为正整数．鉴于此，可运用构建数列的方式寻求证明思路：令１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋１ｎ＋３＋ ＋１３ｎ＋１＝ａｎ，则：ａｎ＋１－ａｎ＝１３ｎ＋４＋１３ｎ＋３＋１３ｎ＋２－１ｎ＋１＝１３ｎ＋４＋１３ｎ＋２－２３ｎ＋３＝２（３ｎ＋２）（３ｎ＋３）（３ｎ＋４）．因为ｎ为正整数，所以ａｎ＋１－ａｎ＞０，因此数列｛ａｎ｝为递增数列，根据ａ１＞１可得出该不等式成立．由此可见，按照常规思路很难求解此题，甚至还会在解题的过程中，由于步骤多㊁计算复杂等，导致出现错误．鉴于此，可通过构造数列，使复杂问题简单化，帮助学生顺利解题．（三）构建函数，求解数学问题在高中数学解题中，构造函数也尤为常见，其与构造方程本质相同．在解题中，可结合具体题目，构造函数，以此分析并解决数学问题．例３㊀已知ａ＜ｂ，ａ，ｂ，ｃ均为正实数，求证：ａｂ＜ａ＋ｃｂ＋ｃ．解析㊀对于这一题目，如果按照传统思路和方法进行证明，则极易陷入解题误区．鉴于此，可融入构造法，通过分析题目中已知条件，构建函数模型，形成证明思路：假设ｃ＝ｘ，将ａ＋ｃｂ＋ｃ构造成函数，即ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ，将ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ进行转化，即ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ＝ａ－ｂｂ＋ｘ＋１．该函数为增函数，递增区间为（０，＋ɕ）．又因为ａ，ｂ，ｃ均为正实数，因此ａｂ＜ａ＋ｃｂ＋ｃ．例４㊀已知关于ｘ的方程ｘ２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓｘ）＋１－４ａ２＝０存在唯一的实数解，求实数ａ的值．解析㊀该题目为二次方程问题．因为题目中含有参数，所以学生在解题时常常毫无头绪．鉴于此，可结合已知条件和未知参数，通过构造函数的方式，形成解题思路：构造函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓｘ）＋１－４ａ２．因为ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），所以该函数为偶函数．假设ｘ０为ｆ（ｘ）＝０的解，则－ｘ０也为函数ｆ（ｘ）＝０的解，即－ｘ０＝ｘ０，因此，ｘ０＝０．所以ｆ（０）＝０２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓ０）＋１－４ａ２，即（２ａ＋１）（１－２ａ－ｓｉｎ１）＝０，解得ａ＝－１２或ａ＝１＋ｓｉｎ１２．由此可见，在遇到这一类型的问题时，学生可通过对已知条件㊁所求结论的分析，构造一个新的函数关系，将所求的问题转化为函数问题，进而运用函数的相关性质进行解答．（四）构造几何图形，解答数学问题在解答数学问题时，由于部分题目难度非常大，并且已知条件复杂，因此学生在分析题目时，常常难以理清思路，导致解题陷入困境．鉴于此，可运用构造法，结合题目中已知条件，构造出直观的几何图形，进而打开解题思路．例５㊀求函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－４ｘ＋１３＋ｘ２－１０ｘ＋２６的最小值．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１８㊀解析㊀这一题目已知条件简单，但如果按照常规思路进行解题，学生则难以形成清晰的解题思路．鉴于此，可通过构造图形的方式，将题目中的已知条件直观地呈现出来．㊀ｆ（ｘ）＝ｘ２－４ｘ＋１３＋ｘ２－１０ｘ＋２６＝（ｘ－２）２＋（０－３）２＋（ｘ－５）２＋［０－（－１）］２．㊀图１构造平面几何图形（如图１所示），假设平面上有一点Ｐ（ｘ，０），定点Ｍ（２，３），Ｎ（５，－１）．如此，所求问题转化为求Ｐ到Ｍ，Ｎ距离的最小值．结合所学知识可知，当三点共线时，ｆ（ｘ）存在最小值，即ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ＭＮ＝（２－５）２＋（３＋１）２＝５．由此可见，借助构造平面图形的方式，可将原本繁杂的数学问题简单化．学生通过观察，构建已知条件和所求结论之间的关系，并运用所学知识灵活解答问题．（五）构造向量，解答数学问题在高中阶段，构造向量是一种非常重要的解题方式．在具体的高中数学解题中，可运用构造法，将不等式问题㊁函数问题等构造成向量问题，进而运用向量的相关知识进行解答．例６㊀假设函数ｙ＝２ｘ＋１＋４－ｘ，求该函数的最大值．解析㊀这是一道经典的函数问题，如果按照传统的解题思路解答问题，则会产生大量的计算步骤，极易出现计算错误．鉴于此，可借助构造法，运用向量的相关知识㊁性质进行解答．假设向量ｍ＝（２，１），向量ｎ＝（ｘ＋１，４－ｘ）．由于ｍ㊃ｎɤｍ㊃ｎ，因此ｙ＝ｍ㊃ｎɤ５．故当ｘ＝３时，函数ｙ＝２ｘ＋１＋４－ｘ存在最大值，为５．例７㊀在әＡＢＣ中，øＢＣＡ＝θ，ＣＢ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，试对әＡＢＣ的余弦定理进行证明．解析㊀可结合题目中的已知条件，构造向量：向量ＣＢң＝ａ，向量ＣＡң＝ｂ，向量ＡＢң＝ｃ．已知ｃ＝ａ－ｂ，则ｃ２＝ｃ㊃ｃ＝（ａ－ｂ）㊃（ａ－ｂ）＝ａ㊃ａ＋ｂ㊃ｂ－２ａ㊃ｂ＝ａ２＋ｂ２－２｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ．即ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓθ．由此可见，借助构造向量的方法，可将原本繁杂的数学问题简单化．学生从新的视角出发，根据新的思维模式，运用所学的知识思考问题㊁分析问题㊁解答问题．三㊁基于构造法解答数学问题的教学启示课堂教学实践证明，通过构造法在高中数学解题中的应用，真正实现了 化繁为简㊁由难到易 的目的．学生结合题目中的已知条件和所求问题，构造新的关系，促进所求问题的转化．可以这样说，构造法在解题中的应用不仅提升了学生的数学解题能力，也发展了学生的思维能力，更加强了学生的数学综合素养．鉴于此，教师在日常教学中，应有意识地渗透构造法，加深学生对构造法的理解，使其能掌握构造法．一方面，学生的构造意识并不是在短时间内形成的，唯有通过潜移默化地渗透，才能达到预期的目标；另一方面，虽然构造法在解题中占据一定的优势，但并不意味着构造法适用于每一道题目，因此教师在日常解题中要带领学生积极开展一题多解训练，帮助学生掌握多种解题方法，便于学生在对比中了解构造法的解题优势和具体应用，使其在日后解题中能够合理利用这一方法．结㊀语构造法在高中数学解题中尤为常见，通过构造函数㊁构造方程㊁构造数列㊁构造平面图形等手段，可将原本复杂的数学问题简单化，便于学生形成新的解题思路，从新的视角分析问题㊁解答问题．鉴于此，教师在日常教学中，应结合实际情况，有意识地渗透构造法，不断提升学生的解题能力．ʌ参考文献ɔ［１］庄素慧．基于 构造法 的高中数学解题思路探索［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（３１）：５５－５７．［２］张宏敏．应用构造法在高中数学中的解题策略［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２２（１８）：４９－５１．［３］刘海杰．构造法在高中数学解题中的运用措施分析［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（１２）：１４－１６．［４］丁爱年．高中数学解题教学中构造法运用分析［Ｊ］．数学之友，２０２２（０４）：２５－２７．［５］张焕生．解析构造法在高中数学解题中的运用［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２２（０２）：１４－１５．［６］刘晓妮．高中数学解题中应用构造法的总结［Ｊ］．数理化解题研究，２０２１（３１）：６５－６６．。

纵观立体几何考题感悟向量方法解题在高中数学学习中，立体几何一直是学生们非常头疼的一个部分。

立体几何的主要难点是空间的复杂性，加上几何思维本来就不易理解，许多学生解题困难。

但是，通过向量方法解题是一种很好的解决立体几何问题的方法。

本文将通过纵观立体几何考题，分享一些关于向量方法解题的经验与感悟。

一、向量的基本概念及运算向量的表示法是用箭头表示。

箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。

一个向量可以被表示为一个由有序数对$(x,y)$所确定的点A和另一个由有序数对$(x',y')$所确定的点B之间的向量$\vec{AB}$。

向量也可以表示为箭头的坐标，即$\vec{AB}=\begin{pmatrix}x'-x\\y'-y\end{pmatrix}$。

向量的大小表示为$|\vec{AB}|=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}$。

向量的运算有向量加法和向量数乘。

向量加法的定义是：$\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\e nd{pmatrix}$。

其中，$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$。

向量数乘的定义是：$\lambda\vec{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$。

其中，$\lambda$是一个实数。

二、应用向量方法求解空间几何问题1.立体几何基本概念首先，我们需要掌握一些立体几何的基本概念，比如平面、线段、角等。

此外，还需要了解空间中的直线、平面、空间角、平行线等概念。

了解这些概念是建立解题基础的必要条件。

2.向量表达式的转化在解题中，我们可以通过向量的基本运算将问题转化为向量的加、减、数乘问题。

因此，我们需要能够将向量从一个表达式转化为另一个表达式，并灵活地运用向量的加、减、数乘运算法则来求解问题。

向量方法在高中数学教学中的应用摘 要：向量作为一种既有大小又有方向的量，它既具有数的特性，又有形的特性,因而它成为连结数和形的有力纽带。

根据向量的数形特性,作者尝试将几何图形数量化,并通过运算来解决立体几何中的平行、垂直、求距离、求角度等问题；尝试利用向量方法来解决代数中的不等式证明、等式证明、求函数最值、求变量取值范围等问题,这种尝试为作者的高中数学教学活动注入了新活力。

关键词：向量方法、几何、数形结合一、向量方法在几何中的应用在目前的中学数学立体几何教学中，传统的综合方法仍占主导地位，绝大多数学生仍用着这种方法处理立体几何问题，实际上利用向量的方法处理立体几何的空间问题比传统的综合方法有着明显的优势，特别是垂直的证明，角度与长度的计算问题，可以避免构图和推理的复杂过程，减少了解题琐碎的技巧，降低了题目的难度。

（一）利用向量证明平行问题1.设 a 、b 为两条不重合的直线，a 、b 分别为直线a 、b 的一个方向向量，那么 a ∥ b ⇔ a ∥b 根据实数与向量的积的定义a ∥b ⇔a =k b （k ∈R ，k ≠ 0）例1 已知直线 L 1: 0153=+-y x ， L 2: 05106=+-y x , L 1 与 L 2 不重合证明：L 1∥L 2 。

证明：∵L 1:0153=+-y x ， L 2: 05106=+-y x ∴ L 1 的方向向量1V =（5，3） L 2 的方向向量2V =（10，6） ∴ 1V =22V∴ L 1∥L 2 。

2.平面与平面平行可转化为两个平面法向量的平行例2 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，证明:面 ABCD ∥面A 1B 1C 1D 1。

证明：如图1所示： ∵ 长方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1∴ 1AA 为面 A 1B 1C 1D 1的一个法向量D∵ 1BB ⊥面 ABCD∴ 1BB 是面 ABCD 的一个法向量，又因为1AA ∥1BB ∴ 面 ABCD ∥面A 1B 1C 1D 1。

第一章引言1。

1 研究背景向量（或矢量）,最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。

“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。

向量在解析几何整个知识体系中占有非常重要的地位,向量是数学中的一个重要概念.它可以使图形量化,使图形间关系代数化。

向量是研究图形问题的有力工具.向量是一个具有几何和代数双重身份的概念,同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好的分析方法和完整结构,通过向量的运用对传统问题的分析，可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系,也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础．这方面的案例包括平面几何、立体几何和解析几何．1。

2 本课题的研究内容本课题主要是对向量法在有关平面问题中的应用的进一步探讨.具体从以下几个方面进行探讨：1、向量在建立平面方程中的应用。

2、向量在讨论平面与平面、平面与直线的位置关系中的应用.3、向量在推导点到平面的距离公式中的应用.4、向量在推导两平面的夹角公式中的应用。

5、向量在平面其它方面的应用。

第二章 向量法在有关平面问题中的应用2.1 向量的基础知识1。

向量分解定理定理1 如果向量10e ≠，那么向量r 与向量1e 共线的充分条件是r 可以用向量1e 线性表示，或者说r 是1e 的线性组合，即1r xe =,并且系数x 被r ,1e 唯一确定.定理2 如果向量1e ,2e 不共线,那么向量r 与向量1e ，2e 共面的充要条件是r 可以用向量1e ，2e 线性表示，或者说r 可以分解成1e ,2e 的线性组合,即12r xe ye =+，并且系数, x ，y 被r ,1e ，2e 唯一确定.这时1e ,2e 叫做平面上向量的基底。

51例3 已知I 亦OBI = ^3,OA - OB——> ——> ——> 1 ——> ——> ——> ——>CM = OM-OC = (m OA +nOB,CB = OB2020年第10期中学数学研究[1 ]周志杰.多元表征理论的实践与探索一以数列教学为例析平面向量中的几类参数问题参考文献例［J ］.中学数学,2019(11):10-11.江苏省无锡市江南中学(214000) 陆晓冬n 两则就=OM -OA = (m - 1) (M + nOB,AD= db-OA= ^OB-OA ，又 A 、M 、D 三点共线，所以咸与鲂共线，即存在实数使得就=tAD,^(m - 1) OA + n OB = OB - t OA ，则有 m - 1 =且/I = _t,二式联立，消去/得m+2n = 1①;又--» 1 --» --A --A OC =-^-OA + OB ，又C 、M 、B 三点共线，所以CM 与石共线，即存在实数"，使得而=uCB,即5-*)■OA +n OB=-^uOA +uOBMm-^=-^u,且“="，二式联立，消去"得4m + “ = 1②，由①②1 Q联立解得"2 = —,Zl =评注:通过图形分析，利用向量的分拆和分解建 立向量等式，而抓住三点共线，运用待定系数法是解题关键.二、求参数代数式的值参数的代数式是指由参数经过代数运算组成的式子,解决它的求值问题一般有两种思路，一是先求 出参数的值再代入；二是将式子看着一体，整体求 出.0,点 C 在 AAOB 内，且 AAOC = 30。

，设旋=mOAA. yB.3C.*D.^3解析：由于亦• OB = 0,则亦丄OB,\^OA,OB平面向量中的参数问题是近几年的热点内容, 得到各级各类考试命题的青睐，是一类颇具思考性 和挑战性新颖题型•但这类题也不是高不可攀，只要我们落实基础知识，掌握一些解题方法和技巧，多观察分析一些典型题目，掌握这类题的求解是完全可 以的•本文剖析四类常见的向量中的参数问题，供参 考■一、求参数的值平面向量问题中求参数的值是一类常见问题,利用所给的向量表达式、模、夹角、坐标等条件建立 等式并向量运算进行化简是最常用的解题方法.例1 △ABC 的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,0H = m(0A + OB +荒)，则实数m解析:取PC 的中点D,容易得到為+ OC =2 OD,/\ABC 的外接圆的圆心为0,则有场丄BC,又H 为两条边上的高的交点，则逾丄荒，由丽=OA + OB + OC)分解得OA + AH = m( OA +2 on)，重组得花 =(m - 1) OA+2mdb ，两边同乘以向量呢得花-BC = (m - 1) -OA-BC+lmOD• BC ,即 0 = (m-1) OA • BC + 0,故有 m = 1.评注：运用向量的分解、重组、同乘以一个向量等手段是破解和化简已知向量等式问题的重要举 措.例2 如图1,在/ 中，D 为OB 中点，OC = //\*OA,AD 与BC 相交与点M, \若 OM = m OA + n OB ( m , zz e o .......C .....................AR),求的值.一 一 图］解析:由于OM = mOA ++ nOB,(m,n G R),则巴等于(Tl52ABN\E图2CD图43所以0423y(X2o图32光(1,0)A xOC ・ OC 2 ' 2x OA + y OB )x OA + y OB )则(-攀C (-攀中学数学研究2020年第10期分别为先轴』轴建立直角坐标系，不妨设鬲=(1,0),0B = (0,再)9OC = (%0 ,y 0),由 Z_AOC = 30°,则 y ° 二 ，所以 0C 二(光o ,y-^0);又0C 二 m 04 +nOB = (m,爲n)，所以(尤°,害％)=(叫石〃)，则％肌且鸟V 。

高一使用2021年5月例析平面向量的最值问题的几种解法■刘长柏1I 平面向量融合了代数、几何及三角函数等知识，在求其最值时，解题方法呈现出多样性。

下面对平面向量的最值问题的解法进行归纳，意在"抛砖引玉”—、基底法以基底法为导向，选择恰当的向量作为基底，用基底表示出所有相关向量，将向量问题化归为基底问题来解决。

例1在平面直角坐标系j：Oy中，点A, BN在圆x2+y2=1上运动，且AB l BC,若点p的坐标为(2,)则i n A+NB+NN 的最大值为()。

A.6B.7C.8D.9解：由AB l BC,可知AC是圆O的直径。

因为p B=P A+OB?P A+PN=2P(5,所以 p A+p B+p N=2P(5+p B= 3PO+o B C3p O+o B=7,当且仅当p O,o B同向时等号成立。

应选B。

评析：本题通过选择合适的基底向量，把三个动向量问题转化为一个动向量问题求解的。

利用基底法解决问题时，首先需要考虑的是如何选择基底。

练习1已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为(一2,0),0为坐标原点，则AO•a N的最大值为。

提示：由题意可得，a O・a N=A N・(AO+ON)=A O+AO・ON=A O+ |AO||ON|cos(n—Z AOP)W A0‘+l AO•O N=6,当且仅当a O,o N同向时等号成立，所以a O-a N的最大值为6。

二、坐标系法利用坐标系法解题时，首先要建立适当的平面直角坐标系，把所求问题中的各个量用向量表示出来，然后运用向量的坐标运算法则来解决。

例2已知矩形ABCN,AB=2,AN= 1，点P,Q分别在边BC,CN上，且X PAQ= 45°,则A「P•A<Q的最小值是。

解：以A为坐标原点,AB^AN所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系,如图1。

由AB=2,AN=1,可知点A(0,0), B(2,0),C(2,1),N(0,1)。

向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.装关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用订线ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving become programmed.Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use目录摘要 (Ⅰ)ABSTRACT (Ⅰ)1 向量方法在研究几何问题中的作用 (1)2 向量方法解决证明问题的直接应用 (2)2.1平行问题 (2)2.1.1证明两直线平行 (2)2.1.2证明线面平行 (3)2.2垂直问题 (4)2.2.1证明两直线垂直 (4)2.2.2证明线面垂直 (4)2.2.3证明面面垂直 (5)2.3处理角的问题 (6)2.3.1求异面直线所成的角 (6)2.3.2求线面角 (7)2.3.3求二面角 (8)3 向量方法解决度量问题的直接应用 (10)3.1两点间的距离 (10)3.2点与直线距离 (10)3.3点到面的距离 (11)3.4求两异面直线的距离 (11)3.5求面积 (12)3.6求体积 (13)4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用 (14)5 向量在立体几何中应用的教学反思 (21)5.1对比综合法与向量法的利弊 (21)5.2向量法解决立体几何问题的步骤 (22)5.3向量法能解决所有立体几何问题吗 (22)参考文献 (23)1 向量方法在研究几何问题中的作用]1[向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.2 向量方法解决证明问题的直接应用2.1平行问题]2[2.1.1证明两直线平行b a CD AB b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ. 知),(),,(2211y x CD y x AB ==，则有b a y x y x //1221⇒=. 例 1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证：OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，k j i ,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x BD =，∵α⊥BD ，∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x i BD ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x ，∴),0,0(z =∴k z BD =，又知O 、B 为两个不同的点，∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.2.1.2证明线面平行1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为n ，α//0AB n AB n AB ⇔⊥⇔=⋅. 方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e a ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ, ∴λ=，∴FQ AF PA PQ ++==λλ++-=λλλλ+-+--=)1(λλ-+∴//PQ 平面BCE.方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=.方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥.方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.2.2垂直问题]3[2.2.1证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为a 和b ，则有b a b a ⊥⇒=⋅0. 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>，则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ， 可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ， 因为0022m m PE BC ⋅=-+=， 所以 PE BC ⊥.2.2.2证明线面垂直直线l 的方向向量为]4[，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l . 例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l .证明：在α内作任一直线g ，分别在g n m l ,,,上取非零向量g n m l ,,,. 因为m 与n 相交，所以向量n m ,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使n y m x g +=将上式两边与向量l 作数量积，得n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅，因为 0,0=⊥=⊥n l m l ，所以0=⋅g l ，所以g l ⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直. 2.2.3证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为m 和n ，则有βα⊥⇔=⋅0n m . 方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为n ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点（1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法.证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2)D 1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-m n gα l AB C DA 1B 1C 1D 1z y∴ 1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F（2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F = 设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos =055)2(10012|F D ||AE |FD AE 11=-⨯+⨯+⨯=⋅所以D 1F ⊥AE ，由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE=A ，∴D 1F ⊥平面AED ，∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.2.3处理角的问题]5[2.3.1求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB CDAB CD AB ⋅⋅=〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,∵AB=BC=2BD,设BD=1则AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0))2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DCBC AB设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→, 则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n 设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B , 515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）.2.3.2求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈m 是面α的法向量，则有〉〈=m AB ,cos sin β.例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90，侧棱AA 1＝2，D 、E分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；D D A 1C 1B 1z E解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈GE B A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.2.3.3求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ.例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．解 如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=A ， 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ， 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a QD n a a a Q A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =， 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ， 二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.O （A 1z3 向量方法解决度量问题的直接应用3.1两点间的距离]6[两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则()()()22212212121d PP x x y y z z ==-+-+-例1 在三棱锥S ABC -中，面SAC ⊥面ABC ，SA AC ⊥，BC AC ⊥6SA =,21,8AC BC ==，求SB 的长. 分析 如图，本题可以用几何法求出SB ， 但需要证明若用向量法，注意到SA ，AC ，BC 之间的关系.建立以A 点为原点的空间直角坐标系.则无须证明就有如下巧解.解 如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,21,0,0,0,6A B S ，所以()()()222080216011SB SB ==-+-+-=.本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB 的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.3.2点与直线距离]7[如图 求得向量AP 在向量AB 的射影长为d , 则点P 到直线AB 22AP d -例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA 垂直平面外的一点， 直线PA 垂直平面ABCD ，AB =3，BC =4，PA =1 求点P 到直线BP 的距离. 解()()29BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==BD5所以BP 在BD 上的射影长为95，又10BP =，所以点P 到直线BD 的距离3.3点到面的距离任取一点α∈Q 得m PQ ,是平面α的法向量，则有：点P 到平面α的距离mm PQ d ⋅=（向量PQ 在法向量m 的投影的长度）.方法思路：求出平面的任一法向量m （方程组可求），在平面内任取一点Q 与点P 得一向量转化为PQ 在法向量的投影长度，套公式.3.4求两异面直线的距离知b a ,是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，找一向量与两异面直线都垂直的向量m ，则两异面直线的距离mm AC d ⋅=例3如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A ''是矩形，。

第4讲空间向量的应用新课标要求①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。

②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。

③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。

④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

知识梳理1．空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个向量确定，这个向量叫做直线的方向向量．2．若直线l垂直于平面α，取直线l的方向向量a，则a⊥α，则a叫做平面α的法向量．3.(1)线线垂直：设直线l，m的方向向量分别为a，b，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0.(2)线面垂直：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝k u，k∈R.(3)面面垂直：若平面α的法向量为u，平面β的法向量为ν，则α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0..4．设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cosθ＝|a·b||a||b|5．设直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉.|＝|a·n||a||n|6．设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cosθ|＝|n1·n2|.|n1||n2|名师导学【例1-1】（焦作期末）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为A. B. C. D.【分析】本题考查直线的方向向量，向量的共线定理，属于基础题．先由题意求出2，，再由选项判断与共线的向量即可．【解答】解：因为2，，而2，，所以是直线l的一个方向向量．故选A．【例1-2】（广州期末）（武侯区校级期末）设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则A. B. C.或 D.或【分析】本题考查空间线面位置关系、法向量的性质，属于基础题．利用空间线面位置关系、法向量的性质即可判断出结论．【解答】解：，，或，故选D．【变式训练1-1】（沙坪坝区校级模拟）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是A. B.C. D.【分析】本题考查了运用空间向量判断线面平行，属于基础题．根据时，，分别判断A、B、C、D是否满足条件即可．【解答】解：若，则，而A中，不满足条件；B中，不满足条件；C中，不满足条件；D中，满足条件．故选D．【变式训练1-2】（东阳市模拟）已知，，分别是平面，，的法向量，则，，三个平面中互相垂直的有A.3对B.2对C.1对D.0对【分析】本题考查利用空间向量研究平面垂直问题，属基础题．依题意，分别求出，，即可求得结果．【解答】解：，，，，所以与不垂直，，所以与不垂直，，所以与不垂直，故选D．【例2-1】（浙江模拟）已知在正四棱柱中，，，点E为的中点，点F为的中点．求证：．【分析】本题考查利用空间向量法判定线性垂直及平行，属于基础题．建立空间直角坐标系，写出坐标，得，EF与AC不共线，故．【解答】证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，，0，，1，．，由于，显然，故．又EF与AC不共线，故．【例2-2】（柯城区校级模拟）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，点E是PD的中点．求证：平面AEC．【解答】证明如图，以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设，，则有0，，b，，0，，0，，0，，b，，由已知得，，，设平面AEC的一个法向量为，则且，可得1，，，，又平面AEC，平面AEC．【例2-3】（金华期末）如图，已知棱长为4的正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点，求证：平面平面EFBD．【分析】本题考查的知识点是平面与平面平行的判断，利用向量证明面面平行，难度中档．建立空间直角坐标系，利用向量法，可证得：平面EFBD，平面EFBD，进而得到平面平面EFBD．【解答】证明：由题意，正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，0，，2，，4，，2，，4，．取MN的中点K，EF的中点G，BD的中点O，则2，，1，，3，．2，，2，，1，，1，，，，，，平面EFBD，平面EFBD，平面平面EFBD．【变式训练2-1】（宿迁期末）如图，在长方体中，，，，点P在棱上，且，点S在棱上，且，点Q、R分别是棱、AE的中点．求证：．【分析】本题考查了利用空间向量平行的判断，是容易题．建立空间直角坐标系，根据向量的共线关系进行证明．【解答】证明：如图，建立空间直角坐标系，则0，，4，，0，，0，，4，．，，Q，R分别是棱，AE的中点，，2，，2，，．于是．．，．【变式训练2-2】（朝阳区期末）已知正方体的棱长为2，E ，F 分别是，的中点，求证：平面ADE ；平面平面F .【分析】本题考查利用空间向量证明线性、线面平行．如图，建立空间直角坐标系，求出和平面ADE 的法向量，由，又平面ADE ，推证结果；进一步求出平面的法向量，由两个平面的法向量平行推证结果．【解答】证明：如图，建立空间直角坐标系，则0，，0，，2，，2，，2，，0，，所以，，．设，分别是平面ADE 、平面的法向量，则，，取，则．同理可求．，，又平面ADE，平面ADE．，平面平面F.【例3-1】（扬州期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，M为PC的中点．求证：【分析】本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量证明直线垂直，属于中档题．由可得【解答】证明：结合图形，知，，则，所以，即．【例3-2】（上城区校级模拟）如图所示，在正方体中，E，F分别是，DC的中点，求证：平面F.【分析】本题考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面F.【解答】证明：设正方体的棱长为1，如图所示，建立空间直角坐标系，则0，，，0，，0，，．，，，，，，．即，，又，平面F.（点军区校级月考）如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD，，，【例3-3】M为EC的中点，求证：平面平面CDE．【分析】本题主要考查利用空间向量证明面面垂直．首先利用空间向量证明线面垂直，即可得面面垂直．【解答】证明：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设，依题意得0，，1，，2，，1，，0，，．则，，，，，又，，又，平面AMD．而平面CDE，平面平面AMD．【变式训练3-1】（三明模拟）已知空间四边形ABCD中，，，求证：．【分析】本题主要考查了利用空间向量证明线线垂直，是基础题．将用、表示；用、表示；利用向量数量积的运算律求出；最后根据数量积为0判断出垂直．【解答】证明：，，，，．，从而．【变式训练3-2】（镇海区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形且，，底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上．F在何处时，平面PBC？【分析】本题考查空间直线与平面垂直的判定以及线线垂直的判定，属基础题目．以A为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，用向量判断线线垂直和线面垂直．【解答】解：如图，以A为坐标原点，射线AD，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，0，，，，0，，0，．，，设y，，则．平面PBC，，，即，，在PC上，可令，则，将，代入可得，，则，此时F为PC的中点．【变式训练3-3】（未央区校级月考）在四面体ABCD中，平面BCD，，，，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面平面ABC．【分析】本题主要考查了空间向量在立体几何中证明垂直的应用．建立空间直角坐标系，设，得出相关点坐标，进而得出向量的坐标，计算，，可得平面ABC，由面面垂直的判定定理证得结论．【解析】证明：建系如图，取0，，则易得0，，，，，，则有，，，，，，．又，平面ABC．又平面BEF，平面平面ABC．【例4-1】（海淀区校级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离；求直线AC到平面PEF的距离．【分析】本题目主要考查空间两点的距离公式，空间直角坐标系，属于一般题．（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面PEF的法向量，再得点D到平面PEF的距离．（2）通过E，F分别为AB，AC的中点，，平面PEF，所以平面PEF，再得直线AC 到平面PEF的距离．【解答】建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，0，，0，，1，，，．，，0，．设平面PEF的法向量为y，，则即解得，令，得2，，因此，点D到平面PEF的距离为．由知0，，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以，又平面PEF，所以平面PEF，所以AC到平面PEF的距离为．（房山区期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，【变式训练4-1】，，．求点D到平面PBC的距离；求点A到平面PBC的距离．【分析】本题考查利用空间距离的求法，属基础题．依题意，建立空间坐标系，求出平面PBC的法向量，根据D到平面PBC的距离，计算即可．根据中的数值，利用点A到平面PBC的距离，计算即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，，2，，2，，0，．0，，2，，0，．设平面PBC 的法向量为y ，，则令，则，，．点D 到平面PBC 的距离．由知，平面PBC 的法向量为，则点A 到平面PBC 的距离．知识点5用空间向量研究空间中的夹角问题【例5-1】（宝山区校级期末）如图，ABCD 为矩形，AB ＝2，AD ＝4，PA ⊥面ABCD ，PA ＝3，求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求解．【解】以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,3)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，则PB →＝(2,0，－3)，AC →＝(2,4,0)．设PB 与AC 所成的角为θ，则cos θ＝|PB →·AC →||PB →||AC →|＝422＋(－3)2×22＋42＝413×25＝26565.【例5-2】（常州期末）已知在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长与底面边长相等，求AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值．【分析】解决此类问题的关键是建立空间直角坐标系，利用公式求解．【解】建立如图所示的空间直角坐标系E －xyz ，其中坐标原点E 为A 1C 1的中点，设棱长为1，则0，B ，32，AB 1→－12，32，－显然平面ACC 1A 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)，设AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AB →，n 〉|＝|AB 1→·n ||AB 1→||n |＝322＝64.∴AB 1与面ACC 1A 1所成的角的正弦值为64.【例5-3】（漳州三模）已知，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝ 2.求二面角A －PB －C 的余弦值．【分析】解答本题可建立适当的空间直角坐标系，利用平面的法向量求解；也可在二面角的两个面内分别作棱的垂线，利用两线的方向向量所成的角求解．【解】解法一：如图，建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，∴AP →＝(0,0,1)，AB →＝(2，1,0)．设平面PAB 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，1·AP →＝0，1·AB →＝0，0，1＋y 1＝0.令x 1＝1，则n 1＝(1，－2，0)．又CP →＝(0，－1,1)，CB →＝(2，0,0)．设平面PBC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，2·CP →＝0，2·CB →＝0，2＋z 2＝0，2＝0.令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－23×2＝－33.∵所求二面角为锐角，∴二面角A －PB －C 的余弦值为33.解法二：如图所示，取PB 的中点D ，连接CD .∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AC .∴PC ＝PA 2＋AC 2＝ 2.∵PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB .作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A －PB －C 平面角的大小就等于DC →与EA →的夹角θ.∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，∴PC ⊥BC .∴PB ＝PC 2＋BC 2＝2.∴PD ＝1，PE ＝PA 2PB ＝12.∴DE ＝PD －PE ＝12.又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1，AC →＝AE →＋ED →＋DC →，且AE →⊥ED →，ED →⊥DC →，∴|AC →|2＝|AE →|2＋|ED →|2＋|DC →|2＋2|AE →|·|DC →|·cos(π－θ)，即1＝34＋14＋1－2×32×1×cos θ，解得cos θ＝33，故二面角A－PB－C的余弦值为3 3 .【变式训练5-1】（沭阳县期中）如图，在正四棱柱中，，，点M是BC 的中点．求异面直线与DM所成角的余弦值求直线与平面所成角的正弦值求平面与平面ABCD所成角的正弦值．【分析】本题主要考查了利用空间向量求线线、线面、面面的夹角，是中档题．在正四棱柱中，以点D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则．由以及即可求得；先求出平面的法向量，再利用夹角公式求解即可；先求出平面ABCD的法向量以及平面与平面ABCD所成角的余弦值，在用求解即可．【解答】解：在正四棱柱中，以点D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，因为，，所以，则．由题意得，则，异面直线与DM所成角的余弦值为；由题意知，设平面的法向量为，则，解得，，直线与平面所成角的正弦值为；在正四棱柱中，，平面ABCD的法向量为，，平面与平面ABCD所成角的余弦值为，则，平面与平面ABCD所成角的正弦值为．名师导练A组-[应知应会]1.（杨浦区校级期中）若直线l的方向向量为0，，平面的法向量为0，，则A. B. C. D.l与斜交【分析】本题考查利用空间向量判断线面的位置关系属基础题．由直线l的方向向量与平面的法向量共线，判断结论即可．【解答】解：，，，．故选B．2.（安徽模拟）已知，，，则向量与向量的夹角为A. B. C. D.【分析】本题考查利用空间向量的数量积求向量夹角，属于基础题．根据空间向量夹角公式求解即可．【解答】解：，，，向量与的夹角为．故选C．3.（闵行区校级模拟）已知四边形ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，则SC与平面ABCD所成的角的余弦值为A. B. C. D.【分析】本题主要考查利用空间向量求直线与平面的所成角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题。

《6.4.1 平面几何中的向量方法》教案【教材分析】向量概念有明确的几何背景：有向线段，可以说向量概念是从几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些几何问题，例如利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。

【教学目标与核心素养】 课程目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神. 数学学科素养1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；2.数学运算：坐标运算证明几何问题；3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的.【教学重点和难点】重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用； 难点：如何将几何问题化归为向量问题. 【教学过程】 一、情景导入提问：（1）若O 为重心,则++= . （2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本38-39页，思考并完成以下问题ABC OA OB OC 0ABCD DC 12AB |AD |BC1、利用向量可以解决哪些常见的几何问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1.向量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由 向量的线性运算及数量积 表示出来．(2)用向量解决平面几何问题的“三部曲”①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面 几何问题转化成向量问题 ；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系． 四、典例分析、举一反三 题型 向量在几何中的应用例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 已知：平行四边形ABCD ．求证：． 【答案】见解析．【解析】证明：不妨设a ，b ，则a +b ，a -b ，|a |2，|b |2．得 ( a +b )·( a +b )= a ·a+ a ·b +b ·a+b ·b = |a |2+2a ·b +|b |2． ①同理 |a |2-2a ·b +|b |2． ②①+②得 2(|a |2+|b |2)=2()．所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．例2 如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE.222222AC BD AB BC CD DA +=+++AB =AD =AC =DB =2||AB =2||AD =2||AC AC AC =⋅=2||DB =2||AC +2||DB =2||AB +2||AD【答案】见解析．【解析】证明 法一：设AD ―→＝a ，AB ―→＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0， 又DE ―→＝DA ―→＋AE ―→＝－a ＋12b ，AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝b ＋12a ，所以AF ―→·DE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF ―→⊥DE ―→，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF ―→＝(2,1)，DE ―→＝(1，－2)．因为AF ―→·DE ―→＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF ―→⊥DE ―→，即AF ⊥DE .解题技巧（用向量解决平面解析几何的步骤） (1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．跟踪训练1．如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12.求证：点E ，O ，F 在同一直线上． 【答案】见解析．【解析】证明：设AB ―→＝m ，AD ―→＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， ∴FO ―→＝FA ―→＋AO ―→＝13BA ―→＋12AC ―→＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋12n ，OE ―→＝OC ―→＋CE ―→＝12AC ―→＋13CD ―→＝12(m ＋n )－13m ＝16m ＋12n . ∴FO ―→＝OE ―→.又O 为FO ―→和OE ―→的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．2、在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB ，求证：AC ⊥BC .【答案】见解析．【解析】证法一：∵∠CDA ＝∠DAB ＝90°，AB ∥CD ，CD ＝DA ＝12AB ，故可设AD →＝e 1，DC →＝e 2，|e 1|＝|e 2|，则AB →＝2e 2. ∴AC →＝AD →＋DC →＝e 1＋e 2， BC →＝AC →－AB →＝(e 1＋e 2)－2e 2＝e 1－e 2.而AC →·BC →＝(e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝|e 1|2－|e 2|2＝0，∴AC →⊥BC →，即AC ⊥BC . 证法二：如图，建立直角坐标系，设CD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)． ∴BC →＝(－1,1)，AC →＝(1,1)． ∴BC →·AC →＝(－1,1)·(1,1) ＝－1＋1＝0. ∴AC ⊥BC . 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本39页练习，52页习题6.4的1-3题.【教学反思】本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。