湖南师大附中2017届高三月考试卷(七) 教师版 数学(理) 试题 Word版含答案

炎德·英才大联考湖南师大附中2017-2018学年高三月考试卷(四) 数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)复数4－2i（1＋i ）2＝(D)(A)1－2i (B)1＋2i (C)－1＋2i (D)－1－2i(2)执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为(B)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6(3)设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b|＝1，则a 与b 夹角为(C) (A)π3 (B)π2 (C)2π3 (D)3π4(4)设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α；③若m ∥n ，n ⊥β，m ∥α，则α⊥β；④若m ∩n ＝A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β.其中真命题的个数是(C) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)已知函数y ＝a x ，y ＝x b ，y ＝log c x 的图象如图所示，则(C)(A)a >b >c (B)a >c >b (C)c >a >b (D)c >b >a(6)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是π，则它的表面积是(D)(A) π (B)4π3(C) 3π (D) 4π (7)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1方程x 2－b n x ＋2n ＝0的两根，则b 10等于(D)(A)24 (B)32 (C)48 (D)64(8)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(B)(A)40种 (B)60种 (C)100种 (D)120种(9)已知F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上(O 为原点)，则双曲线C 的离心率为(D)(A) 3 (B)3 (C) 2 (D)2 (10)如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 例如[3.27]＝3，[0.6]＝0.那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |<1”的(A)(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(11)设直线l ：3x ＋4y ＋a ＝0，圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，若在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ ＝90°，则a 的取值范围是(C)(A)[－18，6] (B)[6－52，6＋52](C)[－16，4] (D)[－6－52，－6＋52](12)若函数f (x )＝⎩⎨⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x ＞0，则当k >0时，函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数为(D)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】结合图象分析．当k >0时，f [f (x )]＝－1，则f (x )＝t 1∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1k 或f (x )＝t 2∈(0，1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1、x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3、x 4，共存在4个零点，故选D.选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 5的展开式中，x 的一次项系数为__－80__．(用数字作答) (14)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堢瑽(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为__3__．【解析】由题意，圆堢瑽(圆柱体)底面的圆周长48尺，高11尺，体积为2 112(立方)尺，设圆堢瑽(圆柱体)的底面半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2πr ＝48πr 2×11＝2 112 ，解得π＝3, r ＝8，故答案为：3.(15)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ）（x ＋y －1）≥0，0≤x ≤1，则2x ＋y 的取值范围是__[0，3]__．(16)函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．若在曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为__π4__．【解析】由f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)知|AC |＝πω，|y B |＝ω，所以S △ABC ＝12·|AC |·|y B |＝π2 ，设A (x 0，0) ，则ωx 0＋φ＝π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋πω，0，设曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域的面积为S ，则 S ＝|∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x |＝－∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x ＝－f (x )|x 0＋πωx 0＝f (x 0)－f ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋πω ＝sin (ωx 0＋φ)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋πω＋φ＝sin π2－sin 3π2＝2.所以该点在△ABC 内的概率P ＝S △ABC S ＝π22＝π4.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，函数f(x)＝2sin (x －A)cos x ＋sin (B ＋C)(x ∈R )，f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称． (Ⅰ)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求f (x )的值域；(Ⅱ)若a ＝7且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积． 【解析】(Ⅰ)f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C ) ＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A ＝2sin x cos x cos A －2cos 2x sin A ＋sin A ＝sin 2x cos A －cos2x sin A ＝sin(2x －A )，由函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝0，又0＜A ＜π，故A ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，2x －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3，所以－32 ＜sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1.即f (x )的值域为⎝⎛⎦⎤－32，1； (Ⅱ)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝143，则sin B ＝314b ，sin C ＝314c ，所以sin B ＋sin C ＝314(b ＋c )＝13314，即b ＋c ＝13， 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得49＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，从而bc ＝40， 则△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.(18)(本小题满分12分)某网络营销部门为了统计某市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表(如表)：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3∶2.(Ⅰ)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图)．(Ⅱ)该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．【解析】(Ⅰ)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＋9＋15＋18＋y ＝6018＋y 3＋x ＋9＋15＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝6.∴p ＝0.15，q ＝0.10.补全频率分布直方图如图所示．(Ⅱ)用分层抽样的方法，从中选取10人， 则其中“网购达人”有10×25＝4人，“非网购达人”有10×35＝6人．故ξ的可能取值为0，1，2，3；P (ξ＝0)＝C 40C 63C 103＝16，P (ξ＝1)＝C 41C 62C 103＝12，P (ξ＝2)＝C 42C 61C 103＝310，P (ξ＝3)＝C 43C 60C 103＝130.所以ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.(19)(本小题满分12分)如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为BC ，DA 的中点．将正方形ABCD 沿着线段EF 折起，使得∠DF A ＝60°. 设G 为AF 的中点．(Ⅰ)求证：DG ⊥EF ；(Ⅱ)求直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值；(Ⅲ)设P ，Q 分别为线段DG ，CF 上一点，且PQ ∥平面ABEF ，求线段PQ 长度的最小值．【解析】(Ⅰ)因为正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DA 的中点，所以EF ⊥FD ，EF ⊥F A ，将正方形ABCD 沿着线段EF 折起后，仍有EF ⊥FD ，EF ⊥F A ，而FD ∩F A ＝F ，所以EF ⊥平面DF A .又因为DG 平面DF A ，所以DG ⊥EF . (Ⅱ)因为∠DF A ＝60°，DF ＝F A ，所以△DF A 为等边三角形，又AG ＝GF ，故DG ⊥F A . 由(Ⅰ)，DG ⊥EF ，又EF ∩F A ＝F ，所以DG ⊥平面ABEF .设BE 的中点为H ，连接GH ，则GA ，GH ，GD 两两垂直，故以GA ，GH ，GD 分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系如图，则G (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，4，0)，C (0，4，3)，F (－1，0，0), 所以GA →＝(1，0，0)，BC →＝(－1，0，3)，BF →＝(－2，－4，0)． 设平面BCF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z ),由m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，得⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－2x －4y ＝0，令z ＝2，得m ＝(23，－3，2)．设直线GA 与平面BCF 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈m ，GA →〉|＝|m ·GA →||m ||GA →|＝25719.即直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值为25719.(Ⅲ)由题意，可设P (0，0，k )(0≤k ≤3)，FQ →＝λFC →(0≤λ≤1)， 由FC →＝(1，4，3)，得FQ →＝(λ，4λ，3λ)，所以Q (λ－1，4λ，3λ)，PQ →＝(λ－1，4λ，3λ－k )． 由(Ⅱ)，得GD →＝(0，0，3)为平面ABEF 的法向量． 因为PQ ∥平面ABEF ，所以PQ →·GD →＝0，即3λ－k ＝0. 所以|PQ →|＝（λ－1）2＋（4λ）2＋（3λ－k ）2＝（λ－1）2＋（4λ）2＝17λ2－2λ＋1，又因为17λ2－2λ＋1＝17⎝⎛⎭⎫λ－1172＋1617，所以当λ＝117时，|PQ →|min ＝41717. 所以当λ＝117，k ＝317时，线段PQ 长度有最小值41717.(20)(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为4 3.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，P 是直线x ＝4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M 、N ，试探究，点B 是否在以MN 为直径的圆内？证明你的结论．【解析】(Ⅰ)依题意得c a ＝12，12·2a ·2b ＝43，又a 2＝b 2＋c 2，由此解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆E 的方程为 x 24＋y 23＝1.(Ⅱ)点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下：方法1：由(Ⅰ)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 0，y 0)．∵M 点在椭圆上，∴y 02＝34(4－x 02)． ①又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2. 由P 、A 、M 三点共线可以得P ⎝⎛⎭⎫4，6y 0x 0＋2.从而BM →＝(x 0－2，y 0), BP →＝⎝⎛⎭⎫2，6y 0x 0＋2.∴BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 02x 0＋2＝2x 0＋2(x 02－4＋3y 02)． ②将①代入②，化简得BM →·BP →＝52(2－x 0)．∵2－x 0>0，∴BM →·BP →>0，于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内．方法2：由(Ⅰ)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则－2<x 1<2，－2<x 2<2，又MN 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差|BQ |2－14|MN |2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－22＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222－14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝(x 1－2) (x 2－2)＋y 1y 2 ③直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，而两直线AP 与BP 的交点P 在直线x ＝4上， ∴6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2，即y 2＝3（x 2－2）y 1x 1＋2④ 又点M 在椭圆上，则x 124＋y 123＝1，即y 12＝34(4－x 12) ⑤于是将④、⑤代入③，化简后可得|BQ |2－14|MN |2＝54(2－x 1)(x 2－2)<0.从而点B 在以MN 为直径的圆内．(21)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e ax －x .(Ⅰ)若对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，求a 的取值集合；(Ⅱ)若a ＝1，k 为整数，且存在x 0>0，使(x 0－k )f ′(x 0)＋x 0＋1<0，求k 的最小值． 【解析】(Ⅰ) 若a ≤0，则对一切x >0，f (x )＝e ax －x <1，这与题设矛盾， 故a >0.而f ′(x )＝a e ax －1，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ln 1a .当x <1a ln 1a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >1a ln 1a时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，故当x ＝1a ln 1a时，f (x )取最小值f ⎝⎛⎭⎫1a ln 1a ＝1a －1a ln 1a .于是对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，当且仅当1a －1a ln 1a≥1. ①令g (t )＝t －t ln t ，则g ′(t )＝－ln t .当0<t <1时，g ′(t )>0，g (t )单调递增；当t >1时，g ′(t )<0，g (t )单调递减. 故当t ＝1时，g (t )取最大值g (1)＝1.因此，当且仅当1a ＝1即a ＝1时，①式成立.综上所述，a 的取值集合为{1}.(Ⅱ)a ＝1时，f ′(x )＝e x －1, 所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1, 故当x >0时， (x －k )f ′(x )＋x ＋1<0等价于k >x ＋1e x －1＋x ， ②令h (x )＝x ＋1e x －1＋x (x >0)，则h ′(x )＝－x e x －1（e x －1）2＋1＝e x （e x －x －2）（e x －1）2，令φ(x )＝e x －x －2(x >0)，则φ′(x )＝e x －1 >0，φ(x )在(0, ＋∞)上单调递增，而φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x )在(0, ＋∞)上存在唯一的零点，亦即h ′(x )在(0, ＋∞)上存在唯一的零点，设此零点为α，则α∈(1，2)，e α＝α＋2，当x ∈(0，α)时， h ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时， h ′(x )>0，所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (α) ，而h (α)＝α＋1e α－1＋α＝α＋1∈(2，3)，而由②知，存在x 0>0，使(x 0－k )f ′(x 0)＋x 0＋1<0等价于k >h (α)，所以整数k 的最小值为3.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，M 为C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2.(Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.【解析】(Ⅰ)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎫x 2，y 2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α ，消去参数α得x 2＋(y －4)2＝16, 即C 2的普通方程为x 2＋(y －4)2＝16.(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(23)(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.【解析】(Ⅰ)因为f (x )＝m －|x －2|，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }，又f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知1a ＋12b ＋13c ＝1，a ，b ，c ∈R ＋，方法1：由基本不等式得：a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋⎝⎛⎭⎫3c 2b ＋2b 3c ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ≥3＋2＋2＋2＝9.方法2：由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。

炎德·英才大联考湖南师大附中2017-2018学年高三月考试卷(一)数 学(文科)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分及选做题，共8页。

时量120分钟，满分150分。

得分 一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满12i z i =+，则复数z 对应的点位于复平面内 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2．设集合{|||1}A x x =<，2{|log 0}B x x =<，则p ：“x A ∈”是q ：“x ∈B”成立的 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、非充分也非必要条件 3．已知函数3log (0)()21(0)xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则21((1))(log )3f f f +的值是 A 、6 B 、5 C 、72 D 、534．已知p ：“x ∀∈R ，不等式21xm >-恒成立，则m ≤1”；q ：“函数()x f x e x =+有两个零点”，则A 、p 假，q 真B 、“p q ∧”真C 、“p q ∨”假D 、“p q ∧”假5．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整效)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为A 、25 B 、110C 、910D 、156．已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (a >0，b ∈R)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3，则a +b 的值是 A 、1 B 、-3C 、-lD 、37．已知一个多面体内接于球，其正视图、侧视图、俯视图都是如图的图形，中央的四边形是边长为1的正方形，则该球的表面积是A 、2B 、34πC 、3πD 、9π8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为8，则输出S 的值为 A 、512 B 、546 C 、1067 D 、10689．函数1x y a -=(a >0，a ≠1)的图象恒过定点M ，若点M 在直线1mx ny +=(m>0，n>0)上，则14m n+的 最小值为 A 、8 B 、9 C 、10 D 、1210．过点P(1-)的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A 、[0，6π] B 、[0，3π] C 、(0，6π] D 、(0，3π]11．已知函数2()22sin 1f x x x =+-，则它的最小正周期和一个单调增区间分别为A 、2π， [6π-，3π] B 、2π，[3π，56π]C 、π，[6π-，3π]D 、π，[3π，56π]12．x 为实数。

炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷(四)数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)复数4－2i（1＋i ）2＝(D)(A)1－2i (B)1＋2i (C)－1＋2i (D)－1－2i(2)执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为(B)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6(3)设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b|＝1，则a 与b 夹角为(C) (A)π3 (B)π2 (C)2π3 (D)3π4(4)设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α；③若m ∥n ，n ⊥β，m ∥α，则α⊥β；④若m ∩n ＝A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β.其中真命题的个数是(C) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)已知函数y ＝a x ，y ＝x b ，y ＝log c x 的图象如图所示，则(C) (A)a >b >c(B)a >c >b (C)c >a >b (D)c >b >a(6)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是π，则它的表面积是(D)(A) π (B)4π3(C) 3π (D) 4π (7)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1方程x 2－b n x ＋2n ＝0的两根，则b 10等于(D)(A)24 (B)32 (C)48 (D)64(8)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(B)(A)40种 (B)60种 (C)100种 (D)120种(9)已知F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上(O 为原点)，则双曲线C 的离心率为(D)(A) 3 (B)3 (C) 2 (D)2 (10)如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 例如[3.27]＝3，[0.6]＝0.那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |<1”的(A)(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(11)设直线l ：3x ＋4y ＋a ＝0，圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，若在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ ＝90°，则a 的取值范围是(C)(A)[－18，6] (B)[6－52，6＋52](C)[－16，4] (D)[－6－52，－6＋52](12)若函数f (x )＝⎩⎨⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x ＞0，则当k >0时，函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数为(D)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】结合图象分析．当k >0时，f [f (x )]＝－1，则f (x )＝t 1∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1k 或f (x )＝t 2∈(0，1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1、x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3、x 4，共存在4个零点，故选D.选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 5的展开式中，x 的一次项系数为__－80__．(用数字作答) (14)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堢瑽(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为__3__．【解析】由题意，圆堢瑽(圆柱体)底面的圆周长48尺，高11尺，体积为2 112(立方)尺，设圆堢瑽(圆柱体)的底面半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2πr ＝48πr 2×11＝2 112 ，解得π＝3, r ＝8，故答案为：3.(15)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ）（x ＋y －1）≥0，0≤x ≤1 ，则2x ＋y 的取值范围是__[0，3]__．(16)函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．若在曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为__π4__．【解析】由f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)知|AC |＝πω，|y B |＝ω，所以S △ABC ＝12·|AC |·|y B |＝π2 ，设A (x 0，0) ，则ωx 0＋φ＝π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋πω，0，设曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域的面积为S ，则 S ＝|∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x |＝－∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x ＝－f (x )|x 0＋πωx 0＝f (x 0)－f ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋πω＝sin (ωx 0＋φ)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋πω＋φ＝sin π2－sin 3π2＝2.所以该点在△ABC 内的概率P ＝S △ABC S ＝π22＝π4.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，函数f(x)＝2sin (x －A)cos x ＋sin (B ＋C)(x ∈R )，f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称． (Ⅰ)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求f (x )的值域；(Ⅱ)若a ＝7且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积． 【解析】(Ⅰ)f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C ) ＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A ＝2sin x cos x cos A －2cos 2x sin A ＋sin A ＝sin 2x cos A －cos2x sin A ＝sin(2x －A )，由函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝0，又0＜A ＜π，故A ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，2x －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3，所以－32 ＜sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1.即f (x )的值域为⎝⎛⎦⎤－32，1； (Ⅱ)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝143，则sin B ＝314b ，sin C ＝314c ，所以sin B ＋sin C ＝314(b ＋c )＝13314，即b ＋c ＝13， 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得49＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，从而bc ＝40， 则△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.(18)(本小题满分12分)某网络营销部门为了统计某市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表(如表)：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3∶2.(Ⅰ)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图)．(Ⅱ)该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．【解析】(Ⅰ)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＋9＋15＋18＋y ＝6018＋y 3＋x ＋9＋15＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝6.∴p ＝0.15，q ＝0.10.补全频率分布直方图如图所示．(Ⅱ)用分层抽样的方法，从中选取10人， 则其中“网购达人”有10×25＝4人，“非网购达人”有10×35＝6人．故ξ的可能取值为0，1，2，3；P (ξ＝0)＝C 40C 63C 103＝16，P (ξ＝1)＝C 41C 62C 103＝12，P (ξ＝2)＝C 42C 61C 103＝310，P (ξ＝3)＝C 43C 60C 103＝130.所以ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.(19)(本小题满分12分)如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为BC ，DA 的中点．将正方形ABCD 沿着线段EF 折起，使得∠DF A ＝60°. 设G 为AF 的中点．(Ⅰ)求证：DG ⊥EF ；(Ⅱ)求直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值；(Ⅲ)设P ，Q 分别为线段DG ，CF 上一点，且PQ ∥平面ABEF ，求线段PQ 长度的最小值．【解析】(Ⅰ)因为正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DA 的中点，所以EF ⊥FD ，EF ⊥F A ，将正方形ABCD 沿着线段EF 折起后，仍有EF ⊥FD ，EF ⊥F A ，而FD ∩F A ＝F ，所以EF ⊥平面DF A .又因为DG 平面DF A ，所以DG ⊥EF . (Ⅱ)因为∠DF A ＝60°，DF ＝F A ，所以△DF A 为等边三角形，又AG ＝GF ，故DG ⊥F A . 由(Ⅰ)，DG ⊥EF ，又EF ∩F A ＝F ，所以DG ⊥平面ABEF .设BE 的中点为H ，连接GH ，则GA ，GH ，GD 两两垂直，故以GA ，GH ，GD 分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系如图，则G (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，4，0)，C (0，4，3)，F (－1，0，0), 所以GA →＝(1，0，0)，BC →＝(－1，0，3)，BF →＝(－2，－4，0)． 设平面BCF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z ),由m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，得⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－2x －4y ＝0，令z ＝2，得m ＝(23，－3，2)． 设直线GA 与平面BCF 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈m ，GA →〉|＝|m ·GA →||m ||GA →|＝25719.即直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值为25719.(Ⅲ)由题意，可设P (0，0，k )(0≤k ≤3)，FQ →＝λFC →(0≤λ≤1)，由FC →＝(1，4，3)，得FQ →＝(λ，4λ，3λ)，所以Q (λ－1，4λ，3λ)，PQ →＝(λ－1，4λ，3λ－k )． 由(Ⅱ)，得GD →＝(0，0，3)为平面ABEF 的法向量． 因为PQ ∥平面ABEF ，所以PQ →·GD →＝0，即3λ－k ＝0. 所以|PQ →|＝（λ－1）2＋（4λ）2＋（3λ－k ）2＝（λ－1）2＋（4λ）2＝17λ2－2λ＋1，又因为17λ2－2λ＋1＝17⎝⎛⎭⎫λ－1172＋1617，所以当λ＝117时，|PQ →|min ＝41717. 所以当λ＝117，k ＝317时，线段PQ 长度有最小值41717.(20)(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为4 3.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，P 是直线x ＝4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M 、N ，试探究，点B 是否在以MN 为直径的圆内？证明你的结论．【解析】(Ⅰ)依题意得c a ＝12，12·2a ·2b ＝43，又a 2＝b 2＋c 2，由此解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆E 的方程为 x 24＋y 23＝1.(Ⅱ)点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下：方法1：由(Ⅰ)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 0，y 0)． ∵M 点在椭圆上，∴y 02＝34(4－x 02)． ①又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2. 由P 、A 、M 三点共线可以得P ⎝⎛⎭⎫4，6y 0x 0＋2.从而BM →＝(x 0－2，y 0), BP →＝⎝⎛⎭⎫2，6y 0x 0＋2.∴BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 02x 0＋2＝2x 0＋2(x 02－4＋3y 02)． ②将①代入②，化简得BM →·BP →＝52(2－x 0)．∵2－x 0>0，∴BM →·BP →>0，于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内．方法2：由(Ⅰ)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则－2<x 1<2，－2<x 2<2，又MN 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差|BQ |2－14|MN |2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－22＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222－14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝(x 1－2) (x 2－2)＋y 1y 2 ③直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，而两直线AP 与BP 的交点P 在直线x ＝4上， ∴6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2，即y 2＝3（x 2－2）y 1x 1＋2④ 又点M 在椭圆上，则x 124＋y 123＝1，即y 12＝34(4－x 12) ⑤于是将④、⑤代入③，化简后可得|BQ |2－14|MN |2＝54(2－x 1)(x 2－2)<0.从而点B 在以MN 为直径的圆内．(21)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e ax －x .(Ⅰ)若对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，求a 的取值集合；(Ⅱ)若a ＝1，k 为整数，且存在x 0>0，使(x 0－k )f ′(x 0)＋x 0＋1<0，求k 的最小值． 【解析】(Ⅰ) 若a ≤0，则对一切x >0，f (x )＝e ax －x <1，这与题设矛盾， 故a >0.而f ′(x )＝a e ax －1，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ln 1a .当x <1a ln 1a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >1a ln 1a时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，故当x ＝1a ln 1a时，f (x )取最小值f ⎝⎛⎭⎫1a ln 1a ＝1a －1a ln 1a . 于是对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，当且仅当1a －1a ln 1a≥1. ①令g (t )＝t －t ln t ，则g ′(t )＝－ln t .当0<t <1时，g ′(t )>0，g (t )单调递增；当t >1时，g ′(t )<0，g (t )单调递减. 故当t ＝1时，g (t )取最大值g (1)＝1.因此，当且仅当1a ＝1即a ＝1时，①式成立.综上所述，a 的取值集合为{1}.(Ⅱ)a ＝1时，f ′(x )＝e x －1, 所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1,故当x >0时， (x －k )f ′(x )＋x ＋1<0等价于k >x ＋1e x －1＋x ， ②令h (x )＝x ＋1e x －1＋x (x >0)，则h ′(x )＝－x e x －1（e x －1）2＋1＝e x （e x －x －2）（e x －1）2，令φ(x )＝e x －x －2(x >0)，则φ′(x )＝e x －1 >0，φ(x )在(0, ＋∞)上单调递增，而φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x )在(0, ＋∞)上存在唯一的零点，亦即h ′(x )在(0, ＋∞)上存在唯一的零点，设此零点为α，则α∈(1，2)，e α＝α＋2，当x ∈(0，α)时， h ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时， h ′(x )>0，所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (α) ，而h (α)＝α＋1e α－1＋α＝α＋1∈(2，3)，而由②知，存在x 0>0，使(x 0－k )f ′(x 0)＋x 0＋1<0等价于k >h (α)，所以整数k 的最小值为3.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，M 为C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2.(Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.【解析】(Ⅰ)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α ，消去参数α得x 2＋(y －4)2＝16, 即C 2的普通方程为x 2＋(y －4)2＝16.(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(23)(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.【解析】(Ⅰ)因为f (x )＝m －|x －2|，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }，又f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知1a ＋12b ＋13c ＝1，a ，b ，c ∈R ＋，方法1：由基本不等式得：a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋⎝⎛⎭⎫3c 2b ＋2b 3c ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ≥3＋2＋2＋2＝9.方法2：由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。

2017-2018学年湖南师大附中高三（下）月考数学试卷（文科）（七）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则|z|=（）A．B．C．1 D．2．“a=4”是“直线（2+a）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+ay﹣3=0相互平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．124．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）A．B．C．D．5．已知，且sinθ﹣cosθ＞1，则sin（2θ﹣2π）=（）A．B．C． D．6．设，则有（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a7．如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知平面向量、、满足：||=||=||=1，•=0．若=x+y，（x，y∈R），则x+y的最大值是（）A．B．1 C．D．210．设双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，）D．（，+∞）11．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）12．已知函数，使得∀x1∈[1，2]，都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，+∞）D．（0，1）∪（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．已知集合，则N∩∁R M=．14．已知关于x的不等式上恒成立，则实数a的最小值为．15．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=e，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个在区间[0，1]上的*由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为．16．我们把形如的函数称为“莫言函数”，其图象与y轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心且与“莫言函数”的图象有公共点的圆称为“莫言圆”．则当a=b=1时，“莫言点”的坐标是；且“莫言圆”的面积的最小值是．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、c的时边长分别为a、b、c，已知sinB﹣cosB=l，且b=1．（Ⅰ）若A=，求c的值；（Ⅱ）设AC边上的高为h，求h的最大值．18．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．19．对于数列{x n}，若对任意n∈N*，都有＜x n成立，则称数列{x n}为“减差数+1列”．设数列{a n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S n，且a1=1，S3=．（1）求数列{a n}的通项公式，并判断数列{S n}是否为“减差数列”；（2）设b n=（2﹣na n）t+a n，若数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，求实数t的取值范围．20．已知F是椭圆的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为，点B在x轴上，AB⊥AF，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过F作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，P为线段MN的中点，设O为椭圆中心，射线OP交椭圆于点Q，若，若存在求k的值，若不存在则说明理由．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x．（a∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f （x i）=g（x0）成立，求a的取值范围．[选做题]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．[选做题]23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2015-2016学年湖南师大附中高三（下）月考数学试卷（文科）（七）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则|z|=（）A．B．C．1 D．【考点】复数求模．【分析】直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．【解答】解：i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，，故选：B．2．“a=4”是“直线（2+a）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+ay﹣3=0相互平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出“直线（2+a）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+ay﹣3=0相互平行”的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】A解：当两直线平行时得，a（a+2）=3a（a﹣2），解得a=0或a=4，故“a=4”是“直线（2+a）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+ay﹣3=0相互平行”的充分不必要条件，故选：A．3．执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次执行，直到不满足循环条件为止即可．【解答】解：x=1，n=1，满足条件x＜4，执行循环，x=，n=2，满足条件x＜4，执行循环，依此类推，x=，n=9，满足条件x＜4，执行循环，x=4，n=10，不满足条件x＜4，退出循环，此时n=10故选B．4．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点P（x，y）对应图形的面积，及满足条件“内”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为，则所求概率为．故选B．5．已知，且sinθ﹣cosθ＞1，则sin（2θ﹣2π）=（）A．B．C． D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由，sinθ﹣cosθ＞1，求出sinθ、cosθ的值，化简sin（2θ﹣2π）即可得到答案．【解答】解：由题意：，∴sinθ=，又∵sinθ﹣cosθ＞1，∴cosθ＜0，由sin2θ+cos2θ=1，解得：cosθ=，那么：sin（2θ﹣2π）=﹣sin2θ=﹣2sinθcosθ=﹣2×=，故选：A．6．设，则有（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数的性质及对数函数的单调性求解．【解答】解：∵，又0=lg1＜lge＜lg=，∴a＞c＞b．故选：C．7．如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．18【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以正视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为3，底边上的高为：=，故底面积S=3×=3，又因为棱柱的高为3，故V=3×3=9，故选B．8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】极差、方差与标准差．【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故选D．9．已知平面向量、、满足：||=||=||=1，•=0．若=x+y，（x，y∈R），则x+y的最大值是（）A．B．1 C．D．2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由||2=（x+y）2=1，整理可得：x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，由辅助角公式可知，根据正弦函数图象及性质，即可求得x+y的最大值．【解答】解：由||=1，可知||2=（x+y）2=1，∴x2||2+y2||2+2xy•=1，∴x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，则：，∴由正弦函数及性质可知：x+y的最大值是，故答案选：C．10．设双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，）D．（，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】不妨设渐近线为y=x，与抛物线的交点为（x0，y0），x0＞1，可得，两式消去y0可得ab的不等式，由双曲线的离心率可得．【解答】解：不妨设渐近线为y=x，与抛物线的交点为（x0，y0），x0＞1，则，两式消去y0可得=x0＞1，∴a2＞b2，∴a2＞c2﹣a2，∴2a2＞c2，∴＜2，∴e=＜，又∵双曲线的离心率大于1，∴双曲线C的离心率e的取值范围是（1，）故选：C11．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意结合图象求出f′（x）＞0的解集与f′（x）＜0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案．【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选D．12．已知函数，使得∀x1∈[1，2]，都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，+∞）D．（0，1）∪（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，从而问题转化为最大值不在区间[1，2]，故可求实数a的取值范围．【解答】解：求导函数，当x∈（0，a）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故f（x）max=f（a）．∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]，都有f（x1）＜f（x0），则最大值不在区间[1，2]，∴a∉[1，2]，所以实数a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．已知集合，则N∩∁R M=[0，2] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合M和N，由此能求出N∩∁R M．【解答】解：集合，∴M=（﹣∞，0）∪（2，+∞），N=[0，+∞），∴N∩C R M=[0，2]．故答案为：[0，2]．14．已知关于x的不等式上恒成立，则实数a的最小值为5．【考点】基本不等式．【分析】构造函数g（x）=x+﹣7，（x＞a），利用g（x）在（a，a+1]上单调递减，在[a+1，+∞）上单调递增即可求得答案．【解答】解：令g（x）=x+﹣7，则g（x）=（x﹣a）++a﹣7，由双钩函数的性质得：g（x）在（a，a+1]上单调递减，在[a+1，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（a+1）=1+a+1﹣7=a﹣5≥0．∴a≥5．∴实数a的最小值为5．故答案为：515．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=e，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个在区间[0，1]上的*由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为（e﹣1）．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】向矩形区域内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，由此根据矩形区域的面积为e﹣1，能求出曲边三角形面积的近似值．【解答】解：由表可知，向矩形区域内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为．故答案为：．16．我们把形如的函数称为“莫言函数”，其图象与y轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心且与“莫言函数”的图象有公共点的圆称为“莫言圆”．则当a=b=1时，“莫言点”的坐标是（0，1）；且“莫言圆”的面积的最小值是3π．【考点】函数的图象．【分析】根据已知中关于“莫言函数”，“莫言点”，“莫言圆”的定义，利用a=1，b=1，我们易求出“莫言点”坐标，并设出“莫言圆”的方程，根据两点的距离公式求出圆心到“莫言函数”图象上点的最小距离，即可得到结论．【解答】解：当a=b=1时，“莫言函数”为，其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1），所以“莫言点”的坐标是（0，1）．显然f（x）为偶函数，且当x≥0时，，则f（x）的大致图象如图所示．由图知，当“莫言圆”与函数f（x）（x＞1）的图象相切时，圆面积最小．设“莫言圆”圆心为C，在函数图象上任取一点P（x，y），则，即，所以“莫言圆”半径的最小值为，面积的最小值是3π．故答案为：（0，1），3π．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、c的时边长分别为a、b、c，已知sinB﹣cosB=l，且b=1．（Ⅰ）若A=，求c的值；（Ⅱ）设AC边上的高为h，求h的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由sinB﹣cosB=l求得sin（B﹣）=．根据A=，求得B的值，可得C=π﹣A﹣B的值值，再根据b=1，利用正弦定理求得c的值．（Ⅱ）根据•bh=ac•sinB，求得h=ac．由余弦定理可得ac≤1，从而求得h的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵sinB﹣cosB=l=2sin（B﹣），∴sin（B﹣）=．∵A=，∴0＜B＜，∴B=，∴C=π﹣A﹣B=．再根据b=1，利用正弦定理可得，即，解得c=．（Ⅱ）设AC边上的高为h，∵•bh=ac•sinB，∴h=ac．由余弦定理可得b2=1=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，∴ac≤1，h≤，即h的最大值为．18．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）先证明AC⊥面SBD，然后利用线面垂直的性质证明AC⊥SD；（Ⅱ）利用线面平行的性质定理确定E的位置，然后求出SE：EC的值．【解答】解：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥面SBD，所以AC⊥SD．（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则SD⊥OP，设正方形ABCD的边长为a，则SD=，OD=，则OD2=PD•SD，可得PD==，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，得BE∥面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1．19．对于数列{x n}，若对任意n∈N*，都有＜x n成立，则称数列{x n}为“减差数+1列”．设数列{a n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S n，且a1=1，S3=．（1）求数列{a n}的通项公式，并判断数列{S n}是否为“减差数列”；（2）设b n=（2﹣na n）t+a n，若数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，求实数t的取值范围．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设数列{a n}的公比为q，则1+q+q2=，由此能求出数列{a n}的通项公式，并判断数列{S n}为“减差数列”．（2）由题设知，b n=2﹣t+=2t﹣．由此能求出t的取值范围是（1，+∞）．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，则1+q+q2=，因为q＞0，所以q=，所以a n=，S n==2﹣，所以=2﹣﹣＜2﹣=S n，+1所以数列{S n}是“减差数列”．（2）由题设知，b n=2﹣t+=2t﹣．，得t﹣+t﹣＜2t﹣，由＜b n+1即+＞，化简得t（n﹣2）＞1．又当n≥3时，t（n﹣2）＞1恒成立，即t＞恒成立，所以t＞（）max=1．故t的取值范围是（1，+∞）．20．已知F是椭圆的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为，点B在x轴上，AB⊥AF，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过F作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，P为线段MN的中点，设O为椭圆中心，射线OP交椭圆于点Q，若，若存在求k的值，若不存在则说明理由．【考点】圆与圆锥曲线的综合；圆的切线方程；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）先确定出F，A的坐标，进而确定点B的坐标，从而可确定A，B，F三点确定的圆的圆心坐标与半径，利用圆与直线相切，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）假设存在，设直线l的方程为：y=k（x+1）代入椭圆的方程，根据P为线段MN的中点，确定P的坐标，进而可得Q的坐标，代入椭圆方程，即可判断k不存在．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，∴，∴∴，∵AB⊥AF，∴∴AB的方程为：令y=0，∴，∴∴A，B，F三点确定的圆的圆心坐标为，半径为r=a∴圆心到直线的距离为，∵A，B，F三点确定的圆C恰好与直线相切．∴∴a=2，∴∴椭圆的方程为；（Ⅱ）假设存在，设直线l的方程为：y=k（x+1）代入椭圆的方程，消去y可得（3+4k2）x2+8k2x+（4k2﹣12）=0设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0），则，∵P为线段MN的中点，∴∴∵，∴∴∵射线OP交椭圆于点Q∴∴∴64k4+48k2=4（16k4+24k2+9）∴48k2=96k2+36∴﹣48k2=36此方程无解，∴k不存在．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x．（a∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f （x i）=g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）＞0求出x的范围即为函数的增区间，令f′（x）＜0求出x的范围即为函数的减区间；（Ⅱ）f（x）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，）上无零点，只需要对x∈（0，）时f（x）＞0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；（Ⅲ）求出g′（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域，而当a=2时不合题意；当a≠2时，求出f′（x）=0时x的值，根据x∈（0，e]列出关于a的不等式得到①，并根据此时的x的值讨论导函数的正负得到函数f（x）的单调区间，根据单调区间得到②和③，令②中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，联立①和④即可解出满足题意a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2；由f′（x）＜0，得0＜x＜2．故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间上恒成立不可能，故要使函数上无零点，只要对任意的，f（x）＞0恒成立，即对恒成立．令，则，再令，则，故m（x）在上为减函数，于是，从而，l（x）＞0，于是l（x）在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数f（x）在上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；（Ⅲ）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1﹣e＞0，所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不合题意；当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]当x=时，f′（x）=0．由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故，即①），，所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：即令h（a）=，则h，令h′（a）=0，得a=0或a=2，故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增；当时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．所以，对任意，有h（a）≤h（0）=0，即②对任意恒成立．由③式解得：．④综合①④可知，当时，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使f（x i）=g（x0）成立．[选做题]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．【考点】直线的参数方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．【解答】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），所以ρ2=4ρ（sinθ﹣cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0．…（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2将代入z=x+y得z=﹣t …又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，由题意有：﹣2≤t≤2所以﹣2≤t≤2即x+y的取值范围是[﹣2，2]．…[选做题]23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…2016年10月24日。

炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高考模拟卷(二)数 学(理科)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合A ＝{20，17}，B ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈A}，则集合B 中元素个数为(C )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4 (2)设i 是虚数单位，复数z ＝2i1－i，则|z|＝(B ) (A )1 (B ) 2 (C ) 3 (D )2(3)右边的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩(单位：分)，已知甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，则下列结论正确的是(C )(A )x 甲＝76，x 乙＝75(B )甲数据中x ＝3，乙数据中y ＝6 (C )甲数据中x ＝6，乙数据中y ＝3(D )乙同学成绩较为稳定【解析】因为甲得分的中位数为76分，所以x ＝6，因为乙得分的平均数是75分，所以56＋68＋68＋70＋72＋（70＋y ）＋80＋86＋88＋8910＝75，解得y ＝3，故选C .(4)已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝－34x ，则此双曲线的离心率为(C )(A )54 (B )74 (C )53 (D )73(5)一算法的程序框图如图所示，若输出的y ＝12，则输入的x 可能为(B )(A )－1 (B )1 (C )1或5 (D )－1或1【解析】这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 6，x ≤22x ，x>2的函数值，输出的结果为12，当x ≤2时，sin πx 6＝12，解得x ＝1＋12k ，或x ＝5＋12k ，k ∈Z ，即x ＝1，－7，－11，… 当x ＞2时，2x ＝12，解得x ＝－1(不合，舍去)，则输入的x 可能为1.故选B.(6)平面α外的一侧有一个三角形，三个顶点到平面α的距离分别是7、9、13，则这个三角形的重心到平面α的距离为(A)(A)293 (B)10 (C)8 (D)218【解析】如图过点A 作平面β∥α则β、α之间的距离为7，B 到β的距离为9－7＝2，C 到β的距离为13－7＝6，利用梯形中位线易求得BC 中点D 到β的距离为6＋22＝4，而重心G 在AD 上，且AG AD ＝23，重心G 到β的距离为d ′＝4×23，故重心G 到α的距离为d ＝4×23＋7＝293.(7)设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n 、T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且S n T n ＝n 2n ＋1，则log b 5a 5＝(D) (A)613 (B)715 (C)817 (D)919【解析】S 9T 9＝lg （a 1·a 2…a 9）lg （b 1·b 2…b 9）＝lg a 59lg b 59＝lg a 5lg b 5＝log b 5a 5log b 5a 5＝919.(8)若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(B)(A)15 (B)20 (C)25 (D)30【解析】V ＝12×3×4×5－13·3×42×5＝20.(9)在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(B)(A)－7 (B)7 (C)－28 (D)28 【解析】T k ＋1＝C n r⎝⎛⎭⎫x 2n －r(－x －13)r ＝(－1)r·C n r 2n －r ·xn －43r当r 为偶数时，二项式系数最大，从而n ＝8，由n －43r ＝0，得r ＝6，常数项C 8628－6＝7.(10)已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q两点，若△PF 1F 2为直角三角形且|PF 1|<|F 1F 2|，则椭圆E 的离心率为(A)(A)53 (B)23 (C)23 (D)13【解析】由题意得PF 1⊥PF 2， 由tan θ＝2sin θ＝25，cos θ＝15， ∴|PF 2|＝455c ，|PF 1|＝255c ，从而|PF 1|＋|PF 2|＝655c ＝2a ，∴e ＝c a ＝53. (11)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x .又函数g (x )＝cos πx2，x ∈[－3，3]，则函数F (x )＝f (x )－g (x )的所有零点之和等于(D)(A)－32 (B)－12 (C)12 (D)32【解析】f (x )＝g (x )x ＝12，52，－32，选D. (12)已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a n ＋12＋a n ＋1－1＝a n 2(n ∈N *)．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a n 2－3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为(C)(A)1 (B)2 (C)3 (D)6【解析】易证得数列{a n }是递增数列，又t 2－a n 2－3t －3a n ＝(t －a n －3)(t ＋a n )≤0，t ＋a n >0， ∴t ≤a n ＋3恒成立，t ≤(a n ＋3)min ＝a 1＋3＝3，∴t max ＝3.故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．(13)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，2)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－6)，且a ⊥b ，b ∥c ，则||a ＋b ＝．(14)设变量x 、y 满足约束条件：⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x 2＋y 2的最大值是__8__．【解析】作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2x ≥－2所对应的可行域(如图△ABC )，而z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方， 数形结合可得最大距离为OC 或OA ＝22，故答案为：8.(15)圆x 2＋y 2＝1上任意一点P ，过点P 作两直线分别交圆于A ，B 两点，且∠APB ＝60°，则|P A |2＋|PB |2的取值范围为__(5，6]__．【解析】过点P 做直径PQ ，如图，根据题意可得：|PQ |＝2.令∠APQ ＝θ，则∠BPQ ＝π3－θ.由题意可知：0<θ<π3.那么，|P A |＝|PQ |cos θ＝2cos θ， |PB |＝|PQ |cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ.|P A |2＋|PB |2＝(2cos θ)2＋⎣⎡⎦⎤2cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ2＝4⎣⎡⎦⎤cos 2θ＋cos 2⎝⎛⎭⎫π3－θ＝4⎣⎡⎦⎤cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ2＝4cos 2θ＋()cos θ＋3sin θ2＝2cos 2θ＋23sin θcos θ＋3 ＝3sin 2θ＋cos 2θ＋4＝2⎝⎛⎭⎫sin 2θ×32＋cos 2θ×12＋4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＋4.∵0<θ<π3，∴0<2θ<2π3，∴π6<2θ＋π6<5π6， ∴12<sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6≤1. ∴5<2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＋4≤6.因此，|P A |2＋|PB |2的取值范围为(5，6]．(16)已知函数f (x )＝x |x 2－12|的定义域为[0，m ]，值域为[0，am 2]，则实数a 的取值范围是__a ≥1__．【解析】仅考虑函数f (x )在x >0时的情况，可知f (x )＝⎩⎨⎧12x －x 3，x <23，x 3－12x ，x ≥2 3.函数f (x )在x ＝2时，取得极大值16.令x 3－12x ＝16，解得，x ＝4.作出函数的图象(如右图所示)．函数f (x )的定义域为[0，m ]，值域为[0，am 2]，分为以下情况考虑：①当0<m <2时，函数的值域为[0，m (12－m 2)]，有m (12－m 2)＝am 2，所以a ＝12m －m ，因为0<m <2，所以a >4；②当2≤m ≤4时，函数的值域为[0, 16]，有am 2＝16，所以a ＝16m 2，因为2≤m ≤4，所以1≤a ≤4；③当m >4时，函数的值域为[0，m (m 2－12)]，有m (m 2－12)＝am 2，所以a ＝m －12m，因为m >4，所以a >1.综上所述，实数a 的取值范围是a ≥1.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋1(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.(Ⅰ)求ω的值及函数f (x )的单调递减区间；(Ⅱ)如图，在锐角三角形ABC 中有f (B )＝1，若在线段BC 上存在一点D 使得AD ＝2，且AC ＝6，CD ＝3－1，求三角形ABC 的面积．【解析】(Ⅰ)f (x )＝32sin 2ωx －1－cos 2ωx 2＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋12. 因为相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T ＝π，即2π2ω＝π，所以ω＝1.故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12.(4分)令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(6分)(Ⅱ)由f (B )＝sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＋12＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝12.由0<B <π2得π6<2B ＋π6<7π6，所以2B ＋π6＝5π6，解得B ＝π3.(8分)再由已知：AC ＝6， CD ＝3－1，AD ＝2.∴在△ADC 中，由AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos C ，得cos C ＝22， 又∠C ∈(0°，90°)，∴∠C ＝45°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝75°.(10分) 在△ABC 中，由AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝2， ∴S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×2×6×6＋24＝3＋32.(12分)(18)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AD ＝AB ＝1，BC ＝ 2.(Ⅰ)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(Ⅱ)设H 为CD 上一点，满足CH →＝2HD →，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为63，求二面角H －PB －C 的余弦值．【解析】(Ⅰ)证明：由AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝1BD ＝2， 又BC ＝2，∴CD ＝2，∴BC ⊥BD ，因为PD ⊥底面ABCD ，∴BC ⊥PD . 因为PD ∩BD ＝D ，所以BC ⊥平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PBC .(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知∠BPC 为PC 与底面PBD 所成的角． 所以tan ∠BPC ＝63， 所以PB ＝3，PD ＝1，又CH →＝2HD →及CD ＝2， 可得CH ＝43，DH ＝23.(7分)以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别x ，y ，z 轴建立空间坐标系，则B (1，1，0)，P (0，0，1)，C (0，2，0)，H ⎝⎛⎭⎫0，23，0.(8分) 设平面HPB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·HP →＝0，n ·HB →＝0得⎩⎨⎧－23y 1＋z 1＝0，x 1＋13y 1＝0，取n ＝(1，－3，－2)，(9分)设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BP →＝0，m ·BC →＝0得⎩⎨⎧x 2＋y 2－z 2＝0，－x 2＋y 2＝0，取m ＝(1，1，2)．(10分)所以cos 〈m ·n 〉＝m·n|m |·|n |＝－217，所以二面角H －PB －C 余弦值为217.(12分) (19)某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分，某考试每道都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道能排除两个错误选项，另2题只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项做答，且各题做答互不影响．(Ⅰ)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望． 【解析】(Ⅰ)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A ， 选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B ，则P (A )＝12，P (B )＝13，该考生选择题得50分的概率为： P (A )P (A )P (B )P (B )＝⎝⎛⎭⎫122·⎝⎛⎭⎫132＝136.(4分) (Ⅱ)该考生所得分数X ＝30，35，40，45，50， P (X ＝30)＝⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫1－132＝19，(5分)P (X ＝35)＝C 21⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫122·C 21·13·23＝13，(6分) P (X ＝40)＝⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫232＋C 21⎝⎛⎭⎫122C 21·13·23＋⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫132＝1336，(7分) P (X ＝45)＝C 21⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫122C 21·13·23＝16，(8分) P (X ＝50)＝⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫132＝136，(9分) ∴X 的分布列为：(10分)EX ＝30×19＋35×13＋40×1336＋45×16＋50×136＝1153.(12分)(20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点F 与抛物线E ：y 2＝4x 的焦点重合，直线x －y＋22＝0与以原点O 为圆心，以椭圆的离心率e 为半径的圆相切． (Ⅰ)直线x ＝1与椭圆交于不同的两点M ，N ，椭圆C 的左焦点F 1，求△F 1MN 的内切圆的面积；(Ⅱ)直线l 与抛物线E 交于不同两点A ，B ，直线l ′与抛物线E 交于不同两点C ，D ，直线l 与直线l ′交于点M ，过焦点F 分别作l 与l ′的平行线交抛物线E 于P ，Q ，G ，H 四点．证明：|MA |·|MB ||MC |·|MD |＝|PQ ||HG |.【解析】(Ⅰ) 依题意，得c ＝1，e ＝⎪⎪⎪⎪0－0＋222＝12，即c a ＝12，∴a ＝2，∴b ＝3，∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2分) 直线l 的方程为x ＝1，得M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫1，－32， 设△F 1MN 的内切圆的半径为R ，则△F 1MN 的周长＝4a ＝8，S △F 1MN ＝12(|MN |＋|F 1M |＋|F 1N |)R ＝4R .又因为S △F 1MN ＝3＝4R ，∴R ＝34，所求内切圆的面积为916π.(4分)(Ⅱ)设直线l 和l ′的方程分别为x ＝k 1y ＋m 1，x ＝k 2y ＋m 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，由方程组⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝k 1y ＋m 1，得y 2－4k 1y －4m 1＝0 ①方程①的判别式Δ>0，得4k 12＋4m 1>0. 由①得y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m 1，(5分)由方程组⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝k 2y ＋m 2，得y 2－4k 2y －4m 2＝0 ②方程②的判别式Δ>0，得4k 22＋4m 2>0. 由②得y 3＋y 4＝4k 2，y 3y 4＝－4m 2.(6分) 联立直线l 与直线l ′的方程可得：M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1m 2－k 2m 1k 1－k 2，m 2－m 1k 1－k 2.因为|MA |·|MB |＝(1＋k 12)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫m 2－m 1k 1－k 2－y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－m 1k 1－k 2－y 2，代入计算得，|MA |·|MB |＝1＋k 12（k 1－k 2）2·|(m 2－m 1)2＋4k 1k 2(m 1＋m 2)－4(m 1k 22＋m 2k 12)|.(7分) 同理可得|MC |·|MD |＝(1＋k 22)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫m 2－m 1k 1－k 2－y 3⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－m 1k 1－k 2－y 4＝1＋k 22（k 1－k 2）2·||（m 2－m 1）2＋4k 1k 2（m 1＋m 2）－4（m 1k 22＋m 2k 12）. 因此|MA |·|MB ||MC |·|MD |＝1＋k 121＋k 22.(8分)由于PQ ，HG 分别与直线l 和直线l ′平行，故可设其方程分别为x ＝k 1y ＋1，x ＝k 2y ＋1.由方程组⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝k 1y ＋1，得y 2－4k 1y －4＝0. ③由③得y P ＋y Q ＝4k 1，y P y Q ＝－4，因此|PQ |＝x P ＋x Q ＋p ＝k 1(y P ＋y Q )＋4＝4(1＋k 12)．(10分) 同理可得|HG |＝x H ＋x G ＋p ＝k 1(y H ＋y G )＋4＝4(1＋k 22)．故|PQ ||HG |＝1＋k 121＋k 22.(11分) 所以|MA |·|MB ||MC |·|MD |＝|PQ ||HG |.(12分)(21)已知函数φ(x )＝ax ＋1，a 为正常数． (Ⅰ)若f (x )＝ln x ＋φ(x )，且a ＝4，讨论函数f (x )的单调性；(Ⅱ)若g (x )＝|ln x |＋φ(x )，且对任意x 1，x 2∈(0，2]，x 1≠x 2都有g （x 2）－g （x 1）x 2－x 1<－1.(ⅰ)求实数a 的取值范围；(ⅱ)求证：当x ∈(0，2]时，g (x )≥ln 2＋92.【解析】(Ⅰ)当a ＝4时，f (x )＝ln x ＋4x ＋1，定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝1x －4（x ＋1）2＝（x －1）2x （x ＋1）2≥0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(4分) (Ⅱ)因为g （x 2）－g （x 1）x 2－x 1<－1，所以g （x 2）－g （x 1）x 2－x 1＋1<0，g （x 2）＋x 2－[g （x 1）＋x 1]x 2－x 1<0 .设h (x )＝g (x )＋x ，依题意，h (x )在(0，2]上是减函数，h ′(x )≤0恒成立．(6分) (ⅰ)①当1≤x ≤2时，h (x )＝ln x ＋a x ＋1＋x ，h ′(x )＝1x －a（x ＋1）2＋1≤0.从而，a ≥（x ＋1）2x ＋(x ＋1)2＝x 2＋3x ＋1x ＋3对x ∈[1，2]恒成立．设m (x )＝x 2＋3x ＋1x ＋3，x ∈[1，2]，则m ′(x )＝2x ＋3－1x2>0.所以m (x )在[1，2]上是增函数，则当x ＝2时，m (x )有最大值为272，所以a ≥272.②当0<x <1时，h (x )＝－ln x ＋a x ＋1＋x ，h ′(x )＝－1x －a（x ＋1）2＋1≤0.从而，a ≥－（x ＋1）2x ＋(x ＋1)2＝x 2＋x －1x －1.设t (x )＝x 2＋x －1x －1，则t ′(x )＝2x ＋1＋1x2>0，所以t (x )在(0，1)上是增函数．所以t (x )<t (1)＝0，所以a ≥0.综合①②，又因为h (x )在(0，2]上图形是连续不断的，所以a ≥272.(9分)(ⅱ)因为h (x )在(0，2]上是减函数，所以h (x )≥h (2)，即g (x )＋x ≥ln 2＋a3＋2.由(ⅰ)得，a ≥272，∴g (x )＋x ≥ln 2＋a 3＋2≥ln 2＋92＋2，∴g (x )＋x ≥ln 2＋92＋2，当且仅当x ＝2时等号成立．从而g (x )≥ln 2＋92＋2－x .令T (x )＝ln 2＋92＋2－x ，则T (x )在(0，2]上单调递减．∴T (x )≥T (2)＝ln 2＋92.∴T (x )≥ln 2＋92.(12分) 选做题：请考生在第(22)、(23)两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．(22)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程(Ⅰ)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程；(Ⅱ)在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s(s 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A ，B 两点，求AB 的长． 【解析】(Ⅰ)圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连结CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2 θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)． 所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2 θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(5分) (Ⅱ)直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，曲线C 的普通方程为y ＝(x －2)2(y ≥0)，联立两方程得x 2－3x ＋2＝0，求得两交点坐标为(1，1)，(2，0)，所以AB ＝ 2.(10分)(23)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(Ⅰ)当a ＝2时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(Ⅱ)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．【解析】(Ⅰ)当a ＝2时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －2|≥2，由此可得x ≥4或x ≤0.(4分)(Ⅱ)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0，此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0；或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4；或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2. 又a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2. 由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2.(10分)。

2016-2017学年湖南师大附中高三（下）月考数学试卷（文科）（7）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合∁R（M∩N）等于（）A．（﹣∞，]B．（，1）C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．[1，+∞）2．已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列说法中正确的是（）A．若分类变量X和Y的随机变量K2的观测值k越大，则“X与Y相关”的可信程度越小B．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值具有一定的随机性，x，y间的这种非确定关系叫做函数关系C．相关系数r2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱D．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小4．如图是某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字，这些数据的中位数是（），去掉一个最低分和最高分所剩数据的平均数是（）A．86.5，86.7 B．88，86.7 C．88，86.8 D．86，5，86.8 5．在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．下面四个推理，不属于演绎推理的是（）A．因为函数y=sinx（x∈R）的值域为[﹣1，1]，2x﹣1∈R，所以y=sin（2x﹣1）（x∈R）的值域也为[﹣1，1]B．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c，将此结论放到空间中也是如此D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论7．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin ∠CED=（）A．B．C．D．8．已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m（m 为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣69．若实数数列：﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（）A．或B．或C．D．10．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（）A．12πB．24πC．36πD．48π11．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C．D．312．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈（﹣2，2），函数y=h（x）的零点个数（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．14．已知△ABC的外接圆半径为8，且sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC的面积为．15．已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则3x+6y的最小值为．16．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．18．已知二次函数f（x）=ax2﹣4bx+2．（Ⅰ）任取a∈{1，2，3}，b∈{﹣1，1，2，3，4}，记“f（x）在区间[1，+∞）上是增函数”为事件A，求A发生的概率；（Ⅱ）任取（a，b）∈{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}，记“关于x的方程f（x）=0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．20．如图，设双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，已知C l的离心率为，且△ABF的面积S=1﹣．（Ⅰ）求双曲线C l的方程；（Ⅱ）设抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F，动直线l与C2相切于点P，与C2的准线相交于点Q试推断以线段PQ为直径的圆是否恒经过y轴上的某个定点M？若是，求出定点M的坐标；若不是，请说明理由．21．已知f（x）=e x，g（x）=﹣x2+2x+a，a∈R．（Ⅰ）讨论函数h（x）=f（x）g（x）的单调性；（Ⅱ）记φ（x）=，设A（x1，φ（x1）），B（x2，φ（x2））为函数φ（x）图象上的两点，且x1＜x2．（ⅰ）当x＞0时，若φ（x）在A，B处的切线相互垂直，求证x2﹣x1≥1；（ⅱ）若在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA||FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．2016-2017学年湖南师大附中高三（下）月考数学试卷（文科）（7）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合∁R（M∩N）等于（）A．（﹣∞，]B．（，1）C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合M，N，再根据集合的交集个补集计算即可【解答】解：∵集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，∴M=（﹣1，1），N=（﹣，2），∴M∩N=（﹣，1）∴∁R（M∩N）=（﹣∞，]∪[1，+∞）故选：C【点评】本题考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题2．已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由题意求得b，进一步求得复数z﹣b在复平面上对应的点的坐标得答案．【解答】解：由的实部为﹣1，得，得b=6．∴z=﹣1+5i，则z﹣b=﹣7+5i，在复平面上对应的点的坐标为（﹣7，5），在第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．下列说法中正确的是（）A．若分类变量X和Y的随机变量K2的观测值k越大，则“X与Y相关”的可信程度越小B．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值具有一定的随机性，x，y间的这种非确定关系叫做函数关系C．相关系数r2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱D．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小【考点】相关系数．【分析】分别根据变量相关的定义和性质分别进行判断即可得到结论．【解答】解：A．若分类变量X和Y的随机变量K2的观测值k越大，则“X与Y相关”的可信程度越大，∴A错误．B．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值具有一定的随机性，x，y间的这种非确定关系叫做相关关系，∴B错误．C．相关系数r2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越强，∴C错误．D．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小，∴D正确．故选：D．【点评】本题主要考查变量相关系数的性质，比较基础．4．如图是某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字，这些数据的中位数是（），去掉一个最低分和最高分所剩数据的平均数是（）A．86.5，86.7 B．88，86.7 C．88，86.8 D．86，5，86.8【考点】频率分布直方图．【分析】根据茎叶图中的数据，利用中位数和平均数的定义求出结果即可．【解答】解：由茎叶图知，这组数据共有7个，按从小到大的顺序排在中间的是88，所以中位数是88；去掉一个最高分94和一个最低分79后，所剩数据为84，85，88，88，89，它们的平均数为（84+85+88+89）=86.8．故选：C．【点评】本题考查了根据茎叶图中的数据，求中位数和平均数的应用问题，是基础题．5．在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】结构图．【分析】先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住主要脉络进行分解；再将每一部分进行归纳与提炼，形成一个个知识点并逐一写在矩形框内；最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连，从而形成知识结构图．“求简单函数的导数”是建立在熟练掌握“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”基础上的，故三者均为其上位．【解答】解：根据知识结构图得，“求简单函数的导数”是建立在熟练掌握“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”基础上的，故“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”均为“求简单函数的导数”的“上位”要素，共有3个．故选：C．【点评】本题主要考查了结构图的组成与应用问题，是基础题目．6．下面四个推理，不属于演绎推理的是（）A．因为函数y=sinx（x∈R）的值域为[﹣1，1]，2x﹣1∈R，所以y=sin（2x﹣1）（x∈R）的值域也为[﹣1，1]B．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c，将此结论放到空间中也是如此D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论【考点】演绎推理的基本方法．【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，因此不有助于发现新结论．【解答】解：C中的推理属于合情推理中的类比推理，A，B，D中的推理都是演绎推理．故选C．【点评】本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．7．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin ∠CED=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】法一：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；法二：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦．【解答】解：法一：利用余弦定理在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，由余弦定理得cos∠CED=，∴sin∠CED==．故选B．法二：在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，由正弦定理得，即．故选B．【点评】本题综合考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题，题后要注意总结做题的规律．8．已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m（m 为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】根据已知可得f（0）=0，进而求出m值，得到x≥0时，f（x）的解析式，先求出f（ln5），进而可得答案．【解答】解：∵f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，故f（﹣x）=﹣f（x），故f（0）=0∵x≥0时，f（x）=e x+m，∴f（0）=1+m=0，m=﹣1，即x≥0时，f（x）=e x﹣1，则f（ln5）=4f（﹣ln5）=﹣f（ln5）=﹣4，故选：B．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数求值，难度中档．9．若实数数列：﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（）A．或B．或C．D．【考点】双曲线的简单性质；等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列求出a2，然后代入曲线方程，求解双曲线的离心率即可．【解答】解：因为﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，所以a22=﹣1×（﹣81）=81，a2=﹣9（等比数列的奇数项同号），所以圆锥曲线的方程为x2﹣=1，其中a=1，b=3，c==，离心率为e==，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，等比数列的应用，考查计算能力．10．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（）A．12πB．24πC．36πD．48π【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图．【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正方体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．【解答】解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体面对角线长也是2，∴得AG==a，所以正方体棱长a=2∴Rt△OGA中，OG=a=1，AO=，即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR2=12π．故选A．【点评】本题主要考查了将三视图还原为直观图，并且求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于中档题．11．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C．D．3【考点】基本不等式．【分析】依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1，当且仅当y=1时取得“=”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．【点评】本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．12．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈（﹣2，2），函数y=h（x）的零点个数（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数的导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组，求解a，b．令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]，当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时，先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．得，f（x）=x3﹣3x，令f（x）=t，h（x）=f（f（x））﹣c，则h（x）=f（t）﹣c．c∈（﹣2，2），先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，∴一2，﹣1，1，2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f （2）=2．此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根．同理，在（一2，一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根x1，x2，满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x3，x4，x5，满足|x i|＜2，i=3，4，5．现考虑函数y=h（x）的零点：（i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5 个零点．（i i ）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|t i|＜2，i=3，4，5．而f（x）=t i有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是1和3．【考点】进行简单的合情推理．【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．14．已知△ABC的外接圆半径为8，且sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC的面积为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】sinA：sinB：sinC=2：3：4，利用正弦定理可得a：b：c=2：3：4，利用余弦定理可得cosA，sinA=．再利用正弦定理可得=2×8，解得a，即可得出三角形面积．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：4，∴a：b：c=2：3：4，cosA==，sinA==．∴=2×8，解得a=16×=2．∴b=3，c=4．∴S=bcsinA=3×4×=．故答案为：．【点评】本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则3x+6y的最小值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据几何图形求解出O点的坐标，先求出，的坐标，再由=x+y，运用向量的坐标相等求解出x，y的值，得出3x+6y=，运用基本不等式求解即可得出最小值．【解答】解：根据题意，建立坐标系如图，过O作AB的垂直平分线，垂足为E，则A（0，0），C（，0），B（﹣a，），E（，），O（，m），∵∠BAC=120°，∴，化简得，∴O（，），∴，，，∵=x+y，∴解得，，∴3x+6y=3（）=≥+6=6+，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，结合基本不等式求解，属于中档题，关键是准确求解向量的坐标．16．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（0，] ．【考点】分段函数的应用．【分析】曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．【解答】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0即t4﹣t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）=alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt（**）令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于0＜a≤，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．故答案为：（0，]．【点评】本题考查分段函数的运用，注意向量垂直条件的运用和中点坐标公式，考查构造法和函数的单调性运用，属于中档题．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，a4=8a1，可得=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，可得S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4），再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．∴a n=2n．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．∴数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4）=2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．∴S n=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知二次函数f（x）=ax2﹣4bx+2．（Ⅰ）任取a∈{1，2，3}，b∈{﹣1，1，2，3，4}，记“f（x）在区间[1，+∞）上是增函数”为事件A，求A发生的概率；（Ⅱ）任取（a，b）∈{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}，记“关于x的方程f（x）=0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；几何概型．【分析】（Ⅰ）因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3×5=15个，函数f（x）的图象关于直线x=对称，若事件A发生，则a＞0且≤1，由此利用列举法能求出A发生的概率．（Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}对应的平面区域为Rt△AOB，由此利用几何概型能求出B 发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3×5=15个．因为函数f（x）的图象关于直线x=对称，若事件A发生，则a＞0且≤1．数对（a，b）的取值为（1，﹣1），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣1），（3，1）共5种．所以P（A）==．（Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}对应的平面区域为Rt△AOB，如图．其中点A（6，0），B（0，），则△AOB的面积为××6=．若事件B发生，则f（1）＜0，即a﹣4b+2＜0．所以事件B对应的平面区域为△BCD．由，得交点坐标为D（2，1）．又C（0，），则△BCD的面积为×（﹣）×2=1．所以P（B）==．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型的合理运用．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【考点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥平面PEF，RG∥PD，由此能证明GR⊥平面PEF．（Ⅱ）设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，由三棱锥的体积V=，能求出棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，∴在三棱锥P﹣DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，∴PD⊥平面PEF，∵=，即，∴在△PDH中，RG∥PD，∴GR⊥平面PEF．解：（Ⅱ）正方形ABCD边长为4，由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，=2，S△DEF=S△DPE=4，∴S△PDF=6，设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，则三棱锥的体积：=，解得r=，∴三棱锥P﹣DEF的内切球的半径为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的内切的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．如图，设双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，已知C l的离心率为，且△ABF的面积S=1﹣．（Ⅰ）求双曲线C l的方程；（Ⅱ）设抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F，动直线l与C2相切于点P，与C2的准线相交于点Q试推断以线段PQ为直径的圆是否恒经过y轴上的某个定点M？若是，求出定点M的坐标；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知得，由此能求出双曲线方程．（Ⅱ）由题设，抛物线C2的方程为x2=8y，准线方程为y=﹣2，由y=，得，设P（），则直线l的方程y=，联立y=﹣2，得Q（），假设存在定点M（0，m）满足题设条件，由已知条件求出m=2，故以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M（0，2）．【解答】解：（Ⅰ）∵双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，C l的离心率为，且△ABF的面积S=1﹣，∴，解得a=，∴双曲线方程为﹣x2=1．（Ⅱ）由题设，抛物线C2的方程为x2=8y，准线方程为y=﹣2，由y=，得，设P（），则直线l的方程为y﹣=，即y=，联立y=﹣2，得Q（），假设存在定点M（0，m）满足题设条件，则对任意点P恒成立，∵，，则，即对任意实数x0恒成立，∴，解得m=2，故以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M（0，2）．【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．已知f（x）=e x，g（x）=﹣x2+2x+a，a∈R．（Ⅰ）讨论函数h（x）=f（x）g（x）的单调性；（Ⅱ）记φ（x）=，设A（x1，φ（x1）），B（x2，φ（x2））为函数φ（x）图象上的两点，且x1＜x2．（ⅰ）当x＞0时，若φ（x）在A，B处的切线相互垂直，求证x2﹣x1≥1；（ⅱ）若在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；（Ⅱ）（i）法一：求出x2﹣x1的解析式，根据基本不等式的性质判断即可；法二：用x1表示x2，根据不等式的性质判断即可；（ii）求出A、B的坐标，分别求出曲线在A、B的切线方程，结合函数的单调性确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）h（x）=e x（﹣x2+2x+a），则h′（x）=﹣e x[x2﹣（a+2）]当a+2≤0即a≤﹣2时，h′（x）≤0，h（x）在R上单调递减；当a+2＞0即a＞﹣2时，h′（x）=﹣e x[x2﹣（a+2）]=﹣e x（x+）（x﹣），此时h（x）在（﹣∞，﹣）和（，+∞）上都是单调递减的，在（﹣，）上是单调递增的；（Ⅱ）（ⅰ）g′（x）=﹣2x+2，据题意有（﹣2x1+2）（﹣2x2+2）=﹣1，又0＜x1＜x2，则﹣2x1+2＞0且﹣2x2+2＜0，⇒（﹣2x1+2）（2x2﹣2）=1，法1：x2﹣x1= [（﹣2x1+2）+（2x2﹣2）]≥=1当且仅当（﹣2x1+2）=（2x2﹣2）=1即x1=，x2=时取等号法2：x2=1+，0＜1﹣x1＜1⇒x2﹣x1=1﹣x1+≥2=1当且仅当1﹣x1=⇒x1=时取等号（ⅱ）要在点A，B处的切线重合，首先需在点A，B处的切线的斜率相等，而x＜0时，φ′（x）=f′（x）=e x∈（0，1），则必有x1＜0＜x2＜1，即A（x1，ex1），B（x2，﹣ +2x2+a）A处的切线方程是：y﹣ex1=ex1（x﹣x1）⇒y=ex1x+ex1（1﹣x1），B处的切线方程是：y﹣（﹣+2x2+a）=（﹣2x2+2）（x﹣x2）即y=（﹣2x2+2）x++a，据题意则⇒4a+4=﹣ex1（ex1+4x1﹣8），x1∈（﹣∞，0）设p（x）=﹣e x（e x+4x﹣8），x＜0，p′（x）=﹣2e x（e x+2x﹣2）设q（x）=e x+2x﹣2，x＜0⇒q′（x）=e x+2＞0在（﹣∞，0）上恒成立，则q（x）在（﹣∞，0）上单调递增⇒q（x）＜q（0）=﹣1＜0，则p′（x）=﹣2e x（e x+2x﹣2）＞0，⇒p（x）在（﹣∞，0）上单调递增，则p（x）＜p（0）=7，再设r（x）=e x+4x﹣8，x＜0r′（x）=e x+4＞0，⇒r（x）在（﹣∞，0）上单调递增，⇒r（x）＜r（0）=﹣7＜0则p（x）=﹣e x（e x+4x﹣8）＞0在（﹣∞，0）恒成立即当x∈（﹣∞，0）时p（x）的值域是（0，7）故4a+4∈（0，7）⇒﹣1＜a＜，即为所求．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA||FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|FA||FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017河南一模）设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；。

湖南师大附中2017届高三摸底考试理科数学试题－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2017届高三摸底考试数 学(理科)时量：120分钟 满分：150分得分：______________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数3＋2ii 的虚部是A ．3iB ．－3iC ．3D ．－32．记集合A ＝{}x|x －a>0，B ＝{}y|y ＝sin x ，x ∈R ，若0∈A ∩B ，则a 的取值范围是 A. (－∞，0) B. (－∞，0] C. [0，＋∞) D. (0，＋∞)3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能．．．是 A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱 4．二项式(x －2)5展开式中x 的系数为 A ．5 B. 16 C ．80 D ．－805．在数列{}a n 中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝ A ．2＋ln n B ．2＋()n －1ln nC ．2＋nln nD ．1＋n ＋ln n6．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有A ．10种B ．60种C ．125种D ．243种7．A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－12x ，x ∈[]－2π，2π的单调递增区间是A.⎣⎡⎦⎤－π3，5π3B.⎣⎡⎦⎤－2π，－π3C.⎣⎡⎦⎤5π3，2π D.⎣⎡⎦⎤－2π，－π3和⎣⎡⎦⎤5π3，2π9．非负实数x 、y 满足ln(x ＋y －1)≤0，则关于x －y 的最大值和最小值分别为A ．2和1B ．2和－1C ．1和－1D ．2和－210．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是 A ．0.7 B ．0.75 C ．0.8 D ．0.911．已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝x ＋1. 则下列命题中的假命题是 A ．x ∈R ，f(x)>g(x)B ．x 1，x 2∈R ，f(x 1)<g(x 2)C ．x 0∈R ，f(x 0)＝g(x 0)D ．x 0∈R ，使得x ∈R ，f(x 0)－g(x 0)≤f(x)－g(x)12．将函数y ＝ln(x ＋1)(x ≥0) 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为A ．π B.π2 C.π3 D.π4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13.⎠⎛01e x dx ＝________．14．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝ ________．15．M 、N 分别为双曲线x 24－y 23＝1左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则||MN →·v 的最小值为________．16．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，令F(x)＝(x －b)f(x －b)＋2 016，若b 是a 、c 的等差中项，则F(a)＋F(c)＝________．三、解答题：本大题共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S.空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如下．(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共30天计算)(2)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)求二面角A－DF－B的大小；(3)试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的离心率为32，P(－2，1)是C 1上一点．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设A 、B 、Q 是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 与C 1相交于不同于P 、Q 的两点C 、D.点C 关于原点的对称点为E. 证明：直线PD 、PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形．已知函数f(x)＝aln x ＋12x 2－ax(a 为常数)有两个极值点．(1)求实数a 的取值范围；(2)设f(x)的两个极值点分别为x 1，x 2.若不等式f(x 1)＋f(x 2)<λ(x 1＋x 2)恒成立，求λ的最小值．选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，C 、D 是以AB 为直径的半圆上两点，且AD ︵＝CD ︵. (1)若CD ∥AB.证明：直线AC 平分∠DAB ； (2)作DE ⊥AB 交AC 于E.证明：CD 2＝AE·AC.23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0, θ∈[)0，2π.(1)求C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos π6y ＝tsin π6(t 为参数)．求C 1与C 2的公共点的极坐标．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设α，β，γ均为实数．(1)证明：||cos （α＋β）≤||cos α＋||sin β； ||sin （α＋β）≤||cos α＋||cos β.(2)若α＋β＋γ＝0.证明||cos α＋||cos β＋||cos γ≥1.湖南师大附中2017届高三摸底考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2017届高三摸底考试理科数学参考答案 一、选择题1．D 【解析】3＋2i i ＝3i －2－1＝2－3i ，故3＋2ii 的虚部是－3.选D.2．A 【解析】A ＝(a ，＋∞)，B ＝[－1，1]，由0∈A ∩B 知a< 0，故a 的取值范围是(－∞，0)．选A.3．B 【解析】易知仅圆锥的三视图中一定不会出现正方形．选B.4．C 【解析】由二项式定理知，其展开式中含x 的项为C 45x(－2)4，故其系数为C 45(－2)4＝80.选C.5．A 【解析】由已知得a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(ln 2－ln 1)＋(ln 3－ln 2)＋…＋(ln n －ln(n －1))＝2＋ln n ，故选A.6．B 【解析】易知不同的填法种数为A 35＝60.选B.7．A 【解析】因为7.879<K 2<10.828，故有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选A.8．D 【解析】令z ＝π3－12x ，函数y ＝sin z 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，由2k π＋π2≤π3－12x ≤2k π＋3π2得 4k π－7π3≤x ≤4k π－π3，而z ＝π3－12x 在R 上单调递减，于是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－12x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－7π3，4k π－π3，而x ∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－2π，－π3和⎣⎡⎦⎤5π3，2π.故选D.9．D 【解析】依题意有⎩⎪⎨⎪⎧0<x ＋y －1≤1x ≥0y ≥0，作出可行域，易求得x －y 的最大值和最小值分别为2和－2，选D.10．A 【解析】此程序框图执行的是输入一个正整数n ，求11×2＋12×3＋…＋1n ×（n ＋1）的值S ，并输出S. S ＝11×2＋12×3＋…＋1n ×（n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 令S 等于0.7，解得n ＝73不是正整数，而n 分别输入3，4，9时，可分别输出0.75，0.8，0.9.故选A.11．A 【解析】设F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝e x －1，于是当x<0时F′(x)<0，F(x)单调递减；x>0时F′(x)>0，F(x)单调递增．从而F(x)有最小值F(0)＝0，于是可以判断A 为假，其余为真．故选A.12．D 【解析】因为x ≥0时，y ′＝1x ＋1是x 的减函数且0<y′≤1，当且仅当x ＝0时等号成立，故函数y ＝ln(x ＋1)(x ≥0) 的图象的切线中，在x ＝0处的切线的倾斜角最大，其值为π4，由此可知αmax ＝π2－π4＝π4. 选D.二、填空题13．e －1 【解析】⎠⎛01e x dx ＝e x |10＝e －1.14．－7 【解析】因为a 4a 7＝a 5a 6＝－8，又a 4＋a 7＝2，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2a 7＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4a 7＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12a 1＝－8，从而a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.15．4 【解析】由向量数量积的定义，MN →·v 即向量MN →在向量v 上的投影与v 模长的乘积，故求||MN →·v 的最小值，即求MN →在x 轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图像可知||MN →·v 的最小值为4.16．4 032 【解析】因为b 是a 、c 的等差中项，故(c －b)＝－(a －b)， 又f(x)是定义在R 上的偶函数，所以 f(c －b)＝f(－(a －b))＝f(a －b)，于是F(a)＋F(c)＝(a －b)f(a －b)＋2 016＋(c －b)f(c －b)＋2 016 ＝(a －b)f(a －b)－(a －b)f(a －b)＋4 032 ＝4 032. 三、解答题17．【解析】(1)由正弦定理，得2c －a b ＝2sin C －sin Asin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B.即(cos A －2cos C)sin B ＝(2sin C －sin A)cos B ，化简可得sin(A ＋B)＝2sin(B ＋C). 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝2sin A ， 因此sin C sin A ＝2.(2)由sin Csin A＝2得c ＝2a. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B 及 cos B ＝14， b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14.解得a ＝1，从而c ＝2.又因为cos B ＝14，且0<B<π.所以sin B ＝154. 因此S ＝12acsin B ＝12×1×2×154＝154. 18．【解析】(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为610＝35，估计该月空气质量优良的频率为35，从而估计该月空气质量优良的天数为30×35＝18. (2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为35， ξ的所有可能取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫253＝8125，P(ξ＝1)＝C 1335⎝⎛⎭⎫252＝36125， P(ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫35225＝54125， P(ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫353＝27125，故ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P 8125 36125 54125 27125显然ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，35，E ξ＝3×35＝1.8. 19．【解析】(1)设AC ∩BD ＝N ，连接NE ，∵M 、N 分别是EF 、AC 的中点，ACEF 是矩形，∴四边形ANEM 是平行四边形，∴AM ∥NE.∵NE 平面BDE, AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.(2)由题设，平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ∩平面ACEF ＝AC ，CE 平面ACEF ，CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD ，又CB ⊥CD ，故可以CD 、CB 、CE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图，则相关各点的坐标为A (2，2，0)，B(0, 2， 0)，D(2， 0, 0)F(2， 2， 1)，从而DF →＝(0，2，1)，BD →＝(2，－2，0)，AB →＝(－2，0，0)．注意到AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面ADF.所以AB →＝(－2，0，0)为平面ADF 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z)是平面BDF 的一个法向量，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0n ·DF →＝0得⎩⎨⎧2x －2y ＝02y ＋z ＝0， 取y ＝1，得n ＝(1，1，－2)，于是cos 〈n, AB →〉＝n · AB →|n |·| AB →|＝－12，所以〈n, AB →〉＝120°， 设二面角A —DF —B 的大小为θ，则由图可知，θ＝180°－〈n, AB →〉＝60°，即所求二面角A —DF —B 的大小是60°. (3)因为点P 在线段AC 上，所以可设P(t, t, 0) (0≤t ≤2) ，从而PF →＝(2－t ，2－t ，1)，又BC →＝(0，－2， 0)，由PF 和BC 所成的角是60°，得cos 60°＝||－2·（2－t ）（2－t ）2＋（2－t ）2＋1·2 ， 解得t ＝22或t ＝322(舍去)， 所以点P 是AC 的中点． 20．【解析】(1)因为C 1离心率为32，所以a 2＝4b 2， 从而C 1的方程为：x 24b 2＋y 2b2＝1 .代入P(－2，1) 解得：b 2＝2，因此a 2＝8.所以椭圆C 1的方程为：x 28＋y 22＝1 . (2)由题设知A 、B 的坐标分别为(－2，－1)，(2，1)．因此直线l 的斜率为12. 设直线l 的方程为：y ＝12x ＋t. 由⎩⎨⎧y ＝12x ＋tx 28＋y 22＝1得：x 2＋2tx ＋2t 2－4＝0. 当Δ>0时，不妨设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，于是 x 1＋x 2＝－2t ，x 1x 2＝2t 2－4.设直线PD 、PE 的斜率分别为k 1，k 2，则要证直线PD 、PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k 1＋k 2＝0，又k 1＋k 2＝y 2－1x 2＋2＋－y 1－1－x 1＋2＝（y 2－1）（2－x 1）－（2＋x 2）（y 1＋1）（2＋x 2）（2－x 1）， 则只需证(y 2－1)(2－x 1)－(2＋x 2)(y 1＋1)＝0，而(y 2－1)(2－x 1)－(2＋x 2)(y 1＋1)＝2(y 2－y 1)－(x 1y 2＋x 2y 1)＋x 1－x 2－4＝x 2－x 1－x 1x 2－t(x 1＋x 2)＋x 1－x 2－4＝－x 1x 2－t(x 1＋x 2)－4＝－2t 2＋4＋2t 2－4＝0所以直线PD 、PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形．21．【解析】(1)f′(x)＝a x ＋x －a ＝x 2－ax ＋a x(x>0)， 于是f(x)有两个极值点需要二次方程x 2－ax ＋a ＝0有两个不等的正根，设其两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a>0x 1＋x 2＝a>0x 1x 2＝a>0，解得a> 4，不妨设x 1<x 2， 此时在()0，x 1上f′(x)>0，()x 1，x 2上f′(x)<0，()x 2，＋∞上f′(x)>0.因此x 1，x 2是f(x)的两个极值点，符合题意．所以a 的取值范围是()4，＋∞.(2)f(x 1)＋f(x 2)＝aln x 1＋12x 21－ax 1＋aln x 2＋12x 22－ax 2 ＝aln(x 1x 2)＋12(x 21＋x 22)－a(x 1＋x 2) ＝aln(x 1x 2)＋12(x 1＋x 2)2－x 1x 2－a(x 1＋x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫ln a －12a －1 于是f （x 1）＋f （x 2）x 1＋x 2＝ln a －12a －1，a ∈()4，＋∞. 令φ(a)＝ln a －12a －1，则φ′(a)＝1a －12. 因为a> 4，所以φ′(a)<0.于是φ(a)＝ln a －12a －1在()4，＋∞上单调递减． 因此f （x 1）＋f （x 2）x 1＋x 2＝φ(a)<φ(4)＝ln 4－3. 且f （x 1）＋f （x 2）x 1＋x 2可无限接近ln 4－3.又因为x 1＋x 2>0，故不等式f(x 1)＋f(x 2)<λ(x 1＋x 2)等价于f （x 1）＋f （x 2）x 1＋x 2<λ. 所以λ的最小值为ln 4－3.22．【解析】(1)由题设CD ∥AB 可知，∠DCA ＝∠BAC ，因为AD ︵＝DC ︵，所以∠DAC ＝∠DCA ，从而∠DAC ＝∠BAC ，因此，AC 平分∠DAB.(2)由DE ⊥AB 知，∠ADE ＋∠DAB ＝90°，因为AB 为直径，所以∠DBA ＋∠DAB ＝90°，从而∠ADE ＝∠ABD ，又因为∠ABD ＝∠DCA ， 所以∠ADE ＝∠ACD.因此△ADE ∽△ACD ，所以AD 2＝AE·AC ，而AD ＝DC.所以CD 2＝AE·AC.23．【解析】(1)将⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2ρcos θ＝x 代入ρ2－4ρcos θ＋3＝0得： (x －2)2＋y 2＝1.(2)由题设可知，C 2是过坐标原点，倾斜角为π6的直线， 因此C 2的极坐标方程为θ＝π6或θ＝7π6，ρ>0， 将θ＝π6代入C 1：ρ2－23ρ＋3＝0，解得：ρ ＝ 3. 将θ＝7π6代入C 1得ρ ＝－3，不合题意． 故C 1，C 2公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6. 24．【解析】(1)||cos （α＋β）＝||cos αcos β－sin αsin β≤||cos αcos β＋||sin αsin β ≤||cos α＋||sin β；||sin （α＋β）＝||sin αcos β＋cos αsin β≤||sin αcos β＋||cos αsin β ≤||cos α＋||cos β.(2)由(1)知，||cos （α＋（β＋γ））≤||cos α＋||sin （β＋γ） ≤||cos α＋||cos β＋||cos γ，而α＋β＋γ＝0，故||cos α＋||cos β＋||cos γ≥1.。

2017届湖南师大附中高三上学期第三次月考试题 数学（理）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2|log 1,|2,0x A x x B y y x =<==≥，则AB =（ ）A ．∅B ．{}|1x 2x <<C ．{}|1x 2x ≤<D ．{}|1x 2x <≤2.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =- D ．113y x =+ 3. 已知命题():,0,23xxp x ∃∈-∞<；命题:0,,sin 2q x x x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ∧D ．()p q ∧4. 某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y (吨标准煤)有如下几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）A ．ˆ0.7 2.05yx =+ B ．ˆ0.71y x =+ C ．ˆ0.70.35y x =+ D ．ˆ0.70.45y x =+ 5.已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos 2πα-的值为（ ） A ．2425 B ．725 C ．725- D ．2425- 6.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．37.已知0a >，则821a a ++的最小值为（ ）A ．B ．4C ．52D ．728.已知,a b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足2c a b --=，则c 的范围为( )A ．1,1⎡+⎣B ．22⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣9.已知两定点()1,0A -和()1,0B ，动点(),P x y 在直线:y x 3l =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A ．B C D 10.已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是( )A 34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D ．63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.定义{}()()max ,a a b a b b a b ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，已知实数,x y 满足2,2x y ≤≤，设{}max 4,3z x y x y =+-，则z 的取值范围是( )A ．[]7,10-B ．[]6,10-C ．[]6,8-D ．[]7,8-12. 将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录()k k n ≤个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶色序”，当且仅当两个k 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶色序．若某圆的任意两个“k 阶色序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”．“3阶魅力圆” 中最多可有的等分点个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分 .13.如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于___________.14.若()5234501234512x a a x a x a x a x a x +=+++++，则135a a a ++=__________. 15.对于数列{}n x ，若对任意*n N ∈，都有212n n n x x x +++<成立，则称数列{}n x 为“减差数列”.设2122n n tn nb t --=-，若数列()*567,,,,5,n b b b b n n N ≥∈是“减差数列”，则实数t 的取值范围是_________. 16. 如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为106kg ，在它的顶点处分别受力123,,F F F ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且123F F F ==.要提起这块钢板，123,,F F F 均要大于xkg ，则x 的最小值为__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且02,60c C ==． （1）求sin sin a bA B++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积． 18.（本小题满分12分）为了参加师大附中第30届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班旗之用，它们的长度分别为3.8，4.3，3.6，4.5，4.0.4.1（单位：米）． （1）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；（2）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a 元，从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a 的值． 19.（本小题满分12分）已知正三棱柱111ABC A B C -中12,3AB AA ==，点D 为AC 的中点，点E 在线段1AA 上．（1）当1:1:2AE EA =时，求证：1DE BC ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角D BE A --等于60°？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由． 20.（本小题满分12分）如图，抛物线21:8C y x =与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =．（1）求双曲线2C 的方程；（2）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切，圆()22:21N x y -+=．已知点(3P ，过点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 截得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．试探索st是否为定值？请说明理由． 21.（本小题满分12分）设函数()()3211,,,032f x ax bx cx a b c R a =++∈≠的图象在点()(),x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数()()12g x k x x =-为偶函数．若函数()k x 满足下列条件：①()10k -=；②对一切实数x ，不等式()21122k x x ≤+恒成立．（1）求函数()k x 的表达式；（2）设函数()()()()212ln 230f x h x x m x x x=-++>的两个极值点()1212,x x x x <恰为()2ln x x sx tx ϕ=--的零点．当m ≥时，求()12122x x y x x ϕ+⎛⎫'=- ⎪⎝⎭的最小值． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为2x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2cos 6sin ρθθ=+．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在同一坐标系下，曲线12,C C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设对于任意实数x ， 不等式71x x m ++-≥恒成立． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：32212x x m --≤-．参考答案一、选择题二、填空题 13.512 14．122 15．3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．10 三、解答题又a b ab +=，所以()2340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去）．．．．．．．．．．．．．．．10分所以113sin 4322ABC S ab C ∆==⨯=．．．．．．．．．．．．．．12分 18．解析：（1）因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3，3.6和4.5，3.8和4.5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 设“抽取两根竹竿的长度之差不超过0.5米”为事件A ，则()26331155P A C ===，所以()()141155P A P A =-=-=，故所求的概率为45．．．．．．．6分 （2）设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2,10,20a a +．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分其中()()()11224422266611862,10,20151515C C C P a P a P C C C ξξξ====+=====．．．．．．．． 10分所以()186240210201515153a E a a ξ+=⨯++⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．11分 令240183a +=，得7a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．（1）证明：连接1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC ∆为正三角形， 又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥， 又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC平面11ACC A AC =，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分因为11:1:2,2,3AE EA AB AA ===，所以3,13AE AD ==， 所以在Rt ADE ∆中，030ADE ∠=，在1Rt DCC ∆中，0160C DC ∠=，所以0190EDC ∠=，即1DE DC ⊥． 又1BDDC D =，所以DE ⊥平面11,BDC BC ⊂面1BDC ，所以1DE BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．6分（2）假设存在点E 满足条件，设AE m =，取11A C 的中点1D ，连接1DD ，则1DD ⊥平面ABC ， 所以11,DD AD DD BD ⊥⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分分别以1DA DB DD 、、所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 则()()()1,0,0,3,0,1,0,A B E m ，所以()()()()0,3,0,1,0,,1,3,0,0,0,DB DE m AB AE m ===-=， 设平面DBE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则11111030,00n DB n DE x mz ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨=+=⎪⎪⎩⎩，令11z =，得()1,0,1n m =-， 同理，平面ABE 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则22222030,00n AB x n AE mz ⎧⎧=-+=⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，取21y =，∴)23,1,0n =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴0122131cos ,cos 60221m n n m -===+，解得23m =<，故存在点E ，当2AE =时，二面角D BE A --等于60°．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解析：（1）∵抛物线21:8C y x =的焦点为()22,0F ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴双曲线2C 的焦点为()()122,02,0F F -、． 设()00,A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =， 由抛物线的定义得，025x +=，∴03x =．∴2083y =⨯，∴0y =±．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分17AF ==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得，2752a =-=，∴1a =．．．．．．．．．．．．5分∴双曲线的方程为：2213y x -=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）st为定值，下面给出说明： 设圆M 的方程为：()2222x y r ++=，双曲线的渐近线方程为：y =，∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M的半径为2r ==．．．．．．．．．．．7分 故圆()22:23M x y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 依题意12l l 、的斜率存在且均不为零，所以设1l 的方程为()1y k x -=-，即0kx y k-+-=， 设2l 的方程为()11y x k=--，即10x ky +--=， ∴点M 到直线1l 的距离为1d N到直线2l 的距离为2d =，．．．．．．．．．．9分∴直线1l 被圆M截得的弦长s ==．．．．．．．．．．．．10分 直线2l 被圆N截得的弦长t ==，．．．．．．．．．．．．．11分∴s t===，故st为定值．．．．．．．．．．．．12分21．解析：（1）由已知可得()()2k x f x ax bx c '==++，∵函数()()12g x k x x =-为偶函数， ∴()()()()1122g x k x x k x x -=---=-，即221122ax bx c x ax bx c x -++=++-恒成立，∴12b =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分又()10k -=，∴110,22a c a c -+=+=，又因为对一切实数x ，不等式()21122k x x ≤+恒成立，∴21110222a x x c ⎛⎫-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立， ∴10211140422a a c ⎧-<⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪∆=---≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，∴14a c ==，∴()2111424k x x x =++．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由（1）得，()321111244f x x x x =++，∴()()()()222122ln 320,22x mx h x x x mx x h x x m x x-+'=++->=+-=．．．．．．．．5分由题意得21212401m x x m x x ⎧∆=->⎪+=⎨⎪=⎩，又m ≥，∴()21221292x x m x x +=≥，解得12102x x <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵()1212,x x x x <为()2ln x x sx tx ϕ=--的零点，∴()()2211112222ln 0,ln 0x x sx tx x x sx tx ϕϕ=--==--=，两式相减得，()()()11212122ln0x s x x x x t x x x --+--=， 又()12x sx t x ϕ'=--，从而()()()()12121212121212222x x x x y x x x x s x x t x x x x ϕ-⎡⎤+⎛⎫'=-=--+-=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦1211122221ln ln 1x x x xx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-+．设12102x n n x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则()()1212211lnn 0212n x x y x x n n ϕ-+⎛⎫⎛⎫'=-=-<≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭记为()M n ．．．．10分 ()()()()()()22211112011n n n M n n n n n +----'=-=<++，∴()M n 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，∴()min 12ln 223M n M ⎛⎫==-⎪⎝⎭， 故()12122x x y x x ϕ+⎛⎫'=-⎪⎝⎭的最小值为2123n -．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）由2x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）得()22210x y ++=，曲线1C 的普通方程为()22210x y ++=，∵2cos 6sin ρθθ=+，∴22cos 6sin ρρθρθ=+，∴有2226x y x y +=+即()()221310x y -+-=为所求曲线2C 的直角坐标方程．．．．．．．．．． 5分（2）∵圆1C 的圆心坐标()2,0-，圆2C 的圆心坐标为()1,3， ∴12C C ==<，所以两圆相交，．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段12C C,∴2222d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴d =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．解：（1）71x x ++-可以看做数轴上的点x 到点-7和点1的距离之和， ∴()min718x x ++-=，∴8m ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由（1）得m 的最大值为8，原不等式等价于：324x x --≤，第页 11 ∴有3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩或3324x x x <⎧⎨--≤⎩， 从而3x ≥或133x -≤<，∴原不等式的解集为1|3x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

试卷第1页，共7页绝密★启用前【全国百强校word 】湖南师大附中2017届高三月考试卷（七）教师版 数学（文） 试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：78分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知满足对，且时，（为常数），则的值为（ ）A ．4B ．-4C ．6D ．-62、设正实数满足，则当取得最大值时， 的最大值是（ ） A ．0B ．1C ．D ．33、下列说法中正确的是（ ） A ．若分类变量和的随机变量的观测值越大，则“与相关”的可信程度越试卷第2页，共7页小B ．对于自变量和因变量，当取值一定时，的取值具有一定的随机性，，间的这种非确定关系叫做函数关系 C ．相关系数越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱 D ．若分类变量与的随机变量的观测值越小，则两个分类变量有关系的把握性越小4、已知是实数，1和是函数的两个极值点，设，其中，函数的零点个数为（ ）A ．8B ．11C ．10D ．95、设集合，，则集合等于（ ）A ．B ．C ．D ．6、如图是某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字，这些数据的中位数是（ ），去掉一个最低分和最高分所剩数据的平均数是（ ）A ．86.5，86.7B ．88，86.7C ．88，86.8D ．86，5，86.87、四棱锥的三视图如下图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为，则该球表面积为试卷第3页，共7页A.B.24C.D.8、在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9、如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ ）A ．B ．C ．D ．10、已知复数的实部为-1，则复数在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限试卷第4页，共7页11、下面四个推理，不属于演绎推理的是（ ） A ．因为函数的值域为，，所以的值域也为B ．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C ．在平面中，对于三条不同的直线，，，若，则，将此结论放到空间中也是如此D ．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论12、若实数数列：成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（ ）A ．或B ．或C ．D ．试卷第5页，共7页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．14、已知的外接圆的半径为8，且，则的面积为__________．15、设函数的图象上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是 ．16、已知为三角形的外心，，若，则的最小值为 ．三、解答题（题型注释）17、已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．试卷第6页，共7页（Ⅰ）若直线与曲线交于两点，求的值；（Ⅱ）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．18、已知，，.（1）讨论函数的单调性；（2）记，设，为函数图象上的两点，且. （i ）当时，若在，处的切线相互垂直，求证：；（ii ）若在点，处的切线重合，求的取值范围.19、如图，设双曲线的上焦点为，上顶点为，点为双曲线虚轴的左端点，已知的离心率为，且的面积.（1）求双曲线的方程；（2）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，动直线与相切于点，与的准线相交于点，试推断以线段为直径的圆是否恒经过轴上的某个定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.20、已知二次函数.（1）任取，记“关于的方程有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件，求发生的概率.试卷第7页，共7页21、设（1）求的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数x 的取值范围.22、如图1，在正方形中，点分别是的中点，与交于点，点分别在线段上，且．将分别沿折起，使点重合于点，如图2所示.（1）求证：平面；（2）若正方形的边长为4，求三棱锥的内切球的半径.23、在等比数列中，已知，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.参考答案1、B2、B3、D4、D5、A6、C7、A8、C9、B10、B11、C12、D13、1和314、15、16、．17、（1）；（2）.18、（1）见解析（2）19、（1）（2）以为直径的圆恒经过轴上的定点.20、（1）（2）21、（1）；（2）22、（1）详见解析；（2）.23、(1)；（2）.【解析】1、试题分析：由题设函数是奇函数,故,即,所以,故应选B.考点：分段函数的奇偶性及求值运算.2、试题分析：正实数满足，则，代入，得，当且仅当，即时取等号，此时，则，故选B. 考点：基本不等式应用.3、试题分析：函数关系中自变量和因变量是确定关系故B 错。

湖南师范大学附属中学2017-2018学年高三月考（三）数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A ＝｛1，2，3，5，7｝，B ＝｛x ∈N ｜2＜x ≤6｝，全集U ＝AU B ，则A （C u B ）＝A.｛1，2，7｝B.｛1，7}C.｛2，3，7｝D. ｛2，7}2.已知复数(cos sin )(1)z i i θθ=-+，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是A. 4πθ= B. 2πθ= C. 34πθ= D ．54πθ= 3.已知某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是A ．5个B 、 4个C ．3个、D 、2个4．为确保信息安全，信息需加密传输。

发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如程序框图所示．例如：明文（1，2，3，4）对应的密文是：（5，7，18，16），则当接收方收到密文（14，9，23，28）时，解密得到的明文是A 、（4，6，1，7）B 、（7，6，1，4）C 、（6，4，1，7）D 、（1，6，4，7）5.已知实数x ，y 满足约束条件00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则z ＝11y x -+的取值范围是 A 、［－1，13］ B 、［－12，13］ C 、［－12，)+∞ D 、［－12，1） 6.已知定义在R 上的函数f(x)满足f （x ＋2）＋f （x ）＝0，且当x ∈[0,2)时， f ( x)＝3x 一1，则f(2015)的值为A. － 2B. 0C. 2D. 87.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A ，若2FA AB =，则双曲线的离心率为A. 6B. 4C. 3D. 28.现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是A. 12B. 24C. 36D. 489.已知函数f （x ）＝x 2一2x ＋m ，在区间［－2，4］上随机取一个实数x ，若事件“ f( x} ＜0”发生的概率为23，则m 的值为 A. 2 B,一2 C. 3 D.一3l0、已知数列{}n a 的首项1a ＝2，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=，若1011b b ＝2，则21a ＝ A. 29 B. 210 C. 211 D 、21211.设点A 、B 、C 为球O 的球面上三点,O 为球心．若球O 的表面积为100π，且△ABC 是边长为O －ABC 的体积为A ．12B ．D 、12.已知Rt △AOB 的面积为1，O 为直角顶点，设向量,||||OA OB a b OA OB ==，2OP a b =+，则PA PB 的最大值为A 、1B 、2C 、3D 、4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13、在△ABC 中，已知35cos ,cos 513A B ==，AC ＝3，则AB ＝ 14.设点P 在直线y ＝2x ＋1上运动，过点P 作圆22(2)1x y -+=的切线，切点为A ，则切线长｜PA ｜的最小值是15.已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为Sn ，且11101a a +＜0，若Sn 存在最大值，则满足Sn 的n 的最大值为16.已知函数f (x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|2|a x a --，其中a ＞0为常数．若函数y ＝[()]f f x 有10个零点，则a 的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知函数的图象关于直线x＝π对称，其中,ωλ为常数，且ω∈（12，1）．(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)若存3 [0,]5xπ∈，使f(x) =0，求λ的取值范围．18.（本小题满分1L分）PM2. 5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值．即PM2.5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级；在35微克／立方米一75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的PM2. 5监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如下茎叶图所示．(l)根据样本数据估计今年9月份该市区每天PM2. 5的平均值和方差；(2)从所抽样的6天中任意抽取三天，记ξ表示抽取的三天中空气质量为二级的天数，求ξ的分布列和数学期望．19.（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD中AB = 2AD, ∠BAD = 600 , E为AB的中点．将△ADE沿直线DE 折起到△PDE的位置，使平面PDE⊥平面BCDE.（1)证明：CE⊥PD;（2)设F, M分别为PC,DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角．20．（本小题满分12分）如图，已知抛物线C1：24y x =的焦点为F ，椭圆C2的中心在原点，F 为其右焦点，点M 为曲线C1和C2在第一象限的交点，且｜MF ｜＝52。

数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log 1A x x =<，{}|2,0x B y y x ==≥，则A B =（ ）A ．∅B ．{}|12x x <<C ．{}|12x x ≤<D ．{}|12x x <≤2.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =- D ．113y x =+ 3.已知命题p ：(,0)x ∃∈-∞，23xx<；命题q ：(0,)2x π∀∈，sin x x <，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝4.某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如下几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ） A ．0.7 2.05y x =+ B ．0.71y x =+ C ．0.70.35y x =+ D ．0.70.45y x =+5.已知3sin()25πα-=，则cos(2)πα-的值为（ ） A ．2425B ．725C ．725-D ．2425-6.等比数列{}n a 中，42a =，55a =，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ） A ．6B ．5C ．4D ．37.已知0a >，则821a a ++的最小值为（ ）A ．B ．4C ．52D ．728.已知a 与b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足||2c a b --=，则||c 的范围为（ ）A ．1,1⎡+⎣B ．22⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣9.已知两定点(1,0)A -和(1,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）A B C D 10.已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）A ()()34f ππ-<B ()()34f ππ-<-C ．(0)()4f π>-D ．()()63f ππ<11.定义{}()max ,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，已知实数x ，y 满足||2x ≤，||2y ≤，设{}max 4,3z x y x y =+-，则z的取值范围是（ ） A ．[]7,10-B ．[]6,10-C ．[]6,8-D ．[]7,8-12.将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k （k n ≤）个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶色序”，当且仅当两个k 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶色序．若某国的任意两个“k 阶色序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”．“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数2()f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．14.若52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则135a a a ++= ．15.对于数列{}n x ，若对任意*n N ∈，都有212n n n x x x +++<成立，则称数列{}n x 为“减差数列”．设2122n n tn nb t --=-，若数列5b ，6b ，7b ，…，n b （5n ≥，*n N ∈）是“减差数列”，则实数t 的取值范围是 ．16.如图，一块均匀的正三角形的钢板的质量为kg ，在它的顶点处分别受力1F ，2F ，3F ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60︒，且123||||||F F F ==．要提起这块钢板，123||,||,||F F F 均要大于x kg ，则x 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c =，60C =︒． （1）求sin sin a bA B++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积．18.为了参加师大附中第30届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班期的旗杆之用，它们的长度分别为3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1（单位：米）．（1）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；（2）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a 元．从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a 的值．19.已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA D 为AC 的中点，点E 在线段1AA 上． （1）当1:1:2AE EA =时，求证：1DE BC ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角D BE A --等于60︒？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由．20.如图，抛物线1C ：28y x =与双曲线2C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）有公共焦点2F ，点A 是曲线1C ，2C 在在第一象限的交点，且2||5AF =．（1）求双曲线2C 的方程；（2）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐进线相切，圆22:(2)1N x y -+=．已知点P ，过点P作互相垂直分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 解得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．试探索st是否为定值？请说明理由．21.设函数3211()32f x ax bx cx =++（a ，b ，c R ∈，0a ≠）的图象在点(,())x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x =-为偶函数．若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数x ，不等式211()22k x x ≤+恒成立．（1）求函数()k x 的表达式； （2）设函数212()()ln (23)f x h x x m x x=-++（0x >）的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为2()ln x x sx tx ϕ=--的零点．当2m ≥时，求1212()'()2x x y x x ϕ+=-的最小值． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为2,,x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2cos 6sin ρθθ=+．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在同一坐标系下，曲线1C ，2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由． 23.选修4-5：不等式选讲设对于任意实数x ，不等式|7||1|x x m ++-≥恒成立． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|3|2212x x m --≤-．湖南师大附中2017届高三月考试卷（三）数学（理科）答案一、选择题二、填空题 13.512 14.122 15.3(,)5+∞ 16.10 三、解答题17.解：（1）由正弦定理可得：2sin sin sin sin 60a b c A B C ====︒，所以11sin 4222ABC S ab C ∆==⨯⨯= 18.解：（1）因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6,3.8,4.0,4.1,4.3,4.5，其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3,3.6和4.5,3.8和4.5．2631()5P A C ==，所以14()1()155P A P A =-=-=， 故所求的概率为45． （2）设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2a ，10a +，20，其中2611(2)15P a C ξ===，1124268(10)15C C P a C ξ=+==，24266(20)15C P C ξ===， 所以1862402(10)201515153a E a a ξ+=⨯++⨯+⨯=． 令240183a +=，得7a =． 19.（1）证明：连接1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC ∆为正三角形，又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥， 又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC平面11ACC A AC =，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥．因为1:1:2AE EA =，2AB =，1AA =AE =1AD =， 所以在Rt ADE ∆中，30ADE ∠=︒，在1Rt DCC ∆中，160C DC ∠=︒，所以190EDC ∠=︒，即1DE DC ⊥， 又1BDDC D =，所以DE ⊥平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以1DE BC ⊥． （2）假设存在点E 满足条件，设AE m =，取11A C 的中点D 1，连接1DD ，则1DD ⊥平面ABC ， 所以1DD AD ⊥，1DD BD ⊥，分别以DA ，DB ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 则(1,0,0)A，B ，(1,0,)E m ，所以DB =，(1,0,)DE m =，(AB =-，(0,0,)AE m =， 设平面DBE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则110,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1110,0,x mz =+=⎪⎩令11z =，得1(,0,1)n m =-，同理，平面ABE 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则220,0,n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2220,0,x mz ⎧-=⎪⎨=⎪⎩取21y =，得2(3,1,0)n =，所以121|cos ,|cos602n n <>==︒=，解得2m =<， 故存在点E，当AE =时，二面角D BE A --等于60︒．20.解：（1）∵抛物线1C ：28y x =的焦点为2(2,0)F ， ∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ，设00(,)A x y 在抛物线1C ：28y x =上，且2||5AF =，由抛物线的定义得025x +=，∴03x =，∴2083y =⨯，∴0y =±，1||7AF ==，又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得2|75|2a =-=，所以1a =，∴双曲线的方程为：2213y x -=． （2）st为定值.下面给出说明：设圆M 的方程为222(2)x y r ++=，双曲线的渐近线方程为y =．∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M 的半径为2r ==故圆M ：22(2)3x y ++=． 依题意1l 、2l 的斜率存在且均不为零，所以设1l 的方程为(1)y k x -=-，即0kx y k -+=，设2l 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=，∴点M 到直线1l 的距离1d =，点N 到直线2l 的距离2d =∴直线1l 被圆M截得的弦长s =， 直线2l 被圆N截得的弦长t ==，∴s t =st21.解：由已知可得2()'()k x f x ax bx c ==++，∵函数1()()2g x k x x =-为偶函数， ∴11()()()()22g x k x x k x x -=---=-，即221122ax bx c x ax bx c x -++=++-恒成立，所以12b =．又(1)0k -=，∴102a c -+=，12a c +=，又∵对一切实数x ，不等式211()22k x x ≤+恒成立，∴2111()0222a x x c -++-≤恒成立，∴10,21114()()0,422a a c ⎧-<⎪⎪⎨⎪∆=---≤⎪⎩∴14a c ==，∴2111()424k x x x =++． （2）由（1）得，32111()1244f x x x x =++，∴2()2ln 32h x x x mx =++-（0x >），222(1)'()22x m x h x x m xx-+=+-=，由题意得2121240,,1,m x x m x x ⎧∆=->⎪+=⎨⎪⋅=⎩又2m ≥，∴221212()92x x m x x +=≥，解得12102x x <≤，∵1x ，2x （12x x <）为2()ln x x sx tx ϕ=--的零点， ∴21111()ln x x sx tx ϕ=--0=，22222()ln 0x x sx tx ϕ=--=，两式相减得，11212122ln()()()x s x x x x t x x x --+--0=， 又1'()2x sx t xϕ=--，从而12121212122()'()()()2x x y x x x x s x x t x x ϕ⎡⎤+=-=--+-⎢⎥+⎣⎦1211222()ln x x x x x x -=-+1211222(1)ln 1x x xx x x -=-+，设12x n x =（102n <≤）， 则1212()'()2x x y x x ϕ+=-2(1)ln 1n n n -=-+（102n <≤）记为()M n ， 222(1)(1)1(1)'()20(1)(1)n n n M n n n n n +----=-=<++，∴()M n 在1(0,]2上单调递减，∴min 12()()ln 223M n M ==-，故1212()'()2x x y x x ϕ+=-的最小值为2ln 23-．22.解：（1）由2,x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）得22(2)10x y ++=，曲线1C 的普通方程为22(2)10x y ++=，∵2cos 6sin ρθθ=+，∴22cos 6s in ρρθρθ=+，∴有2226x y x y +=+，即22(1)(3)10x y -+-=为所求曲线2C 的直角坐标方程． （2）∵圆1C 的圆心坐标(2,0)-，圆2C 的圆心坐标为(1,3)，∴12||C C ==<设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段12C C ，∴222()()22d+=，∴d =23.解：（1）|7||1|x x ++-可以看做数轴上的点x 到点7-和点1的距离之和， ∴min (|7||1|)8x x ++-=，∴8m ≤．（2）由（1）得m 的最大值为8，原不等式等价于|3|24x x --≤， ∴有3,324x x x ≥⎧⎨--≤⎩或3,324,x x x <⎧⎨--≤⎩从而3x ≥或133x -≤<， ∴原不等式的解集为1|3x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．。

湖南师大附中2017届高三月考试卷（七）数学（文）试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合M ＝{x||x|<1}，N ＝{y|y ＝2x ，x ∈M}，则集合∁R (M ∩N )等于(A)(A)⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[)1，＋∞ (B)⎝⎛⎭⎫12，1 (C)⎝⎛⎦⎤－∞，12 (D)[)1，＋∞ 【解析】由M ＝{x ||x |<1}得：M ＝{x |－1<x <1}，N ＝{y |y ＝2x ，x ∈M }得N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪12<y <2， 则∁R (M ∩N )＝⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[)1，＋∞，故选A. (2)已知复数z ＝4＋b i1－i(b ∈R )的实部为－1，则复数z －b 在复平面上对应的点在(B)(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【解析】由z ＝4＋b i 1－i ＝（4＋b i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝4－b ＋（4＋b ）i 2的实部为－1，得4－b2＝－1，得b＝6.∴z ＝－1＋5i ，则z －b ＝－7＋5i ，在复平面上对应的点的坐标为(－7，5)，在第二象限．故选B.(3)下列说法中正确的是(D)(A)若分类变量X 和Y 的随机变量K 2的观测值k 越大，则“X 与Y 相关”的可信程度越小(B)对于自变量x 和因变量y ，当x 取值一定时，y 的取值具有一定的随机性，x ，y 之间的这种非确定关系叫做函数关系(C)相关系数r 2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱(D)若分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小【解析】函数关系中自变量x 和因变量y 是确定关系，故B 错．相关系数r 2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越强，故C 错．随机变量K 2的观测值k 越大，则“X 与Y 相关”的可信程度越大，观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小．故A 错，D 正确．(4)下图是2016年某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字．⎪⎪⎪⎪78994 5 8 8 94这些数据的中位数是______，去掉一个最低分和一个最高分后所剩数据的平均数是(C) (A)86.5 ; 86.7 (B)88; 86.7 (C)88；86.8 (D)86.5；86.8【解析】中位数为由小到大排列后位于中间的数，即为88，平均数为84＋85＋88＋88＋895＝86.8.(5)在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有(C)(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个【解析】根据知识结构图得，“求简单函数的导数”是建立在熟练掌握“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”基础上的，故“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”均为“求简单函数的导数”的“上位”要素，共有3个．故选C. (6)下面四个推理，不属于演绎推理的是(C)(A)因为函数y ＝sin x (x ∈R )的值域为[－1，1]，2x －1∈R ，所以y ＝sin(2x －1)(x ∈R )的值域也为[－1，1](B)昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿(C)在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c 则a ∥c ，将此结论放到空间中也是如此(D)如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论【解析】C 中的推理属于合情推理中的类比推理，A ，B ，D 中的推理都是演绎推理．(7)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、ED ，则sin ∠CED ＝(B)(A)31010 (B)1010 (C)510 (D)515【解析】由图象知∠DEA ＝π4，tan ∠CEB ＝12，所以有tan ∠CED ＝tan(∠DEA －∠CEB )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－∠CEB ＝1－tan ∠CEB 1＋tan ∠CEB＝13，再根据同角三角函数关系式，可求出sin ∠CED ＝1010，选B.(8)已知f (x )满足对∀x ∈R ，f ()－x ＋f (x )＝0，且x ≥0时，f (x )＝e x ＋m (m 为常数)，则f (－ln 5)的值为(B)(A)4 (B)－4 (C)6 (D)－6【解析】由题意f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，即函数f (x )为奇函数， 由奇函数的性质可得f (0)＝e 0＋m ＝0，∴m ＝－1，则当x ≥0时，f (x )＝e x －1， ∵ln 5>0，∴f (－ln 5)＝－f (ln 5)＝－(e ln 5－1)＝－4，选B.(9)若实数数列：－1，a 1，a 2，a 3，－81成等比数列，则圆锥曲线x 2＋y 2a 2＝1的离心率是(D)(A)13或10 (B)10或223 (C)223(D)10 【解析】因为－1，a 1，a 2，a 3，－81成等比数列，所以a 22＝－1×(－81)＝81，a 2＝－9(等比数列的奇数项同号)，所以圆锥曲线的方程为x 2－y29＝1，其中a ＝1，b ＝3，c ＝1＋9＝10，离心率为e ＝ca＝10，故选D.(10)四棱锥P －ABCD 的三视图如下图所示，四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为(A)(A)12π (B)24π (C)36π (D)48π【解析】由三视图可知，该三视图所表示几何体的直观图如下图所示的四棱锥P －ABCD ，其中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝a ，该四棱锥外接球的球心为PC 的中点O ，由直观图可知O 到线段EF 的距离为a 2，球的半径R ＝3a2，所以，直线EF 被球面所截得的线段长为2R 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝2a ＝22，即a ＝2，R ＝3a 2＝3，所以该球的表面积为S ＝4πR 2＝12π，故选A. (11)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为(B)(A)0 (B)1 (C)94(D)3【解析】∵x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2，又x ，y ，z 均为正实数， ∴ xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤12x y ·4yx－3＝1(当且仅当x ＝2y 时取“＝”)， ∴(xyz)max ＝1，此时，x ＝2y . ∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3×2y ×y ＋4y 2＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时取得“＝”，满足题意．∴2x ＋1y －2z的最大值为1.故选B. (12)已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，设h (x )＝f (f (x ))－c ，其中c ∈(－2，2)，函数y ＝h (x )的零点个数为(D)(A)8 (B)11 (C)10 (D)9【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意，1和－1是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，所以有1＋(－1)＝－2a 3，1×(－1)＝b3，求得a ＝0，b ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x ，若令f (x )＝t ，则h (x )＝f (t )－c ，考查方程f (x )＝d ，d ∈(－2，2)的根的情况，因为f (－2)－d ＝－2－d <0，f (－1)－d ＝2－d >0，函数f (x )的图象是连续不断的，所以f (x )＝d 在(－2，－1)内有唯一零点，同理可以判断f (x )＝d 在(－1，1)，(1，2)内各有唯一的零点，所以得到方程f (x )＝d ，d ∈(－2，2)的根有3个；再看函数y ＝h (x )的零点，当c ∈(－2，2)时，f (t )＝c 有三个不同的根x 1，x 2，x 3，且x 1，x 2，x 3∈(－2，2)，而f (x )＝t 有三个不同的根，所以函数y ＝h (x )有9个零点. 故选D.选择题答题卡本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．(13)有三张卡片，分别写有1和2, 1和3，2和3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__1和3__．【解析】先从丙说的可得丙拿的是1和2，或1和3，再由乙说的可得乙拿的是2和3，再从甲说的可得甲拿的是1和3.(14)已知△ABC 的外接圆半径为8，且sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则△ABC 的面积为4__．【解析】因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，所以由余弦定理得cos A ＝78，cos B ＝1116，cos C ＝－14，所以sin A ＝1564，sin B ＝135256，sin C＝1516，所以三角形面积为S ＝2R 2sin A sin B sin C ＝45415.(15)已知O 为三角形ABC 的外心，AB ＝2a ，AC ＝2a，∠BAC ＝120°，若＝x ＋y ，则3x ＋6y 的最小值为．【解析】∵＝x ＋y ，∴·＝x 2＋y ·⇒4a 2x －2y ＝2a 2①，同理·＝x ·＋y 2⇒－2x ＋4a 2y ＝2a 2②，联立①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a 2＋13a 2y ＝a 2＋23， ∴3x ＋6y ＝2a 2＋1a 2＋2a 2＋4＝6＋2a 2＋1a 2≥6＋22a 2·1a2＝6＋22，当且仅当2a 2＝1a2⇒a ＝⎝⎛⎭⎫1214时，等号成立，即3x ＋6y 的最小值是6＋2 2. (16)设函数y ＝⎩⎨⎧－x 3＋x 2，x <ea ln x ，x ≥e的图象上存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是__⎝⎛⎦⎤0，1e ＋1__．【解析】假设函数y ＝f (x )图象上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 两点只能在y 轴两侧，设P (t ，f (t ))(t >0)，则Q (－t ，f (－t ))，f (－t )＝－(－t )3＋(－t )2＝t 3＋t 2，因为△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，所以⊥，·＝0，即t 2－f (t )(t 3＋t 2)＝0(1)，当0<t <e 时，f (t )＝－t 3＋t 2，代入(1)中，得t 4－t 2＋1＝0，方程无解，故t ≥e ，所以f (t )＝a ln t ，代入(1)中，得1a＝(t ＋1)ln t ，设函数g (x )＝(x ＋1)lnx (x ≥e)，则g '(x )＝ln x ＋1＋1x>0，所以函数g (x )在区间[)e ，＋∞上为增函数，g (x )≥g (e)＝e ＋1，由题意有1a ＝(t ＋1)ln t ≥e ＋1，所以有0<a ≤1e ＋1.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)在等比数列{}a n 中，已知a 4＝8a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (Ⅰ)求数列{}a n 的通项公式；(Ⅱ)求数列{}||a n －4的前n 项和S n .【解析】(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1·q 3＝8a 1.∴q ＝2(2分) 又a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即2()a 2＋1＝a 1＋a 3，∴a 1＝2(4分) ∴a n ＝2n (6分)(Ⅱ)当n ＝1时，a 1－4＝－2<0，∴S 1＝2(8分) 当n ≥2时，a n －4≥0.∴S n ＝2＋(a 2－4)＋…＋(a n －4)＝2＋22＋…＋2n －4(n －1) ＝2（1－2n ）1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2(11分)又当n ＝1时，上式也满足．∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.(12分)(18)(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋2.(Ⅰ)任取a ∈{1，2，3}，b ∈{－1，1，2，3，4}，记“f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数”为事件A ，求A 发生的概率；(Ⅱ)任取(a ，b )∈{(a ，b )|a ＋4b －6≤0，a >0，b >0}，记“关于x 的方程f (x )＝0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B ，求B 发生的概率．【解析】(Ⅰ)因为a 有3种取法，b 有5种取法，则对应的函数有3×5＝15个．(2分)因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2b a 对称，若事件A 发生，则a ＞0且2ba ≤1.(3分)数对(a ，b )的取值为(1，－1)，(2，－1)，(2，1)，(3，－1)，(3，1)共5种．(5分)所以P (A )＝515＝13.(6分)(Ⅱ)集合{(a ，b )|a ＋4b －6≤0，a >0，b >0}对应的平面区域为Rt △AOB ，如图．其中点A (6，0)，B ⎝⎛⎭⎫0，32， 则△AOB 的面积为12×32×6＝92.(8分)若事件B 发生，则f (1)<0，即a －4b ＋2<0.(9分) 所以事件B 对应的平面区域为△BCD .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4b －6＝0a －4b ＋2＝0，得交点坐标为D (2，1)． 又C ⎝⎛⎭⎫0，12，则△BCD 的面积为12×⎝⎛⎭⎫32－12×2＝1.所以P (B )＝S △BCD S △AOB ＝29.(12分) (19)(本小题满分12分)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，点G ，R分别在线段DH ，HB 上，且DG GH ＝BRRH.将△AED ，△CFD ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，B ，C 重合于点P ，如图2所示．(Ⅰ)求证：GR ⊥平面PEF ；(Ⅱ)若正方形ABCD 的边长为4，求三棱锥P －DEF 的内切球的半径． 【解析】(Ⅰ)在正方形ABCD 中，∠A ，∠B ，∠C 为直角， ∴在三棱锥P －DEF 中，PE ，PF ，PD 三条线段两两垂直 ∴PD ⊥平面PEF (3分) ∵DG GH ＝BR RH ，即DG GH ＝PRRH ，∴在△PDH 中，RG ∥PD ∴GR ⊥平面PEF (6分)(Ⅱ)正方形ABCD 边长为4.由题意，PE ＝PF ＝2，PD ＝4，EF ＝22，DF ＝25(7分) ∴S △PEF ＝2，S △DPF ＝S △DPE ＝4.S △DEF ＝12×22×()252－()22＝6(10分)设三棱锥P －DEF 内切球半径为r .则三棱锥的体积V P －DEF ＝16×2×2×4＝13()S △PEF ＋2S △DPF ＋S △DEF ·r∴r ＝12，即三棱锥P －DEF 的内切球的半径为12.(12分)(20)(本小题满分12分)如图，设双曲线C 1：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的上焦点为F ，上顶点为A ，点B 为双曲线虚轴的左端点. 已知C 1的离心率为233，且△ABF 的面积S ＝1－32.(Ⅰ)求双曲线C 1的方程；(Ⅱ)设抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F ，动直线l 与C 2相切于点P ，与C 2的准线相交于点Q . 试推断以线段PQ 为直径的圆是否恒经过y 轴上的某个定点M ？若是，求出定点M 的坐标；若不是，请说明理由．【解析】(Ⅰ)由已知c a ＝233，即2a ＝3c ，则4a 2＝3c 2，即4a 2＝3(a 2＋b 2)，得a ＝3b ，c ＝2b .(2分)又12(c －a )b ＝1－32，则(2b －3b )b ＝2－3，得b ＝1.(4分) 从而a ＝3，c ＝2，所以双曲线C 1的方程为y 23－x 2＝1.(5分)(Ⅱ)由题设，抛物线C 2的方程为x 2＝8y ，准线方程为y ＝－2.(7分)由y ＝18x 2，得y ′＝14x .设点P ⎝⎛⎭⎫x 0，18x 20，则直线l 的方程为y －18x 20＝14x 0(x －x 0)， 即y ＝14x 0x －18x 20.联立y ＝－2，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－162x 0，－2.(9分) 假设存在定点M (0，m )满足题设条件，则·＝0对任意点P 恒成立．因为＝(x 0，18x 20－m )，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－162x 0，－2－m ，则x 20－162－(m ＋2)⎝⎛⎭⎫18x 20－m ＝0， 即2－m 8x 20＋m (m ＋2)－8＝0对任意实数x 0恒成立．(11分)所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＝0m （m ＋2）－8＝0，即m ＝2. 故以PQ 为直径的圆恒经过y 轴上的定点M (0，2)．(12分)(21)(本小题满分12分)已知f (x )＝e x ，g (x )＝－x 2＋2x ＋a ，a ∈R . (Ⅰ)讨论函数h (x )＝f (x )g (x )的单调性；(Ⅱ)记φ(x )＝⎩⎨⎧f （x ），x <0g （x ），x >0，设A (x 1，φ(x 1))，B (x 2，φ(x 2))为函数φ(x )图象上的两点，且x 1<x 2.(ⅰ)当x >0时，若φ(x )在A ，B 处的切线相互垂直，求证x 2－x 1≥1； (ⅱ)若在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)h (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )，则h ′(x )＝－e x [x 2－(a ＋2)](2分) 当a ＋2≤0即a ≤－2时，h ′(x )≤0，h (x )在R 上单调递减；(3分) 当a ＋2>0即a >－2时，h ′(x )＝－e x [x 2－(a ＋2)]＝－e x (x ＋a ＋2)(x －a ＋2)，此时h (x )在(－∞，－a ＋2)和(a ＋2，＋∞)上都是单调递减的，在(－a ＋2，a ＋2) 上是单调递增的；(5分)(Ⅱ)(ⅰ)g ′(x )＝－2x ＋2，据题意有(－2x 1＋2)(－2x 2＋2)＝－1，又0<x 1<x 2，则－2x 1＋2>0且－2x 2＋2<0，⇒(－2x 1＋2)(2x 2－2)＝1，法1: x 2－x 1＝12[(－2x 1＋2)＋(2x 2－2)]≥（－2x 1＋2）·（2x 2－2）＝1当且仅当(－2x 1＋2)＝(2x 2－2)＝1即x 1＝12，x 2＝32时取等号(8分)法2：x 2＝1＋14（1－x 1），0<1－x 1<1⇒x 2－x 1＝1－x 1＋14（1－x 1）≥2（1－x 1）·14（1－x 1）＝1当且仅当1－x 1＝14（1－x 1）⇒x 1＝12时取等号(8分)(ⅱ)要在点A ，B 处的切线重合，首先需在点A ，B 处的切线的斜率相等，而x <0时，φ′(x )＝f ′(x )＝e x ∈(0，1)，则必有x 1<0<x 2<1，即A (x 1，e x 1)，B (x 2，－x 22＋2x 2＋a ) A 处的切线方程是：y －e x 1＝e x 1(x －x 1)⇒y ＝e x 1x ＋e x 1(1－x 1)， B 处的切线方程是：y －(－x 22＋2x 2＋a )＝(－2x 2＋2)(x －x 2) 即y ＝(－2x 2＋2)x ＋x 22＋a ，(10分)据题意则⎩⎪⎨⎪⎧e x 1＝－2x 2＋2e x 1（1－x 1）＝x 22＋a ⇒4a ＋4＝－e x 1(e x 1＋4x 1－8)，x 1∈(－∞，0)设p (x )＝－e x (e x ＋4x －8)，x <0，p ′(x )＝－2e x (e x ＋2x －2) 设q (x )＝e x ＋2x －2，x <0⇒q ′(x )＝e x ＋2>0在(－∞，0)上恒成立，则q (x )在(－∞，0)上单调递增⇒q (x )<q (0)＝－1<0，则p ′(x )＝－2e x (e x ＋2x －2)>0，⇒p (x )在(－∞，0)上单调递增， 则p (x )<p (0)＝7，再设r (x )＝e x ＋4x －8，x <0r ′(x )＝e x ＋4>0，⇒r (x )在(－∞，0)上单调递增，⇒r (x )<r (0)＝－7<0 则p (x )＝－e x (e x ＋4x －8)>0在(－∞，0)恒成立即当x ∈(－∞，0)时p (x )的值域是(0，7)故4a ＋4∈(0，7)⇒－1<a <34，即为所求．(12分)请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋22ty ＝22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．(Ⅰ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的值； (Ⅱ)求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．【解析】(Ⅰ)易知曲线C 的标准方程为x 212＋y 24＝1，则其左焦点为(－22，0)，则m ＝－22，将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－22＋22ty ＝22t与曲线C 的方程x 212＋y 24＝1联立，得t 2－2t －2＝0，则|F A |·|FB |＝|t 1t 2|＝2.(5分)(Ⅱ)由曲线C 的方程为x 212＋y 24＝1，可设曲线C 上的动点P (23cos θ，2sin θ)，则以P 为顶点的内接矩形周长为4×(23cos θ＋2sin θ)＝16sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，因此该内接矩形周长的最大值为16.(10分)(23)(本小题满分10分)选修4－5: 不等式选讲设f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. (Ⅰ)求f (x )≤x ＋2的解集；(Ⅱ)若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，求实数x 的取值范围．【解析】(Ⅰ)由f (x )≤x ＋2得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0x ≤－11－x －x －1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0－1<x <11－x ＋x ＋1≤x ＋2或⎩⎨⎧x ＋2≥0x ≥1x －1＋x ＋1≤x ＋2，解得0≤x ≤2 ∴f (x )≤x ＋2的解集为{x |0≤x ≤2}(5分)(Ⅱ)⎪⎪⎪⎪⎪⎪|a ＋1|－|2a －1||a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪2－1a ≤⎪⎪⎪⎪1＋1a ＋2－1a ＝3 当且仅当⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫2－1a ≤0时，取等号． 由不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，可得|x －1|＋|x ＋1|≥3，解得：x ≤－32或x ≥32.故实数x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(10分)。

2020届湖南师大附中2017级高三第六次月考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合x A {y |y 2,x R}==∈,B {x |y x R}==∈,则A B (⋂= )A. {}1B. ()0,∞+C. ()0,1D. (]0,1【答案】D【解析】化简集合,A B ,根据交集的定义计算A B ⋂．【详解】因为集合{}()|2,0,x A y y x R ==∈=+∞,化简{}(]|1B x y x R ，==∈=-∞, 所以(]0,1A B ⋂=,故选D ．2.复数()1z i i -=（i 为虚数单位）,则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C【解析】由复数除法求出z ,写出共轭复数,写出共轭复数对应点坐标即得 【详解】解析：()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+,1122z i ∴=--, 对应点为11(,)22--,在第三象限．故选：C ．3.“搜索指数”是网民通过搜索引擎,以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大,表示网民对该关键词的搜索次数越多,对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中,某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图,下列结论正确的是（ ）A. 这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B. 这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从网民对该关键词的搜索指数来看,去年10月份的方差小于11月份的方差D. 从网民对该关键词的搜索指数来看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值【答案】D【详解】选项A 错,并无周期变化,选项B 错,并不是不断减弱,中间有增强．C 选项错,10月的波动大小11月分,所以方差要大．D 选项对,由图可知,12月起到1月份有下降的趋势,所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．选D.4.已知函数()(1)()f x =x - a x+b 为偶函数且在(0,)+∞单调递减,则(3)0f -x <的解集为（ ）A. (2,4)B. (,2)(4,)-∞⋃+∞C. (-1,1)D. (,1)(1,)-∞-+∞ 【答案】B【解析】根据函数奇偶性定义,求出a,b 的关系,结合函数的单调性判断a 的符号,然后根据不等式的解法进行求解即可．【详解】∵f（x ）=（x-1）（ax+b ）=ax 2+（b-a ）x-b 为偶函数,∴f（-x ）=f （x ）,则ax 2-（b-a ）x-b=ax 2+（b-a ）x-b,即-（b-a ）=b-a,。

文科数学试题(附中版)－(这是边文，请据需要手工删加)炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷(七)数 学(文科)命题人：贺忠良 洪利民 黄钢 审题：高三文科数学备课组本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合M ＝{x||x|<1}，N ＝{y|y ＝2x，x ∈M}，则集合∁R (M ∩N )等于(A)(A)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[)1，＋∞ (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (C)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 (D)[)1，＋∞ 【解析】由M ＝{x ||x |<1}得：M ＝{x |－1<x <1}，N ＝{y |y ＝2x，x ∈M }得N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪12<y <2，则∁R (M ∩N )＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[)1，＋∞，故选A.(2)已知复数z ＝4＋b i1－i (b ∈R )的实部为－1，则复数z －b 在复平面上对应的点在(B)(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【解析】由z ＝4＋b i 1－i ＝（4＋b i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝4－b ＋（4＋b ）i 2的实部为－1，得4－b2＝－1，得b ＝6.∴z ＝－1＋5i ，则z －b ＝－7＋5i ，在复平面上对应的点的坐标为(－7，5)，在第二象限．故选B.(3)下列说法中正确的是(D)(A)若分类变量X 和Y 的随机变量K 2的观测值k 越大，则“X 与Y 相关”的可信程度越小 (B)对于自变量x 和因变量y ，当x 取值一定时，y 的取值具有一定的随机性，x ，y 之间的这种非确定关系叫做函数关系(C)相关系数r 2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱(D)若分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小【解析】函数关系中自变量x 和因变量y 是确定关系，故B 错．相关系数r 2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越强，故C 错．随机变量K 2的观测值k 越大，则“X 与Y 相关”的可信程度越大，观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小．故A 错，D 正确．(4)下图是2016年某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字．⎪⎪⎪78994 5 8 8 94这些数据的中位数是______，去掉一个最低分和一个最高分后所剩数据的平均数是(C) (A)86.5 ; 86.7 (B)88; 86.7 (C)88；86.8 (D)86.5；86.8【解析】中位数为由小到大排列后位于中间的数，即为88，平均数为84＋85＋88＋88＋895＝86.8.(5)在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有(C)(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个【解析】根据知识结构图得，“求简单函数的导数”是建立在熟练掌握“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”基础上的，故“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”均为“求简单函数的导数”的“上位”要素，共有3个．故选C.(6)下面四个推理，不属于演绎推理的是(C)(A)因为函数y ＝sin x (x ∈R )的值域为，2x －1∈R ，所以y ＝sin(2x －1)(x ∈R )的值域也为(B)昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿(C)在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c 则a ∥c ，将此结论放到空间中也是如此(D)如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论【解析】C 中的推理属于合情推理中的类比推理，A ，B ，D 中的推理都是演绎推理． (7)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、ED ，则sin ∠CED ＝(B)(A)31010 (B)1010 (C)510 (D)515【解析】由图象知∠DEA ＝π4，tan ∠CEB ＝12，所以有tan ∠CED ＝tan(∠DEA －∠CEB )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－∠CEB ＝1－tan ∠CEB 1＋tan ∠CEB ＝13，再根据同角三角函数关系式，可求出sin ∠CED ＝1010，选B.(8)已知f (x )满足对∀x ∈R ，f ()－x ＋f (x )＝0，且x ≥0时，f (x )＝e x＋m (m 为常数)，则f (－ln 5)的值为(B)(A)4 (B)－4 (C)6 (D)－6【解析】由题意f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，即函数f (x )为奇函数， 由奇函数的性质可得f (0)＝e 0＋m ＝0，∴m ＝－1，则当x ≥0时，f (x )＝e x－1， ∵ln 5>0，∴f (－ln 5)＝－f (ln 5)＝－(eln 5－1)＝－4，选B.(9)若实数数列：－1，a 1，a 2，a 3，－81成等比数列，则圆锥曲线x 2＋y 2a 2＝1的离心率是(D)(A)13或10 (B)10或223 (C)223(D)10 【解析】因为－1，a 1，a 2，a 3，－81成等比数列，所以a 22＝－1×(－81)＝81，a 2＝－9(等比数列的奇数项同号)，所以圆锥曲线的方程为x 2－y 29＝1，其中a ＝1，b ＝3，c ＝1＋9＝10，离心率为e ＝c a＝10，故选D.(10)四棱锥P －ABCD 的三视图如下图所示，四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为(A)(A)12π (B)24π (C)36π (D)48π【解析】由三视图可知，该三视图所表示几何体的直观图如下图所示的四棱锥P －ABCD ，其中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，该四棱锥外接球的球心为PC 的中点O ，由直观图可知O 到线段EF 的距离为a 2，球的半径R ＝3a2，所以，直线EF 被球面所截得的线段长为2R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝2a ＝22，即a ＝2，R ＝3a 2＝3，所以该球的表面积为S ＝4πR2＝12π，故选A.(11)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为(B)(A)0 (B)1 (C)94(D)3【解析】∵x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2，又x ，y ，z 均为正实数， ∴ xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤12x y ·4y x－3＝1(当且仅当x ＝2y 时取“＝”)，∴(xy z)max ＝1，此时，x ＝2y .∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3×2y ×y ＋4y 2＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时取得“＝”，满足题意．∴2x ＋1y －2z的最大值为1.故选B.(12)已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，设h (x )＝f (f (x ))－c ，其中c ∈(－2，2)，函数y ＝h (x )的零点个数为(D)(A)8 (B)11 (C)10 (D)9【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意，1和－1是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根， 所以有1＋(－1)＝－2a 3，1×(－1)＝b 3，求得a ＝0，b ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x ，若令f (x )＝t ，则h (x )＝f (t )－c ，考查方程f (x )＝d ，d ∈(－2，2)的根的情况，因为f (－2)－d ＝－2－d <0，f (－1)－d ＝2－d >0，函数f (x )的图象是连续不断的， 所以f (x )＝d 在(－2，－1)内有唯一零点，同理可以判断f (x )＝d 在(－1，1)，(1，2)内各有唯一的零点，所以得到方程f (x )＝d ，d ∈(－2，2)的根有3个；再看函数y ＝h (x )的零点，当c ∈(－2，2)时，f (t )＝c 有三个不同的根x 1，x 2，x 3，且x 1，x 2，x 3∈(－2，2)，而f (x )＝t 有三个不同的根，所以函数y ＝h (x )有9个零点. 故选D.选择题答题卡本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．(13)有三张卡片，分别写有1和2, 1和3，2和3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__1和3__．【解析】先从丙说的可得丙拿的是1和2，或1和3，再由乙说的可得乙拿的是2和3，再从甲说的可得甲拿的是1和3.(14)已知△ABC 的外接圆半径为8，且sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则△ABC 的面积为4．【解析】因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4， 所以由余弦定理得cos A ＝78，cos B ＝1116，cos C ＝－14，所以sin A ＝1564，sin B ＝135256，sin C ＝1516，所以三角形面积为S ＝2R 2sin A sin B sin C ＝45415.(15)已知O 为三角形ABC 的外心，AB ＝2a ，AC ＝2a，∠BAC ＝120°，若AO →＝xAB →＋yAC →，则3x ＋6y 的最小值为．【解析】∵AO →＝xAB →＋yAC →，∴AO →·AB →＝xAB →2＋yAB →·AC →⇒4a 2x －2y ＝2a 2①， 同理AO →·AC →＝xAB →·AC →＋yAC →2⇒－2x ＋4a 2y ＝2a 2②，联立①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a 2＋13a 2y ＝a 2＋23，∴3x ＋6y ＝2a 2＋1a 2＋2a 2＋4＝6＋2a 2＋1a2≥6＋22a 2·1a2＝6＋22，当且仅当2a 2＝1a 2⇒a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1214时，等号成立，即3x ＋6y 的最小值是6＋2 2.(16)设函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <ea ln x ，x ≥e 的图象上存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是__⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ＋1__．【解析】假设函数y ＝f (x )图象上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 两点只能在y 轴两侧，设P (t ，f (t ))(t >0)，则Q (－t ，f (－t ))，f (－t )＝－(－t )3＋(－t )2＝t 3＋t 2，因为△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，所以OP →⊥OQ →，OP →·OQ →＝0，即t 2－f (t )(t 3＋t 2)＝0(1)，当0<t <e 时，f (t )＝－t 3＋t 2，代入(1)中，得t 4－t 2＋1＝0，方程无解，故t ≥e，所以f (t )＝a ln t ，代入(1)中，得1a ＝(t ＋1)ln t ，设函数g (x )＝(x ＋1)ln x (x ≥e)，则g '(x )＝ln x ＋1＋1x>0，所以函数g (x )在区间[)e ，＋∞上为增函数，g (x )≥g (e)＝e ＋1，由题意有1a＝(t ＋1)ln t ≥e ＋1，所以有0<a ≤1e ＋1. 三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)在等比数列{}a n 中，已知a 4＝8a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (Ⅰ)求数列{}a n 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}||a n －4的前n 项和S n .【解析】(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1·q 3＝8a 1.∴q ＝2(2分) 又a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即2()a 2＋1＝a 1＋a 3，∴a 1＝2(4分) ∴a n ＝2n(6分)(Ⅱ)当n ＝1时，a 1－4＝－2<0，∴S 1＝2(8分) 当n ≥2时，a n －4≥0.∴S n ＝2＋(a 2－4)＋…＋(a n －4)＝2＋22＋ (2)－4(n －1) ＝2（1－2n）1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2(11分)又当n ＝1时，上式也满足． ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.(12分)(18)(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋2.(Ⅰ)任取a ∈{1，2，3}，b ∈{－1，1，2，3，4}，记“f (x )在区间(2分) 当a ＋2≤0即a ≤－2时，h ′(x )≤0，h (x )在R 上单调递减；(3分) 当a ＋2>0即a >－2时，h ′(x )＝－e x＝－e x(x ＋a ＋2)(x －a ＋2)，此时h (x )在(－∞，－a ＋2)和(a ＋2，＋∞)上都是单调递减的，在(－a ＋2，a ＋2) 上是单调递增的；(5分)(Ⅱ)(ⅰ)g ′(x )＝－2x ＋2，据题意有(－2x 1＋2)(－2x 2＋2)＝－1，又0<x 1<x 2， 则－2x 1＋2>0且－2x 2＋2<0，⇒(－2x 1＋2)(2x 2－2)＝1， 法1: x 2－x 1＝12≥（－2x 1＋2）·（2x 2－2）＝1当且仅当(－2x 1＋2)＝(2x 2－2)＝1即x 1＝12，x 2＝32时取等号(8分)法2：x 2＝1＋14（1－x 1），0<1－x 1<1⇒x 2－x 1＝1－x 1＋14（1－x 1）≥2（1－x 1）·14（1－x 1）＝1当且仅当1－x 1＝14（1－x 1）⇒x 1＝12时取等号(8分)(ⅱ)要在点A ，B 处的切线重合，首先需在点A ，B 处的切线的斜率相等，而x <0时，φ′(x )＝f ′(x )＝e x∈(0，1)，则必有x 1<0<x 2<1，即A (x 1，e x 1)，B (x 2，－x 22＋2x 2＋a )A 处的切线方程是：y －e x 1＝e x 1(x －x 1)⇒ y ＝e x 1x ＋e x 1(1－x 1)，B 处的切线方程是：y －(－x 22＋2x 2＋a )＝(－2x 2＋2)(x －x 2)即y ＝(－2x 2＋2)x ＋x 22＋a ，(10分)据题意则⎩⎪⎨⎪⎧e x 1＝－2x 2＋2e x 1（1－x 1）＝x 22＋a ⇒4a ＋4＝－e x 1(e x 1＋4x 1－8)，x 1∈(－∞，0) 设p (x )＝－e x (e x ＋4x －8)，x <0，p ′(x )＝－2e x (e x＋2x －2) 设q (x )＝e x＋2x －2，x <0⇒q ′(x )＝e x＋2>0在(－∞，0)上恒成立，则q (x )在(－∞，0)上单调递增⇒q (x )<q (0)＝－1<0，则p ′(x )＝－2e x(e x＋2x －2)>0，⇒p (x )在(－∞，0)上单调递增， 则p (x )<p (0)＝7，再设r (x )＝e x＋4x －8，x <0r ′(x )＝e x ＋4>0，⇒r (x )在(－∞，0)上单调递增，⇒r (x )<r (0)＝－7<0则p (x )＝－e x (e x＋4x －8)>0在(－∞，0)恒成立 即当x ∈(－∞，0)时p (x )的值域是(0，7) 故4a ＋4∈(0，7)⇒－1<a <34，即为所求．(12分)请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋22t y ＝22t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．(Ⅰ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|FA |·|FB |的值； (Ⅱ)求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．【解析】(Ⅰ)易知曲线C 的标准方程为x 212＋y 24＝1，则其左焦点为(－22，0)，则m ＝－22，将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22＋22t y ＝22t与曲线C 的方程x 212＋y 24＝1联立，得t 2－2t －2＝0，则|FA |·|FB |＝|t 1t 2|＝2.(5分)(Ⅱ)由曲线C 的方程为x 212＋y 24＝1，可设曲线C 上的动点P (23cos θ，2sin θ)，则以P 为顶点的内接矩形周长为4×(23cos θ＋2sin θ)＝16sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2， 因此该内接矩形周长的最大值为16.(10分) (23)(本小题满分10分)选修4－5: 不等式选讲 设f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. (Ⅰ)求f (x )≤x ＋2的解集；(Ⅱ)若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，求实数x 的取值范围．【解析】(Ⅰ)由f (x )≤x ＋2得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0x ≤－11－x －x －1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0－1<x <11－x ＋x ＋1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0x ≥1x －1＋x ＋1≤x ＋2，解得0≤x ≤2 ∴f (x )≤x ＋2的解集为{x |0≤x ≤2}(5分) (Ⅱ)⎪⎪⎪⎪⎪⎪|a ＋1|－|2a －1||a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1a ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a ＋2－1a ＝3当且仅当⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫2－1a ≤0时，取等号．由不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，可得|x －1|＋|x ＋1|≥3，解得：x ≤－32或x ≥32.故实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.(10分)。

湖南师大附中2018届高三月考试卷(七)数 学(文科)命题人、审题人：彭萍 苏萍 曾克平本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合A ＝{x |－3<x <π}，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，则A ∩B 的元素个数为(C) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】因为集合A ＝{x |－3<x <π}，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，所以集合A 中含有所有奇数，A ∩B ＝{－1，1，3}，A ∩B 的元素个数为3，故选C.(2)若复数z 满足(1－i)z ＝1＋3i ，则|z |＝(B) (A) 2 (B) 5 (C) 6 (D)10【解析】由(1－i)z ＝1＋3i ，则z ＝1＋3i 1－i ，|z |＝|1＋3i||1－i|＝102＝5，故选B.(3)为了检查某超市货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是(D)(A)5，10，15，20，25 (B)2，4，8，16，32 (C)1，2，3，4，5 (D)7，17，27，37，47【解析】从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，采用系统抽样间隔应为10，只有D 答案中的编号间隔为10，故选D.(4)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －1x ＋1<0，B ＝{x ||x －1|<a }，则“a ＝1”是“A ∩B ≠”的(A)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【解析】由题意得A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |1－a <x <a ＋1}．①当a ＝1时，B ＝{x |0<x <2}，则A ∩B ＝{x |0<x <1}≠成立，即充分性成立． ②若a ＝12，则A ∩B ＝{x |－1<x <1}∩{x |12<x <32}＝{x |12<x <1}≠故必要性不成立．综合得“a ＝1”是“A ∩B ≠”的充分不必要条件，故选A.(5)已知动圆M 与圆C 1：()x ＋12＋y 2＝1外切，与圆C 2：()x －12＋y 2＝25内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是(A)(A)x 29＋y 28＝1 (B)x 28＋y 29＝1(C)x 29＋y 2＝1 (D)x 2＋y 29＝1 【解析】设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝5－r ，∴|MC 1|＋|MC 2|＝6>|C 1C 2|，故圆M 的轨迹是以C 1(－1，0)，C 2(1，0)为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为x 29＋y 28＝1.(6)4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最大值是(B)(A)－1 (B)0 (C)1 (D)2【解析】设一枝玫瑰花与一枝茶花价格分别为x 元和y 元，则有⎩⎨⎧6x ＋3y ≤24，4x ＋5y ≥22，x ≥0，y ≥0令z ＝2x －3y ，如图作出可行域：当过点A (3，2)时，2x －3y 有最大值， z ＝0，故选B.(7)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α21－tan 2α2＝32，且2sin β＝sin ()α＋β，则β的值为(A)(A)π6 (B)π4 (C)π3 (D)5π12【解析】∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tanα21－tan 2α2＝32＝12tan α，∴α＝π3，∴sin α＝32，cos α＝12；∵2sin β＝sin ()α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β＝32cos β＋12sin β 化简可得∴tan β＝33，∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π6.故选A. (8)如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝(A)(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解析】模拟执行程序框图，可得a ＝14，b ＝18， 满足条件a ≠b ，不满足条件a >b ，b ＝4， 满足条件a ≠b ，满足条件a >b ，a ＝10， 满足条件a ≠b ，满足条件a >b ，a ＝6， 满足条件a ≠b ，满足条件a >b ，a ＝2， 满足条件a ≠b ，不满足条件a >b ，b ＝2，不满足条件a ≠b ，输出a 的值为2. 故选A.(9)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝(C)(A)4 (B)5 (C)6 (D)7由题意知，由细到粗每段的重量成等差数列，记为{}a n ，设公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4，⎩⎨⎧2a 1＋d ＝2，2a 1＋17d ＝4，解得a 1＝1516，d ＝18，所以该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15，∵48a i ＝5M ，∴48⎣⎡⎦⎤1516＋()i －1×18＝75，解得i ＝6，故选C. (10)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A)(A)24π＋83 (B)24π＋163 (C)32π＋83 (D)32π＋243【解析】根据三视图可知，几何体是34个球与一个直三棱锥的组合体，球的半径为2，三棱锥底面是等腰直角三角形，面积为s ＝12×22×22＝4，高为2，所以三棱锥的体积V ＝13×4×2＝83，故组合体的体积V ＝34×43π×23＋83＝24π＋83，故选A.(11)已知函数f ()x ＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，且在区间[]0，π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(D)(A)(]0，1 (B)⎝⎛⎦⎤0，34 (C)[)1，＋∞ (D)⎣⎡⎦⎤12，34 【解析】∵函数f ()x ＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω是函数含原点的递增区间．又∵函数在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上递增，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω⎣⎡⎦⎤－π2，2π3，∴得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π22π3≤π2ω，得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤1，ω≤34， 又∵ω＞0，∴0＜ω≤34， 又函数在区间[]0，π上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知ωx ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即函数在x ＝2k πω＋π2ω，k ∈Z 处取得最大值，可得0<π2ω≤π，∴ω≥12综上，可得ω∈⎣⎡⎦⎤12，34，故选D.(12)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，过P作圆的切线P A 、PB ，切点为A 、B 使得∠BP A ＝π3，则椭圆C 1的离心率的取值范围是(A)(A)⎣⎡⎭⎫32，1 (B)⎣⎡⎦⎤22，32(C)⎣⎡⎭⎫22，1 (D)⎣⎡⎭⎫12，1【解析】连接OA 、OB 、OP ，则∠APO ＝π6，sin 30°＝b|OP |，|OP |＝2b ，∵b <|OP |≤a 即2b ≤a ，e 2＝1－b 2a 2≥34，32≤e ，又0<e <1，即椭圆C 1的离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，1.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，|AB →|＝25，则OA →·OB →＝__0__．【解析】设OB →＝(x ，y )，由已知，x 2＋y 2＝10，代入|AB |＝（x －1）2＋（y ＋3）2＝25，得2x －6y ＝0，所以OA →·OB →＝x －3y ＝0.(14)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2和两点A (－4，0)，B (4，0)．若圆C 上存在唯一点P ，使得∠APB ＝90°，则r ＝__1__．【解析】圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆外切，即r ＋4＝5，得r ＝1.(15)已知球O 内切于一底面直径和母线相等的圆锥，设圆锥的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2＝__94__．【解析】设圆锥底面直径为2r ，则圆锥高为3r ，所以V 1＝13πr 2·3r ＝3πr 33；其内切球的半径为3r 3，所以V 2＝43π⎝⎛⎭⎫33r 3＝4×33πr 334＝43πr 333，∴V 1V 2＝94. (16)已知函数f (x )＝－x 3＋8x －4e x ＋4e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是__(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞__． 【解析】因为f (－x )＝x 3－8x －4e －x ＋4e x ＝x 3－8x －4e x ＋4e x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．又因为f ′(x )＝－3x 2＋8－4e x －4ex ＝－3x 2＋8－⎝⎛⎭⎫4e x ＋4e x ≤－3x 2＋8－24e x ·4ex ＝－3x 2≤0，所以f (x )在R 上单调递减．又f (a －1)＋f (2a 2)≤0，即f (2a 2)≤－f (a －1)＝f (1－a )，即2a 2≥1－a ，解得a ≤－1或a ≥12，故a 的取值范围是(－∞，－1]∪[12，＋∞)．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)从高三年级所有女生中，随机抽取n 个，其体重(单位：公斤)的频率分布表如下：419. (Ⅰ)求出n ，x 的值；(Ⅱ)用分层抽样的方法从体重在[40，45)和[55，60)的女生中共抽取5个，再从这5个女生中任取2个，求体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个的概率．【解析】(Ⅰ)依题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧x n ＝419n ＝10＋50＋20＋x，从而得x ＝20，n ＝95.4分(Ⅱ)若采用分层抽样的方法从体重在[40，45)和[55，60)的女生中共抽取5个，则体重在[40，45)的个数为1010＋15×5＝2；记为x ，y ，5分在[55，60)的个数为1510＋15×5＝3；记为a ，b ，c ，6分从抽出的5个女生中，任取2个共有(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )，(x ，y )10种情况.8分其中符合体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个的情况共有(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )6种.10分设事件A 表示“从这5个女生中任取2个，体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个”，则P (A )＝610＝35.答：从这5个女生中任取2个，体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个的概率为35.12分(18)(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项之和为S n ＝3n ＋12－32，数列{b n }满足b n ＝1（2n －1）log 3a 2n ＋1＋32n －1.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)求数列{b n }前n 项之和T n .【解析】(Ⅰ)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，1分 由S n ＝3n ＋12－32得S n －1＝3n 2－32(n ≥2)2分∴a n ＝S n －S n －1＝3n (n ≥2)4分 又a 1也符合， ∴a n ＝3n (n ∈N ＋)5分(Ⅱ)b n ＝1（2n －1）log 332n ＋1＋32n －1＝1（2n －1）（2n ＋1）＋32n －1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋32n －18分T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＋(3＋33＋35＋…＋32n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＋3（1－9n ）1－9＝n 2n ＋1＋32n ＋18－38.12分(19)(本小题满分12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，将△CBD 折叠至△EBD ，使得ED 交PC 于PC 的中点F .(Ⅰ)求证：平面BDE ⊥平面P AC . (Ⅱ)求三棱锥E －PBC 的体积．【解析】(Ⅰ)证明：在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，所以P A ⊥平面ABC ，∴平面P AC ⊥平面ABC ，∵AB ＝BC ，D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面P AC .又BD平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面P AC .5分(Ⅱ)∵V B －APEC ＝V E －PBC ＋V P －ABC ∴V E －PBC ＝V B －APEC －V P －ABC 7分 由已知，DE ∥AP∴S APCE ＝S APDE ＋S △EDC ＝12(2＋2)2＋12×2×2＝2＋29分V B －APCE ＝13S APCE ·BD ＝13(2＋2)2＝22＋2310分V P －ABC ＝13S △ABC ·P A ＝13×12×2×2×2＝4311分∴V E －PBC ＝V B －APCE －V P －ABC ＝22＋23－43＝22－23.12分(20)(本小题满分12分)如图，设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，长轴的右端点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，且椭圆C 1的离心率是32. (Ⅰ)求椭圆C 1的标准方程；(Ⅱ)过F 作直线l 交抛物线C 2于A 、B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆C 1于另一点C ，求△ABC 面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程．【解析】(Ⅰ)∵椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，长轴的右端点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，∴a ＝2，又∵椭圆C 1的离心率是32.∴c ＝3b ＝1，∴椭圆C 1的标准方程：x 24＋y 2＝1.4分(Ⅱ)过点F (2，0)的直线l 的方程设为：x ＝my ＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)联立⎩⎨⎧x ＝my ＋2，y 2＝8x ，得y 2－8my －16＝0.y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－16，6分∴|AB |＝1＋m 2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝8(1＋m )2. 过F 且与直线l 垂直的直线设为：y ＝－m (x －2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m （x －2），x 24＋y 2＝1，得(1＋4m 2)x 2－16m 2x ＋16m 2－4＝0， x C ＋2＝16m 21＋4m 2x C ＝2（4m 2－1）4m 2＋1.8分∴|CF |＝1＋m 2|x C －x F |＝44m 2＋1·1＋m 2. △ABC 面积S ＝12|AB |·|CF |＝16（1＋m 2）4m 2＋1·1＋m 2.10分 令1＋m 2＝t ，则s ＝f (t )＝16t 34t 2－3，f ′(t )＝16（4t 4－9t 2）（4t 2－3）2，令f ′(t )＝0，则t 2＝94，即1＋m 2＝94时，△ABC 面积最小． 即当m ＝±52时，△ABC 面积的最小值为9， 此时直线l 的方程为：x ＝±52y ＋2.12分 (21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x －x 2ex (x ＞0)，其中e 为自然对数的底数． (Ⅰ)当a ＝0时，判断函数y ＝f (x )极值点的个数；(Ⅱ)若函数有两个零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，设t ＝x 2x 1，证明：x 1＋x 2随着t 的增大而增大． 【解析】(Ⅰ)当a ＝0时，f (x )＝－x 2ex (x ＞0)， f ′(x )＝－2x ·e x －（－x 2）·e x （e x ）2＝x （x －2）e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2， 当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，y ＝f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，y ＝f (x )单调递增，所以x ＝2是函数的一个极小值点，无极大值点，即函数y ＝f (x )有一个极值点.4分(Ⅱ)证明：令f (x )＝a x －x 2e x ＝0，得x 32＝a e x ， 因为函数有两个零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，所以x 321＝a e x 1，x 322＝a e x 2，可得32ln x 1＝ln a ＋x 1，32ln x 2＝ln a ＋x 2.6分 故x 2－x 1＝32ln x 2－32ln x 1＝32ln x 2x 1. 又x 2x 1＝t ，则t ＞1，且⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝tx 1，x 2－x 1＝32ln t ，解得x 1＝32ln t t －1，x 2＝32t ln t t －1. 所以x 1＋x 2＝32·（t ＋1）ln t t －1. ①8分 令h (x )＝（x ＋1）ln x x －1，x ∈(1，＋∞)， 则h ′(x )＝－2ln x ＋x －1x （x －1）2. 令u (x )＝－2ln x ＋x －1x ，得u ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2.10分当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )＞0.因此，u (x )在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x ∈(1，＋∞)，u (x )＞u (1)＝0，由此可得h ′(x )＞0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增．因此，由①可得x 1＋x 2随着t 的增大而增大.12分请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a 、b ∈M .(Ⅰ)证明：|13a ＋16b |＜14； (Ⅱ)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．【解析】(Ⅰ)记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1，由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12.3分 ∵a 、b ∈M ，∴|a |<12，|b |<12所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14.5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得a 2＜14，b 2＜14. 因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0， 所以|1－4ab |2＞4|a －b |2，故|1－4ab |＞2|a －b |.10分(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)． (Ⅰ)求曲线C 1的直角坐标方程和C 2的普通方程；(Ⅱ)极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． 【解析】(Ⅰ)∵曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，∴ρ2＋3ρ2sin 2θ＝4，∴曲线C 1的直角坐标方程C 1：x 24＋y 2＝1， ∵曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)． ∴C 2的普通方程C 2：(x －2)2＋y 2＝4.5分(Ⅱ)∵A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2都在曲线C 1上， ∴ρ21＝41＋3sin 2θ0，ρ22＝41＋3sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2，1ρ21＝1＋3sin 2θ04，1ρ22＝1＋3cos 2θ04 ∴1ρ21＋1ρ22＝1＋3sin 2θ04＋1＋3cos 2θ04＝54.10分。